B - modules arithmétiques I. Opérateurs différentiels de niveau fini

dÊ-Êmodules arithmŽtiques I.
OpŽrateurs diffŽrentiels de niveau Þni
Pierre BERTHELOT
(IRMAR, UniversitŽ de Rennes)
Version rŽvisŽe du 14 Juin 1995
Introduction ............................................................................................ 2
1. Puissances divisŽes partielles
1.1. CoefÞcients bin™miaux modiÞŽs ....................................................... 8
1.2. Puissances divisŽes compatibles ˆ (Ÿp) ................................................ 10
1.3. PD-structures partielles de niveau m sur un idŽal ................................... 12
1.4. Enveloppes ˆ puissances divisŽes partielles........................................... 18
1.5. Enveloppe d'un idŽal rŽgulier .......................................................... 23
2. OpŽrateurs diffŽrentiels de niveau Þni
2.1. Faisceaux de parties principales........................................................ 28
2.2. Faisceaux d'opŽrateurs diffŽrentiels................................................... 32
2.3. PD-stratiÞcations de niveau m ......................................................... 39
2.4. Passages ˆ la limite ...................................................................... 45
3. ThŽor•mes de cohŽrence
3.1. Cas des opŽrateurs d'ordre Þni.......................................................... 49
3.2. Rappels sur le complŽtŽ I-adique d'un anneau non commutatif.................... 50
3.3. Modules cohŽrents sur ^dx(m).............................................................. 53
3.4. Modules cohŽrents sur ^dx,ÊÝ
(m) ............................................................ 59
3.5. ThŽor•mes de platitude I ................................................................. 61
3.6. Modules cohŽrents sur d“x,ÊÝ ............................................................. 65
4. Relations avec les isocristaux surconvergents
4.1. InterprŽtation des isocristaux convergents............................................ 68
4.2. OpŽrateurs diffŽrentiels ˆ singularitŽs surconvergentes ........................... 70
4.3. ThŽor•mes de platitude II ................................................................ 76
4.4. InterprŽtation des isocristaux surconvergents........................................ 84
Bibliographie........................................................................................... 92

2P. BERTHELOT
Introduction
Cet article est le premier d'une sŽrie consacrŽe au probl•me des six opŽrations
de Grothendieck pour la cohomologie p-adique des variŽtŽs algŽbriques sur un corps
k de caractŽristique p.
Gr‰ce ˆ la cohomologie rigide ([2], [5]), on peut dŽÞnir, pour tout k-schŽma
sŽparŽ de type Þni X, des groupes de cohomologie p-adique qui gŽnŽralisent d'une
part la cohomologie cristalline lorsque X est propre et lisse sur k, d'autre part la co-
homologie de Dwork-Monsky-Washnitzer lorsque X est afÞne et lisse sur k. Par
contre, on ne disposait pas jusqu'ici, dans le cas p-adique, d'une catŽgorie de coefÞ-
cients sufÞsament stable par les opŽrations usuelles (et en particulier par image
directe) pour pouvoir utiliser avec toute leur puissance les mŽthodes gŽomŽtriques
standard en cohomologie complexe ou en cohomologie ù-adique. Les seuls coefÞ-
cients ŽtudiŽs jusqu'ˆ prŽsent sont les isocristaux, qui constituent une extension
aux variŽtŽs de caractŽristique p de la notion de ÞbrŽ ˆ connexion intŽgrable, et ne
sont donc pas stables par image directe par un morphisme quelconque, notamment
par une immersion. Rappelons nŽanmoins que, dans certaines situations gŽomŽ-
triques favorables comme la rŽduction semi-stable, l'introduction des schŽmas loga-
rithmiques ([18], [25], [28], etc) permet d'Žtendre les rŽsultats dont on dispose
classiquement dans le cas de morphismes propres et lisses. Par contre, dans des
situations plus gŽnŽrales, des phŽnom•nes spŽciÞques ˆ la caractŽristique p et plus
difÞcilement accessibles par les techniques logarithmiques peuvent se produire.
