dÊ-Êmodules arithmŽtiques I. OpŽrateurs diffŽrentiels de niveau Þni Pierre BERTHELOT (IRMAR, UniversitŽ de Rennes) Version rŽvisŽe du 14 Juin 1995 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1. Puissances divisŽes partielles 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. CoefÞcients bin™miaux modiÞŽs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Puissances divisŽes compatibles ˆ (Ÿp) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PD-structures partielles de niveau m sur un idŽal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Enveloppes ˆ puissances divisŽes partielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Enveloppe d'un idŽal rŽgulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 10 12 18 23 2. OpŽrateurs diffŽrentiels de niveau Þni 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. Faisceaux de parties principales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Faisceaux d'opŽrateurs diffŽrentiels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PD-stratiÞcations de niveau m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Passages ˆ la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 32 39 45 3. ThŽor•mes de cohŽrence 3.1. Cas des opŽrateurs d'ordre Þni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2. Rappels sur le complŽtŽ I-adique d'un anneau non commutatif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (m) 3.3. Modules cohŽrents sur ^dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 53 3.4. Modules cohŽrents sur ^dx,ÊÝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.5. ThŽor•mes de platitude I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Modules cohŽrents sur d“x,ÊÝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 65 (m) 4. Relations avec les isocristaux surconvergents 4.1. InterprŽtation des isocristaux convergents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.2. OpŽrateurs diffŽrentiels ˆ singularitŽs surconvergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.3. ThŽor•mes de platitude II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. InterprŽtation des isocristaux surconvergents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 84 Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2 P. BERTHELOT Introduction Cet article est le premier d'une sŽrie consacrŽe au probl•me des six opŽrations de Grothendieck pour la cohomologie p-adique des variŽtŽs algŽbriques sur un corps k de caractŽristique p. Gr‰ce ˆ la cohomologie rigide ([2], [5]), on peut dŽÞnir, pour tout k-schŽma sŽparŽ de type Þni X, des groupes de cohomologie p-adique qui gŽnŽralisent d'une part la cohomologie cristalline lorsque X est propre et lisse sur k, d'autre part la cohomologie de Dwork-Monsky-Washnitzer lorsque X est afÞne et lisse sur k. Par contre, on ne disposait pas jusqu'ici, dans le cas p-adique, d'une catŽgorie de coefÞcients sufÞsament stable par les opŽrations usuelles (et en particulier par image directe) pour pouvoir utiliser avec toute leur puissance les mŽthodes gŽomŽtriques standard en cohomologie complexe ou en cohomologie ù-adique. Les seuls coefÞcients ŽtudiŽs jusqu'ˆ prŽsent sont les isocristaux, qui constituent une extension aux variŽtŽs de caractŽristique p de la notion de ÞbrŽ ˆ connexion intŽgrable, et ne sont donc pas stables par image directe par un morphisme quelconque, notamment par une immersion. Rappelons nŽanmoins que, dans certaines situations gŽomŽtriques favorables comme la rŽduction semi-stable, l'introduction des schŽmas logarithmiques ([18], [25], [28], etc) permet d'Žtendre les rŽsultats dont on dispose classiquement dans le cas de morphismes propres et lisses. Par contre, dans des situations plus gŽnŽrales, des phŽnom•nes spŽciÞques ˆ la caractŽristique p et plus difÞcilement accessibles par les techniques logarithmiques peuvent se produire. Par exemple, dans le cas de rev•tements sauvagement ramiÞŽs, des singularitŽs irrŽguli•res peuvent appara”tre : les isocristaux de Dwork, fournis par le rev•tement d'Artin-Schreier ([17], [3]), en constituent un exemple. Il est alors intŽressant de disposer de coefÞcients plus gŽnŽraux. Pour essayer de construire une catŽgorie de coefÞcients stable par les six opŽrations, la dŽmarche que nous entreprenons s'inspire de la thŽorie algŽbrique des ÒcoefÞcients de de RhamÓ en caractŽristique 0. Cette thŽorie, dont l'existence avait ŽtŽ conjecturŽe par Grothendieck vers le milieu des annŽes soixante (elle est notamment sous-jacente aux questions posŽes dans [21] sur l'algŽbricitŽ de la suite spectrale de Leray Ð voir aussi [22, 1.5]), rŽsulte des travaux de Deligne sur les ÞbrŽs ˆ connexion rŽguli•re [16], et du dŽveloppement de l'analyse algŽbrique, gr‰ce aux travaux de Sato-Kashiwara-Kawai, Bernstein, Mebkhout, etc. La correspondance de Riemann-Hilbert, Žtablie par Kashiwara ([26], [27]) et Mebkhout ([32], [33]), fournit le lien entre la thŽorie algŽbrique des syst•mes diffŽrentiels, et la thŽorie topologique des faisceaux constructibles : rappelons qu'on peut associer, ˆ toute variŽtŽ algŽbrique lisse X sur å, la catŽgorie dŽrivŽe bornŽe Dbh (dX) des complexes ˆ cohomologie holonome : c'est une sous-catŽgorie pleine de la catŽgorie dŽrivŽe des modules ˆ gauche sur le faisceau dX des opŽrateurs diffŽrentiels de X, qui vŽriÞe les propriŽtŽs suivantes (voir [11], [34]) : a) Pour X variable, Dbh (dX) est stable par les quatre opŽrations de base de la thŽorie des dXÊ-modules : dualitŽ interne, produit tensoriel externe, image directe Ê“ dÝ -MODULES COHƒRENTS I 3 ordinaire, image inverse exceptionnelleÊ; b) Si Dbc (å X) dŽsigne la catŽgorie dŽrivŽe bornŽe des complexes de å-espaces vectoriels ˆ cohomologie constructible sur l'espace analytique XÊan associŽ ˆ X, il existe un foncteur DR : Dbh (ŸdX) @ Dcb(å X ), et une sous-catŽgorie pleine Dbhr(dX) de Dbh (dX), la catŽgorie dŽrivŽe bornŽe des complexes ˆ cohomologie holonome rŽguli•re, tels que la restriction de DR ˆ Dbhr(dX) soit une Žquivalence de catŽgories, et commute aux quatre foncteurs prŽcŽdents. Rappelons de plus que les six opŽrations cohomologiques de Grothendieck sur b Dc (å X) (ˆ savoir ¢, hom, fÊ*, f*Ÿ, fÊ!, f!Ê) peuvent •tre reconstruites ˆ partir des quatre foncteurs prŽcŽdents (voir [34, II 9.3.1]). Soient maintenant k un corps parfait de caractŽristique p, W = W(k) l'anneau des vecteurs de Witt ˆ coefÞcients dans k, et X une une variŽtŽ lisse sur k. La mŽthode que nous commen•ons ˆ dŽvelopper ici consiste ˆ supposer dans u n premier temps X relevable en un schŽma formel x lisse sur W, et ˆ construire sur x , ayant pour une famille de faisceaux d'anneaux d'opŽrateurs diffŽrentiels ^d(m) x “ limite inductive un faisceau dx qui op•re naturellement sur divers oxÊ-modules liŽs ˆ la construction de la cohomologie rigide de X. L'idŽe de base consiste ˆ remplacer le faisceau des opŽrateurs diffŽrentiels usuels dxÊ, engendrŽ par la famille de tous Êj Êj les opŽrateurs de la forme ÙÊp i Ÿ/Ÿp Ÿ!Ÿ, o• les Ùi sont les dŽrivŽes partielles par rapport ˆ un syst•me de coordonnŽes locales, par une famille de faisceaux d'opŽrateurs engendrŽs par un nombre Þni de tels opŽrateursÊ; un exemple diffŽrentiels d(m) x classique en cohomologie cristalline en est le faisceau engendrŽ par les seules dŽrivations, notŽ ici dx(0), dont l'action Žquivaut ˆ la donnŽe d'une connexion intŽgrable. Il est alors frappant de constater que la description du faisceau d“x obtenu par fait appara”complŽtion et passage ˆ la limite inductive ˆ partir des faisceaux d(m) x tre les conditions de convergence de Monsky-Washnitzer. Il semble donc naturel d'espŽrer que les propriŽtŽs de Þnitude de la cohomologie de Monsky-Washnitzer Ð et, plus gŽnŽralement, de la cohomologie rigide Ð proviennent de propriŽtŽs de Þnitude sur le faisceau d“x,ÊÝ := d“x ¢ Ý, de m•me que la Þnitude de la cohomologie de de Rham d'une variŽtŽ X sur un corps de caractŽristique 0 rŽsulte de la prŽservation de l'holonomie par les opŽrations cohomologiques sur les dXÊ-modules. On peut en tous cas montrer que d“x,ÊÝ est un faisceau d'anneaux cohŽrent (quoique non nÏthŽrien), et dŽÞnir pour les d“x,ÊÝ-modules ˆ gauche cohŽrents (Žventuellement munis d'une action de Frobenius) des opŽrations cohomologiques et une notion d'holonomie prolongeant celles dont on dispose pour les dXÊ-modules holonomes en caractŽristique 0. On peut alors raisonnablement conjecturer que, pour X propre et lisse, la catŽgorie dŽrivŽe Dbh (d“x,ÊÝ) est stable pour ces opŽrations. De plus, la catŽgorie Dbh (d“x,ÊÝ) et les opŽrations cohomologiques correspondantes ne dŽpendent, ˆ isomorphisme canonique pr•s, que de la rŽduction modulo p des schŽmas considŽrŽs, et on esp•re pouvoir Žtendre leur dŽÞnition au cas d'un k-schŽma de type Þni arbitraire par plongement dans un schŽma propre et lisse. Les premiers rŽsultats dans cette direction ont ŽtŽ annoncŽs dans [4], o• nous avons aussi montrŽ comment, lorsque X est propre sur k, la cohomologie rigide 4 P. BERTHELOT d'un ouvert Y de X peut •tre calculŽe comme cohomologie de de Rham d'un complexe de d “x,ÊÝ-modules. Dans le prŽsent article, consacrŽ ˆ la construction et aux propriŽtŽs de cohŽrence des anneaux d'opŽrateurs diffŽrentiels considŽrŽs, nous donnons la dŽmonstration compl•te de ces rŽsultats, en les gŽnŽralisant au cas des opŽrateurs ˆ singularitŽs surconvergentes le long d'un diviseur. La dŽÞnition et les propriŽtŽs des opŽrations cohomologiques sur les d “x,ÊÝ-modules, ainsi que leur caract•re intrins•que par rapport ˆ X, seront l'objet des articles suivants. , qui s'applique ˆ tout schŽma La construction des faisceaux d'opŽrateurs d(m) X lisse sur une base o• les entiers premiers ˆ un nombre premier p donnŽ sont inversibles, repose de mani•re essentielle sur un affaiblissement de la notion d'idŽal ˆ puissances divisŽes : pour un entier m ÞxŽ, et un idŽal I donnŽ, on requiert seulem ment de pouvoir dŽÞnir les puissances divisŽes des ŽlŽments xp , avec x Ô I (cf. (1.3.1) pour une dŽÞnition en forme de cette structure, que nous appelerons PDstructure partielle de niveau m sur I). La premi•re partie de cet article est consacrŽe ˆ l'Žtude de cette notion, qui redonne la notion usuelle pour m = 0Ê; pour la commoditŽ des rŽfŽrences ultŽrieures, nous y avons regroupŽ des dŽÞnitions et rŽsultats dont certains ne seront utilisŽs que dans les articles suivants. Mentionnons ici qu'une telle structure permet encore de dŽÞnir pour tout k ³ 1 des applications de puissances divisŽes partielles de I dans I, notŽes x ˜ÊÊÊÊ@ xŸ{k}, qui satisfont des relations analogues aux relations habituelles entre puissances divisŽes (voir (1.3.5))Ê; en particulier, elles vŽriÞent les relations qŸ!ÊxŸ{k} = xŸk, avec k = pŸmq + r, 0 ² r < p Ÿm. Partant d'un idŽal I arbitraire, on dispose encore d'une construction universelle fournissant une Òenveloppe ˆ puissances divisŽes partielles de niveau mÓ de I. AppliquŽe ˆ l'idŽal d'augmentation d'une alg•bre de polyn™mes A[t], elle dŽÞnit une alg•bre de polyn™mes ˆ puissances divisŽes partielles de niveau m, qui est u n A-module libre ayant pour base les Òmon™mesÓ tŸ{k}. Signalons au passage que l'idŽal maximal d'un anneau de valuation discr•te d'inŽgales caractŽristiques peut toujours •tre muni d'une PD-structure partielle de niveau m si m est assez grand. On peut alors utiliser les PD-structures partielles pour construire des variantes Òde niveau mÓ du site cristallin usuel, qui permettent dans certains cas d'obtenir des rŽsultats lorsque la base est un anneau de valuation discr•te de ramiÞcation arbitraire : par exemple, on peut de la sorte donner une dŽmonstration du thŽor•me de comparaison (ˆ isogŽnie pr•s) entre cohomologie cristalline de X et cohomologie de de Rham de x identique ˆ celle dont on dispose pour e ² p - 1, et ne faisant donc pas appel ˆ l'action du Frobenius comme dans [10]. De m•me, combinant ces techniques avec les rŽsultats de la derni•re partie du prŽsent article, il est possible de donner une construction de nature cristalline de la cohomologie rigide. Ces questions ne seront pas abordŽes ici, mais nous y reviendrons dans un article ultŽrieur. Suivant la mŽthode utilisŽe par Grothendieck dans [EGA IV], nous dŽÞnissons en dualisant les enveloppes ˆ puissances dans la deuxi•me partie les faisceaux d(m) X n divisŽes partielles nilpotentes pX,Ê(m) de l'idŽal de la diagonale. Le rŽsultat essentiel (1.5.3), qui Žtend aux enveloppes ˆ puissances divisŽes de certains idŽaux rŽguliers la description donnŽe plus haut pour une alg•bre de polyn™mes, fournit le thŽor•me Ê“ 5 dÝ -MODULES COHƒRENTS I de structure des faisceaux pnX,Ê(m) gr‰ce auquel on peut dŽcrire explicitement les sont faisceaux d'opŽrateurs diffŽrentiels obtenus. On montre ainsi que les d(m) X ŸpÊj Êj engendrŽs par les opŽrateurs de la forme Ùi Ê/Êp Ÿ!Ÿ, avec j ² m. Par exemple, si v est un anneau de valuation discr•te d'inŽgales caractŽristiques (0, p), de corps des fractions K, et si X = •1v est la droite afÞne sur v, on dispose d'homomorphismes injectifs â(Ÿ•1vÊ, dX(m)) Ì#@ â(Ÿ•1vÊ, dX) Ì#@ â(Ÿ•1KÊ, dX ) = K[t, Ù], K 1 o• t est une coordonnŽe sur •v et Ù la dŽrivation correspondante. Cette injection Ÿm identiÞe alors â(•1vÊ, dX(m)) ˆ la sous-v-alg•bre vŸ[t, Ù, ÙŸpŸ/ÊpŸ!,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊÙÊp Ê/ÊpmŸ!] de K[t, Ù], qu'on peut encore dŽcrire comme Žtant le sous-vŸ[t]-module libre ayant pour base les opŽrateurs qŸ!ÊÙkÊ/ÊkŸ!, o• k = pŸmq + r, 0 ² r < pŸm. Si v est complet, et si x est un v-schŽma formel lisse, nous introduisons , et nous donnons alors la description en ensuite le complŽtŽ p-adique ^dx(m) de d(m) x termes de conditions de Monsky-Washnitzer du faisceau d“xÊ, dŽÞni comme limite . Ainsi, si l'on consid•re le cas o• x = SpfÊvŸ{t} est la inductive des faisceaux ^d(m) x droite afÞne formelle sur v , on vŽriÞe que â(Ÿx, d“x) peut •tre dŽcrit par â(Ÿx, d“x) = { åÊ i,ÊkʳÊ0 Œi,ÊkÊtŸiÊÙkÊ/ÊkŸ! Œ i,ÊkÊÔÊvÊ;ÊÊÊÊ×Êk,ÊŒi,ÊkÊ@Ê0ÊpourÊiÊ@Ê+Ê&ÊÊ; ¾ ÊÁÊc,ÊÚÊÔÊé,ÊÚÊ<Ê1,ÊtelsÊqueÊ×Êi,Êk,ʾŒ i,Êk¾Ê²ÊcŸÚ k }. Dans la troisi•me partie, nous Žtudions les propriŽtŽs de cohŽrence des et d“x,ÊÝÊ. A la diffŽrence du faisceau dx des opŽrateurs diffŽrentiels faisceaux ^d(m) x usuels, les faisceaux dx(m) sont des faisceaux d'anneaux nÏthŽriens. Pour la commoditŽ des rŽfŽrences, nous rappelons d'abord bri•vement comment s'Žtendent au cas non commutatif les rŽsultats classiques sur les complŽtŽs d'anneaux , et les thŽor•mes A nÏthŽriens. Nous en dŽduisons la cohŽrence des faisceaux ^d(m) x (m) et B pour les ^dx -modules cohŽrents, ainsi que les rŽsultats analogues pour ^d(m) x,ÊÝ = (m) d Ÿ Ê ¢Ÿ Ê Ý. Le rŽsultat le plus important de cette partie est alors le thŽor•me (3.5.3), ^ x (mÊ+Ÿ1) (m) sur ^dx,ÊÝ . La cohŽrence du faisceau d“x,ÊÝ en Žtablissant la platitude de ^dx,ÊÝ rŽsulte, de m•me que les thŽor•mes A et B pour les d“x,ÊÝ-modules cohŽrents. Les rŽsultats prŽcŽdents sont en fait prouvŽs dans un contexte plus gŽnŽral, permettant de les appliquer aux opŽrateurs diffŽrentiels ˆ coefÞcients dans une . Dans la derni•re partie, nous considŽrons oxÊ-alg•bre b munie d'une action de d(m) x une immersion ouverte j : y ÌÊÊÊ@ x, de rŽduction Y ÌÊÊÊ@ X sur k, telle que le complŽmentaire de Y soit le support d'un diviseur Z Ç X. Nous montrons alors comment associer de mani•re canonique ˆ ces donnŽes des faisceaux de oxÊ-alg•bres ^bx(m)(Z), munis d'une action de ^dx(m), qui sont des mod•les entiers de certaines alg•bres de fonctions ÒsurconvergentesÓ le long de Z (au sens de la cohomologie rigide [2]). En passant ˆ la limite inductive sur m, on obtient le faisceau, notŽ oxŸ(“Z), des fonctions sur y ˆ singularitŽs surconvergentes le long de Z, gr‰ce auquel on dŽÞnit un faisceau d'opŽrateurs diffŽrentiels sur x, notŽ d“xŸ(“Z), dont les coefÞcients appartiennent ˆ oxŸ(“Z). Si l'on reprend l'exemple de la droite afÞne formelle sur v considŽrŽ plus haut, avec pour diviseur Z = {0}, on obtient ainsi pour sections globales de d“xŸ(“Z)Ý l'anneau d'opŽrateurs diffŽrentiels 6 P. BERTHELOT â(Ÿx, d“xŸ(“Z)Ý) = { ¾ Œi,ÊkÊÔÊKÊ;ÊÊÊÊ×Êk,ÊŒi,ÊkÊ@Ê0ÊpourÊiÊ@Ê+Ê&ÊÊ; åÊ Œi,ÊkÊtŸiÊÙkÊ/ÊkŸ!