Par exemple, dans le cas de rev•tements sauvagement ramiÞŽs, des singularitŽs
irrŽguli•res peuvent appara”tre : les isocristaux de Dwork, fournis par le
rev•tement d'Artin-Schreier ([17], [3]), en constituent un exemple. Il est alors
intŽressant de disposer de coefÞcients plus gŽnŽraux.
Pour essayer de construire une catŽgorie de coefÞcients stable par les six
opŽrations, la dŽmarche que nous entreprenons s'inspire de la thŽorie algŽbrique
des ÒcoefÞcients de de RhamÓ en caractŽristique 0. Cette thŽorie, dont l'existence
avait ŽtŽ conjecturŽe par Grothendieck vers le milieu des annŽes soixante (elle est
notamment sous-jacente aux questions posŽes dans [21] sur l'algŽbricitŽ de la suite
spectrale de Leray Ð voir aussi [22, 1.5]), rŽsulte des travaux de Deligne sur les
ÞbrŽs ˆ connexion rŽguli•re [16], et du dŽveloppement de l'analyse algŽbrique, gr‰ce
aux travaux de Sato-Kashiwara-Kawai, Bernstein, Mebkhout, etc. La corres-
pondance de Riemann-Hilbert, Žtablie par Kashiwara ([26], [27]) et Mebkhout ([32],
[33]), fournit le lien entre la thŽorie algŽbrique des syst•mes diffŽrentiels, et la
thŽorie topologique des faisceaux constructibles : rappelons qu'on peut associer, ˆ
toute variŽtŽ algŽbrique lisse X sur å, la catŽgorie dŽrivŽe bornŽe Dhb(dX) des
complexes ˆ cohomologie holonome : c'est une sous-catŽgorie pleine de la catŽgorie
dŽrivŽe des modules ˆ gauche sur le faisceau dX des opŽrateurs diffŽrentiels de X,
qui vŽriÞe les propriŽtŽs suivantes (voir [11], [34]) :
a) Pour X variable, Dhb(dX) est stable par les quatre opŽrations de base de la
thŽorie des dXÊ-modules : dualitŽ interne, produit tensoriel externe, image directe

dÝ
Ê“ -MODULES COHƒRENTS I 3
ordinaire, image inverse exceptionnelleÊ;
b) Si Dcb( å X) dŽsigne la catŽgorie dŽrivŽe bornŽe des complexes de å-espaces
vectoriels ˆ cohomologie constructible sur l'espace analytique XÊan associŽ ˆ X, il
existe un foncteur DR : Dhb(ŸdX) @ Dcb( å X), et une sous-catŽgorie pleine Dbhr(dX) de
Dhb(dX), la catŽgorie dŽrivŽe bornŽe des complexes ˆ cohomologie holonome rŽgu-
li•re, tels que la restriction de DR ˆ Dbhr(dX) soit une Žquivalence de catŽgories, et
commute aux quatre foncteurs prŽcŽdents.
Rappelons de plus que les six opŽrations cohomologiques de Grothendieck sur
Dcb( å X) (ˆ savoir ¢, hom, fÊ*, f*Ÿ, fÊ!, f!Ê) peuvent •tre reconstruites ˆ partir des
quatre foncteurs prŽcŽdents (voir [34, II 9.3.1]).
Soient maintenant k un corps parfait de caractŽristique p, W = W(k) l'anneau
des vecteurs de Witt ˆ coefÞcients dans k, et X une une variŽtŽ lisse sur k. La
mŽthode que nous commen•ons ˆ dŽvelopper ici consiste ˆ supposer dans un
premier temps X relevable en un schŽma formel x lisse sur W, et ˆ construire sur x
une famille de faisceaux d'anneaux d'opŽrateurs diffŽrentiels ^dx(m), ayant pour
limite inductive un faisceau d“x qui op•re naturellement sur divers oxÊ-modules liŽs
ˆ la construction de la cohomologie rigide de X. L'idŽe de base consiste ˆ remplacer
le faisceau des opŽrateurs diffŽrentiels usuels dxÊ, engendrŽ par la famille de tous
les opŽrateurs de la forme ÙiÊpÊjŸ/ŸpÊjŸ!Ÿ, o• les Ùi sont les dŽrivŽes partielles par rapport ˆ
un syst•me de coordonnŽes locales, par une famille de faisceaux d'opŽrateurs
diffŽrentiels d
x
(m) engendrŽs par un nombre Þni de tels opŽrateursÊ; un exemple
classique en cohomologie cristalline en est le faisceau engendrŽ par les seules
dŽrivations, notŽ ici d
x
(0), dont l'action Žquivaut ˆ la donnŽe d'une connexion
intŽgrable.
Il est alors frappant de constater que la description du faisceau d“x obtenu par
complŽtion et passage ˆ la limite inductive ˆ partir des faisceaux d
x(m) fait appara”-
tre les conditions de convergence de Monsky-Washnitzer. Il semble donc naturel
d'espŽrer que les propriŽtŽs de Þnitude de la cohomologie de Monsky-Washnitzer Ð
et, plus gŽnŽralement, de la cohomologie rigide Ð proviennent de propriŽtŽs de
Þnitude sur le faisceau d“x,ÊÝ := d“x ¢ Ý, de m•me que la Þnitude de la cohomologie
de de Rham d'une variŽtŽ X sur un corps de caractŽristique 0 rŽsulte de la prŽserva-
tion de l'holonomie par les opŽrations cohomologiques sur les dXÊ-modules. On peut
en tous cas montrer que d“x,ÊÝ est un faisceau d'anneaux cohŽrent (quoique non
nÏthŽrien), et dŽÞnir pour les d“x,ÊÝ-modules ˆ gauche cohŽrents (Žventuellement
munis d'une action de Frobenius) des opŽrations cohomologiques et une notion
d'holonomie prolongeant celles dont on dispose pour les dXÊ-modules holonomes en
caractŽristique 0. On peut alors raisonnablement conjecturer que, pour X propre et
lisse, la catŽgorie dŽrivŽe D
h
b
(d
“
x,ÊÝ) est stable pour ces opŽrations. De plus, la
catŽgorie Dhb(d“x,ÊÝ) et les opŽrations cohomologiques correspondantes ne dŽpendent,
ˆ isomorphisme canonique pr•s, que de la rŽduction modulo p des schŽmas
considŽrŽs, et on esp•re pouvoir Žtendre leur dŽÞnition au cas d'un k-schŽma de
type Þni arbitraire par plongement dans un schŽma propre et lisse.
Les premiers rŽsultats dans cette direction ont ŽtŽ annoncŽs dans [4], o• nous
avons aussi montrŽ comment, lorsque X est propre sur k, la cohomologie rigide

4P. BERTHELOT
d'un ouvert Y de X peut •tre calculŽe comme cohomologie de de Rham d'un com-
plexe de d“x,ÊÝ-modules. Dans le prŽsent article, consacrŽ ˆ la construction et aux
propriŽtŽs de cohŽrence des anneaux d'opŽrateurs diffŽrentiels considŽrŽs, nous
donnons la dŽmonstration compl•te de ces rŽsultats, en les gŽnŽralisant au cas des
opŽrateurs ˆ singularitŽs surconvergentes le long d'un diviseur. La dŽÞnition et les
propriŽtŽs des opŽrations cohomologiques sur les d
“
x,ÊÝ-modules, ainsi que leur
caract•re intrins•que par rapport ˆ X, seront l'objet des articles suivants.
La construction des faisceaux d'opŽrateurs dX(m), qui s'applique ˆ tout schŽma
lisse sur une base o• les entiers premiers ˆ un nombre premier p donnŽ sont inver-
sibles, repose de mani•re essentielle sur un affaiblissement de la notion d'idŽal ˆ
puissances divisŽes : pour un entier m ÞxŽ, et un idŽal I donnŽ, on requiert seule-
ment de pouvoir dŽÞnir les puissances divisŽes des ŽlŽments x
p
m
, avec x Ô I (cf.