Ê ÁÊc,ÊÚÊÔÊé,ÊÚÊ<Ê1,ÊtelsÊqueÊ×Êi,Êk,ʾŒ ¾Ê²ÊcŸÚkÊ+Êsup(0,Ê-i) i,Êk }, iÊÔÊç kʳÊ0 dont les coefÞcients convergent hors d'un disque de rayon < 1 ˆ l'origine. L'introduction du faisceau d“xŸ(“Z), qui est un sous-faisceau du faisceau image directe usuel j*Êd“yÊ, permet de donner un sens ˆ la notion de Òd“Ý-module sur y ˆ singularitŽs surconvergentes le long de ZŸÓ. Par une extension du thŽor•me de platitude (3.5.3), nous montrons la cohŽrence du faisceau d“xŸ(“Z)ÝÊ. Nous montrons Žgalement la Þd•le platitude sur d“xŸ(“Z)Ý du faisceau j*Êd“y,ÊÝÊ. EnÞn, nous terminons ce premier article en montrant que les isocristaux sur Y, surconvergents le long de Z, peuvent s'interprŽter comme des d“x(“Z)Ý-modules, cohŽrents sur oxŸ(“Z)Ý et sur d“x(“Z)ÝÊ(thŽor•mes (4.4.5) et (4.4.12)), Žtendant ainsi les rŽsultats obtenus dans [4] pour les isocristaux convergents. Le lecteur pourra se reporter ˆ [4] ou ˆ [20] pour diffŽrents exemples de d“x,ÊÝ-modules cohŽrents en liaison avec la cohomologie rigide. Rappelons pour Þnir que Mebkhout et Narvaez ont Žgalement entrepris l'Žtude des coefÞcients p-adiques [35], par des mŽthodes voisines, mais quelque peu diffŽrentes des n™tres, reposant sur la notion de schŽma faiblement formel introduite par Meredith [36] plut™t que sur les schŽmas formels classiques utilisŽs dans le prŽsent article. L'avantage du point de vue que nous adoptons ici est de permettre de travailler modulo pÊi, et de bien se pr•ter aux comparaisons avec la cohomologie cristalline et la cohomologie rigide. Pour pouvoir prendre en compte les conditions de surconvergence ˆ l'inÞni dans le cas d'une variŽtŽ ouverte, nous serons alors amenŽs ˆ introduire une compactiÞcation de celle-ci, et ˆ utiliser les techniques que nous commen•ons ˆ dŽvelopper dans la quatri•me partie de cet article pour l'Žtude de la surconvergence ˆ l'inÞni. Dans les articles suivants de cette sŽrie ([6], [7]), nous commencerons l'Žtude des foncteurs image inverse et image directe. En particulier, nous montrerons la conservation de la cohŽrence par image inverse par un morphisme lisse, et par image directe par un morphisme propre, ainsi qu'un thŽor•me de descente par Frobenius qui joue un r™le crucial dans la thŽorie des d“x,ÊÝ-modules. Dans u n article ultŽrieur, nous construirons la variŽtŽ caractŽristique d'un d“x,ÊÝ-module muni d'une action de Frobenius (que nous appelerons F-d“x,ÊÝ-module), et nous prouverons l'inŽgalitŽ de Bernstein, ainsi qu'un thŽor•me de l'indice analogue ˆ celui de Dubson (cf. [15], [31]) pour les F-d“x,ÊÝ-modules holonomes sur un schŽma propre et lisse. La gestation de cette thŽorie a beaucoup bŽnŽÞciŽ des discussions que j'ai pu avoir avec G. Laumon et Z. Mebkhout, ˆ qui je tiens ˆ exprimer toute ma gratitude. La rŽdaction du prŽsent article a ŽtŽ achevŽe lors de sŽjours effectuŽs en 1993 au Mathematical Sciences Research Institute, Berkeley, et ˆ l'Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences, Cambridge : qu'ils soient aussi remerciŽs pour l'excel- Ê“ dÝ -MODULES COHƒRENTS I 7 lente ambiance de travail que j'ai pu y trouver. Conventions gŽnŽrales Dans tout cet article, on Þxe un nombre premier p, et on note ç(Ÿp) le localisŽ de ç par rapport ˆ l'idŽal (Ÿp). Pour tout anneau de valuation discr•te d'inŽgales caractŽristiques (0, p), la valuation p-adique est normalisŽe par vp(Ÿp) = 1, et la valeur absolue correspondante dŽÞnie par ¾a¾ = pŸ-Ÿvp(a)Ê. Nous adopterons les conventions uselles de l'analyse concernant les multiindicesÊ; nous noterons 1iÊ le multi-indice dont tous les termes sont 0 sauf le i-i•me, Žgal ˆ 1. Si k = (k1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êkd), nous poserons ¾k¾ = k1 + .Ê.Ê. + kd (en espŽrant que le soulignement permettra de ne pas confondre cette notation avec celle de la valeur absolue, archimŽdienne ou p-adique, d'un entier k). 1. Puissances divisŽes partielles Nous introduisons ici, pour tout m Ô ú, la notion de structure partielle d'idŽal ˆ puissances divisŽes de niveau m sur un idŽal I d'une ç(Ÿp)-alg•bre A. Il s'agit d'une gŽnŽralisation de la notion usuelle de PD-structure, qu'on retrouve pour mÊÊ=ÊÊ0, et qui consiste essentiellement ˆ se donner un idŽal ˆ puissances divisŽes Êm (J,ÊÊÛ) Ç I tel que, pour tout x Ô I, on ait xŸp Ô J. Une telle structure permet notamment de dŽÞnir sur I des applications de puissances divisŽes partielles x ˜ÊÊÊÊ@ xŸ{k} (dŽpendant de m), qui vŽriÞent des relations du m•me type que celles des opŽrations de puissances divisŽes usuelles (voir (1.3.5) - (1.3.6)). Ces relations font intervenir certaines variantes des coefÞcients bin™miaux, que nous dŽÞnirons et dont nous Žtudierons la valuation p-adique dans la section (1.1). Dans la section (1.2), nous donnerons quelques complŽments ˆ [1] sur les conditions de compatibilitŽ entre puissances divisŽes. Celles-ci jouent un r™le important dans la thŽorie des PDstructures partielles, car c'est en imposant des conditions de compatibilitŽ aux puissances divisŽes naturelles de p que l'on peut obtenir de bonnes propriŽtŽs d'additivitŽ. La section (1.3) sera consacrŽe ˆ la dŽÞnition et aux propriŽtŽs de base de la notion de m-PD-idŽal. Nous y dŽÞnirons en particulier les opŽrations xŸ{k}, ainsi que la Þltration m-PD-adique qui s'en dŽduit, et qui, comme la Þltration PDadique habituelle, gŽnŽralise la Þltration I-adique. L'outil essentiel dans l'utilisation des m-PD-idŽaux est la construction de l'enveloppe ˆ puissances divisŽes d'un idŽal, qui sera l'objet de (1.4). Le rŽsultat principal de ce chapitre est alors le thŽor•me (1.5.3), qui fournit pour certains idŽaux rŽguliers une description explicite des enveloppes ˆ puissances divisŽes correspondantes et de leur Þltration m-PD-adique, 8 P. BERTHELOT montrant que leur structure est essentiellement celle d'une alg•bre de polyn™mes ˆ puissances divisŽes partielles, explicitŽe en (1.5.1). (1.1) CoefÞcients bin™miaux modiÞŽs La thŽorie des puissances divisŽes partielles am•ne ˆ dŽÞnir des coefÞcients bin™miaux modiÞŽs. Rappelons que, pour tout k Ô ú, la valuation p-adique vp(kŸ!) est donnŽe par vp(kŸ!) = (k - §(k))Ê/Ê(Ÿp - 1), (1.1.0.1) o• l'on pose k = ÏÊi aiÊpŸi, avec 0 ² ai ² p - 1, et §(k) = ÏÊi aiÊ. Pour k = k' + k", avec k',ÊÊk"ÊÊÔ ú, on en dŽduit la valuation p-adique des coefÞcients bin™miaux k vp(æèk'öø ) = (§(k') + §(k") - §(k))Ê/Ê(Ÿp - 1). (1.1.0.2) (1.1.1) LEMME. Ñ Soient k = k' + k", avec k', k" ÔÊú, et soient k = åÊ aiÊpi, k' = i åÊ ai'Êpi, k" = åÊ ai"Ÿpi, i i les dŽveloppements en base p de k, k', k". Alors on a (1.1.1.1) §(k) ² §(k') + §(k"), avec ŽgalitŽ si et seulement si ai = ai' + ai" pour tout i. L'inŽgalitŽ rŽsulte de (1.1.0.2)Ê; il est clair qu'il y a ŽgalitŽ lorsque ai = a'i + a"i pour tout i. Si ce n'est pas le cas, soient i0 le plus petit indice tel que ai - ai' + ai", et i1 le plus petit indice supŽrieur ˆ i0 tel que ai' + ai" < p - 1. On a alors ai0ÊÊ = a'i0 + a"i0 - p < a'i0 + a"i0 - 1, ai = ai' + ai" - p + 1 < ai' + ai" pour i0 < i < i1Ê, ai = a'i + a"i + 1, 1 1 1 d'o• l'inŽgalitŽ åÊ aiÊ iʲÊi1 < åÊ ai'Ê + åÊ ai"Ê, iʲÊi1 iʲÊi1 dont l'assertion rŽsulte aussit™t. (1.1.2) Fixons un entier m Ô ú. Pour k = k' + k", avec k', k" Ô ú, soient k = pmq + r, k'ÊÊ=ÊÊpmq' + r', k" = pmq" + r" les divisions euclidiennes de k, k' et k" par pm. On introduit alors les coefÞcients Ê“ dÝ -MODULES COHƒRENTS I ìk ü í ý îk'þ(m) (1.1.2.1) íð k k' (m) (1.1.2.2) 9 qŸ! := q'Ÿ!Êq"Ÿ! , k ì k üŸ-Ÿ1 := æèk'öø Êîík'ýþ(m) Ê. Lorsqu'aucune confusion n'en rŽsultera, nous omettrons l'indice (m). Pour m = 0, on a simplement pour tout k ìk ü í ý îk'þ(0) ík'k ð k = æèk'öø , = 1, (0) alors que, pour m quelconque et k < pm, on a ìk ü í ý îk'þ(m) ík'k ð = 1, k = æèk'öø . (m) (1.1.3) LEMME. Ñ (i) Quels que soient les entiers positifs m, k, k', on a ìk ü í ý îk'þ(m) (ii) ík'k ð Ô ú, Soient j, et q' ² q trois entiers positifs. Si j ³ m, ou si q < p, on a pÊjq pÊjq' í ð (iii) Ô ç(Ÿp)Ê. (m) (m) Ô ç*(Ÿp)Ê. Quels que soient les entiers positifs j, r < pÊj et q, on a pÊjqÊ+Êr pÊjq í ð Ô ç*(Ÿp)Ê. (m) La premi•re assertion rŽsulte de ce que q ³ q' + q". Comme §(k) = §(q) + §(r) (resp. §(k'), §(k")), on dŽduit de (1.1.0.1) l'ŽgalitŽ (1.1.3.1) ík ð vp( k' (m) Ê) = (q' + q" - q - §(r) + §(r') + §(r"))Ÿ/Ÿ(Ÿp - 1). Si q = q' + q", alors r = r' + r", et la seconde assertion rŽsulte du lemme (1.1.1). Sinon, on a qÊÊ= q' + q" + 1, r + pm = r' + r". Comme r < pm, on a §(rÊ+Êpm) = §(r)Ê+Ê1, et le lemme (1.1.1) entra”ne que §(r) + 1 ² §(r') + §(r"), d'o• (i). Les assertions (ii) et (iii) sont des consŽquences immŽdiates de (1.1.3.1). (1.1.4) Soient m, k', k" Ô ú. On pose k' = pmq' + r', k" = pmq" + r", k'k" = pmq + r, avec 0 ² r, r', r" < pm, et qŸ! C(m) k",Êk' := (q'Ÿ!)k"Êq"Ÿ! Ê. On observera que, pour m = 0, le coefÞcient k"Ê-Ê1 (0) Ck",Êk' = Ck",Êk' = (k'k")! (k'Ÿ!)k"Êk"Ÿ! = ö ÕÊèæ(iÊ+1)k'Ê-Ê1 k'Ê-Ê1 ø iÊ=Ê1 10 P. BERTHELOT est l'entier naturel qui intervient dans la composition des puissances divisŽes. (1.1.5) LEMME. Ñ Quels que soient les entiers m, k', k", on a C(m) k",Êk' Ô ú. Avec les notations de (1.1.4), posons r'r" = pms + t, avec 0 ² t < pm, de sorte que qÊÊ= pmq'q" + q'r" + q"r' + s. On vŽriÞe immŽdiatement la relation qŸ! mŸ q" q" (1.1.5.1) C(m) k",Êk' = r"Ÿ!Ê(q"r' + s)!Ê(Ÿp !) ÊCr",Êq'ÊCq",ÊpmŸq'Ÿ(Cpm,Êq') (pmŸq'q")!Ê(q'r")!Ê(q"r'Ê+Ês)! , d'o• rŽsulte le lemme. (1.2) Puissances divisŽes compatibles ˆ (Ÿp) Rappelons que, si A est une ç(Ÿp)-alg•bre, la PD-structure canonique de l'idŽal (Ÿp)ÊÊÇ ç(Ÿp) s'Žtend ˆ A [1, I 2.1.1]Ê; nous la noterons p[n] = p nŸ/ÊnŸ!Ÿ. Si (I, Û) Ç A est u n PD-idŽal, nous dirons que Û est compatible ˆ (Ÿp) si Û est compatible aux puissances divisŽes canoniques de (Ÿp) [1, I 2.2.1], i.e. si I õ pŸA est un sous-PD-idŽal dans I et dans pŸAÊ, et si Û co•ncide sur I õ pŸA avec la PD-structure canoniqueÊ; il revient au m•me de demander qu'il existe sur I + pŸA une PD-structure (nŽcessairement unique) induisant Û sur I et la PD-structure canonique sur pŸA. Nous aurons besoin de conditions assurant que certaines opŽrations sur les idŽaux ˆ puissances divisŽes conservent la compatibilitŽ ˆ (Ÿp)Ÿ; pour la commoditŽ des rŽfŽrences ultŽrieures, nous les Žnon•ons ici sous des hypoth•ses plus gŽnŽrales. (1.2.1) LEMME. Ñ Soient (R, Œ, Œ) un anneau muni d'un PD-idŽal, A une Ralg•bre, (I, Û) Ç A, (I', Û') Ç A deux idŽaux munis de puissances divisŽes compatibles ˆ celles de Œ. On note I1 = I + ŒŸA, I'1 = I' + ŒŸAÊ; soient Ÿ`Œ la PD-structure sur ŒŸA Žtendant Œ, et ¶ (resp. ¶') la PD-structure sur I1 (resp. I'1) prolongeant Û (resp. Û') et Ÿ`Œ. Les conditions suivantes sont alors Žquivalentes : (i) Les PD-structures ¶ et ¶' co•ncident sur I1 õ I'1Ê; (ii) Les PD-structures ¶ et Û' co•ncident sur I1 õ I'Ê; (ii') Les PD-structures Û et ¶' co•ncident sur I õ I'1Ê; (iii) Il existe sur I + I' + ŒŸA une PD-structure induisant Û, Û' et Ÿ`ŒÊ; (iv) Il existe sur I + I' une PD-structure compatible ˆ Œ induisant Û et Û'. Les Žquivalences (ii) ò (iii) (resp. (ii') ò (iii)) et (i) ò (iii) rŽsultent de [1, IÊ1.6.4], et l'Žquivalence (iii) ò (iv) rŽsulte des dŽÞnitions. Lorsque les conditions du lemme sont remplies, les PD-structures de (iii) et (iv) sont uniques. Ê“ dÝ -MODULES COHƒRENTS I 11 (1.2.2) DŽÞnitions. Ñ (i) Soient (R, Œ, Œ) un anneau muni d'un PD-idŽal, A une Ralg•bre,(I, Û) Ç A un idŽal muni de puissances divisŽes compatibles ˆ celles de Œ, Ÿ`Œ la PD-structure sur ŒŸA Žtendant Œ, A' une A-alg•bre. On dit que Û est strictement extensible ˆ A' (relativement ˆ (Œ, Œ)) si Û s'Žtend ˆ A', et si la PD-structure `Û sur IA' Žtendant Û est compatible ˆ Œ. D'apr•s [1, I 2.2], il revient au m•me de demander que la PD-structure ¶ sur IÊÊ+ÊÊŒŸA prolongeant Û et Ÿ`Œ s'Žtende ˆ A'. Cette condition est donc toujours satisfaite lorsque I + ŒŸA est localement principal [1, I 2.1.1], ou lorsque A' est plat sur A [1, IÊ2.7.4]. (ii) Soient (R, Œ, Œ) un anneau muni d'un PD-idŽal, Ä : A @ A' un homomorphisme de R-alg•bres, (I, Û) Ç A et (I', Û') Ç A' deux idŽaux munis de puissances divisŽes compatibles ˆ celles de Œ. On dit que (I, Û) et (I', Û') sont strictement compatibles (relativement ˆ (Œ, Œ)) si (I, Û) est strictement extensible ˆ A', et, en notant `Û la PD-structure de IA' Žtendant Û, si les PD-idŽaux (IA', `Û) et (I', Û') vŽriÞent les conditions Žquivalentes du lemme (1.2.1). Cette dŽÞnition s'applique en particulier au cas o• (I, Û) et (I', Û') sont deux PD-idŽaux d'un m•me anneau A, Ä Žtant l'identitŽ. La condition de compatibilitŽ stricte est automatiquement vŽriÞŽe si A' est une A-alg•bre augmentŽe, et I' le noyau de l'homomorphisme d'augmentation, car Û' est alors compatible ˆ toute PD-structure sur un idŽal de A [1, 2.2.3]. (1.2.3) Remarques. Ñ Les exemples suivant montrent que des opŽrations telles qu'Žtendre des puissances divisŽes, ou prendre le PD-idŽal somme de deux PDidŽaux compatibles entre eux, ne conservent pas nŽcessairement la compatibilitŽ avec un PD-idŽal donnŽ sur la base. Des exemples similaires ont ŽtŽ construits par W. Messing. Pour un entier k ÞxŽ, considŽrons R = çÊ/Ÿ(Ÿpk), avec le PD-idŽalÊŒ = (Ÿp), muni de ses puissances divisŽes canoniques, et prenons pour A l'alg•bre de polyn™(i) mes ˆ puissances divisŽes Rítð. Soit I = ítð le PD-idŽal engendrŽ par t, muni de sa PD-structure canonique Û, qui est compatible ˆ (Ÿp) parce que A – R $ I [1, 2.2.3]. Soit d'autre part º une PD-structure non canonique sur pR [1, 1.2.6]. Pour la m•me raison, les puissances divisŽes canoniques de I sont compatibles ˆ º, de sorte qu'il existe sur I + pŸA une unique PD-structure ¶ prolongeant Û et l'extension `º de º ˆ A. Soit alors I' = ít + pð le sous-PD-idŽal de I + pŸA engendrŽ par t + p, et notons Û' la PD-structure induite par ¶ sur I'. Par construction, les PD-structures Û et Û' co•ncident sur I õ I'. EnÞn, la PD-structure Û' est compatible ˆ (Ÿp) : en effet, la propriŽtŽ universelle de l'alg•bre de polyn™mes ˆ puissances divisŽes entra”ne qu'il existe un unique PD-morphisme Ä : (Rítð, I, Û) Ê##@ (Rítð, I', Û') 12 P. BERTHELOT tel que Ä(t) = t + p, et on vŽriÞe aisŽment que Ä est un isomorphismeÊ; par suite, on a aussi A – R $ I', d'o• l'assertion. Par contre, la PD-structure sur I + I' prolongeant Û et Û', qui n'est autre que ¶, n'est pas compatible ˆ (Ÿp), car on a ¶n(Ÿp) = ºn(Ÿp) - p[n] en gŽnŽral. On voit donc que, sous les hypoth•ses de (1.2.2) (ii), la compatibilitŽ de Û et Û' n'entra”ne pas nŽcessairement la compatibilitŽ stricte de Û et Û'. (ii) De m•me, sous les hypoth•ses de (1.2.2) (i), Û peut s'Žtendre ˆ A' sans •tre strictement extensible ˆ A'. En effet, dans l'exemple prŽcŽdent, l'homomorphisme d'augmentation ¹ : A @ R a pour noyau le sous-PD-idŽal I de (I + pŸA, ¶). Puisque son noyau est un sous-PD-idŽal, la PD-structure ¶ passe au quotient, donnant sur pR = I'R une PD-structure qui Žtend (I', ¶), et qui n'est autre que º. Elle n'est donc pas compatible ˆ (Ÿp) bien que (I', ¶) le soit. Sous les hypoth•ses de (1.2.2), on observera que, lorsque A' est le quotient de A par un idŽal K, la PD-structure Û est strictement extensible ˆ A' si et seulement si KÊÊõ (I + ŒŸA) est un sous-PD-idŽal de I + ŒŸA (muni de la PD-structure ¶ prolongeant Û et Ÿ`Œ ). Le lemme suivant permet d'assurer que certaines conditions de compatibilitŽ sont toujours vŽriÞŽes pour l'idŽal (Ÿp). (1.2.4) LEMME. Ñ Soient A un anneau, I Ç A un idŽal, (Œ, Œ) un PD-idŽal de A. On suppose que Œ est un idŽal localement principal. Alors : (i) L'idŽal Œ õ I est un sous-PD-idŽal de ŒÊ; (ii) Si (J, Û) Ç I est un idŽal muni de puissances divisŽes compatibles ˆ (Œ, Œ), et si J1 = J + Œ, muni des puissances divisŽes prolongeant Œ et Û, alors J1 õ I est u n sous-PD-idŽal de J1Ê. L'assertion Žtant locale sur SpecÊŸA, on peut supposer Œ principalÊ; soit t un gŽnŽrateur de Œ. Si nÊʳ 1, il existe an Ô A tel que Œn(t) = anŸt. Par suite, si x = yŸt Ô Œ õ I, on peut Žcrire Œn(x) = yŸnŒn(t) = anŸyŸnÊ-Ÿ1x Ô Œ õ I, d'o• (i). L'assertion (ii) rŽsulte alors de ce que J1 õ I = J + Œ õ I. (1.3) PD-structures partielles de niveau m sur un idŽal Lorsqu'on considŽrera dans la suite de cet article une PD-structure sur u n idŽal d'une ç(Ÿp)-alg•bre, on supposera toujours qu'elle est compatible ˆ celle de (Ÿp). Pour tout entier m ³ 0, et tout idŽal I d'un anneau A, on notera IÊ(Ÿp m par les xÊp pour x Ô I. m) l'idŽal engendrŽ (1.3.1) DŽÞnition. Ñ Soient A une ç(Ÿp)-alg•bre, I Ç A un idŽal, m ³ 0 un entier. On appelle structure partielle d'idŽal ˆ puissances divisŽes de niveau m sur I (en Ê“ 13 dÝ -MODULES COHƒRENTS I abrŽgŽ, m-PD-structure) la donnŽe d'un PD-idŽal (J, Û) Ç I tel que m) IÊ(Ÿp (1.3.1.1) + pŸI Ç J. On dira que (I, J, Û) est un m-PD-idŽal de A. Si (ŸA, I, J, Û) et (ŸA', I', J', Û') sont des ç(Ÿp)-alg•bres munies de m-PD-idŽaux, un m-PD-morphisme de (ŸA, I, J, Û) dans (ŸA',ÊÊI', J', Û') est un homomorphisme d'anneaux Ä : A @ A' tel que Ä(I) Ç I', et que (ŸA,ÊÊJ, Û) @ (ŸA', J', Û') soit un PD-morphisme. Si Ä est l'identitŽ de A, on dira que (I,ÊÊJ, Û) est un sous-m-PD-idŽal de (I', J', Û')Ÿ; si de plus I' = I, on dira que (J, Û) est une sous-m-PD-structure de (J', Û') sur I. Lorsque m = 0, la condition (1.3.1.1) entra”ne que J = I, de sorte qu'on retrouve les notions usuelles de PD-idŽal (avec compatibilitŽ aux puissances divisŽes de (Ÿp)), et de PD-morphisme. De m•me, si A est de caractŽristique 0, on a J = I, et il existe une unique m-PD-structure sur I, donnŽe par les opŽrations xŸnÊ/ÊnŸ!Ÿ. Si (I, J, Û) et (I', J', Û') sont deux m-PD-idŽaux de A, et si les puissances divisŽes Û et Û' co•ncident sur J õ J', alors J õ J' munit I õ I' d'une m-PD-structure. Nous utiliserons souvent la remarque suivante : pour vŽriÞer la condition (1.3.1.1), il sufÞt d'apr•s la formule du bin™me de vŽriÞer que pŸI Ç J, et que, pour m une famille (xÂ)Â Ô L de gŽnŽrateurs de I, on a xŸÂ p Ô J pour tout Â. Par exemple, si, dans la situation de l'alinŽa prŽcŽdent, Û et Û' sont strictement compatibles (relativement ˆ (Ÿp)), J + J', muni des puissances divisŽes Û" prolongeant Û et Û', munit I + I' d'une m-PD-structure. Exemples. Ñ (i) Soient v un anneau de valuation discr•te d'inŽgales caractŽristiques (0, p), µ son idŽal maximal, e son indice de ramiÞcation absolu, et ¹ une uniformisante de v. Si l'on Þxe un entier k, l'idŽal µk poss•de une PD-structure si et seulement si ¹ŸknÊ/ÊnŸ! Ô µk pour tout n ³ 1, soit encore, d'apr•s (1.1.0.1), si et seulement si eÊ/Ÿ(ŸpÊÊ-ÊÊ1) ² k. En explicitant la condition (1.3.1.1), on voit alors que µk, muni de cette PD-structure, dŽÞnit une m-PD-structure sur µ si et seulement si on a de plus k ² e + 1 et m ³ logpÊ(k). En particulier, µ peut •tre muni d'une m-PDstructure si et seulement si pŸm ³ eÊ/Ÿ(ŸpÊÊ-ÊÊ1). Soient A une ç(Ÿp)-alg•bre, I Ç A un idŽal. Si (J0, Û) Ç I est un PD-idŽal tel m que, pour tout x Ô I, on ait xp Ô J0Ê, il rŽsulte de (1.2.4) que l'idŽal J = (J0ÊÊ+ÊÊpŸA)ÊÊõÊŸI, muni de la PD-structure induite, dŽÞnit une m-PD-structure sur I. (ii) Ÿm En particulier, si I est tel que, pour tout x Ô I, on ait xÊp Ô pŸA, l'idŽal JÊÊ= pŸA õ ŸI, muni de sa PD-structure canonique, dŽÞnit une m-PD-structure sur I qui sera dite triviale. Par exemple, l'idŽal maximal µ Ç v considŽrŽ en (i) peut •tre muni de la m-PD-structure triviale si et seulement si pŸm ³ e. (iii) Soit (J, Û) une m-PD-structure sur un idŽal I. Alors, pour tout m' ³ m, (J, Û) est une m'-PD-structure sur I. (1.3.2) DŽÞnitions. Ñ PrŽcisons les conditions de compatibilitŽs pour les m-PD- 14 P. BERTHELOT structures. (i) Soient R @ A un homomorphisme, (Œ, º, Œ) un m-PD-idŽal de R. On dira que la m-PD-structure (º, Œ) s'Žtend ˆ A si la PD-structure Œ est strictement extensible ˆ A (relativement ˆ (Ÿp)). Cette propriŽtŽ est en particulier vŽriÞŽe lorsque l'une des conditions suivantes est satisfaite : a) ºA = 0Ê; º1 = º + pŸR est un idŽal localement principalÊ; c) A est plat sur R. b) Si on note Ÿ`Œ les puissances divisŽes sur ºÊA Žtendant celles de º, (ºÊA, Ÿ`Œ) est alors une m-PD-structure sur ŒÊA. (ii) Soient R @ A un homomorphisme, (Œ, º, Œ) (resp. (I, J, Û)) un m-PD-idŽal de R (resp. A), º la PD-structure sur º1 = º + pŸR prolongeant Œ et la PD-structure canonique de pŸR. On dira que la m-PD-structure (J, Û) est compatible ˆ (º, Œ) si les conditions suivantes sont satisfaites : (1.3.2.1) Les PD-structures Œ et Û sont strictement compatibles (relativement ˆ (Ÿp)). (1.3.2.2) Si on munit º A de la PD-structure `º prolongeant º, alors º A õ I est u n 1Ê 1Ê sous-PD-idŽal de º1ÊA. Dans ce cas, l'idŽal J + ºÊA, muni des puissances divisŽes Û' prolongeant Û et Œ, est une m-PD-structure sur I + ŒÊA. Celle-ci est compatible ˆ (º, Œ), car un ŽlŽment xÊÊÔ º1ÊAÊÊõ (I + ŒÊA) s'Žcrit sous la forme x = y + z, avec y Ô ºÊA Ç ŒÊA, z Ô pÊA õÊ(I + ŒÊA), et on a alors d'une part `ºi(y) Ô ºÊA pour i ³ 1, d'autre part `ºj(z) Ô (I + ŒÊA) pour j ³ 1 d'apr•s (1.2.4), de sorte que `º (x) Ô º A õ (I + ŒÊA) pour n ³ 1. n 1Ê On notera que si une m-PD-structure est compatible ˆ (º, Œ), elle le reste lorsqu'on la consid•re comme m'-PD-structure pour m' ³ m. La condition (1.3.2.2) sera utilisŽe en (1.3.7) pour dŽÞnir la Þltration m-PDadique. Pour m = 0, elle rŽsulte de (1.3.2.1), si bien que la condition de compatibilitŽ introduite ici se rŽduit alors ˆ celle de (1.2.2) (ii). (1.3.3) P ROPOSITION. Ñ Les notations Žtant celles de (1.3.2) (ii), supposons que l'on soit dans l'un des cas suivants : a) ºÊA = 0Ê; b) º1 est un idŽal localement principal, et TorÊR 1 (ŸRÊ/ʺ1Ê, AÊ/ÊJ) = 0Ê; ÊR ÊR c) A est plat sur R, et Tor1 (ŸRÊ/ʺ1Ê, AÊ/ÊJ) = Tor1 (ŸRÊ/ʺ1Ê, AÊ/ÊI) = 0. Alors la m-PD-structure (J, Û) est compatible ˆ (º, Œ). D'apr•s (1.3.2) (i), la PD-structure º s'Žtend alors en une PD-structure `º sur º1ÊA dans chacun des trois cas considŽrŽs. De plus, `º et Û co•ncident sur º1ÊA õ J, car Û est compatible ˆ (Ÿp) dans le cas a), et º1ÊA õ J = º1ÊJ est un sous-PD-idŽal de º1ÊA et de J dans les cas b) et c). La condition (1.3.2.1) est donc vŽriÞŽeÊ; il en est de m•me de (1.3.2.2) d'apr•s (1.2.4) dans les cas a) et b), et parce que º1ÊA õ I = º1ÊI est un sous-PD-idŽal de º1ÊA dans le cas c). Ê“ 15 dÝ -MODULES COHƒRENTS I (1.3.4) Soient (I, J, Û) un m-PD-idŽal de A, et K un idŽal de A. Pour qu'il existe sur I(ŸAÊ/ÊKŸ) une m-PD-structure telle que l'homomorphisme de passage au quotient soit un m-PD-morphisme, il faut et sufÞt que (JÊ+ÊpŸA) õ K soit un sous-PD-idŽal de JÊ+ÊpŸA. L'idŽal J(ŸAÊ/ÊKŸ), muni de la PD-structure quotient, dŽÞnit alors la plus petite m-PD-structure sur I(ŸAÊ/ÊKŸ) telle que l'homomorphisme de passage au quotient soit un m-PD-morphisme. Supposons que A soit une R-alg•bre, o• R est munie d'un m-PD-idŽal (Œ, º, Œ), et soit º1 = º + pŸR, muni de la PD-structure º prolongeant Œ et la PD-structure canonique de (Ÿp). Si la m-PD-structure (J, Û) est compatible ˆ (º, Œ), la m-PDstructure quotient sur I(ŸAÊ/ÊKŸ) est compatible ˆ (º, Œ) si et seulement si les deux conditions suivantes sont vŽriÞŽes : (1.3.4.1) L'idŽal (JÊÊ+ º1ŸA) õ K est un sous-PD-idŽal de J + º1ŸA (ce qui entra”ne qu'il en est de m•me pour (JÊ+ÊpŸA) õ KŸ)Ê; (1.3.4.2) L'idŽal º1ŸA õ (I + KŸ) est un sous-PD-idŽal de º1ŸA. (1.3.5) Soient A une ç(Ÿp)-alg•bre, (I, J, Û) ÇÊA un m-PD-idŽal. On peut alors dŽÞnir sur I des opŽrations de puissances divisŽes partielles analogues aux puissances divisŽes usuelles. Pour tout k Ô ú, on note k = pmq + r la division euclidienne de k par pm, et on pose, pour x Ô I : (1.3.5.1) m x{k}(m) := xŸrŸ(Ûq(xÊp )), ce qui a un sens gr‰ce ˆ (1.3.1.1). Lorsqu'aucune confusion n'en rŽsultera, nous noterons simplement x{k} := x{k}(m). Lorsque m = 0, on a donc x{k}(0) = Ûk(x), de sorte que l'on retrouve les puissances divisŽes habituellesÊ; nous les noterons souvent x[k]. On observera que la relation qŸ!ÊÛq(y) = yŸq entra”ne qŸ!Êx{k}(m) = xŸk. (1.3.5.2) Si Ä : (ŸA, I, J, Û) @ (ŸA', I', J', Û') est un m-PD-morphisme, il est clair que, pour tout x Ô I et tout k Ô ú, on a Ä(x{k}) = Ä(x){k}. Soit d'autre part m' ³ m, ce qui permet de considŽrer (J, Û) comme dŽÞnissant une m'-PD-structure sur I. Soit k Ô úÊ; posons k = pmq + r = pm'q' + r', avec 0 ² r < pm, 0ÊʲÊÊr'ÊÊ< pm'. On a alors (1.3.5.3) x{k}(m') = (qŸ!Ê/Êq'Ÿ!)Êx{k}(m). En effet, posons r' = pms + r, de sorte que q = pm'Ê-Êmq' + s. On a alors m' m m x{k}(m') = xŸr'ÊÛq'(xÊp ) = xŸrŸ(xÊp )sÊÛq'(Ÿpm'Ê-ÊmŸ!ÊÛpm'Ê-Êm(xÊp )) m m = xŸrÊsŸ!ÊÛs(xÊp )Ÿ(Ÿpm'Ê-ÊmŸ!Ê)q'ÊCq',Êpm'Ê-ÊmÊÛpm'Ê-ÊmŸq'(xÊp )) = (qŸ!Ê/Êq'Ÿ!)Êx{k}(m). En particulier, considŽrant J lui-m•me comme un m-PD-idŽal, on voit que, pour 16 P. BERTHELOT xÊÊÔÊÊJ, on a x{k}(m) = (kŸ!Ê/ÊqŸ!)ÊÛk(x). (1.3.5.4) Les opŽrations x{k} vŽriÞent des relations analogues ˆ celles des puissances divisŽes usuelles : (1.3.6) P ROPOSITION. Ñ Soient A une ç(Ÿp)-alg•bre, (I, J, Û) un idŽal de A muni d'une PD-structure de niveau m. Les opŽrations x ˜ÊÊÊ@ x{k} vŽriÞent les propriŽtŽs suivantes : (i) × x Ô I, x{0} = 1, x{1} = x ; (ii) × x Ô I, × a Ô A, × k Ô ú, (iii) × k ³ 1, × k ³ pm, x{k} Ô JÊ; (ax){k} = akx{k}Ê; (x + y){k} = × x, y Ô I, × k Ô ú, x{k} Ô I ; åÊ ík'k ð (m) x{k'}Êy{k"}Ê; k'Ê+Êk"Ê=Êk ìk'Ê+Êk"ü ý í î k' þ(m) (iv) × x Ô I, × k', k" Ô ú, x{k'}Êx{k"} = x{k'Ê+Êk"}Ê; (v) × x Ô I, × k', k" Ô ú, (x{k'}){k"} = Ck",Êk' ÊŸx{k'k"}. (m) Les propriŽtŽs (i) et (ii) sont des consŽquences immŽdiates des propriŽtŽs analogues des puissances divisŽes usuelles. Compte tenu de (1.1.5.1), les propriŽtŽs (iv) et (v) peuvent Žgalement s'en dŽduire par un calcul semblable ˆ celui qui a ŽtŽ fait pour prouver (1.3.5.3). Nous montrerons en (1.5.2) la propriŽtŽ (iii) par rŽduction ˆ une situation universelle (le lecteur s'assurera que cette propriŽtŽ n'est pas utilisŽe dans la dŽmonstration de (1.5.2)). (1.3.7) Les opŽrations prŽcŽdentes permettent de dŽÞnir sur un m-PD-idŽal une Þltration canonique. Nous allons la construire dans une situation gŽnŽrale avec conditions de compatibilitŽ. Soient R une ç(Ÿp)-alg•bre, (Œ, º, Œ) un m-PD-idŽal de R, A une R-alg•bre, I Ç A un idŽal muni d'une m-PD-structure (J, Û) compatible ˆ (º,ÊÊŒ). Notons º la PD-structure de º1 = º + pŸR prolongeant Œ et la PD-structure canonique de (Ÿp), et ¶ celle de J1 = J + º1ŸA prolongeant Û et l'extension `º de º ˆ º 1ŸA. 1}Ê.Ê.Ê.Êx{nr}, Soient n Ô ú, et In l'idŽal de A engendrŽ par les produits de la forme x{n 1 r avec xi Ô I pour tout i, et ÏÊniÊʳÊÊn. On note1 IŸ{n} l'idŽal de A engendrŽ par les produits de la forme (1.3.7.1) 1}Ê.Ê.Ê.Êx{nr}ʶ (y )Ê.Ê.Ê.ʶ (y ), x{n h1 1 hs s 1 r avec xi Ô I, yj Ô J1 õ IkjÊ, et 1 Cette dŽÞnition et les rŽsultats qui en dŽcoulent se substituent ˆ ceux de [Be4, (1.1.3) - (1.1.4)]. Ê“ dÝ -MODULES COHƒRENTS I 17 n1 + .Ê.Ê. + nr + k1Ÿh1 + .Ê.Ê. + ksŸhs ³ n. Gr‰ce ˆ la condition (1.3.2.2), les IŸ{n} forment une suite dŽcroissante de sous-idŽaux de I, telle que IŸ{0} = A, IŸ{1} = I. Ils vŽriÞent les relations IŸ{n}ÊIŸ{n'} Ç IŸ{nÊ+Ên'} quels que soient n et n', de sorte qu'on obtient ainsi une Þltration d'anneau sur A. DŽÞnitions. Ñ On dira que la Þltration par les IŸ{n} est la Þltration m-PD-adique dŽÞnie par I. Un m-PD-idŽal (I, J, Û) sera dit m-PD-nilpotent s'il existe un entier n tel que IŸ{n}ÊÊ= 0, et topologiquement m-PD-nilpotent (pour la topologie p-adique) si la topologie dŽÞnie par la Þltration m-PD-adique est plus Þne que la topologie p-adique sur A. La Þltration m-PD-adique est fonctorielle par rapport aux m-PD-morphismes entre R-alg•bres munies d'un m-PD-idŽal compatible ˆ (º, Œ). En gŽnŽral, elle dŽpend de l'entier m : si m ² m', et si l'on consid•re (J, Û) comme dŽÞnissant une m'-PD-structure sur I, il rŽsulte de (1.3.5.3) que la Þltration m'-PD-adique est plus Þne que la Þltration m-PD-adique. Lorsque mÊÊ=ÊÊ0, on retrouve simplement la Þltration PD-adique de A. Lorsque A est de caractŽristique 0, on retrouve la Þltration I-adique de A. Exemple. Ñ Dans l'exemple (i) de (1.3.1), o• µk dŽÞnit une m-PD-structure sur l'idŽal maximal µ d'un anneau de valuation discr•te v d'inŽgales caractŽristiques, on vŽriÞe facilement que celle-ci est topologiquement nilpotente si et seulement si kÊÊ> eÊ/Ÿ(ŸpÊ-Ÿ1). En particulier, µ peut •tre muni d'une m-PD-structure topologiquement nilpotente si et seulement si pŸm > eÊ/Ÿ(ŸpÊ-Ÿ1). (1.3.8) PROPOSITION. Ñ Avec les notations et les hypoth•ses de (1.3.7), la Þltration m-PD-adique de A vŽriÞe les propriŽtŽs suivantes : (i) Quels que soient n Ô ú, h ³ 1 et x Ô J1 õ IŸ{n}, on a ¶h(x) Ô J1 õ IŸ{nh}. En particulier, J1 õ IŸ{n} est un sous-PD-idŽal de J1Ê, et J õ IŸ{n} dŽÞnit sur IŸ{n} une mPD-structure compatible ˆ (º, Œ). (ii) Quels que soient h, k Ô ú, x Ô IŸ{k}, on a x{h} Ô IŸ{kh}. (iii) Soient `A = AÊ/ÊIŸ{n}, ¹ : A @ `A l'homomorphisme canonique, ` I = IŸ`A, Ÿ`J = JŸ`A, `Û la PD-structure quotient sur Ÿ`J. Alors (Ÿ`J, `Û) dŽÞnit sur ` I une m-PD-structure compatible ˆ (º, Œ), ¹ est un morphisme strict pour les Þltrations m-PD-adiques, et ¹ est universel pour les m-PD-morphismes de (ŸA, I, J, Û) dans une R-alg•bre A' munie d'un m-PD-idŽal (I', J', Û') compatible ˆ (º, Œ) et tel que I'Ê{n} = 0. (iv) Soient A @ A' un homomorphisme plat, I' = IŸA', muni de la m-PD-structure (J'ÊÊ= JŸA', Û') Žtendant celle de I (cf. (1.3.2) (i)). La Þltration m-PD-adique de A' est donnŽe par I'Ê{n} = IÊ{n}A'. Soit z Ô J1 õ IŸ{n}. Alors z est somme d'un ŽlŽment de In et d'une combinaison linŽaire d'ŽlŽments (1.3.7.1) pour lesquels s et l'un des hi sont non nuls. Un tel 18 P. BERTHELOT ŽlŽment est dans J1Ê, et on voit immŽdiatement que sa puissance divisŽe ¶h est dans J1 õ IŸ{nh}. Cela ram•ne au cas o• z Ô J1 õ InÊ; on a alors ¶h(z) Ô IŸ{nh} par dŽÞnition, donc ¶h(z) Ô J1ÊÊõ IŸ{nh} si h ³ 1. Par suite, J1 õ IŸ{n} est un sous-PD-idŽal de J1Ê; a fortiori, J õ IŸ{n} est un sous-PD-idŽal de J, qui munit alors IŸ{n} d'une m-PD-structure, et º1ŸA õ IŸ{n} est un sous-PD-idŽal de º1ŸA, ce qui entra”ne que cette structure est compatible ˆ (º, Œ). m Soit z Ô IŸ{k}. En posant h = pmq + r, 0 ² r < pm, on a alors z{h} = zŸrŸ¶q(zŸp ), avec m m m m zŸr Ô IŸ{kr}, zŸp Ô J õ IŸ{kp }, donc ¶q(zŸp ) Ô IŸ{kp q} d'apr•s (i), et (ii) en rŽsulte. Puisque J1 õ IŸ{n} est un sous-PD-idŽal de J1Ê, il rŽsulte de (1.3.4) que l'idŽal ` IÊÊÇÊÊŸ`A peut •tre muni de la m-PD-structure quotient, dŽÞnie par Ÿ`J = JÊ/Ÿ(J õ IŸ{n}) muni de la PD-structure quotient `Û, et que celle-ci est encore compatible ˆ (º, Œ)Ÿ; ¹ est alors un m-PD-morphisme. Pour tout k, on a ` Ik = ¹(Ik), et en particulier ` Ik = 0 pour k ³ n. Soient Ÿ`J1ÊÊ= Ÿ`J + º1Ê`A = ¹(J1), et `¶ la PD-structure quotient sur Ÿ`J1Ê. Pour prouver que ¹ est strict, il sufÞt de prouver que si x Ô ` I õ Ÿ`J , alors `¶ (x) Ô ¹(IÊ{kh}). k 1Ê h On peut supposer que k < n et Žcrire x = ¹(x') = ¹(y), avec x' Ô IkÊ, y Ô J1Ê, x' - y Ô IŸ{n}, d'o• y Ô IŸ{k} õ J1Ê. D'apr•s (i), on a alors ¶h(y) Ô IŸ{kh}, d'o• l'assertion. En particulier, on voit que ` IÊ{n} = 0, et la propriŽtŽ universelle de AÊ/ÊIŸ{n} est alors claire. Soit enÞn A' une A-alg•bre plate. Les relations (1.3.6) entra”nent que I'n = InÊA'. Si J'1 = J' + º1ŸA' = J1ŸA', on a alors par platitude J'1 õ I'k = (J1 õ Ik)A' pour tout k, et la derni•re assertion en rŽsulte. Remarque. Ñ Il est clair que la Þltration m-PD-adique est la Þltration d'anneau la plus Þne sur A qui soit Žgale ˆ I en degrŽ 1, et vŽriÞe la propriŽtŽ (i) de la proposition. L'exemple suivant montre qu'en gŽnŽral, les idŽaux J õ In ne sont pas des sous-PD-idŽaux de J, de sorte qu'il y a bien lieu d'introduire la famille des ŽlŽments (1.3.7.1) comme gŽnŽrateurs de IŸ{n}. Soient k un corps de caractŽristique 2, R = k[x, y]Ê/Ê(x2, y2), A0 = Rízð l'alg•bre de polyn™mes ˆ puissances divisŽes en z, ˆ coefÞcients dans R, considŽrŽe comme alg•bre graduŽe en affectant le degrŽ 1 ˆ x et y, et le degrŽ 2 ˆ z. L'idŽal (xy - z) est alors un idŽal homog•ne, et, si ízð dŽsigne le PD-idŽal engendrŽ par z, on vŽriÞe que (xy - z) õ ízð est un sous-PD-idŽal de ízð. Soient A = A0Ê/Ê(xy - z) l'anneau graduŽ quotient, J le PD-idŽal image de ízð, I = (x, y) + J. Alors I est un idŽal dont tout ŽlŽment est de carrŽ nul, et J munit I d'une 1-PD-structure pour laquelle on a a{k} = 0 pour tout a Ô I et tout k ³ 2. Par suite, il n'existe pas dans I2 d'ŽlŽment homog•ne de degrŽ 4 autre que 0. Dans A, l'ŽlŽment xy = z appartient ˆ J õ I2Ê; par contre, on vŽriÞe que z[2] - 0 dans A, si bien que z[2] Õ I2Ê. (1.4) Enveloppes ˆ puissances divisŽes partielles La proposition suivante montre qu'on dispose encore pour les PD-structures partielles d'une notion d'enveloppe ˆ puissances divisŽes d'un idŽal. Si (R, Œ, Œ) est Ê“ 19 dÝ -MODULES COHƒRENTS I un anneau muni d'un PD-idŽal, A une R-alg•bre, et I Ç A un idŽal, nous noterons PŒ(I) l'enveloppe ˆ puissances divisŽes compatibles ˆ Œ de I [1, 2.4.2]. (1.4.1) P ROPOSITION. Ñ Soient m ³ 0 un entier, R une ç(Ÿp)-alg•bre, (Œ, º, Œ) u n idŽal de R muni d'une m-PD-structure, A une R-alg•bre, I Ç A un idŽal. Il existe u n homomorphisme d'anneaux Ä : A @ A1Ê, un idŽal I1 Ç A1 tel que Ä(I) Ç I1Ê, et une mPD-structure (J1Ê, [ÊÊÊÊ]) sur I1 compatible ˆ (º, Œ) tels que, pour tout R-homomorphisme fÊÊ:ÊÊAÊÊ@ A' envoyant I dans un idŽal I' muni d'une m-PD-structure (J', Û') compatible ˆ (º, Œ), il existe un unique m-PD-morphisme g : (ŸA1Ê, I1Ê, J1Ê, [ÊÊÊÊ]) Ê##@ (ŸA', I', J', Û') tel que gÊìÊÄ = f. Soient º1 = º + pŸR, et º la PD-structure sur º1 prolongeant Œ et la PD-structure m canonique de pŸR. On pose J = IÊ(Ÿp ) + º1ŸA, et on note A1 = Pº(J) l'enveloppe ˆ puis- sances divisŽes compatibles ˆ º de J, Ä : A @ A1 l'homomorphisme canonique, Ÿ`J le PD-idŽal canonique de A1 (engendrŽ en tant que PD-idŽal par Ä(J)), et x[n] les puissances divisŽes d'un ŽlŽment x Ô J. Pour tout idŽal K Ç Ÿ`J, soit Ÿ_K le sous-PD-idŽal de Ÿ`J engendrŽ par KÊ; on pose Ê(pm) †††††††† I0 = IŸA1 + (I Ê+ÊpŸI)A1 Ê, m J0 = †††††††† (IÊ(p )Ê+ÊpŸI)A1 Ê. D'apr•s la formule du bin™me, J0 dŽÞnit une m-PD-structure sur I0Ê. Pour assurer la compatibilitŽ ˆ º, on pose ensuite †††††† I1 = I0 + (º 1ÊA1ÊõÊI0) . (1.4.1.1) On a alors m) IÊ(Ÿ1 p m) + pŸI1 = I0Ê(Ÿp (Ÿpm) †††††† †††††† †††††† + (º + pŸI0 + p(º 1ÊA1ÊõÊI0) 1ÊA1ÊõÊI0) Ç J0 + (º1ÊA1ÊõÊI0) , †††††† ` et J0 + (º 1ÊA1ÊõÊI0) est un sous-PD-idŽal de ŸJ contenu dans I1Ê. On dŽÞnit donc u n PD-idŽal J1 Ç I1 en posant Ê(Ÿpm) ††††††† J1 = (I Ê+ÊpŸI1) . 