(1.3.1) pour une dŽÞnition en forme de cette structure, que nous appelerons PD-
structure partielle de niveau m sur I). La premi•re partie de cet article est consa-
crŽe ˆ l'Žtude de cette notion, qui redonne la notion usuelle pour m = 0Ê; pour la com-
moditŽ des rŽfŽrences ultŽrieures, nous y avons regroupŽ des dŽÞnitions et rŽsultats
dont certains ne seront utilisŽs que dans les articles suivants. Mentionnons ici
qu'une telle structure permet encore de dŽÞnir pour tout k ³ 1 des applications de
puissances divisŽes partielles de I dans I, notŽes x ˜ÊÊÊÊ@ xŸ{k}, qui satisfont des rela-
tions analogues aux relations habituelles entre puissances divisŽes (voir (1.3.5))Ê; en
particulier, elles vŽriÞent les relations qŸ!ÊxŸ{k} = xŸk, avec k = pŸmq + r, 0 ² r < pŸm.
Partant d'un idŽal I arbitraire, on dispose encore d'une construction universelle
fournissant une Òenveloppe ˆ puissances divisŽes partielles de niveau mÓ de I.
AppliquŽe ˆ l'idŽal d'augmentation d'une alg•bre de polyn™mes A[t], elle dŽÞnit
une alg•bre de polyn™mes ˆ puissances divisŽes partielles de niveau m, qui est un
A-module libre ayant pour base les Òmon™mesÓ tŸ{k}.
Signalons au passage que l'idŽal maximal d'un anneau de valuation discr•te
d'inŽgales caractŽristiques peut toujours •tre muni d'une PD-structure partielle de
niveau m si m est assez grand. On peut alors utiliser les PD-structures partielles
pour construire des variantes Òde niveau mÓ du site cristallin usuel, qui permettent
dans certains cas d'obtenir des rŽsultats lorsque la base est un anneau de valuation
discr•te de ramiÞcation arbitraire : par exemple, on peut de la sorte donner une
dŽmonstration du thŽor•me de comparaison (ˆ isogŽnie pr•s) entre cohomologie
cristalline de X et cohomologie de de Rham de x identique ˆ celle dont on dispose
pour e ² p - 1, et ne faisant donc pas appel ˆ l'action du Frobenius comme dans [10].
De m•me, combinant ces techniques avec les rŽsultats de la derni•re partie du
prŽsent article, il est possible de donner une construction de nature cristalline de la
cohomologie rigide. Ces questions ne seront pas abordŽes ici, mais nous y revien-
drons dans un article ultŽrieur.
Suivant la mŽthode utilisŽe par Grothendieck dans [EGA IV], nous dŽÞnissons
dans la deuxi•me partie les faisceaux dX(m) en dualisant les enveloppes ˆ puissances
divisŽes partielles nilpotentes pnX,Ê(m) de l'idŽal de la diagonale. Le rŽsultat essentiel
(1.5.3), qui Žtend aux enveloppes ˆ puissances divisŽes de certains idŽaux rŽguliers
la description donnŽe plus haut pour une alg•bre de polyn™mes, fournit le thŽor•me

dÝ
Ê“ -MODULES COHƒRENTS I 5
de structure des faisceaux p
n
X,Ê(m) gr‰ce auquel on peut dŽcrire explicitement les
faisceaux d'opŽrateurs diffŽrentiels obtenus. On montre ainsi que les d
X
(m) sont
engendrŽs par les opŽrateurs de la forme ÙiŸpÊjÊ/ÊpÊjŸ!Ÿ, avec j ² m. Par exemple, si v est
un anneau de valuation discr•te d'inŽgales caractŽristiques (0, p), de corps des
fractions K, et si X = •1v est la droite afÞne sur v, on dispose d'homomorphismes
injectifs
â(Ÿ•1vÊ, dX(m)) Ì#@ â(Ÿ•1vÊ, dX) Ì#@ â(Ÿ•1KÊ, dXK) = K[t, Ù],
o• t est une coordonnŽe sur •
1
v
et Ù la dŽrivation correspondante. Cette injection
identiÞe alors â(•1vÊ, dX(m)) ˆ la sous-v-alg•bre vŸ[t, Ù, ÙŸpŸ/ÊpŸ!,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊÙÊpŸmÊ/ÊpmŸ!] de K[t, Ù],
qu'on peut encore dŽcrire comme Žtant le sous-vŸ[t]-module libre ayant pour base
les opŽrateurs qŸ!ÊÙkÊ/ÊkŸ!, o• k = pŸmq + r, 0 ² r < pŸm.