1 (1.4.1.2) Il est clair que J1 munit I1 d'une m-PD-structure. Par construction, la PD-structure de J1 est compatible ˆ celle de º1Ê, donc strictement compatible ˆ celle de º. De plus, †††††† on a º A õ I = (º A ÊõÊI ) , de sorte que la condition (1.3.2.2) est bien satisfaite, ce 1Ê 1 1 1Ê 1 0 qui entra”ne que J1 dŽÞnit sur I1Ÿ une m-PD-structure compatible ˆ (º, Œ). On observera de plus que Ÿ`J = J1 + º1ÊA1Ê. Soit alors f : A @ A' un R-homomorphisme envoyant I dans un idŽal I' muni m d'une m-PD-structure (J', Û') compatible ˆ (º, Œ). Puisque I'Ÿ(Ÿp ) Ç J', on a f(J)ÊÊÇ J'ÊÊ+ º1ŸA'. Puisque Û' est strictement compatible ˆ Œ, J' + º1ŸA' est muni d'une PDstructure ¶' prolongeant Û' et º. Il existe donc une unique factorisation de f par u n 20 P. BERTHELOT PD-morphisme gÊÊ: (ŸA1Ê, Ÿ`J, [ÊÊÊÊ]) @ (ŸA', J' + º1ŸA', ¶'). On a alors g(J0)ÊÊÇ J', donc g(I0Ÿ)ÊÇ I'. Comme la m-PD-structure (J', Û') est compatible ˆ (º, Œ), º1ÊA' õ I' est u n sous-PD-idŽal de º1ÊA', qui contient g(º1ÊA1 õ I0). Par suite, g(I1) Ç I', d'o• il rŽsulte que g(J1) Ç J'. Comme Ÿ`J = J1ÊÊ+ º1ÊA1Ê, et que les puissances divisŽes considŽrŽes sont compatibles ˆ (º1Ê, º), un R-homomorphisme g : A1 @ A' tel que g(J1) Ç J' est un PD-morphisme (ŸA1Ê, Ÿ`J, [ÊÊÊÊ]) @ (ŸA',ÊÊJ' + º1ŸA', ¶') si et seulement si c'est un PDmorphisme (ŸA1Ê, J1Ê, [ÊÊÊÊ]) @ (ŸA', J', Û'), ce qui entra”ne que (ŸA1Ê, I1Ê, J1Ê, [ÊÊÊÊ]) satisfait la propriŽtŽ universelle voulue. DŽÞnition. Ñ Sous les hypoth•ses de la proposition, nous dirons que A1Ê, muni du m-PD-idŽal (I1Ê, J1Ê, [ÊÊÊÊ]), est l'enveloppe ˆ puissances divisŽes partielles de niveau m (compatibles ˆ (º, Œ)) de (ŸA, I), et nous la noterons P(m),ÊŒ(I), ou simplement P(m)(I) si aucune confusion n'est possibleÊ; le m-PD-idŽal universel I1 sera notŽ ` I, et le PD-idŽal J1 dŽÞnissant sa m-PD-structure sera notŽ ~ I. Lorsque m = 0, P(0)(I) est l'enveloppe ˆ puissances divisŽes usuelle P(I), et ` I = ~ I le PD-idŽal engendrŽ par I. (1.4.2) C OROLLAIRE. Ñ Sous les hypoth•ses de la proposition prŽcŽdente, il existe n pour tout entier n Ô ú une R-alg•bre PÊ(m),ÊŒ (I) munie d'un m-PD-idŽal ( ` I, ~ I, [ÊÊÊÊ]) n compatible ˆ (º, Œ) et tel que ` IÊ{nÊ+Ê1}ÊÊ= 0, et un R-homomorphisme Än : A @ PÊ(m),ÊŒ (I) tel que Än(I) Ç ` I, universels pour les R-homomorphismes A @ (ŸA', I', J', Û') qui envoient I dans un m-PD-idŽal I' compatible ˆ (º, Œ) et tel que I'Ÿ{nÊ+Ÿ1} = 0. n D'apr•s (1.3.8), il sufÞt de prendre PÊ(m),ÊŒ (I) = P(m),ÊŒ(I)Ÿ/Ê` IÊ{nÊ+Ÿ1}, muni du m-PDidŽal quotient. (1.4.3) Remarques. Ñ Gardons les hypoth•ses et les notations de (1.4.1). Les propriŽtŽs qui suivent Žtendent aux enveloppes ˆ puissances divisŽes partielles des rŽsultats standards sur les enveloppes ˆ puissances divisŽes usuelles. (i) Gr‰ce ˆ leur propriŽtŽ universelle, les enveloppes ˆ puissances divisŽes partielles commutent aux limites inductives. (ii) Si l'homomorphisme R @ A se factorise par une R-alg•bre R' telle que la mPD-structure (º, Œ) s'Žtende ˆ R', en une m-PD-structure (º' = ºŸR', Œ') sur Œ' = ŒŸR', alors la compatibilitŽ ˆ (º, Œ) Žquivaut ˆ la compatibilitŽ ˆ (º', Œ'), de sorte qu'on a des m-PD-isomorphismes canoniques, compatibles aux Þltrations m-PD-adiques, ›Ê P P(m),ÊŒ(I) Ê#@ (m),ÊŒ'(I), n ›Ê PÊn PÊ(m),ÊŒ (I) Ê#@ (m),ÊŒ '(I). (iii) Soit I' = I + ŒÊA. L'homomorphisme de fonctorialitŽ (1.4.3.1) P(m),ÊŒ(I) Ê#@ P(m),ÊŒ(I') est alors un isomorphisme. En effet, d'apr•s (1.3.2) (ii), la condition de compatibilitŽ ˆ (º, Œ) entra”ne que le PD-idŽal ~ I + ºŸP(m),ÊŒ(I) munit ` I + ŒŸP(m),ÊŒ(I) d'une m-PD- Ê“ 21 dÝ -MODULES COHƒRENTS I structure compatible ˆ (º, Œ), de sorte qu'il existe un m-PD-morphisme P(m),ÊŒ(I') Ê#@ (P(m),ÊŒ(I), ` I + ŒŸP(m),ÊŒ(I), ~ I + ºŸP(m),ÊŒ(I)), fournissant un inverse ˆ (1.4.3.1). n Soit K Ç A un idŽal d'image nulle dans P(m),ÊŒ(I) (resp. PÊ(m),ÊŒ (I) ). L'homomorphisme canonique (iv) P(m),ÊŒ(I) Ê#@ P(m),ÊŒ(IÊ/Ÿ(I õ KŸ)) n n (I) @ PÊ(m),ÊŒ (IÊ/Ÿ(IÊõÊKŸ)) ) est alors un m-PD-isomorphisme, compatible (resp. PÊ(m),ÊŒ aux Þltrations m-PD-adiquesÊ; son inverse est dŽÞni par la propriŽtŽ universelle de n (IÊ/Ÿ(I õ KŸ)) ), gr‰ce ˆ la factorisation de AÊÊ@ P(m),ÊŒ(I) P(m),ÊŒ(IÊ/Ÿ(I õ KŸ)) (resp. PÊ(m),ÊŒ n (resp. PÊ(m),ÊŒ(I) ) par AÊ/ÊK. En particulier, on a ` IÊnÊ+Ÿ1 Ç ` IÊ{nÊ+Ÿ1}, si bien qu'on obtient un m-PD-isomorphisme n ŸnÊ+Ÿ1 ›Ê PÊn PÊ(m),ÊŒ (I) Ê#@ ). (m),ÊŒ(IÊ/ÊI (1.4.3.2) De m•me, supposons qu'il existe un entier i tel que pÊiŸA = 0. La relation (1.3.5.2) entra”ne alors que ` I est un nilidŽal. Si l'on suppose que I est de type Þni, il existe une puissance IŸN de I d'image nulle dans P(m),ÊŒ(I), d'o• un m-PD-isomorphisme ŸN ›Ê P P(m),ÊŒ(I) Ê#@ (m),ÊŒ(IÊ/ÊI ). (1.4.3.3) (1.4.4) P ROPOSITION. Ñ Avec les notations de (1.4.1), soit (xÂ)ÂÊÔÊL une famille d e gŽnŽrateurs de I. En tant que A-alg•bre, P(m),ÊŒ(I) est engendrŽe par les ŽlŽments m m (xŸp )[q] = x{ŸÂ p q}, pour Â Ô L et q Ô ú. Supposons de plus que l'une des conditions suivantes soit satisfaite : a) ºÊA = 0Ê; b) L'idŽal º1 = º + pŸR est localement principalÊ; c) Les puissances divisŽes º s'Žtendent strictement ˆ AÊ/ÊI, et TorŸ1 R(RÊ/ʺ1Ê, AÊ/ÊI) = 0. mq} Alors l'idŽal ` I est engendrŽ par les ŽlŽments x et xÂ{Ÿp m engendrŽ par les ŽlŽments pŸx et xÂ{Ÿp q}, avec q ³ 1. , avec q ³ 1, et l'idŽal ~ I est m) Reprenons les notations de (1.4.1). Comme J = I(Ÿp + º1ŸA, la A-alg•bre P(m),ÊŒ(I) = A1 = Pº(J) est engendrŽe par les puissances divisŽes des ŽlŽments de m m m IŸ(Ÿp ), donc par les (xŸp )[q] = x{ŸÂ p q}. Si l'on suppose de plus l'une des conditions de l'ŽnoncŽ satisfaite, l'idŽal º1ÊA1 õ I0 est un sous-PD-idŽal de º1ÊA1Ê. Dans les cas a) et b), cela rŽsulte de (1.2.4). Dans le cas c), l'hypoth•se que º s'Žtend strictement ˆ AÊ/ÊI entra”ne que l'idŽal J(AÊ/ÊI) = º1(AÊ/ÊI) est muni d'une PD-structure canonique compatible ˆ (º1Ê, º). Il existe donc un PD-morphisme naturel A1 @ AÊ/ÊI, dont la factorisation fournit un inverse ˆ gauche de l'homomorphisme canonique AÊ/ÊI @ A1Ê/ÊI0Ê. Comme ce dernier est surjectif d'apr•s ce qu'on a vu plus haut, c'est un isomor- 22 P. BERTHELOT phisme. La nullitŽ de Tor1ŸR(RÊ/ʺ1Ê, AÊ/ÊI) entra”ne alors que º1ÊA1 õ I0 = º1ÊI0Ê, de sorte que l'idŽal º1ÊA1 õ I0 est encore un sous-PD-idŽal de º1ÊA1Ê. Sous chacune de ces trois hypoth•ses, on a donc ` I := I1 = I0Ê. Comme I0 est engendrŽ par I et par les puissances m divisŽes des ŽlŽments de J0Ê, ` I est engendrŽ par les x et les x{ŸÂ p q}. On vŽriÞe de m m•me que ~ I := J1 = J0Ê, de sorte que ~ I est engendrŽ par les pŸx et les x{ŸÂ p q}. (1.4.5) P ROPOSITION. Ñ Avec les notations de (1.4.1) et (1.4.2), soit n < pm. Supposons les conditions suivantes vŽriÞŽes : a) La m-PD-structure (º, Œ) s'Žtend ˆ AÊ/ÊIŸnÊ+Ÿ1Ê; b) Pour tout k ² n, º1ŸA õ IŸk Ç º1ŸIk + IŸnÊ+Ÿ1. Alors l'homomorphisme (1.4.5.1) `Än : AÊ/ÊIŸnÊ+Ÿ1 Ê##@ PÊÊn (m),ÊŒ(I) factorisant Än est un isomorphisme, et identiÞe la Þltration I-adique de AÊ/ÊIÊnÊ+Ê1 et la n Þltration m-PD-adique de PÊ(m),ÊŒ (I) . En particulier, si la m-PD-structure (º, Œ) s'Žtend ˆ AÊ/ÊI, les homomorphismes canoniques (1.4.5.2) r AÊ/ÊI Ê##@ P(m),ÊŒ(I)Ÿ/Ê` I Ê##@ PÊ(m),ÊŒ (I) Ÿ/Ê` I sont des isomorphismes pour tout r. Observons d'abord que, d'apr•s (1.4.4), Ÿ`Än est surjectif. D'autre part, puisque nÊÊ< pm, on peut munir l'idŽal I' = IÊ/ÊIŸnÊ+Ÿ1 Ç AÊ/ÊIŸnÊ+Ÿ1 de la m-PD-structure triviale. Or la condition b) entra”ne que º1(ŸAÊ/ÊIŸnÊ+Ÿ1) õ I' = º1ŸI'. Puisque (º, Œ) s'Žtend ˆ AÊ/ÊIŸnÊ+Ÿ1, la m-PD-structure triviale sur I' est donc compatible ˆ (º, Œ). La Þltration correspondante vŽriÞe I'Ê{k} = I'Êk pour tout k ² n, et I'Ê{nÊ+Ÿ1} = 0, car, pour x Ô I', on a x{k} = xk pour k ² n < pm, et l'hypoth•se b) signiÞe que º1(ŸAÊ/ÊIŸnÊ+Ÿ1) õ I'ÊkÊ = º1ŸI'ÊkÊ; avec les notations de (1.3.7), on en dŽduit que, pour x Ô º1(ŸAÊ/ÊIŸnÊ+Ÿ1) õ I'ÊkÊ, on a ¶h(x) Ô I'Êkh. On n obtient alors une rŽtraction PÊ(m),ÊŒ (I) @ AÊ/ÊIŸnÊ+Ÿ1, montrant que Ÿ`Än est un isomorphisme. (1.4.6) PROPOSITION. Ñ Sous les hypoth•ses de (1.4.1), soit A' une A-alg•bre plate. Alors les homomorphismes canoniques (1.4.6.1) P(m),ÊŒ(I) ¢A A' Ê##@ P(m),ÊŒ(IŸA'), (1.4.6.2) n n PÊ(m),ÊŒ (I) ¢A A' Ê##@ PÊ(m),ÊŒ (IŸA') , sont des m-PD-isomorphismes, compatibles aux Þltrations m-PD-adiques. Comme A' est plat sur A, les puissances divisŽes de ~ I s'Žtendent ˆ l'idŽal ~ IÊÊ¢AÊÊA', qui munit alors ` I ¢A A' d'une m-PD-structure. Il est immŽdiat de vŽriÞer que celle-ci est compatible ˆ (º, Œ), et il en rŽsulte que, via l'homomorphisme canonique A' @ P(m),ÊŒ(I) ¢A A', (P(m),ÊŒ(I) ¢A A', ` I ¢A A', ~ IÊÊ¢AÊÊA') poss•de la Ê“ dÝ -MODULES COHƒRENTS I 23 propriŽtŽ universelle caractŽrisant P(m),ÊŒ(IŸA'). De plus, on obtient par (1.3.8) (iv) les isomorphismes ( 1. 4. 6. 3) ›Ê ` I'Ÿ{n}, ` IŸ{n} ¢A A' ÊÊ#@ d'o• l'on dŽduit les m-PD-isomorphismes (1.4.6.2). Remarques. Ñ L'ŽnoncŽ qui prŽc•de entra”ne les consŽquences suivantes : (i) Comme il existe une unique m-PD-structure sur un idŽal I d'un anneau de caractŽristique 0, et que la Þltration m-PD-adique co•ncide alors avec la Þltration n I-adique, les homomorphismes canoniques A @ P(m),ÊŒ(I) et AÊ/ÊIŸnÊ+Ÿ1ÊÊ@ PÊ(m),ÊŒ (I) sont des isomorphismes modulo torsion. (ii) Si S est un schŽma muni d'un m-PD-idŽal quasi-cohŽrent (Œ, º, Œ), X un SschŽma, et i Ç oX un idŽal quasi-cohŽrent, les prŽfaisceaux qui associent ˆ u n n ouvert UÊÊÇ X les enveloppes P(m),ÊŒ(â(U, i)), PÊ(m),ÊŒ (â(U, i)) sont des faisceaux de n oXŸ-alg•bres quasi-cohŽrents, qu'on notera p(m),ÊŒ(i) et pÊ(m),ÊŒ (i) . De m•me, le mPD-idŽal canonique Ÿ`i de p(m),ÊŒ(i), son sous-PD-idŽal Ÿ~i , et les idŽaux Ÿ`iÊ{n} dŽÞnissant la Þltration m-PD-adique sont quasi-cohŽrents. (1.4.7) Pour m ² m', il existe un homomorphisme canonique (1.4.7.1) ´m,Êm' : P(m'),ÊŒ(I) Ê##@ P(m),ÊŒ(I), dŽÞni en considŽrant la m-PD-structure canonique de P(m),ÊŒ(I) comme une m'-PDstructure. D'apr•s (1.3.5.3), on a donc, pour tout x Ô I et tout k Ô ú, (1.4.7.2) ´m,Êm'Ÿ(x{k}(m')) = (qŸ!Ê/Êq'Ÿ!)Êx{k}(m), en posant k = pmq + r = pm'q' + r', 0 ² r < pm, 0 ² r' < pm'. Il en rŽsulte que les ´m,Êm' sont des homomorphismes d'alg•bres ÞltrŽes, dŽÞnissant par passage au quotient des homomorphismes (1.4.7.3) n n n ´Êm,Êm' : PÊ(m'),ÊŒ (I) Ê##@ PÊ(m),ÊŒ (I) n Pour m ² m' ² m", on a la formule de transitivitŽ ´m,Êm'ÊÊì ´m',Êm" = ´m,Êm" (resp. ´Êm,Êm' n n n Êì ´Êm',Êm" = ´Êm,Êm" ) qui fait de la famille des P(m),ÊŒ(I) (resp. PÊ(m),ÊŒ (I) ) un syst•me projectif d'alg•bres ÞltrŽes. (1.5) Enveloppe d'un idŽal rŽgulier PrŽcisons d'abord la structure des enveloppes ˆ puissances divisŽes partielles d'alg•bres de polyn™mes. (1.5.1) PROPOSITION. Ñ Soient R une ç(Ÿp)-alg•bre, (Œ, º, Œ) un m-PD-idŽal de R, 24 P. BERTHELOT AÊÊ=ÊÊR[t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtd] une alg•bre de polyn™mes ˆ coefÞcients dans R, I = (t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtd). (i) Pour tout m Ô ú, l'enveloppe ˆ puissances divisŽes P(m),ÊŒ(I) est indŽpen1}Ê.Ê.Ê.Êt{kd}, avec dante de (Œ, º, Œ), et est un R-module libre de base les produits t{k 1 d (k1,Ê.Ê.Ê.Ê,Êkd) Ô úd. Le m-PD-idŽal ` I est le sous-R-module libre de base les produits 1}Ê.Ê.Ê.Êt{kd}, avec ÏÊk ³ 1, et le PD-idŽal ~ I le sous-R-module engendrŽ par les prot{k i 1 d d}, duits t1{k1}Ê.Ê.Ê.Êtd{kd}, o• kiÊʳÊÊpm pour au moins un i, et par les produits pŸt1{k1}Ê.Ê.Ê.Êt{k d avec ÏÊki ³ 1. (ii) Le n-i•me cran ` IŸ{n} de la Þltration m-PD-adique de P(m),ÊŒ(I) est indŽpen1}Ê.Ê.Ê.Êt{kd}, avec dant de (Œ, º, Œ), et est le sous-R-module libre de base les produits t{k 1 d n ÏÊki ³ n. L'enveloppe ˆ puissances divisŽes nilpotentes PÊ(m),ÊŒ (I) est indŽpendante {k1} d}, avec ÏÊk ² n, le de (Œ, º, Œ), et est un R-module libre de base les produits t1 Ê.Ê.Ê.Êt{k i d n PD-idŽal ~ I et la Þltration m-PD-adique de PÊ(m),ÊŒ (I) ayant la m•me description que dans P(m),ÊŒ(I). Soient A0 = R[x1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êxd] une alg•bre de polyn™mes en d variables, f : A0ÊÊ@ A m m m l'homomorphisme dŽÞni par f(xi) = tŸi p , I0 = (x1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êxd), et I' = (tŸ1 p ,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊtŸd p ) = I0ÊA. Soient º1 = º + pŸR, et º la PD-structure sur º1 prolongeant Œ et la PD-structure canonique de (Ÿp). La platitude de f entra”ne que l'homomorphisme canonique Pº(I0) ¢A A Ê##@ Pº(I') 0 (1.5.1.1) m) est un isomorphisme. Par construction, on a P(m),ÊŒ(I) = Pº(I(Ÿp + º1ÊA) = Pº(I'). D'apr•s [1, 2.6.1], Pº(I0) est indŽpendante du PD-idŽal de compatibilitŽ choisi sur R, et est l'alg•bre de polyn™mes ˆ puissances divisŽes en t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊtdÊ. Par consŽquent, P(m),ÊŒ(I) est indŽpendante de Œ. De plus, A est libre sur A0 de base les mon™mes tŸ1 r1Ê.Ê.Ê.ÊtŸd rd, avec 0 ² ri < pm, et Pº(I0) est un R-module libre de base les produits d], avec (q ,Ê.Ê.Ê.Ê,Êq ) Ô ú Ÿd. Comme les images de ceux-ci dans P x1[q1]Ê.Ê.Ê.Êx[q 1Ê d (m),ÊŒ(I) d m m sont les (t1Ÿp )[q1]Ê.Ê.Ê.Ê(tŸd p )[qd], il en rŽsulte que P(m),ÊŒ(I) est libre sur R de base les 1}Ê.Ê.Ê.Êt{kd}, avec (k ,Ê.Ê.Ê.Ê,Êk ) Ô úd. Compte tenu de (1.3.6) (iv), les assertions produits t{k 1 d 1 d concernant ` I et ~ I rŽsultent alors du cas c) de (1.4.4). Pour prouver l'assertion sur les idŽaux ` IŸ{n}, observons d'abord que, gr‰ce ˆ la description donnŽe de ` I et ˆ (1.3.6), ` In est engendrŽ comme R-module par les pro1}Ê.Ê.Ê.Êt{kd}, avec ÏÊk ³ n. Il sufÞt donc de prouver que si x Ô ( ~ I + º A) õ ` I , duits t{k i 1Ê kÊ 1 d alors ¶h(x) Ô ` Ikh (en notant ¶ la PD-structure sur ~ I + º1ÊA prolongeant º et la PDstructure canonique). D'apr•s ce qui prŽc•de, x peut s'Žcrire sous la forme x = åÊ ak 1Ê.Ê.Ê.Êkd 1}Ê.Ê.Ê.Êt{kd}, t{k 1 d Ï … ÊkiʳÊk 1}Ê.Ê.Ê.Êt{kd}, avec a Ô Ô º1ÊA si ki < pm pour tout i. Si x est de la forme aŸt{k 1 d º1ÊA, on obtient avec ak 1Ê.Ê.Ê.Êkd 1}Ê.Ê.Ê.Êt{kd})h Ô ` I ¶h(x) = ºh(a)(t{k khÊ, 1 d 1}Ê.Ê.Ê.Êt{kd}, avec k ³ pm, on pose k = pmq + r, et on obtient et si x est de la forme aÊt{k d d 1 d Ê“ 25 dÝ -MODULES COHƒRENTS I 1}Ê.Ê.Ê.Êt{kdÊ-Ÿ1} )h(t{kd})[h] ¶h(x) = (aÊt{k 1 dÊ-Ÿ1 d m 1}Ê.Ê.Ê.Êt{kdÊ-Ÿ1} )hÊtŸrh((tŸp )[q])[h] = (aÊt{k d d 1 dÊ-Ÿ1 mqh} dÊ-Ÿ1} )hÊtŸrhÊtŸ{p = Ch,Êq(aÊt1{k1}Ê.Ê.Ê.Êt{k dÊ-Ÿ1 d d , de sorte qu'on a encore ¶h(x) Ô ` IkhÊ. La description obtenue montre alors que la Þltration par les ` IŸ{n} est indŽpendante de (Œ, º, Œ). Compte tenu de (1.3.8) (iii), la n description du PD-idŽal canonique et de la Þltration m-PD-adique de PÊ(m) (I) rŽsultent de celles de P(m)(I) par passage au quotient. DŽÞnition. Ñ Sous les hypoth•ses de la proposition, nous dirons que P(m)(I) est l'alg•bre de polyn™mes ˆ puissances divisŽes de niveau m en d variables, ˆ coefÞcients dans R, et nous la noterons Rít1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtdð(m)Ê. (1.5.2) COROLLAIRE. Ñ La relation (iii) de (1.3.6) est vraie. Soient A une ç(Ÿp)-alg•bre, (I, J, Û) un m-PD-idŽal de A, x, y deux ŽlŽments de I. Il existe alors un homomorphisme f : ç(Ÿp)[t1Ÿ, t2] @ A tel que f(t1) = x, f(t2) = y, et il se factorise de mani•re unique en un m-PD-morphisme g : ç(Ÿp)ít1Ÿ, t2ð(m) @ A. Pour tout ŽlŽment z du m-PD-idŽal canonique de ç(Ÿp)ít1Ÿ, t2ð(m)Ê, on a g(z{k}) = g(z){k}, de sorte qu'on est ramenŽ ˆ prouver (1.3.6) (iii) pour les ŽlŽments t1Ÿ, t2 Ô ç(Ÿp)ít1Ÿ, t2ð(m)Ê. Comme, d'apr•s (1.5.1) (i), cet anneau est sans torsion, il sufÞt de prouver la relation voulue dans ç(Ÿp)ít1Ÿ, t2ð(m) ¢ Ý = Ý[t1Ÿ, t2], o• elle rŽsulte de la formule du bin™me. Avec certaines hypoth•ses de platitude et de rŽgularitŽ, il est possible de gŽnŽraliser les rŽsultats prŽcŽdents : (1.5.3) PROPOSITION. Ñ Soient m Ô ú, R une ç(Ÿp)-alg•bre, (Œ, º, Œ) un m-PD-idŽal de R, A une R-alg•bre, I Ç A un idŽal. On suppose que AÊ/ÊI est plat sur R, et que I est un idŽal rŽgulier. Alors : n (I) est plate sur R, (i) Pour tout n Ô ú, l'enveloppe ˆ puissances divisŽes PÊ(m),ÊŒ indŽpendante du m-PD-idŽal de compatibilitŽ (Œ, º, Œ), et sa formation commute ˆ tout changement de base R @ R'. Si l'on suppose de plus qu'il existe un entier i tel que pŸiŸA = 0, les m•mes conclusions s'appliquent ˆ P(m),ÊŒ(I). (ii) S'il existe une section R-linŽaire §n : AÊ/ÊI @ AÊ/ÊIŸnÊ+Ÿ1, et si t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtd est une n suite rŽguli•re de gŽnŽrateurs de I, §n fait de l'enveloppe PÊ(m),ÊŒ (I) un (ŸAÊ/ÊI){k1} {kd} module libre de base les produits t1 Ê.Ê.Ê.Êtd avec ÏÊki ² n. Dans cette base, les idŽaux ` I, ~ I et la Þltration m-PD-adique admettent la m•me description qu'en (1.5.1). (iii) S'il existe une telle section §n pour tout n ³ 0, et s'il existe de plus un entier i 26 P. BERTHELOT tel que pŸiŸA = 0, alors, pour n assez grand, §n fait de l'enveloppe P(m),ÊŒ(I) un (ŸAÊ/ÊI)1}Ê.Ê.Ê.Êt{kd} avec (k ,Ê.Ê.Ê.Ê,Êk ) Ô úd, les idŽaux ` I, ~ I, et module libre de base les produits t{k 1Ê d 1 d la Þltration m-PD-adique ayant encore la m•me description. La dŽmonstration est analogue ˆ celle de [8, 2.3.3 et 2.3.4]. Gr‰ce ˆ (1.4.6) (ii), il sufÞt de prouver l'ŽnoncŽ localement sur SpecÊŸA, de sorte qu'on peut supposer I engendrŽ par une suite rŽguli•re (t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtd). Soient A0 = R[x1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êxd], I0 = (x1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êxd), fÊÊ: A0 @ A l'homomorphisme dŽÞni par f(xi) = tiÊ. Comme la suite des ti 0 est rŽguli•re, on a TorÊA i (R, A) = 0 pour tout i ³ 1. Il en rŽsulte que, pour tout n ³ 0, AÊ/ÊIŸnÊ+Ÿ1 est plat sur A0Ê/ÊIŸ0 nÊ+Ê1. On dŽduit alors de (1.4.3.2) et (1.4.6) que l'homomorphisme (1.5.3.1) n n PÊ(m),ÊŒ (I0) ¢A A Ê##@ PÊ(m),ÊŒ (I) 0 n n (I) est plat sur PÊ(m),ÊŒ (I0) . D'apr•s est un m-PD-isomorphisme, de sorte que PÊ(m),ÊŒ n n (1.5.1), PÊ(m),ÊŒ(I0) est libre sur R et indŽpendant de Œ. Par suite, PÊ(m),ÊŒ(I) est plat sur R et indŽpendant de Œ. Si R' est une R-alg•bre, soient A'0 = R'[x1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êxd], I'0 = I0ÊA'0Ê, A' = R'ÊÊ¢R A – A'0ÊÊ¢A ÊÊA, I' = IÊA' = I'0ÊA'. On a alors 0 A'Ê/ÊI'ÊnÊ+Ÿ1 – A'0Ê/ÊI'0ŸnÊ+Ÿ1 ¢A Ê/ÊIÊnÊ+Ÿ1 AÊ/ÊIÊnÊ+Ÿ1, 0 0 de sorte que A'Ê/ÊI'ÊnÊ+Ÿ1 est plat sur A'0Ê/ÊI'0ŸnÊ+Ÿ1. On en dŽduit un m-PD-isomorphisme (1.5.3.2) n n PÊ(m),ÊŒ (I'0) ¢A'0 A' Ê#ÊÊÊŸ›Ÿ#ÊÊÊ@ PÊ(m),ÊŒ (I') . Comme A0 et A'0 sont des alg•bres de polyn™mes, il rŽsulte de (1.5.1) que l'homomorphisme (1.5.3.3) n n PÊ(m),ÊŒ (I0) ¢A0 A'0 Ê##@ PÊ(m),ÊŒ (I'0) est un m-PD-isomorphisme. Par consŽquent, l'homomorphisme (1.5.3.4) n n n (I) ¢R R' – PÊ(m),ÊŒ (I) ¢A A' Ê##@ PÊ(m),ÊŒ (I') PÊ(m),ÊŒ est lui-m•me un m-PD-isomorphisme. Supposons enÞn qu'il existe une section R-linŽaire §n : AÊ/ÊI @ AÊ/ÊIŸnÊ+Ÿ1, ce qui n (I) d'une structure de (ŸAÊ/ÊI)-module. On en dŽduit un isomorphisme munit PÊ(m),ÊŒ (ŸAÊ/ÊI) ¢R (ŸA0Ê/ÊIŸ0 nÊ+Ÿ1) Ê#ÊÊÊŸ›Ÿ#ÊÊÊ@ AÊ/ÊIŸnÊ+Ÿ1. Par suite, l'isomorphisme (1.5.3.1) peut encore s'Žcrire n n (I0) ¢R (ŸAÊ/ÊI) Ê#ÊÊÊŸ›Ÿ#ÊÊÊ@ PÊ(m),ÊŒ (I) , PÊ(m),ÊŒ n (I) poss•de la base annoncŽe, avec la descripet l'on dŽduit alors de (1.5.1) que PÊ(m),ÊŒ ` ~ tion voulue pour les idŽaux I et I, et pour la Þltration m-PD-adique. Lorsqu'il existe un entier i tel que pŸiŸA = 0, il existe une puissance IŸN de I d'image nulle dans P(m)(I), ce qui permet d'appliquer les raisonnements prŽcŽdents ˆ P(m)(I) en rempla•ant IŸnÊ+Ÿ1 par IŸN. Ê“ dÝ -MODULES COHƒRENTS I 27 (1.5.4) C OROLLAIRE. Ñ Sous les hypoth•ses prŽcŽdentes, supposons que n < pmÊ+Ÿ1. Alors l'homomorphisme canonique n AÊ/ÊIŸnÊ+Ÿ1 Ê##@ PÊ(m),ÊŒ (I) est un isomorphisme. En effet, l'isomorphisme (1.5.3.1) montre qu'il sufÞt de prouver l'assertion pour l'idŽal I0 de l'alg•bre de polyn™mes A0Ê. Elle rŽsulte alors de ce que, pour n (I) , donne kiÊÊ<ÊÊpmÊ+Ÿ1, on a ki = pmqi + riÊ, avec qi < p, 0 ² ri < pm, ce qui, dans PÊ(m),ÊŒ Ÿki {ki} ti ÊÊ=ÊÊqiŸ!Êti avec qiŸ! inversible. 2. OpŽrateurs diffŽrentiels de niveau Þni Rappelons d'abord bri•vement comment, dans [EGA, IV 16.8.4], la construction du faisceau des opŽrateurs diffŽrentiels sur un S-schŽma lisse X de dimension relative d se dŽduit par dualitŽ de celle des faisceaux de parties principales. Si i est n = oXÊ|ÊXÊ/ÊiÊnÊ+Ÿ1 le l'idŽal de l'immersion diagonale X ÌÊÊÊ@ X |S X, on note pŸXÊ/ÊS faisceau des parties principales. On le consid•re comme oXÊ-module par la structure correspondant ˆ la premi•re projection p0 : X |S X @ X, donnŽe par a ˜ÊÊÊÊ@ a ¿ 1 sur â(U, oX) lorsque U est un ouvert afÞne de X, et on pose dXÊ/ÊS = ô n Ÿn homo (pXÊ/ÊS Ê, oX). X Nous renvoyons ˆ [EGA, IV, 16.8.9] pour la dŽÞnition de la structure d'anneau de dXÊ/ÊSÊ, que nous gŽnŽraliserons plus bas, et nous expliciterons simplement ici sa description locale. A tout syst•me de coordonnŽes au voisinage d'un point, dŽÞnissant une base Ù1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊÙd du faisceau des dŽrivations, est associŽ une base de dXÊ/ÊS en tant que oXÊ-module, que nous noterons Ù[k], k Ô úŸd (cf. [EGA, IV, 16.11.2], o• elle est notŽe Dk). Dans cette base, la r•gle de multiplication est donnŽe par (2.0.1) Ù[k']ÊÙ[k"] = " (k'Ê+Êk )ÊÙ[k'Ê+Êk"] k' (ce qui entra”ne que kŸ!ÊÙ[k] = Ùk), et la r•gle de commutation aux scalaires par (2.0.2) Ù[k]f = åÊ Ù[k'](ŸfŸ)ÊÙ[k"]. k'Ê+Êk"Ê=Êk Lorsque S est un ç(Ÿp)-schŽma, on dŽduit de (1.1.0.2) que, si l'on Žcrit k sous la forme k = ÏÊj ajÊpŸ j, avec 0 ² aj < p, alors = uÊ ÕÊ(Ù[Ÿi p ]) aj, Ù[k] i Êj jʳÊ0 28 P. BERTHELOT o• u est une unitŽ p-adique. On voit ainsi que dXÊ/ÊS est engendrŽ par les opŽrateurs Êj Ù[Ÿi p ], 1 ² i ² d, j Ô ú. Par contre, il rŽsulte de (2.0.1) qu'aucune sous-famille Þnie de Êj la famille des Ù[Ÿi p ] n'engendre dXÊ/ÊSÊ, et que les sections de dXÊ/ÊS ne sont pas en gŽnŽral des anneaux nÏthŽriens, m•me si X est localement nÏthŽrien. Supposant toujours que S est un ç (Ÿp)-schŽma, notre objectif est ici de construire une famille de faisceaux d'opŽrateurs diffŽrentiels d(m) XÊ/ÊS Ê, pour m ³ 0, tels que (m) › lim d Ê#ÊÊÊ@ d . Comme dans le cas de d , les faisceaux d(m) sont obtenus #@ Êm XÊ/ÊS XÊ/ÊSÊ XÊ/ÊSÊ XÊ/ÊS en dualisant des faisceaux de parties principales, que nous construisons en (2.1) en appliquant la thŽorie des m-PD-enveloppes du chapitre prŽcŽdent ˆ l'idŽal de l'immersion diagonale. On dispose alors d'un homomorphisme d(m) XÊ/ÊS @ dXÊ/ÊS induisant un isomorphisme entre les sous-faisceaux des opŽrateurs d'ordre ² pm par rapport ˆ chacune des dŽrivations Ùi (mais non injectif si X n'est pas plat sur ç(Ÿp)). Pour (m) (m) = Ù[k] tout m, dXÊ/ÊS admet pour base une famille d'opŽrateurs Ùíkð(m) tels que Ùíkð i i pour k ² pŸm, et vŽriÞant des relations analogues ˆ (2.0.1) et (2.0.2) faisant intervenir les coefÞcients bin™miaux modiÞŽs dŽÞnis en (1.1). Ces relations entra”nent que Êj (m) dXÊ/ÊS est engendrŽ par les Ù[Ÿi p ] pour j ² m, et, lorsque X est localement nÏthŽrien, que ses sections sur les ouverts afÞnes sont des anneaux nÏthŽriens. (m) En (2.3), nous donnons une interprŽtation de la structure de dXÊ/ÊS -module ˆ gauche en termes de stratiÞcations au sens de Grothendieck (cf. [22] ou [1]). Cette interprŽtation rev•t ici une importance particuli•re du fait que les anneaux d(m) XÊ/ÊS ne sont plus engendrŽs par les dŽrivations d•s que m ³ 1, de sorte qu'elle constitue souvent le seul moyen pratique de munir un oXÊ-module d'une structure de d(m) X module. Nous en dŽduisons en particulier l'existence d'une structure de faisceau d'anneaux naturelle sur b ¢o d(m) lorsque b est une oXÊ-alg•bre sur laquelle d(m) X X X op•re de mani•re compatible ˆ sa structure d'alg•breÊ; cela nous servira de mani•re essentielle au chapitre 4 pour la construction des faisceaux d'opŽrateurs diffŽrentiels ˆ singularitŽs surconvergentes. EnÞn, nous nous pla•ons en (2.4) sur un schŽma formel x, et nous Žtudions alors le complŽtŽ ^dx(m) de d(m) , et la limite inductive x “ (m) dx des faisceaux ^dx , dont nous donnons en (2.4.4) la description locale faisant appara”tre des conditions de type Monsky-Washnitzer. (2.1) Faisceaux de parties principales Nous commen•ons donc par appliquer les rŽsultats du chapitre 1 ˆ la construction de faisceaux de parties principales avec des PD-structures partielles. (2.1.1) DŽÞnitions. Ñ Soient S un ç (Ÿp)-schŽma, muni d'un m-PD-idŽal quasicohŽrent (Œ, º, Œ), et X ÌÊÊÊ@ Y une S-immersion. Si U Ç Y est un ouvert tel que X soit Ÿn fermŽ dans U, dŽÞni par un idŽal quasi-cohŽrent i Ç oUÊÊ, l'alg•bre pŸ(m),ÊŒ (i) , qui est quasi-cohŽrente d'apr•s la remarque (ii) de (1.4.6), est ˆ support dans X, et est Ê“ dÝ -MODULES COHƒRENTS I 29 donc indŽpendante du choix de l'ouvert U. Il en est de m•me de p(m),ÊŒ(i) lorsque p est localement nilpotent sur Y. Nous utiliserons les notations n Ÿn PŸX,Ê(m),ÊŒ (YŸ) = Spec pŸ(m),ÊŒ (i) , PX,Ê(m),ÊŒ(YŸ) = Spec p(m),ÊŒ(i). m-PD-structure (º, Œ) s'Žtend ˆ X, le sous-schŽma fermŽ de PX,Ê(m),ÊŒ(YŸ) (resp. PX,Ê(m),ÊŒ(YŸ)) dŽÞni par Ÿ`i s'identiÞe ˆ X, d'apr•s (1.4.5). Nous n dirons dans ce cas que PX,Ê(m),ÊŒ(YŸ) (resp. PŸX,Ê(m),ÊŒ (YŸ) ) est le voisinage ˆ puissances divisŽes partielles de niveau m (resp. et d'ordre n), compatibles ˆ (º, Si la Ÿn Œ), de X dans Y. Lorsqu'aucune confusion n'en rŽsultera, nous omettrons l'indice Œ. D'apr•s (1.5.3), c'est notamment possible lorsque X est un S-schŽma plat, et l'idŽal i un idŽal rŽgulier (par exemple si X et Y sont lisses sur S), puisqu'alors les n PŸX,Ê(m),ÊŒ (YŸ) (resp. PX,Ê(m),ÊŒ(YŸ) si p est localement nilpotent sur YŸ) sont indŽpendants de (Œ, º, Œ). n n Les voisinages PŸX,Ê(m),ÊŒ (YŸ) sont munis de morphismes naturels PŸX,Ê(m),ÊŒ (YŸ) @ Y. Ils poss•dent la propriŽtŽ universelle suivante, consŽquence de celle des enveloppes ˆ puissances divisŽes partielles : si i' : X' ÌÊÊÊ@ Y' est une S-immersion dont l'idŽal i' est muni d'une m-PD-structure (Ÿj', Û') compatible ˆ (º, Œ) et vŽriÞant i'Ÿ{nÊ+Ÿ1} = 0, et si f : Y' @ Y est un S-morphisme dont la restriction ˆ X' se factorise n par X, il existe un unique m-PD-morphisme Y' @ PŸX,Ê(m),ÊŒ (YŸ) tel que le diagramme ÊXŸ' Ì######ÊÊÊ####@ YŸ' É É À À Ÿn X Ì#@ PX,Ê(m),ÊŒ(YŸ) ##@ Y soit commutatif. Lorsque p est localement nilpotent sur Y, PX,Ê(m),ÊŒ(YŸ) vŽriÞe la propriŽtŽ analogue sans condition de nilpotence sur i'. ÊrÊ+Ÿ1 . Nous (2.1.2) Ce qui prŽc•de s'applique aux immersions diagonales X ÌÊÊÊ@ XÊ/ÊS poserons alors n ÊŸrÊ+Ÿ1 ßnXÊ/ÊS,Ê(m)(r) = PŸX,Ê(m) (ŸXÊ/ÊS ), rÊ+Ÿ1 ßXÊ/ÊS,Ê(m)(r) = PX,Ê(m)(ŸXÊŸÊ/ÊS ). 1 dans lequel X est fermŽ, et si i(r) est l'idŽal de X dans U, Si U est un ouvert de XÊrÊ+Ÿ Ê/ÊS nous emploierons des notations analogues ˆ celles de [EGA, IV ¤Ê16], en posant n Ÿn pŸXÊ/ÊS,Ê(m) (r) = pŸ(m) (i(r)) , pXÊ/ÊS,Ê(m)(r) = p(m)(i(r)). n Lorsque r = 1, nous utiliserons simplement les notations ßnXÊ/ÊS,Ê(m)Ê, ßXÊ/ÊS,Ê(m)Ê, pŸXÊ/ÊS,Ê(m) Ê, pXÊ/ÊS,Ê(m)Ê. Si la base S ou le niveau m seront clairs d'apr•s le contexte, nous les omettrons aussi des notations prŽcŽdentes. Rappelons enÞn que, lorsque X est lisse n sur S, les pŸXÊ/ÊS,Ê(m) (resp. pXÊ/ÊS,Ê(m) si p est localement nilpotent sur XŸ) sont indŽpendants de la donnŽe d'un m-PD-idŽal de compatibilitŽ sur S. En particulier, si mÊÊ= 0, l'hypoth•se que S soit un ç (Ÿp)-schŽma n'est pas nŽcessaire pour les dŽÞnir (cf. [1, I, 4.3.1]). 30 P. BERTHELOT n Nous dirons que le faisceau pŸXÊ/ÊS,Ê(m) est le faisceau des parties principales d e n niveau m et d'ordre n de X relativement ˆ S. Pour m ² m', les faisceaux pŸXÊ/ÊS,Ê(m) n n n sont reliŽs par les homomorphismes ´Êm,Êm' : pŸXÊ/ÊS,Ê(m') @ pŸXÊ/ÊS,Ê(m) dŽÞnis en (1.4.7.1), qui en font un syst•me projectif pour m variable. On dispose Žgalement n Ÿn Ÿn Ÿn pour tout m d'un homomorphisme canonique ´Êm : pXÊ/ÊS Ê@ pXÊ/ÊS,Ê(m) Ê, o• pXÊ/ÊS est le faisceau des parties principales usuelÊ; si X est lisse sur S, et que n < pmÊ+Ÿ1, le corollaire (1.5.4) montre que c'est un isomorphisme. On obtient ainsi pour tout n u n isomorphisme (2.1.2.1) n › lim pŸn Ê##@ pŸXÊ/ÊS Êm XÊ/ÊS,Ê(m) Ê Ò# Notations. Ñ Les notation suivantes seront reprises systŽmatiquement lorsque nous aurons ˆ faire des calculs en coordonnŽes locales. ÊrÊ+Ÿ1 Les projections pi : XÊ/ÊS @ X, 0 ² i ² r, dŽÞnissent r + 1 homomorphismes diÊÊ: Ÿn n oX @ pXÊ/ÊS,Ê(m)(r) , dont chacun munit pŸXÊ/ÊS,Ê(m) (r) d'une structure de oXÊ-alg•bre. Si X est lisse sur S, et muni de coordonnŽes locales t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊtdÊ, on pose (2.1.2.2) i = p1Ÿ*(ti) - p0Ÿ*(ti) Ô oXÊ|ÊXÊ; nous commettrons souvent les abus de notation consistant ˆ Žcrire ti ¿Ê1 (resp. 1Ê¿ ti) au lieu de d0(ti) (resp. d1(ti)), et ˆ noter encore i = 1Ê¿ ti - ti ¿Ê1 les images des i n n dans les pŸXÊ/ÊS,Ê(m) Ê. Nous appellerons structure gauche (resp. droite) sur pŸXÊ/ÊS,Ê(m) celle qui est dŽÞnie par l'homomorphisme d0 tel que d0(a) = a ¿Ê1 (resp. d1 tel que d1(a) = 1Ê¿ a). Comme la suite des i est une suite rŽguli•re de gŽnŽrateurs de l'idŽal de la diagonale, il rŽsulte de (1.5.3) que, pour chacune des deux structures de n oXÊ-alg•bre, pŸXÊ/ÊS,Ê(m) est un oXÊ-module libre de base les ŽlŽments {k} = 1Ÿ{k1}Ê.Ê.Ê.Ê dŸ{kd}, avec ÏÊki ² n. (2.1.3) PROPOSITION. Ñ Avec les notations prŽcŽdentes, supposons X lisse sur S. n n' (r) , Ÿ`i(r') Ç pŸXÊ/ÊS,Ê(m) (r') les m-PD(i) Soient r, r', n, n' Ô ú, et Ÿ`i(r) Ç pŸXÊ/ÊS,Ê(m) Ÿn' Ÿn ` idŽaux canoniques. Il existe sur l'idŽal Ÿi(r) ¢oX pXÊ/ÊS,Ê(m)(r') + pXÊ/ÊS,Ê(m)(r) ¢oX Ÿ`i (r') une m-PD-structure (nŽcessairement unique) telle que les homomorphismes n n n' (r) Ê##@ pŸXÊ/ÊS,Ê(m) (r) ¢o pŸXÊ/ÊS,Ê(m) (r') , pŸXÊ/ÊS,Ê(m) X n' n n' ŸpŸXÊ/ÊS,Ê(m) (r') Ê##@ pŸXÊ/ÊS,Ê(m) (r) ¢oX pŸXÊ/ÊS,Ê(m) (r') , soient des m-PD-morphismes. (ii) Soient n, n' Ô ú. Il existe un unique m-PD-morphisme Ên,Ên' ŸnÊ+Ên' n n' : pXÊ/ÊS,Ê(m) Ê##@ pŸXÊ/ÊS,Ê(m) ¢o pŸXÊ/ÊS,Ê(m) ¶(m) X qui rende commutatif le diagramme Ê“ 31 dÝ -MODULES COHƒRENTS I Ên,Ên' ŸnÊ+Ên' Ÿ ¶(m) n n' pXÊ/ÊS,Ê(m) Ê##@pŸXÊ/ÊS,Ê(m) ¢o pŸXÊ/ÊS,Ê(m) X (2.1.3.1) û É n,Ên' û É ¶Ê nÊ+Ên' n n' pŸXÊ/ÊS Ê####@ÊÊpŸXÊ/ÊS ¢oX pŸXÊ/ÊS Ê, o• l'homomorphisme du bas est l'homomorphisme (16.8.9.2) de [EGA IV], caractŽrisŽ par la condition ¶Ên,Ên'(a ¿ b) = (a ¿ 1) ¿ (1 ¿ b) pour a, b Ô oXÊ. Pour mÊʲ m', les homomorphismes ¶Ên,Ên' (m) vŽriÞent la relation de commutation (2.1.3.2) Ên,Ên' ÊnÊ+Ên' ŸÊn Ên' Ên,Ên' ì ´Ÿm,Êm' = (´m,Êm' ¿ ´Ÿm,Êm' ) ì ¶(m') . ¶(m) L'assertion (i) est valable quelle que soient les structures de oXÊ-modules n n' choisies sur pŸXÊ/ÊS,Ê(m) (r) et pŸXÊ/ÊS,Ê(m) (r') parmi celles que dŽÞnissent les d iÊ; on n supposera par exemple qu'on prend celle que dŽÞnit dr sur pŸXÊ/ÊS,Ê(m) (r) et celle que ' dŽÞnit d0 sur pŸnXÊ/ÊS,Ê(m) (r') . On peut supposer S et X afÞnes, et X muni de coordonnŽes locales t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtd audessus de SÊ; soient S = SpecÊR, X = SpecÊŸA. Pour tout r, soit I(r) = KerÊ(ŸA¿Ê(rÊ+Ÿ1) @ Ÿn A), et, pour tout n, soit ` I(r) le m-PD-idŽal canonique de PŸ(m) (I(r)) . D'apr•s (1.5.3), Ÿn Ÿn PŸ(m)(I(r)) est plat sur A quels que soient n et r, donc les idŽaux PŸ(m) (I(r)) ¢A ` I(r') Ÿ n ' Ÿ n Ÿ n ' et ` I(r) ¢A PŸ(m)(I(r')) de PŸ(m)(I(r)) ¢A PŸ(m)(I(r')) sont munis de m-PD-structures Žtendant celles de ` I(r') et ` I(r). Si 1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Ê dr est une suite rŽguli•re de gŽnŽrateurs 1}Ê.Ê.Ê.