Si v est complet, et si x est un v-schŽma formel lisse, nous introduisons
ensuite le complŽtŽ p-adique ^dx(m) de dx(m), et nous donnons alors la description en
termes de conditions de Monsky-Washnitzer du faisceau d
“
xÊ, dŽÞni comme limite
inductive des faisceaux ^dx(m). Ainsi, si l'on consid•re le cas o• x = SpfÊvŸ{t} est la
droite afÞne formelle sur v , on vŽriÞe que â(Ÿx, d“x) peut •tre dŽcrit par
â(Ÿx, d“x) = {å
i,ÊkʳÊ0
Ê Œi,ÊkÊtŸiÊÙkÊ/ÊkŸ! ¾ Œi,ÊkÊÔÊvÊ;ÊÊÊÊ×Êk,ÊŒi,ÊkÊ@Ê0ÊpourÊiÊ@Ê+Ê&ÊÊ;
ÊÁÊc,ÊÚÊÔÊé,ÊÚÊ<Ê1,ÊtelsÊqueÊ×Êi,Êk,ʾŒi,Êk¾Ê²ÊcŸÚk }.
Dans la troisi•me partie, nous Žtudions les propriŽtŽs de cohŽrence des
faisceaux
^dx(m) et d“x,ÊÝÊ. A la diffŽrence du faisceau dx des opŽrateurs diffŽrentiels
usuels, les faisceaux d
x
(m) sont des faisceaux d'anneaux nÏthŽriens. Pour la
commoditŽ des rŽfŽrences, nous rappelons d'abord bri•vement comment s'Žtendent
au cas non commutatif les rŽsultats classiques sur les complŽtŽs d'anneaux
nÏthŽriens. Nous en dŽduisons la cohŽrence des faisceaux ^dx(m), et les thŽor•mes A
et B pour les ^dx(m)-modules cohŽrents, ainsi que les rŽsultats analogues pour ^d(m)
x,ÊÝ =
^dx(m)ŸÊ¢ŸÊÝ. Le rŽsultat le plus important de cette partie est alors le thŽor•me (3.5.3),
Žtablissant la platitude de ^d(mÊ+Ÿ1)
x,ÊÝ sur ^d(m) x,ÊÝ . La cohŽrence du faisceau d
“
x,ÊÝ en
rŽsulte, de m•me que les thŽor•mes A et B pour les d“x,ÊÝ-modules cohŽrents.
Les rŽsultats prŽcŽdents sont en fait prouvŽs dans un contexte plus gŽnŽral,
permettant de les appliquer aux opŽrateurs diffŽrentiels ˆ coefÞcients dans une
oxÊ-alg•bre b munie d'une action de dx(m). Dans la derni•re partie, nous considŽrons
une immersion ouverte j : y ÌÊÊÊ@ x, de rŽduction Y ÌÊÊÊ@ X sur k, telle que le complŽ-
mentaire de Y soit le support d'un diviseur Z Ç X. Nous montrons alors comment
associer de mani•re canonique ˆ ces donnŽes des faisceaux de oxÊ-alg•bres ^bx(m)(Z),
munis d'une action de ^dx(m), qui sont des mod•les entiers de certaines alg•bres de
fonctions ÒsurconvergentesÓ le long de Z (au sens de la cohomologie rigide [2]). En
passant ˆ la limite inductive sur m, on obtient le faisceau, notŽ oxŸ(“Z), des
fonctions sur y ˆ singularitŽs surconvergentes le long de Z, gr‰ce auquel on dŽÞnit
un faisceau d'opŽrateurs diffŽrentiels sur x, notŽ d“xŸ(“Z), dont les coefÞcients
appartiennent ˆ oxŸ(“Z). Si l'on reprend l'exemple de la droite afÞne formelle sur v
considŽrŽ plus haut, avec pour diviseur Z = {0}, on obtient ainsi pour sections
globales de d“xŸ(“Z)Ý l'anneau d'opŽrateurs diffŽrentiels