Ê {kdr} , o• l'un des de I(r), soit ~ I'(r)ÊÊÇÊÊ~ I(r) l'idŽal engendrŽ par les produits {k dr 1 ki est au moins Žgal ˆ pm. D'apr•s (1.5.3) et (1.5.1), l'idŽal ~ I1(r) = ~ I(r) + pŸP(m) ŸŸn (I(r)) Ÿn Ÿn peut s'Žcrire ~ I1(r)ÊÊ= ~ I'(r) + pŸPŸ(m) (I(r)) , et ~ I'(r) est facteur direct de PŸ(m) (I(r)) comme A-module. Il en rŽsulte qu'on peut Žcrire Ÿn' Ÿn ( ~ I1(r) ¢A PŸ(m) (I(r')) ) õ (PŸ(m) (I(r)) ¢A ~ I1(r')) Ÿn Ÿn' = ~ I'(r) ¢A ~ I'(r') + pŸ(PŸ(m) (I(r)) ¢A PŸ(m) (I(r')) ). Ÿn Ÿn' (I(r)) ¢A ~ I(r') et ~ I(r) ¢A PŸ(m) (I(r')) sont On en dŽduit que les PD-structures de PŸ(m) strictement compatibles, d'o• (i). Soit i l'idŽal de la diagonale dans X |S X. Comme on a ¶Ên,Ên'( i) = 1 ¿ i + i ¿ 1, l'homomorphisme composŽ nÊ+Ên' n n' n n' pŸXÊ/ÊS Ê##@ pŸXÊ/ÊS ¢oX pŸXÊ/ÊS Ê##@ pŸXÊ/ÊS,Ê(m) ¢oX pŸXÊ/ÊS,Ê(m) nÊ+Ên' n' n dans le m-PD-idŽal Ÿ`i ¢ pŸXÊ/ÊS,Ê(m) + pŸXÊ/ÊS,Ê(m) ¢ Ÿ`i . La envoie iŸ/ŸiÊnÊ+Ên'Ê+Ÿ1 Ç pŸXÊ/ÊS ŸnÊ+Ên' n,Ên' propriŽtŽ universelle de p XÊ/ÊS,Ê(m) fournit alors le m-PD-morphisme ¶(m) , et les commutations annoncŽes. Remarque. Ñ Lorsque p est localement nilpotent sur S, on montre de m•me qu'il existe une m-PD-structure canonique sur Ÿ`i(r) ¢ pXÊ/ÊS,Ê(m)(r') + pXÊ/ÊS,Ê(m)(r) ¢ Ÿ`i (r'). On en dŽduit d'ailleurs, gr‰ce ˆ la propriŽtŽ universelle des enveloppes ˆ puissances divisŽes, l'existence d'un m-PD-isomorphisme 32 P. BERTHELOT ›Ê p pXÊ/ÊS,Ê(m)(r) ¢oX pXÊ/ÊS,Ê(m)(r') Ê#@ XÊ/ÊS,Ê(m)(r + r'). De m•me, on voit qu'il existe un m-PD-morphisme ¶ : pXÊ/ÊS,Ê(m) @ pXÊ/ÊS,Ê(m) ¢ pXÊ/ÊS,Ê(m) qui rend commutatif le diagramme analogue ˆ (2.1.3.1). (2.1.4) Supposons qu'on ait un diagramme commutatif f XŸ' Ê#######@ X É É À À (S', Œ', º', Œ') ###@Ê(S, Œ, º, Œ), (2.1.4.1) o• la ligne du bas est un m-PD-morphisme. La propriŽtŽ universelle ŽnoncŽe en (2.1.1) entra”ne que l'homomorphisme composŽ 1 1 ßnX'Ê/ÊS'Ê(m),ÊŒ'(r) Ê##@ X'ÊrÊ+Ÿ Ê##@ XÊrÊ+Ÿ /ÊS' Ê/ÊS se factorise de mani•re unique par un m-PD-morphisme (2.1.4.2) ßnX'Ê/ÊS',Ê(m),ÊŒ'(r) Ê##@ ßnXÊ/ÊS,Ê(m),ÊŒ(r). Les diagrammes p'i ŸX' Ì#@ ßnX'Ê/ÊS',Ê(m),ÊŒ'(r) ##@ ŸX' f É À É À pi É f À X Ì#@ ßnXÊ/ÊS,Ê(m),ÊŒ(r) ##@ X induits par les immersions diagonales et les projections sont alors commutatifs. On en tire en particulier des homomorphismes canoniques oX'-linŽaires (2.1.4.3) n n fŸ*ŸpŸXÊ/ÊS,Ê(m),ÊŒ (r) Ê##@ pŸX'Ê/ÊS',Ê(m),ÊŒ '(r), les structures de oXŸ-module (resp. oX'-module) Žtant dŽÞnies ˆ partir d'une quelconque des projections pi (resp. pi'). Supposons que le carrŽ (2.1.4.1) soit cartŽsien, et que de plus X soit lisse sur S. L'ŽnoncŽ de commutation au changement de base donnŽ en (1.5.3) pour les enveloppes ˆ puissances divisŽes entra”ne alors que (2.1.4.3) est un isomorphisme. (2.1.5) Soit encore m Ô ú un entier ÞxŽ, et soit v un anneau de valuation discr•te complet, d'idŽal maximal µÊ; si m ³ 1, on suppose que la caractŽristique rŽsiduelle de v est p. Lorsque nous parlerons, dans la suite de cet article, d'un v-schŽma formel x, il sera toujours sous-entendu que µŸox en est un idŽal de dŽÞnition, et que x est localement nÏthŽrien. Les dŽÞnitions prŽcŽdentes peuvent s'Žtendre aux v-schŽmas formels. Soit xÊÊ@ s un morphisme lisse de v-schŽmas formels (i.e. dont la rŽduction modulo µŸi est lisse pour tout i). Si x et s sont afÞnes, â(x, ox) est plat sur â(s, os). De plus, Ê“ 33 dÝ -MODULES COHƒRENTS I Ê+Ÿ1 l'idŽal de l'immersion diagonale de x dans xŸŸ/rÊs est rŽgulier. On peut donc encore appliquer ici les rŽsultats de (1.5.3). On dispose ainsi de faisceaux de parties n principales pŸxÊ/Ês,Ê(m) (r) Ê, qui sont des oxÊ-modules localement libres pour chacune Ê+Ÿ1 des structures dŽÞnies par les projections pi : xŸŸ/rÊs @ xÊ; si t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtd sont des Ÿ * Ÿ * coordonnŽes locales de x sur s, et i = p2 (ti) - p1 (ti), les produits 1Ÿ{k1}Ê.Ê.Ê.Ê Ÿd {kd}, avec n ÏÊki ² n, forment encore une base de pŸxÊ/Ês,Ê(m) sur ox pour chacune des deux struc- tures naturelles. De m•me, les rŽsultats de (2.1.3) et (2.1.4) se gŽnŽralisent dans ce contexte. (2.2) Faisceaux d'opŽrateurs diffŽrentiels Soient m Ô ú, et S un schŽma (resp. un schŽma formel au sens de (2.1.5))Ê; lorsque m ³ 1, on suppose que S est un ç(Ÿp)-schŽma. Dans le reste du chapitre 2, on dŽsignera par X un S-schŽma lisse (resp. un S-schŽma formel lisse). Pour m, n Ô ú, nous considŽrerons sauf mention expresse du contraire le n faisceau des parties principales pŸXÊ/ÊS,Ê(m) comme muni de sa structure gauche de oXÊ-alg•bre (cf. (2.1.2)). (2.2.1) Soient m, n Ô ú. On dŽÞnit le faisceau des opŽrateurs diffŽrentiels d e niveau m et d'ordre ² n sur X relativement ˆ S comme Žtant le dual oXÊ-linŽaire du n : faisceau des parties principales pŸXÊ/ÊS,Ê(m) (m) Ÿn dXÊ/ÊS,Ên = homoX(pXÊ/ÊS,Ê(m) Ê, oX). (2.2.1.1) ' Ÿn @ pXÊ/ÊS,Ê(m) fournissent des injections Pour n variable, les surjections pŸnXÊ/ÊS,Ê(m) (m) dXÊ/ÊS,Ên ÌÊÊÊ@ d(m) XÊ/ÊS,Ên' Ê. Le faisceau des opŽrateurs diffŽrentiels de niveau m est alors dŽÞni par (m) = dXÊ/ÊS ô nÊÔÊú (m) dXÊ/ÊS,Ên Ê. On munit d(m) XÊ/ÊS d'une structure de faisceau d'anneaux gr‰ce aux accouplements (m) (m) dXÊ/ÊS,Ên | d(m) XÊ/ÊS,Ên' Ê##@ dXÊ/ÊS,ÊnÊ+Ên' (2.2.1.2) n n' , oX), P' Ô homo (pŸXÊ/ÊS,Ê(m) , oX), alors dŽÞnis comme suit : si P Ô homoX(pŸXÊ/ÊS,Ê(m) X PP' est l'homomorphisme composŽ ŸnÊ+Ên' ¶Ên,Ên' (m) IdÊ¿ÊP' P Ÿn n' Ÿn ¢o pŸXÊ/ÊS,Ê(m) Ê##@Ê pXÊ/ÊS,Ê(m) Ê##@ oXÊ. (2.2.1.3)pXÊ/ÊS,Ê(m) Ê##@ pXÊ/ÊS,Ê(m) X (m) Les d(m) XÊ/ÊS,Ên munissent ainsi le faisceau dXÊ/ÊS d'une Þltration naturelle de faisceau d'anneaux, appelŽe comme d'habitude Þltration par l'ordre. Si P est une section de (m) dXÊ/ÊS au voisinage d'un point x Ô X, nous noterons ordx(P) le plus petit entier n tel (m) (m) que Px Ô dXÊ/ÊS,Ên ,ÊxÊ; pour tout ouvert U Ç X, et tout P Ô â(U, dXÊ/ÊS ), nous poserons 34 P. BERTHELOT ordŸ(P) = sup ordx(P). xÊÔÊU n (m) Comme les faisceaux pŸXÊ/ÊS,Ê(m) Ê, les faisceaux dXÊ/ÊS,Ên sont munis de deux structures de oXÊ-module, correspondant ˆ la multiplication ˆ gauche ou ˆ droite par une section de oXÊ. Nous les appelerons encore structure gauche et structure droite. Par construction, la structure gauche est duale de la structure gauche de n pŸXÊ/ÊS,Ê(m) Ê, et la structure droite provient par fonctorialitŽ de l'action de oX sur Ÿn pXÊ/ÊS,Ê(m) dŽÞnie par sa structure droite. Ÿn Les faisceaux d(m) XÊ/ÊS op•rent sur oXÊ, l'action de P Ô homoX(p XÊ/ÊS,Ê(m) Ê, oX) Žtant donnŽe par le composŽ (2.2.1.4) d1 P Ÿn oX Ê##@ pXÊ/ÊS,Ê(m) Ê##@ oXÊ. (m) Le faisceau oX est ainsi muni d'une structure naturelle de dXÊ/ÊS -module ˆ gauche. (m) Pour f Ô oXÊ, P Ô dXÊ/ÊS Ê, nous noterons souvent P(ŸfŸ) pour P.f := PÊìÊd1(ŸfŸ). On prendra garde que, contrairement au cas des opŽrateurs diffŽrentiels usuels, l'opŽration de d(m) XÊ/ÊS sur oX n'est pas Þd•le en gŽnŽral (voir (2.2.7)). n n Ÿn Pour m' ³ m, les homomorphismes ´m,Êm' : pŸXÊ/ÊS,Ê(m') @ pŸXÊ/ÊS,Ê(m) fournissent (m) (m') par dualitŽ des homomorphismes oXÊ-linŽaires dXÊ/ÊS,Ên @ dXÊ/ÊS,Ên Ê, compatibles aux accouplements (2.2.1.2) d'apr•s (2.1.3.2). Par passage ˆ la limite inductive, on en tire donc des homomorphismes canoniques de faisceaux d'anneaux ÞltrŽs (2.2.1.5) (m) ¨m',Êm : dXÊ/ÊS Ê##@ d(m') XÊ/ÊS , non injectifs en gŽnŽral d'apr•s les formules qui suivent. De m•me, en dualisant les n et en passant ˆ la limite, on obtient encore des homomorphismes pŸnXÊ/ÊS @ pŸXÊ/ÊS,Ê(m) homomorphismes de faisceaux d'anneaux ÞltrŽs ¨m : d(m) XÊ/ÊS @ dXÊ/ÊSÊ. Il rŽsulte alors de (1.5.4) que les homomorphismes (2.2.1.6) (m) dXÊ/ÊS,Ên Ê##@ d(m') XÊ/ÊS,Ên Ê##@ dXÊ/ÊS,Ên sont des isomorphismes pour n < pmÊ+Ÿ1. C'est en particulier le cas quel que soit m si (m) nÊʲÊÊ1, de sorte que dXÊ/ÊS,Ê1 est le faisceau habituel des opŽrateurs diffŽrentiels d'ordre ²ÊÊ1. En outre, l'homomorphisme (2.2.1.7) lim Êm d(m) XÊ/ÊS Ê##@ dXÊ/ÊS #@ est un isomorphisme. (2.2.2) ConsidŽrons un carrŽ commutatif de la forme (2.1.4.1), dans lequel on suppose X lisse sur S et X' lisse sur S'. En dualisant les homomorphismes (2.1.4.3) et en passant ˆ la limite, on obtient des homomorphismes canoniques (2.2.2.1) (m) Ê##@ fÊ*d(m) dX'Ê/ÊS',Ên XÊ/ÊS,ÊnÊ , (2.2.2.2) (m) dX'Ê/ÊS' Ê##@ fÊ*d(m) XÊ/ÊSÊ . Ê“ dÝ -MODULES COHƒRENTS I 35 Lorsque le carrŽ (2.1.4.1) est cartŽsien, de sorte que (2.1.4.3) est un isomorphisme, il en est de m•me de (2.2.2.1) et (2.2.2.2). (2.2.3) Notations. Ñ Dans la suite, nous omettrons en gŽnŽral l'indice S, le schŽma (ou schŽma formel) de base Žtant supposŽ ÞxŽ. Supposons donnŽes des coordonnŽes locales t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtd sur X relativement ˆ S, et notons comme prŽcŽdemment i = p1Ÿ*(ti) - p0Ÿ*(ti). Les dŽrivations de oX corresponn dant ˆ la base duale de la base dti de ã1X seront notŽes ÙiÊ. A la base de pŸX,Ê(m) formŽe {k} (m) des pour ¾k¾ ² n, correspond la base duale de dX,Ên , dont les ŽlŽments seront notŽs ÙíkðÊ; pour k = 1iÊ, on a donc Ùí1ið = ÙiÊ. Pour n variable, les Ùíkð forment une base de d(m) . Si nŽcessaire, nous prŽciserons le niveau m par la notation Ùíkð(m). De X m•me, nous noterons Ù[k] la base de dX,Ên duale de la base k de pXŸnÊ; pour n variable, les Ù[k] forment une base de dX (notŽe Dk dans [EGA, IV 16.11.2]). Soient m' ³ m, et posons ki = pmqi + ri = pm'qi' + ri'Ÿ, avec 0 ² ri < pm, 0 ² ri' < pm'. Il rŽsulte de (1.4.7.2) et (1.3.5.2) que l'on a pour tout k (2.2.3.1) ¨m',Êm(Ùíkð(m)) = (qŸ!Ê/Êq'Ÿ!)ÊÙíkð(m'), (2.2.3.2) ¨m(Ùíkð(m)) = qŸ!ÊÙ[k]. En particulier, si l'on a ki ² pm pour tout i, on obtient ¨m(Ùíkð(m)) = Ù[k]Ê; dans ce cas, nous utiliserons indiffŽremment les notations Ù[k] ou Ùíkð dans d(m) X . (2.2.4) PROPOSITION. Ñ Soient U Ç X un ouvert, t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtd des coordonnŽes locales sur U relativement ˆ S, i = 1 ¿ ti - ti ¿ 1. Avec les notations de (2.2.3), on a les relations suivantes : (i) × f Ô oXÊ, × n Ô ú, d1(ŸfŸ) = åÊ Ùíkð(ŸfŸ) Ê {k} Ÿn Ô pX,Ê(m) (formule de Taylor). ¾k¾Ê²Ên (ii) × k, i Ô úd, i Ùíkð(tÊi) = qŸ!Êèæ köø ÊtŸiÊ-Êk Ô oXÊ. (iii) × k', k" Ô úd, (iv) × k Ô úd, × f Ô oXÊ, " ík'Ê+Êk k' ð Ù k Ÿf = åÊ k' Ùík'ðÊÙík"ð = ík'Ê+ k"ð ì ü í ý î þ Ùíkð (m) Ô dX . (m) Ùík'ð(ŸfŸ) ÊÙík"ð Ô dX . k'Ê+Êk"Ê=Êk La formule de Taylor rŽsulte de (2.2.1.4) et de la dŽÞnition des Ùíkð comme base duale des {k} . La relation (ii) en rŽsulte d'apr•s (1.3.5.2), puisqu'on a d1(tŸi) = d1(t) i = (d0(t) + ) i. D'autre part, les relations ¶Ên,Ên' (m) ( i) = Ùík'ðÊÙík"ð( {i} i ¿1+1¿ ) = Ùík'ðÊìÊ(Id ¿ Ùík"ð)ÊìʶÊn,Ên' (m) ( {i} i entra”nent que l'on a ) = Ùík'ðÊìÊ(Id ¿ Ùík"ð)(( ¿ 1 + 1 ¿ ){i}), 36 P. BERTHELOT Ên,Ê0 de sorte que (iii) rŽsulte de (1.3.6) (iii). EnÞn, pour prouver (iv), on observe que ¶(m) = Id, de sorte que l'on a gr‰ce ˆ (i) ( ÙíkðŸfŸ)( {i} ) = Ùíkð((1Ê¿ÊfŸ) {i} ) = Ùíkð(( åÊ Ùík'ð(ŸfŸ) Ê {k'} ) {i} ), ¾k'¾Ê²Ên et la formule rŽsulte de (1.3.6) (iv). Remarque. Ñ Les relations (2.2.4) (iii) entra”nent que Ùík'ðÊÙík"ð = Ùík"ðÊÙík'ð. Lorsque k est de la forme k = (0,Ê.Ê.Ê.Ê,Êk,Ê.Ê.Ê.Ê,Ê0), o• k est ˆ la i-i•me place, nous noterons Ùíkð au i íkð Êd lieu de Ù . Pour tout k Ô ú , on peut ainsi Žcrire sans ambigu•tŽ (2.2.4.1) Ùíkð = d ÕÊ Ùiíkið. iÊ=Ÿ1 (2.2.5) C OROLLAIRE . Ñ (i) Sous les hypoth•ses de (2.2.4), le faisceau d'anneaux j j (m) dX est engendrŽ par oX et par les opŽrateurs ÙíŸi pÊ ð = Ù[Ÿi pÊ ], avec 0 ² j ² m, ces derniers commutant deux ˆ deux. (ii) Supposons que S soit un schŽma (resp. schŽma formel) localement nÏthŽrien. Pour tout ouvert afÞne U Ç X (resp. tout x Ô XŸ), l'anneau D(m) = â(U, d(m) ) U X (m) (resp. l'anneau d X,Êx ) est nÏthŽrien ˆ gauche et ˆ droite. mÊ-Ÿ1 Pour k Ô ú, posons k = ÏÊjÊ=Ê0 ajÊpÊj + aŸpm, avec 0 ² aj < p pour tout j. On dŽduit alors de (2.2.4) (ii) et (1.1.3) que mÊ-Ÿ1 (2.2.5.1) ] a ) , Ùiíkð = u( ÕÊ(Ù[Ÿi pÊ ]) aj)Ÿ(Ù[p i j m jÊ=Ê0 avec u Ô ç*(Ÿp) (resp. u = 1 si m = 0), d'o• (i). Si U est un ouvert afÞne de X, il est sŽparŽ et quasi-compact, de sorte que le foncteur â(ŸU, -) commute aux limites inductives [SGAÊ4, VI, 5.2]. L'anneau D(m) est alors muni de la Þltration par U l'ordre, et son graduŽ associŽ est commutatif d'apr•s (2.2.4) (iv). Comme ce dernier est nÏthŽrien, car engendrŽ par les griÊDU(m) = â(ŸU, griÊd(m) ) pour i ² pm d'apr•s X (2.2.5), un argument classique montre que DU(m) est nÏthŽrien (cf. [11, II 5.3] ou [34, I 2.5.1]), et de m•me pour d(m) X,Êx Ê. est engendrŽ par oX et Remarques. Ñ (i) Pour m = 0, on voit donc que l'anneau d(0) X les dŽrivations (cet anneau est notŽ PD-dif fŸXÊ/ÊS(oXÊ, oX) dans [1] ou [9]). (ii) Il rŽsulte par contre de (1.1.1) que, si p n'est pas inversible sur X, et si j ² m, j Ù[Ÿi pÊ ] j'] n'appartient pas au sous-anneau engendrŽ par oX et les Ù[Ÿi pÊ pour j'ÊÊ<ÊÊj. Le m•me argument montre que l'anneau dX des opŽrateurs diffŽrentiels usuels ne j peut •tre engendrŽ par oX et une famille Þnie d'opŽrateurs Ùi[ŸpÊ ], et Žgalement que j l'idŽal ˆ gauche de dX engendrŽ par les Ù[Ÿi pÊ ], pour j Ô ú, n'est pas un idŽal de type Ê“ 37 dÝ -MODULES COHƒRENTS I Þni, de sorte que, m•me si X est localement nÏthŽrien, dX n'est pas en gŽnŽral u n faisceau d'anneaux nÏthŽriens. (2.2.6) PROPOSITION. Ñ Supposons que S soit un schŽma de caractŽristique p, et, pour tout r Ô ú, soit XÊ(r) := S |S X le schŽma dŽduit de X par changement de base par la puissance r-i•me du Frobenius absolu de S. Alors le Frobenius relatif mÊ+Ÿ1 FŸXÊ/ÊS : X ##@ XŸ(mÊ+Ÿ1) envoie oXÊ(mÊ+Ê1) dans le centre de dX(m)Ê; ce dernier s'identiÞe localement ˆ l'alg•bre mÊ+Ÿ1 m des polyn™mes ˆ coefÞcients dans oXÊ(mÊ+Ê1) en les opŽrateurs ÙíŸi p ð(m) = um(Ù[Ÿi p ])Ÿp, avec u ÊÊ= pŸ!Ÿ(ŸpmŸ!)ÊpÊ/ÊpŸmÊ+Ÿ1Ê! Ô ç* . m (Ÿp)Ê Pour montrer que oXÊ(mÊ+Ê1) est contenu dans le centre de dX(m), il sufÞt d'apr•s mÊ+Ÿ1 (2.2.4) (iv) de vŽriÞer que, pour tout k - 0, et tout f Ô oXÊ, on a Ùíkð(ŸfÊp ) = 0, et, n compte tenu de (2.2.4) (i), cela rŽsulte de ce que, dans pŸX,Ê(m) Ê, on a d1(ŸfÊp mÊ+Ÿ1 ) = (Ÿf ¿ 1 + (1 ¿ f - f ¿ 1))Êp mÊ+Ÿ1 mÊ+Ÿ1 m = fÊp ¿ 1 + p!((1 ¿ f - f ¿ 1)Êp )[Ÿp] mÊ+Ÿ1 = fÊp ¿ 1. mÊ+Ÿ1 Pour montrer que les opŽrateurs ÙíŸi p ð appartiennent aussi au centre de dX(m), on applique encore (2.2.4) (iv) en observant que, si l'on pose k' = pŸmq' + r', pŸmÊ+Ÿ1 - k' = pŸmq" + r", avec 0 ² r', r" < pŸm, d'une part mÊ+Ÿ1 {pk' }(m) = pŸ!Ê/Ê(q'Ÿ!Êq"Ÿ!), mÊ+Ÿ1 mÊ+Ÿ1 est divisible par p pour k'ÊÊ- 0, pmÊ+Ÿ1, d'autre part ÙíŸi p ð = pŸ!ÊÙ[Ÿi p ] s'annule sur oXÊ. RŽcipr mÊ+Ÿ1 la forme P = ÏÊn PnÊ(ÙíŸp ð)n, o• les opŽrateurs Pn Ô d(m) sont d'ordre < pŸmÊ+Ÿ1 par X rapport ˆ chacun des ÙiÊ. Si P appartient au centre de d(m) , il en rŽsulte que, pour X tout f Ô oXÊ, et tout n , on a [PnÊ, fŸ] = 0. Fixons n , et posons Pn = ÏÊkÊÊakÊÙíkð, avec ak Ô oXÊ, et ki < pŸmÊ+Ÿ1 pour tout i. Pour montrer que ak = 0 pour k - 0, on ordonne l'ensemble des multi-indices k selon l'ordre lexicographique, et on note h le plus grand multi-indice k tel que ak - 0. Si h - 0, soit i minimum tel que hi - 0. On forme alors [PnÊ, ti] = åÊ {k1 }ÊakÊÙíkÊ-Ê1Ÿ ð, i i 0ʲÊkʲÊpmÊ+Ÿ1Ê-Ÿ1 o• 1Ÿi dŽsigne le multi-indice dont les composantes sont nulles sauf celle d'indice i, qui est Žgale ˆ 1. Si ki = pŸmq + r, ki - 1 = pŸmq' + r', avec 0 ² r, r' < pŸm, on a k k {k1 } = i qŸ!Ê/Êq'Ÿ! si ki ³ 1, et { 1i } = 0 sinon, de sorte que { 1i } est inversible sauf si ki = 0. Comme [PnÊ, ti] = 0, il s'ensuit que h = 0, donc que P est de la forme P = ÏÊn mÊ+Ÿ1 anÊ(ÙíŸp ð)n, avec an Ô oXÊ. On peut alors Žcrire an de mani•re unique sous la forme an = ÏÊr bn,Êr tŸr, avec bn,Êr Ô oXÊ(mÊ+Ê1)Ê, et ri < pŸmÊ+Ÿ1 pour tout i. Soit s un multi-indice tel 38 P. BERTHELOT que si < pŸmÊ+Ÿ1 pour tout i. Le crochet [Ùísð, P] est donnŽ par [ Ùísð, P] = åÊ ( åÊ s ( åÊ {j }bn,ÊrÊÙísÊ-Êjð(tÊr)ÊÙíŸjð))(ÙíŸp 0ʲÊrʲÊpmÊ+Ÿ1Ê-Ê1 n mÊ+Ÿ1ð ) n, jÊ<Ês ce qui s'Žcrit encore d'apr•s (2.2.4) [ Ùísð, P] = ŸmÊ+Ÿ1nÊ+Êj åÊ {sj }íp j ðqsÊ-ÊjÊ!Ê( åÊ (sÊ-r Êj) Êbn,ÊrÊtŸrÊ-ÊsÊ+Êj)ÊÙíŸp mÊ+Ÿ1nÊ+Êjð , sÊ-ÊjʲÊrʲÊpmÊ+Ÿ1Ê-Ÿ1 n jÊ<Ês o• qsÊ-Êj dŽsigne le quotient de s - j par pŸm. Pour n , j, et r variables, avec 0 ² j < s et mÊ+Ÿ1 sÊÊ-ÊÊj ² r ² pmÊ+Ÿ1 - 1, les sections tŸrÊ-ÊsÊ+ÊjÊÙíp nÊ+Êjð sont linŽairement indŽpendantes sur oXÊ(mÊ+Ê1)Ê, de sorte que leurs coefÞcients dans l'expression prŽcŽdente sont nuls. Si s - 0, on peut prendre j = 0, r = s, et on en dŽduit que qsŸ!Êbn,Ês = 0. Comme qsŸ! est inversible, les bn,Ês sont nuls pour s - 0, ce qui montre que les opŽrateurs appartenant au centre de d(m) ont bien la forme annoncŽe. X (2.2.7) P ROPOSITION. Ñ Sous les hypoth•ses de (2.2.6), l'image de l'homomorphisme canonique ¨m : d(m) Ê##@ dX ÊÌ#@ endo (oX) X S est l'anneau des endomorphismes oXÊ(mÊ+Ê1)-linŽaires de oXÊ, et son noyau k est mÊ+Ÿ1 l'idŽal bilat•re de dX(m) engendrŽ localement par les opŽrateurs ÙíŸi p ð(m). De plus, @ dX(m') est pour tout m' > m, le noyau de l'homomorphisme canonique ¨m',Êm : d(m) X aussi Žgal ˆ k, et, si †dX(m) – dX(m)Ê/Êk est l'image de d(m) dans dX(m'), ce dernier est X localement libre sur †dX(m) (ˆ droite et ˆ gauche), de base les opŽrateurs de la forme mÊ+Ÿ1nð (m') ÙíŸp , n Ô úÊd. D'apr•s la proposition prŽcŽdente, l'endomorphisme de oX induit par u n opŽrateur de d(m) est oXÊ(mÊ+Ê1)-linŽaire. Inversement, pour prouver que tout endoX morphisme oXÊ(mÊ+Ê1)-linŽaire de oX appartient ˆ l'image de d(m) , il sufÞt d'observer X gr‰ce ˆ (2.2.4) (ii) que, pour k = pmq + r < pmÊ+Ÿ1, et tout i, les opŽrateurs Ùíkð vŽriÞent i * íkð k íkð h Ùi (ti ) = q! Ô ç(Ÿp)Ê, tandis que Ùi (ti ) = 0 pour h < kÊ; on en dŽduit aisŽment que, si k est tel que ki < pmÊ+Ÿ1 pour tout i, il existe un opŽrateur Pk Ô d(m) tel que Pk( tÊk) = 1, et X Pk( tÊh) = 0 pour h - k, hi < pmÊ+Ÿ1, d'o• l'assertion. un opŽrateur annulant oXÊ. La relation Soit maintenant P = ÏÊk akÊÙíkðÔ d(m) X * íkð k mÊ+Ÿ1 Ù (t ) = q!, avec q! Ô ç lorsque k < p pour tout i, entra”ne alors que a = 0 (Ÿp) i k lorsque ki < pmÊ+Ÿ1 pour tout i. La description du noyau en rŽsulte gr‰ce ˆ (2.2.5.1). Soit k un multi-indice, et posons ki = pŸmqi + ri = pŸmÊ+Ÿ1q'i + r'iÊ, avec 0 ² ri < pŸm, 0Êʲ r'i < pŸmÊ+Ÿ1. D'apr•s (2.2.3.1), l'homomorphisme ¨mÊ+Ÿ1,Êm : d(m) @ dX(mÊ+Ÿ1) envoie X Ùíkð(m) sur qŸ!Ê/Êq'Ÿ!ÊÙíkð(mÊ+Ÿ1). Comme on a q = pŸq' + s, avec 0 ² si < p, on voit que Ê“ 39 dÝ -MODULES COHƒRENTS I d vp(qŸ!Ê/Êq'Ÿ!) = d åÊ(qi - §(qi) - q'i + §(q'i)) Ê/Ê(p - 1) = åÊ q'iÊ, iÊ=Ê1 iÊ=Ê1 de sorte que l'image de Ùíkð(m) dans dX(mÊ+Ÿ1) est nulle si et seulement s'il existe i tel que ki ³ pŸmÊ+Ÿ1. Utilisant encore (2.2.5.1), on voit donc que le noyau de ¨mÊ+Ÿ1,Êm est Žgal ˆ k. Il en est alors de m•me pour celui de ¨m',Êm, car on a Ker(¨mÊ+Ÿ1,Êm) Ç Ker(¨m',Êm) Ç Ker(¨m). Par contre, si ki < pŸmÊ+Ÿ1 pour tout i, qŸ! est inversible dans ç(Ÿp)Ê, et on a ¨m',Êm(Ùíkð(m)) = mÊ+Ÿ1 qŸ!ÊÙíkð(m'). Le fait que d(m') soit libre sur †d(m) avec pour base les ÙíŸp nð(m') rŽsulte X X alors de (2.2.5.1). Remarque. Ñ Dans [35], une confusion malheureuse entre dX(m) et son image dans endo (oX) (p. 279, l. 9-11) invalide les rŽsultats des sections (1.2.5) - (1.2.8). En S particulier, nous montrerons dans un article ultŽrieur que, lorsque X est afÞne, la dimension cohomologique de â(ŸX, dX(m)) est Žgale ˆ 2Êdim(ŸXŸ). De m•me, si x est u n schŽma (ou un schŽma formel) afÞne et lisse sur un anneau de valuation discr•te d'inŽgales caractŽristiques, la dimension cohomologique de â(x, d(m) ) est Žgale ˆ x 2Êdim(ŸXŸ) + 1, ainsi que celle de son complŽtŽ p-adique. (2.3) PD-stratiÞcations de niveau m Nous allons expliciter ici l'interprŽtation d'une structure de dX(m)-module ˆ gauche sur un oXÊ-module e en termes de stratiÞcations, au sens de [1, II 1.3.1]. Cette interprŽtation sera particuli•rement utile dans ce contexte parce que, pour mÊʳÊÊ1, il ne sufÞt plus de spŽciÞer l'action des dŽrivations pour dŽÞnir une structure de d(m) -module ˆ gauche sur e, contrairement au cas des d(0) -modules, ou des X X dXÊ-modules en caractŽristique 0. Le schŽma (resp. schŽma formel) de base S Žtant ÞxŽ, nous omettrons de prŽciser l'indice S dans ce qui suit. Si m = 0, les rŽsultats qui suivent sont valables sans supposer que S soit un ç(Ÿp)-schŽma. (2.3.1) DŽÞnition. Ñ Soient X @ S un morphisme lisse de ç (Ÿp)-schŽmas (resp. schŽmas formels), e un oXÊ-module. Une m-PD-stratiÞcation (ou PD-stratiÞcation de niveau m) ª sur e relativement ˆ S est la donnŽe d'une famille compatible d'ison morphismes p ŸX,Ê(m) -linŽaires Ÿn ›Ê e ¢ pŸn ªn : pX,Ê(m) ¢oX e Ê#@ oX X,Ê(m) Ê, o• les produits tensoriels sont respectivement pris pour les structures droite et n gauche de pŸX,Ê(m) Ê, ces isomorphismes Žtant astreints aux conditions suivantes : 40 P. BERTHELOT (i) ª0 = IdeÊ; (ii) Pour tous n, n', le diagramme Ên,Ên' * ¶(m) Ê (ªnÊ+Ên') n n' Ÿn n' pŸX,Ê(m) ¢ pŸX,Ê(m) ¢ e Ê#####@ e ¢ pX,Ê(m) ¢ pŸX,Ê(m) › (2.3.1.1) Ên,Ên'Ê* q1 › (ªnÊ+Ên') › Ên,Ên'Ê* q0 (ªnÊ+Ên') n n' pŸX,Ê(m) ¢ e ¢ pŸX,Ê(m) , dont les ß•ches sont obtenues par extension des scalaires gr‰ce ˆ l'homomorphisme Ên,Ên' dŽÞni en (2.1.3) et aux homomorphismes naturels ¶(m) nÊ+Ên' Ÿn n n' q0Ên,Ên' : pŸX,Ê(m) Ê##@ pX,Ê(m) Ê##@ pŸX,Ê(m) ¢ pŸX,Ê(m) Ê, nÊ+Ên' n' n n' Ê##@ pŸX,Ê(m) Ê##@ pŸX,Ê(m) ¢ pŸX,Ê(m) q1Ên,Ên' : pŸX,Ê(m) Ê, est commutatif. n n : pŸX,Ê(m) @ pŸX,Ê(m) (2) est l'homomorphisme correspondant ˆ la Si qÊn i,Êj Ê3 Ê2 projection de X sur X dŽÞnie par les facteurs d'indices i, j, il est facile de voir que cette derni•re condition (condition de cocycle) Žquivaut ˆ (2.3.1.2) × n, Ên * Ên * Ên * q0Ê2 (ªn) = q0Ê1 (ªn) ì q1Ê2 (ªn). Un homomorphisme oXÊ-linŽaire Ä : e @ f entre modules munis de m-PD-stratiÞcations est dit horizontal s'il commute aux isomorphismes ªn pour e et f en un sens Žvident. (2.3.2) PROPOSITION. Ñ Soit e un oXÊ-module. Il y a Žquivalence entre les donnŽes suivantes : a) Une structure de d(m) -module ˆ gauche sur e prolongeant sa structure d e X o XÊ-moduleÊ; b) Une famille compatible d'homomorphismes oXÊ-linŽaires Ÿn Æn : e Ê##@ e ¢ pX,Ê(m) (ce dernier Žtant considŽrŽ comme o XÊ-module par l'intermŽdiaire de la structure n droite de pŸX,Ê(m) Ê), telle que Æ0 = IdeÊ, et que pour tous n, n', le diagramme ŸnÊ+Ên' IdʿʶÊn,Ên' (m) n n' ¢ pŸX,Ê(m) e ¢ pX,Ê(m) Ê####@ e ¢ pŸX,Ê(m) (2.3.2.1) ÆÊnÊ+Ên' û û É É ÆnÊ¢ÊId É É Æ n' e ##### n'###@ e ¢ pŸX,Ê(m) soit commutatifÊ; c) Une m-PD-stratiÞcation ª = (ªn) sur e. De plus, un homomorphisme oXÊ-linŽaire Ä : e @ f entre deux d(m) -modules ˆ gauX che est dX(m)-linŽaire si et seulement s'il commute aux homomorphismes Æn (resp. Ê“ dÝ -MODULES COHƒRENTS I 41 aux isomorphismes ªn), i. e. s'il est horizontal. La mŽthode est standard [1, II 4.1-4.2], et due ˆ Grothendieck dans le cas des opŽrateurs diffŽrentiels usuels. Rappelons bri•vement comment on passe d'une structure ˆ l'autre. Une structure de d(m) -module ˆ gauche sur un oXÊ-module e fournit une X famille compatible d'homomorphismes µn : d(m) X,Ên ¢oX e Ê@ e, o• le produit tensoriel (m) est pris pour la structure droite de oXÊ-module de dX,Ên , µn Žtant lui-m•me oXÊlinŽaire pour la structure gauche. Cette donnŽe Žquivaut par adjonction ˆ celle d'une famille d'homomorphismes oXÊ-linŽaires ›Ê e ¢ pŸn Æn : e Ê#@ homo (d(m) , e) Ê#@ X,Ê(m) Ê, X X , et est considŽrŽ o• le faisceau homo est pris pour la structure gauche de d(m) X X (m) comme oXÊ-module par la structure droite de dX Ê; la commutativitŽ des diagrammes (2.3.2.1) traduit alors l'associativitŽ de l'action de dX(m) sur e. Les isomorphisn mes ªn sont les factorisations pŸX,Ê(m) -linŽaires des ÆnÊ, et la commutativitŽ de (2.3.2.1) correspond ˆ la condition de cocycle (2.3.1.1). En coordonnŽes locales, et avec les notations de (2.2.3), l'application Æn est celle qui associe ˆ une section x Ô e son ÒdŽveloppement de TaylorÓ : (2.3.2.2) Æn(x) = åÊ Ùíkðx ¿ {k} . ¾k¾Ê²Ên L'expression de ªn s'en dŽduit aussit™t par linŽaritŽ, et on vŽriÞe que c'est un isomorphisme en observant que son inverse est donnŽ par (2.3.2.3) åÊ 1 ªÊ-Ÿ n (x ¿1) = (-1) ¾k¾ {k} ¿ Ùíkðx. ¾k¾Ê²Ên On dŽduit de ces formules le corollaire suivant : -modules ˆ gauche. (2.3.3) COROLLAIRE. Ñ Soient e, f deux d (m) X (i) Il existe sur le produit tensoriel e ¢o f une unique structure de d(m) X X module ˆ gauche telle que, pour tout k, et toutes sections x de e, y de f, on ait (2.3.3.1) Ùíkð.(x ¿ y) = åÊ ìk ü í ý îi þ Ùíiðx ¿ ÙíkÊ-Êiðy. iʲÊk (ii) Il existe sur le faisceau homo (e, f) une unique structure de d(m) -module X X ˆ gauche telle que, pour tout k, tout morphisme Ä : e @ f, et toute section x de e, on ait (2.3.3.2) ( ÙíkðÄ)(x) = åÊ (-1) iʲÊk ¾i¾ìík üý îi þ ÙíkÊ-Êið(Ä(Ùíiðx)). 42 P. BERTHELOT (2.3.4) DŽÞnition. Ñ Soit b une oXÊ-alg•bre commutative. On dira qu'une structure de dX(m)-module ˆ gauche sur b est compatible ˆ sa structure d'alg•bre, si la structure de oXÊ-module sous-jacente ˆ la structure de dX(m)-module est celle qu'induit la n n structure de oXÊ-alg•bre, et si les isomorphismes ªn : pŸX,Ê(m) ¢ b Ê#ÊÊ›Ê@ b ¢ pŸX,Ê(m) de Ÿn la m-PD-stratiÞcation correspondante sont des isomorphismes de p X,Ê(m) -alg•bres. Il rŽsulte de (2.3.2.2) que cette condition s'exprime en coordonnŽes locales par la formule de Leibnitz × f, g Ô b, × k Ô úÊd, (2.3.4.1) Ùíkð(Ÿfg) = åÊ ki ì ü í ý î þ Ùíiðf ÙíkÊ-Êiðg. iʲÊk Exemples. Ñ (i) Soient Y Ç X un sous-schŽma fermŽ dŽÞni par un idŽal j Ç oXÊ, et ^oXÊ/ÊY = lim Ò# oXÊ/ÊjÊi le complŽtŽ formel de X le long de Y. D'apr•s (2.0.2), l'action de dX sur oX vŽriÞe la formule de Leibnitz. Par rŽcurrence sur n, puis sur k, il en (m) rŽsulte qu'elle dŽÞnit des accouplements dX,Ên | jk @ jkÊ-Ên, d'o• une structure de dXÊ-module ˆ gauche sur ^oXÊ/ÊY qui est compatible ˆ sa structure de oXÊ-alg•bre. Par composition avec ¨m: dX(m) @ dXÊ, on obtient donc sur ^oXÊ/ÊY une structure compatible de d(m) -module ˆ gauche. X (ii) Sous les hypoth•ses prŽcŽdentes, soit p(m)(Ÿj) la m-PD-enveloppe de j. On n munit p(m)(Ÿj) d'une m-PD-stratiÞcation de la mani•re suivante. Soient Ÿ`i Ç pŸX,Ê(m) le m-PD-idŽal canonique, et Œ sa m-PD-structure. Posons Êi n n n .j + Ÿ`i. j' = j.pŸX,Ê(m) Ê+ÊŸ`i = Ker(pŸX,Ê(m) @ oXÊ/Êj) = pŸX,Ê(m) On dispose alors d'un homomorphisme canonique (2.3.4.2) Ÿn Ê#@ p(m),ÊŒ(Ÿj'), p(m)(Ÿj) ¢o pX,Ê(m) X qui est un isomorphisme. Pour le voir, il sufÞt de montrer qu'il existe sur l'idŽal n Ê+Êp(m)(Ÿj)Ê¢o ÊŸ`i une m-PD-structure prolongeant celles de Ÿ`j et Ÿ`i , car Ÿ`jÊÊ¢o pŸX,Ê(m) X X n elle fournit alors un m-PD-morphisme inverse de (2.3.4.2). Or pŸX,Ê(m) est localement isomorphe au quotient d'une alg•bre de polyn™mes ˆ puissances divisŽes de niveau m, ˆ coefÞcients dans oXÊ, par le n-i•me cran de sa Þltration m-PD-adique, et, par n garde la m•me structure. De plus, extension des scalaires, p(m)(Ÿj) ¢o pŸX,Ê(m) X d'apr•s (1.5.1) (iii), la m-PD-structure canonique de p(m)(Ÿj) ¢o Ÿ`i est compatible ˆ X toute m-PD-structure sur un idŽal de l'anneau de coefÞcients p(m)(Ÿj), ce qui entra”ne l'existence de la m-PD-structure cherchŽe. Comme le m•me argument fournit un isomorphisme canonique n ›Ê p pŸX,Ê(m) ¢o p(m)(Ÿj) #@ (m),ÊŒ(Ÿj'), X on en dŽduit la m-PD-stratiÞcation (ªn) cherchŽe. Soient t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtd des coordonnŽes locales sur X. Par construction, on a ªn(1 ¿ tÊ{i}) = (t ¿ 1 + ){i}, Ê“ 43 dÝ -MODULES COHƒRENTS I d'o• l'on dŽduit la relation (2.3.4.3) × k, i Ô úÊd, ÙíkðŸt{i} = íki ð t {iÊ-Êk} . (iii) Soit Z Ç X un diviseur. Nous construirons en (4.2.3) des oXÊ-alg•bres com. Lorsque X est u n mutatives bX(Z, r), munies d'une action compatible de d(m) X schŽma formel, leurs complŽtŽes p-adiques fourniront des mod•les entiers pour les alg•bres de fonctions analytiques sur certains voisinages stricts du tube du complŽmentaire de Z. Les anneaux d'opŽrateurs diffŽrentiels qu'on en dŽduit gr‰ce ˆ la proposition suivante jouent un r™le fondamental dans la thŽorie des coefÞcients pour les variŽtŽs non propres. La condition de compatibilitŽ introduite plus haut permet en effet de munir le produit tensoriel bÊÊ¢o dX(m) d'une structure canonique de faisceau d'anneaux, X auquel s'Žtend naturellement la Þltration par l'ordre de dX(m) : (2.3.5) P ROPOSITION. Ñ Soit b une oXÊ-alg•bre commutative, munie d'une structure de d(m) -module ˆ gauche compatible avec sa structure de oXÊ-alg•bre. Il existe X une unique structure de faisceau d'analors sur le produit tensoriel bÊÊ¢o d(m) X X neaux telle que les morphismes b @ bÊÊ¢o d(m) , b ˜ÊÊ@ b ¿ 1, et dX(m) @ bÊÊ¢o d(m) , X X X X PÊʘÊÊ@ 1 ¿ P, soient des homomorphismes d'anneaux, que (b ¿ 1)(1 ¿ P) = b ¿ P pour tous b Ô b, P Ô dX(m), et que, pour tout syst•me de coordonnŽes locales sur X, tout k, et tout b Ô b, on ait (2.3.5.1) (1 ¿ Ùíkð).(b ¿ 1) = åÊ ìk ü í ý îi þ ÙíkÊ-Êiðb ¿ Ùíið. iʲÊk Si b' est une b-alg•bre commutative munie d'une structure compatible de d(m) X (m) (m) (m) module, telle que bÊÊ@ b' soit dX -linŽaire, le morphisme bÊÊ¢o dX @ b'ÊÊ¢o dX X X est un homomorphisme d'anneaux. L'unicitŽ est claire. Pour dŽÞnir la multiplication sur bÊÊ¢o dX(m), on Žcrit X (m) bÊÊ¢o dX X ›Ê hom (pŸn Ê#@ o X,Ê(m) Ê, b). X n n' @ b et de P' : pŸX,Ê(m) @ b comme le On dŽÞnit alors le produit PP' de P : pŸX,Ê(m) composŽ ¶Ên,Ên' IdÊ¿ÊP' ª PÊ¿ÊId µ (m) nÊ+Ên' Ÿn n' n Ê nÊÊÊÊ b ¢ pŸn pŸX,Ê(m) Ê#@ pX,Ê(m) ¢ pŸX,Ê(m) Ê#@Ê pŸX,Ê(m) ¢ b Ê#@ X,Ê(m) Ê#@ b ¢ b Ê#@ b, ›ÊÊ o• ªn est la m-PD-stratiÞcation dŽÞnie par la structure de dX(m)-module de b, et µ la multiplication de b. La seule vŽriÞcation nŽcessaire est celle de l'associativitŽ de l'opŽration ainsi dŽÞnie : elle rŽsulte d'un diagramme commutatif qu'on laisse au lecteur le soin d'expliciter, et o• interviennent le triangle (2.3.1.1) exprimant la 44 P. BERTHELOT condition de cocycle pour les ªnÊ, et la compatibilitŽ des ªn avec µ. La formule (2.3.5.1) rŽsulte immŽdiatement de cette dŽÞnition, et des formules prŽcŽdentes. La derni•re assertion rŽsulte de ce qu'un homomorphisme dX(m)-linŽaire est horizontal. Remarques. Ñ (i) L'homomorphisme d(m) @ bÊÊ¢o d(m) munit bÊÊ¢o d(m) de deux X X X X X (m) (m) structures de dX -module. La structure de dX -module ˆ droite est dŽÞnie par la , et la structure de dX(m)-module ˆ multiplication ˆ droite par les opŽrateurs de d(m) X gauche co•ncide avec la structure produit tensoriel dŽÞnie en (2.3.3). (ii) On voit comme en (2.3.2) que la donnŽe d'une structure de (bÊÊ¢o dX(m))X module ˆ gauche sur un b-module e est Žquivalente ˆ la donnŽe d'une m-PDstratiÞcation dont les isomorphismes ª : pŸn ¢ e Ê#ÊÊ›Ê@ e ¢ pŸn sont semin X,Ê(m) oX oX X,Ê(m) n n linŽaires par rapport aux isomorphismes pŸX,Ê(m) ¢o b Ê#ÊÊ›Ê@ b ¢o pŸX,Ê(m) de la mX X PD-stratiÞcation de b. (iii) Soient b @ b' un homomorphisme d'alg•bres vŽriÞant les propriŽtŽs de l'ŽnoncŽ, et e un (b ¢o d(m) )-module ˆ gauche. Gr‰ce ˆ la remarque prŽcŽdente, X X b' ¢b e est muni d'une structure naturelle de (b' ¢o d(m) )-module. On vŽriÞe X X alors aisŽment que l'homomorphisme canonique (2.3.5.2) b' ¢b e Ê##@ (b' ¢o d(m) ) ¢bÊ¢Êd(m) e X X est un isomorphisme de (b' ¢o X X d(m) )-modules. X (2.3.6) P ROPOSITION . Ñ Soient X @ S un morphisme lisse de schŽmas (resp. schŽmas formels), b une oXÊ-alg•bre commutative munie d'une structure compatible d e d (m) -module ˆ gauche. Pour tout ouvert afÞne U Ç X, l'homomorphisme canonique X (2.3.6.1) â(U, b) ¢â(U, o ) â(U, dX(m)) Ê##@ â(U, bÊÊ¢o dX(m)) X X est un isomorphisme. Si â(U, b) (resp. si la Þbre bx en un point x Ô XŸ) est u n ) (resp. (bÊÊ¢o dX(m))x) est nÏthŽrien ˆ gauche anneau nÏthŽrien, â(U, bÊÊ¢o d(m) X X X et ˆ droite. Pour tout n, le faisceau d(m) UÊÊn est un oUÊ-module localement libre, donc facteur direct d'un oUÊ-module libre de type Þni. Comme l'homomorphisme (2.3.6.1) est u n (m) isomorphisme lorsque d(m) est remplacŽ par un tel module, il l'est encore pour dUÊÊn X . Comme U est quasi-compact et sŽparŽ, le foncteur â(U, -) commute aux limites inductives, et l'assertion pour dX(m) en rŽsulte. La derni•re assertion se dŽmontre alors comme (2.2.5) (ii). Nous terminerons cette section en introduisant pour les d(m) -modules une X notion de nilpotence analogue ˆ celle de connexion nilpotente [29]. (2.3.7) P ROPOSITION . Ñ Soient X @ S un morphisme lisse de schŽmas, e un d(m) X Ê“ 45 dÝ -MODULES COHƒRENTS I module ˆ gauche. On suppose que p est localement nilpotent sur S, et qu'il existe sur X un syst•me de coordonnŽes locales t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊtnÊ. Les conditions suivantes sont Žquivalentes : (i) Pour toute section e de e, il existe localement un entier N tel que Ùíkðe = 0 pour ¾k¾ ³ N. (ii) La condition (i) est satisfaite pour tout syst•me de coordonnŽes locales sur un ouvert de X. (iii) Il existe un isomorphisme ›Ê e ¢ p ª : pX,Ê(m) ¢o e Ê#@ o X,Ê(m) x x n vŽriÞant la condition de cocycle, et induisant par rŽduction sur les p ŸX,Ê(m) la m-PDstratiÞcation de e. De plus, cet isomorphisme est alors unique. Gardons les notations de (2.2.3). Comme p est localement nilpotent sur S, il rŽsulte de (1.5.3) que pX,Ê(m) est libre sur oX de base les {k}, avec k Ô ú Ÿd. Si la condition (i) est satisfaite, on peut encore dŽÞnir une application Æ : e @ e ¢o pX,Ê(m) en X posant Æ(e) = ÏÊk Ùíkðe ¿ {k} pour toute section e de eÊ; on vŽriÞe qu'elle est oXÊlinŽaire pour la structure droite de pX,Ê(m)Ê, de sorte qu'on obtient par factorisation l'homomorphisme ª. Il est clair qu'il induit les isomorphismes ªn donnant la m-PDstratiÞcation de e, et la condition de cocycle en dŽcoule. Pour voir que ª est un isomorphisme, on construit l'isomorphisme inverse par factorisation de l'application Æ' : e @ pX,Ê(m) ¢o e dŽÞnie par Æ'(e) = ÏÊk (-1)¾k¾Ê {k} ¿ Ùíkðe. Inversement, si la X condition (iii) est satisfaite, on dŽduit de (2.3.2.2) que les composantes de ª(1 ¿ e) dans la base formŽe des {k} sont les Ùíkðe (ce qui montre l'unicitŽ de ª lorsque la m-PD-stratiÞcation est donnŽe). Comme les sections sur les ouverts afÞnes commutent aux sommes directes, il existe donc pour chaque point de X un voisinage sur lequel les Ùíkðe sont nuls sauf un nombre Þni. La condition (iii) Žtant indŽpendante du choix d'un syst•me de coordonnŽes locales, la condition (ii) en rŽsulte. DŽÞnitions. Ñ Soit X un S-schŽma lisse, sur lequel p est localement nilpotent. Nous dirons que e est un d(m) -module quasi-nilpotent s'il vŽriÞe les conditions de la X proposition au voisinage de tout point de XÊ; nous dirons qu'il est nilpotent si l'entier N peut •tre pris indŽpendamment de la section e. De m•me, nous dirons qu'une m-PD-stratiÞcation sur un oXÊ-module e est quasi-nilpotente si elle vŽriÞe la condition (iii) de la proposition. Si X est un schŽma formel, de rŽduction Xi modulo pi, nous dirons qu'un d(m) -module e est topologiquement quasi-nilpotent (resp. topoX (m) logiquement nilpotent) si sa rŽduction mod pi est un dX -module quasi-nilpotent i (resp. nilpotent). C'est le cas par exemple si la structure de d(m) -module de e est induite par une X (mÊ+Ÿ1) structure de dX -module, car, pour tout i, on a alors ÙíŸi kð(m)Ÿe = (q!Ê/Êq'Ÿ!)ÙíŸi kð(mÊ+Ÿ1)Ÿe, avec k = pmq + r = pmÊ+Ÿ1q' + r', 0 ² r < pm, 0 ² r' < pmÊ+Ÿ1, et qŸ!Ê/Êq'Ÿ! @ 0 pour la topologie p-adique. Cette condition est vŽriÞŽe par oXÊ, qui est donc un dX(m)-module 46 P. BERTHELOT nilpotent lorsque p est nilpotent sur X, et il en rŽsulte alors que tout d(m) -module de X type Þni quasi-nilpotent est nilpotent. (2.4) Passages ˆ la limite Comme en (2.1.5), on dŽsigne par v un anneau de valuation discr•te complet, d'inŽgales caractŽristiques (0, p), d'idŽal maximal µ, de corps rŽsiduel k, de corps des fractions K, d'indice de ramiÞcation absolu e. On Þxe un v-schŽma formel s (dont µÊox est par hypoth•se un idŽal de dŽÞnition), et, pour tout iÊʳÊÊ0, on note Si la rŽduction de s modulo µiÊ+Ÿ1. Si x est un s-schŽma formel, on pose de m•me Xi = xÊÊ|s SiÊ; pour iÊÊ=ÊÊ0, on note simplement X la rŽduction de x sur k. Les opŽrateurs diffŽrentiels considŽrŽs sur x (resp. Xi) sont relatifs ˆ s (resp. Si). On rappelle que les schŽmas formels considŽrŽs sont toujours supposŽs localement nÏthŽriens. (2.4.1) Soit x un s-schŽma formel lisse. On notera ^dx le faisceau d'anneaux obtenu par complŽtion p-adique du faisceau des opŽrateurs diffŽrentiels usuels le complŽtŽ (relativement ˆ s), et, pour tout entier m ³ 0, on notera de m•me ^d(m) x (m) p-adique du faisceau dx . Compte tenu de (2.2.2), on a donc (2.4.1.1) ^d(m) x = lim Êi dx(m)Ê/ʵŸiÊ+Ÿ1Ÿdx(m) Ê#ÊÊ›Ê@ lim Êi d(m) Xi . Ò# Ò# et ^dx de la Þltration par l'ordre. On ne dispose plus sur les faisceaux ^dx Localement, leurs sections peuvent •tre dŽcrites comme des opŽrateurs diffŽrentiels d'ordre inÞni : si uÊÊÇ x est un ouvert afÞne sur lequel il existe des coordonnŽes locales t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊtdÊ, toute section P Ô â(u, ^d(m) ) (resp. P Ô â(u, ^dx) peut s'Žcrire de x mani•re unique (m) P = (2.4.1.2) åÊ akÊÙíkð (resp. P = k åÊ akÊÙ[k]) k o• les ak Ô â(u, ox) tendent vers 0 pour la topologie p-adique. Pour m variable, les faisceaux ^d(m) forment un syst•me inductif de faisceaux x d'anneaux, et on pose . d“x = lim Êm ^d(m) x (2.4.1.3) #@ Par passage ˆ la limite, on dispose donc d'un homomorphisme canonique de faisceaux d'anneaux d“x @ ^dxÊ. EnÞn, pour tout faisceau abŽlien E, nous noterons E Ý le faisceau E ¢ Ý. On introduit ainsi les faisceaux (2.4.1.4) (m) ^dx,ÊÝ = ^dx(m) ¢ Ý, d“x,ÊÝ = d“x ¢ Ý. Comme x est localement nÏthŽrien, son idŽal de p-torsion est localement annulŽ par une puissance Þxe de p. Il rŽsulte donc de (2.2.3) et (2.4.1.2) que, pour (m) (m) @ ^d(m') tous m ² m', l'homomorphisme canonique ^dx,ÊÝ x,ÊÝ (resp. ^dx,ÊÝ @ ^dx,ÊÝ) est Ê“ 47 dÝ -MODULES COHƒRENTS I injectif, de sorte que l'on obtient les injections (2.4.1.5) (0) ^dx,ÊÝ (m) “ Ì@ ^d(1) x,ÊÝ Ì@ .Ê.Ê. Ì@ ^dx,ÊÝ Ì@ .Ê.Ê. Ì@ dx,ÊÝ Ì@ ^dx,ÊÝÊ. Lorsque ox est sans p-torsion (ce qui est le cas par exemple si s = SpfÊv), on a de plus les inclusions ^d(m) x (m) Ì@ ^dx,ÊÝ Ê, d“x Ì@ d“x,ÊÝÊ, ^dx Ì@ ^dx,ÊÝÊ, ainsi que d“x = (2.4.1.6) ô ^dx(m) mʳÊ0 Ì@ ^dxÊ. Par passage ˆ la limite, le faisceau ^dx op•re sur oxÊ, de sorte qu'il en est de “ m•me des faisceaux ^dx(m) et d“xÊ. De m•me, les faisceaux ^d(m) x,ÊÝ et dx,ÊÝ op•rent sur le faisceau ox,ÊÝ = ox ¢ Ý. Nous dirons que ^dx(m) (resp. d“xÊÊ, ^dx) est le faisceau des opŽrateurs diffŽrentiels d'ordre inÞni et de niveau m (resp. de niveau Þni, de niveau inÞni) sur x. (2.4.2) Pour donner une description analogue ˆ (2.4.1.2) pour les sections de dx“ sur un ouvert afÞne u, il peut •tre commode d'utiliser une norme sur A = â(u, ox). Pour simpliÞer, on supposera ici que s = SpfÊv. Comme ox est alors sans p-torsion, A s'injecte dans AK = A ¢v K, qui est une K-alg•bre de Tate. On dispose donc sur celle-ci des normes quotients associŽes aux prŽsentations AK Ê#ÊÊ›Ê@ K{T1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊTr}Ÿ/ÊI de AK comme quotient d'une alg•bre de sŽries formelles restreintes sur K, et ˆ la norme standard de K{T1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊTr}. Ces normes, qui font de AK une K-alg•bre de Banach, sont toutes Žquivalentes et sont appelŽes normes de Banach sur AKÊ; comme AK est rŽduit, elles sont aussi Žquivalentes ˆ la norme spectrale sur le spectre maximal SpmÊŸAK (cf. [12, 6.2.4, th. 1]). On observera d'autre part que, pour la norme spectrale sur AKÊ, la condition bk Ô A Žquivaut ˆ ®bk®Êʲ 1 : en effet, si b Ô AK vŽriÞe ®b® ² 1, b est entier sur A [12, 6.3.5, th. 1 et 5.1.4, cor. 6]Ê; Žcrivant b = b'Ê/ʹr, o• ¹ est une uniformisante de A et b' Ô A - ¹ÊA, le fait que AÊ/ʹÊA soit lisse sur k, donc rŽduit, entra”ne que r ² 0. Nous noterons par ®-® l'une quelconque des normes considŽrŽes ici, les conditions de dŽcroissance qui suivent Žtant indŽpendantes de la norme choisie. + r(m) , avec 0 ² r(m) < pm. (2.4.3) LEMME. Ñ Pour m, k Ô ú, posons k = pmq(m) k k k (i) Pour tout m Ô ú, il existe Ú' < 1, c' ÔÊé tels que ¾Ÿq(m) !¾ ² c'Ú'Ÿk pour tout k. k (ii) Pour tout Ú < 1, il existe m ÔÊú, c Ô é tels que Úk ² cŸ¾Ÿq(m) !¾ pour tout k. k Pour m ÞxŽ, et k Ô ú, posons q = q(m) , d'o• (k - pm)Ÿ/Êpm < q ² kÊ/Êpm. Rappelons k que vp(qŸ!) = (q - §(q))Ê/Ÿ(Ÿp - 1)Ê; compte tenu de la majoration × q ³ 0, §(q) < (Ÿp - 1)(logp(qÊ+Ê1) + 1), 48 P. BERTHELOT on en tire l'estimation (2.4.3.1) kÊ/Êpm(Ÿp - 1) - logp(kÊ+Ê1) - pÊ/Ÿ(Ÿp - 1) < vp(qŸ!) ² kÊ/Êpm(Ÿp - 1). Le lemme en rŽsulte. (2.4.4) P ROPOSITION. Ñ Soient x un v-schŽma formel lisse, u un ouvert afÞne d e x, muni de coordonnŽes locales t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊtdÊ, A = â(u, ox), ®-® une norme de Banach sur AKÊ. Pour tout opŽrateur (2.4.4.1) P = åÊ akÊÙ[k] k = åÊ akÊÙkÊ/ÊkŸ! Ô â(u, ^dx), k soit Pi Ô â(UiÊ, dXi) la rŽduction de P modulo µiÊ+Ÿ1. Les conditions suivantes sont alors Žquivalentes : (i) L'opŽrateur P appartient ˆ â(u, d“x)Ê; (ii) Il existe des constantes Œ, º Ô é, Œ > 0, telles que (2.4.4.2) ordÊ(Pi) ² ŒŸi + º. (iii) Il existe des constantes c, Ú Ô é, avec Ú < 1, telles que, quel que soit k, (2.4.4.3) ®ak® ² cŸÚ¾k¾. Comme u est quasi-compact et sŽparŽ, le foncteur â(u, -) commute aux limites inductives, de sorte que â(u, d“x) = ôm â(u, ^d(m) ). Soient A = â(u, ox), x (m) PÊÊÔÊÊâ(u, ^dx ). On peut Žcrire P sous la forme P = åÊ bkÊÙíkð = k åÊ qŸ!ÊbkÊÙ[k], k o• les coefÞcients bk Ô A tendent vers 0 pour ¾k¾ @ &, et o•, pour tout k Ô ú, on pose k = pmq + r, 0 ² r < pm. Si vµ dŽsigne la valuation de v, le lemme prŽcŽdent entra”ne qu'il existe des constantes a > 0, b Ô é, telles que, pour tout k Ô ú, on ait vµ(qŸ!) = eŸvp(qŸ!) ³ aŸk + b. Par suite, qŸ!Êbk Ô µiÊ+Ÿ1ŸA d•s que ¾k¾ÊʳÊÊ(i - b + 1)Ê/Êa, d'o• (2.4.4.2). Pour montrer que (ii) ¦ (iii), on peut prendre pour ®-® la norme spectrale de AKÊ, de sorte que ®b® ² 1 pour tout b Ô A. La condition (2.4.4.2) entra”ne alors que ®bk® ² p-Ÿ(iÊ+Ÿ1)Ÿ/Êe pour tout i tel que i < (¾k¾ - º)Ÿ/ÊŒ. On obtient donc ®bk® ² p-Ÿ(¾k¾Ê-ʺ)Ÿ/ÊeŒ, d'o• la condition (2.4.4.3). Soit enÞn P = ÏÊk akÊÙ[k] Ô â(u, ^dx) un opŽrateur dont les coefÞcients ak vŽriÞent une condition de la forme (2.4.4.3), et prenons encore pour norme la norme spectrale. Il faut alors montrer que, pour m assez grand, les coefÞcients bk Ô AK dŽÞnis par bk = akÊ/ÊqŸ! (o• on a posŽ k = pmq + r, avec 0 ² ri < pm pour tout i), sont dans A pour tout k, et tendent vers 0 pour la topologie µ-adique. Si l'on pose vp(ak) = -ÊÊlogpÊ®ak®, la relation ®ak® ² cŸÚ¾k¾ peut •tre Žcrite sous la forme vp(ak) ³ ¾k¾ + µ, avec  > 0. On obtient alors d'apr•s le lemme vp(bk) = vp(ak) - vp(qŸ!) ³ ( - 1Ÿ/Êpm(ŸpÊ-Ÿ1))¾k¾ + µ, Ê“ dÝ -MODULES COHƒRENTS I 49 ce qui montre qu'en choisissant m assez grand, on assure que bk @ 0 pour ¾k¾ @ &. D'apr•s (2.4.2), la condition bk Ô A Žquivaut ˆ ®bk® ² 1. Or on voit que vp(bk) ³ 0 d•s que ¾k¾ ³ - µ(ÂÊ-Ê1Ÿ/Êpm(ŸpÊ-Ÿ1))-Ÿ1. IlÊreste donc ˆ observer que, lorsque µ < 0, on peut prendre m assez grand pour avoir qÊÊ= 0 tant que ¾k¾ < - µ( - 1Ÿ/Êpm(ŸpÊ-Ÿ1))-Ÿ1 : en effet, il sufÞt de choisir m tel que l'on ait pmÊÊ> -Êʵ( - 1Ÿ/Êpm(ŸpÊ-Ÿ1))-Ÿ1, i. e. pm > Â-Ÿ1(- µ + 1Ÿ/Ÿ(ŸpÊ-Ÿ1)). Remarque. Ñ On voit donc appara”tre de la sorte, pour caractŽriser les opŽrateurs P Ô â(u, d“x), des conditions de dŽcroissance sur les coefÞcients analogues ˆ celles de Monsky-Washnitzer (cf. [37] ou [41]). Si f Ô A est tel que V(ŸfŸ) soit une hypersurface lisse, ou une intersection d'hypersurfaces lisses se coupant transversalement, la AÝ-alg•bre A“fÊÝÊ, o• A“f est la complŽtŽe faible de l'anneau de fractions AfÊ, est engendrŽe sous l'action de â(u, d“x,ÊÝ) par 1Ÿ/Êf [4, 4.2.2 et 4.3.2]. On conjecture que, sans hypoth•se sur f, il existe encore un nombre Þni d'ŽlŽments de A“f engendrant A“f en tant que â(u, d“x,ÊÝ)-module. 3. ThŽor•mes de cohŽrence Nous allons examiner maintenant les propriŽtŽs de Þnitude des complŽtŽs d'anneaux d'opŽrateurs diffŽrentiels construits prŽcŽdemment, et prouver pour les modules cohŽrents sur ceux-ci les analogues des thŽor•mes A et B pour les modules oXÊ-cohŽrents. Pour la commoditŽ des rŽfŽrences, nous regrouperons dans les premi•res sections divers rappels et gŽnŽralisations simples de rŽsultats classiques. Rappelons tout d'abord (cf. [40] ou [23, (0I, 5.3)]) que, si d est un faisceau d'anneaux sur un espace topologique X quelconque, et m un d-module ˆ gauche, on dit que m est cohŽrent s'il est de type Þni sur d, et si, pour tout ouvert U Ç X et tout morphisme Ä : (d¾ÊU)r @ m¾ÊUÊ, le noyau de Ä est de type Þni sur d. On dit que d est un faisceau d'anneaux cohŽrent s'il est cohŽrent en tant que d-module ˆ gauche. Lorsque d est cohŽrent, un d-module ˆ gauche est cohŽrent si et seulement s'il est localement de prŽsentation Þnie. Quel que soit d, la catŽgorie des d-modules cohŽrents est abŽlienne. Dans la section (3.1), nous traitons d'abord le cas des faisceaux d'opŽrateurs d'ordre Þni, pour lesquels la cohŽrence rŽsulte simplement de la quasi-cohŽrence sur oX et de la nÏthŽrianitŽ. Apr•s avoir fait en (3.2) quelques rappels sur les complŽtions dans le cas des anneaux nÏthŽriens non nŽcessairement commutatifs, nous Žtudions en (3.3) les modules cohŽrents sur des anneaux tels que ^d(m) , lorsque x x est un v-schŽma formelÊ; les techniques de limite projectives mises en Ïuvre reprennent celles qui sont utilisŽes dans [EGA] pour l'Žtude des oxÊ-modules cohŽrents. La section (3.4) permet de passer au cas des modules cohŽrents sur les 50 P. BERTHELOT (m) anneaux ^dx,ÊÝ Ê, gr‰ce ˆ la proposition (3.4.5) qui fournit des mod•les entiers pour ceux-ci. Dans la section (3.5), nous Žtablissons la platitude des homomorphismes (m) (mÊ+Ÿ1) canoniques ^dx,ÊÝ @ ^dx,ÊÝ . C'est le rŽsultat-clŽ dont nous dŽduisons en (3.6) la “ cohŽrence du faisceau dx,ÊÝÊ, et, par passage ˆ la limite inductive, les thŽor•mes A et B pour les d“x,ÊÝ-modules cohŽrents. Pour Þnir, mentionnons que ces rŽsultats seront Žtablis dans un cadre sufÞsamment gŽnŽral pour couvrir le cas des faisceaux d'opŽrateurs diffŽrentiels ˆ coefÞcients dans une oxÊ-alg•bre sur laquelle ils op•rent, aÞn notamment de pouvoir les appliquer aux opŽrateurs ˆ singularitŽs surconvergentes construits dans le chapitre suivant. (3.1) Cas des opŽrateurs d'ordre Þni . Rappelons Nous considŽrons d'abord le cas des faisceaux non complŽtŽs d(m) X l'ŽnoncŽ gŽnŽral suivant : (3.1.1) P ROPOSITION . Ñ Soient X un espace topologique, d un faisceau d'anneaux sur X, æ une base d'ouverts de X. On suppose vŽriÞŽes les conditions suivantes : a) Pour tout U Ô æ, l'anneau â(U, d) est nÏthŽrien ˆ gauche (resp. ˆ droite)Ê; b) Pour tous U, V Ô æ, avec V Ç U, l'homomorphisme â(U, d) @ â(V, d) est plat ˆ droite (resp. ˆ gauche). Alors d est un faisceau d'anneaux cohŽrents ˆ gauche (resp. ˆ droite). Il sufÞt de montrer que, pour tout U Ô æ, et tout u : (dÉU)r @ dÉUÊ, n = Ker(u) est un d-module ˆ gauche de type Þni. Si D = â(U, d), le D-module N = â(U, n) est de type Þni, de sorte qu'on ach•ve en observant que le foncteur qui associe ˆ un Dmodule ˆ gauche M le dÉUÊ-module ˆ gauche dÉU ¢D M est exact gr‰ce ˆ b). (3.1.2) C OROLLAIRE. Ñ Soient X @ S un morphisme lisse de schŽmas (resp. schŽmas formels), m Ô ú, et b une oXÊ-alg•bre commutative munie d'une structure -module ˆ gauche, vŽriÞant les conditions a) et b) de (3.1.1) pour compatible de d (m) X la famille des ouverts afÞnes de X. Alors le faisceau b ¢o dX(m) dŽÞni en (2.3.5) est X un faisceau d'anneaux cohŽrent ˆ gauche. Compte tenu de (2.3.6), il sufÞt de prouver que pour V Ç U afÞnes, l'homomorphisme canonique â(U, b ¢o dX(m)) @ â(V, b ¢o d(m) ) est plat ˆ droite. Observons X X X d'abord que l'homomorphisme (3.1.2.1) â(V, oX) ¢â(U, o X) â(U, dX(m)) Ê##@ â(V, dX(m)) (m) . est un isomorphisme, car dX(m) est limite inductive des oXÊ-modules cohŽrents dX,Ên En appliquant l'isomorphisme (2.3.6.1), on en dŽduit que l'homomorphisme Ê“ 51 dÝ -MODULES COHƒRENTS I (3.1.2.2) â(V, b) ¢â(U, b) â(U, b ¢o d(m) ) Ê##@ â(V, b ¢o d(m) ) X X est un isomorphisme â(U, b ¢o X platitude de â(ŸV, b) sur â(ŸU, b). X d(m) )-linŽaire X X ˆ droite, et l'assertion rŽsulte de la Remarque. Ñ On peut Žgalement montrer que b ¢o d(m) est cohŽrent ˆ droite. X X Supposons maintenant que X soit un schŽma, et b une oXÊ-alg•bre commutative quasi-cohŽrente, ˆ sections nÏthŽriennes sur les ouverts afÞnes. Compte tenu de ce qui prŽc•de et de (2.3.6), on peut appliquer ˆ d = b ¢o d(m) l'ŽnoncŽ gŽnŽral X X suivant, dont la dŽmonstration est standard (et dans lequel on peut remplacer gauche par droite) : (3.1.3) PROPOSITION. Ñ Soient X un schŽma, d un faisceau d'anneaux sur X tel que, pour tout ouvert afÞne U Ç X, â(U, d) soit un anneau nÏthŽrien. On suppose donnŽ un homomorphisme oX @ d tel que la multiplication ˆ gauche par les sections de oX fasse de d un oXÊ-module quasi-cohŽrent. (i) Le faisceau d est un faisceau d'anneaux cohŽrent ˆ gauche. (ii) Pour qu'un d-module ˆ gauche m soit cohŽrent, il faut et sufÞt qu'il soit quasi-cohŽrent en tant que oXÊ-module, et que, pour tout ouvert U d'un recouvrement afÞne de X, â(U, m) soit un â(U, d)-module ˆ gauche de type Þni. (iii) Supposons X afÞne, et soit D = â(X, d). Alors les foncteurs m ˜ÊÊÊÊ@ â(X, m) et MÊʘÊÊÊÊ@ d ¢D M sont des Žquivalences de catŽgories quasi-inverses entre la catŽgorie des d-modules ˆ gauche cohŽrents et la catŽgorie des D-modules ˆ gauche de type Þni. (3.2) Rappels sur le complŽtŽ I-adique d'un anneau non commutatif Pour la commoditŽ des rŽfŽrences, nous rappelons ici comment les rŽsultats classiques sur la complŽtion des modules de type Þni sur un anneau commutatif s'Žnoncent dans le cas non commutatif (voir aussi par exemple [38, ch. D]). Sauf mention explicite du contraire, les modules considŽrŽs sont des modules ˆ gauche, les rŽsultats restant valables lorsqu'on Žchange gauche et droite. Nous emploierons le terme ÒcomplŽtŽÓ dans le sens de ÒsŽparŽ complŽtŽÓ. (3.2.1) Soient D un anneau non nŽcessairement commutatif, I Ç D un idŽal bilat•re, et M un D-module ˆ gauche. La topologie I-adique sur D (resp. M) est dŽÞnie par la famille d'idŽaux bilat•res IŸn (resp. de sous-modules IŸnM). Le complŽtŽ ^D = lim Ên DÊ/ÊIŸn de D… est muni d'une structure d'anneau, et le complŽtŽ Ÿ^M = lim Ò# Ò# MÊ/ÊIŸnM de M d'une structure de ^D-module ˆ gauche. Ên Nous dirons que I est un idŽal central de D s'il est engendrŽ par une famille 52 P. BERTHELOT d'ŽlŽments appartenant au centre de D. Lorsque I est de type Þni comme idŽal ˆ gauche (ou ˆ droite), il est engendrŽ par une famille Þnie d'ŽlŽments du centre, ˆ la fois comme idŽal ˆ gauche et comme idŽal ˆ droite. Nous aurons ˆ utiliser le lemme ŽlŽmentaire suivant (cf. [8, 1.2.6]) : (3.2.2) L EMME . Ñ Soient D un anneau non nŽcessairement commutatif, I Ç D u n idŽal central de type Þni, Di = DÊ/ÊIÊiÊ+Ÿ1, (Mi)iÊÔÊú un syst•me projectif de D i-modules ˆ gauche, tel que, pour tout i ³ 1, les homomorphismes canoniques MiÊ/ÊIÊiMi @ MiÊ-Ÿ1 soient des isomorphismes. On pose M = lim ÊÊi MiÊ. Ò# (i) Pour tout n ³ 0, les homomorphismes canoniques IÊnM Ê##@ lim ÊÊi IÊnMiÊ, (3.2.2.1) Ò# ÊnÊ+Ÿ1 MÊ/ÊI (3.2.2.2) M Ê##@ MnÊ, sont des isomorphismes. (ii) Si M0 est de type Þni sur D0Ê, alors M est de type Þni sur ^D = lim Ò# famille relevant une famille Þnie de gŽnŽrateurs de M0 engendrant M. ÊÊi DiÊ, toute Si D0 est nÏthŽrien ˆ gauche (resp. ˆ droite), ^D est nÏthŽrien ˆ gauche (resp. ˆ droite). (iii) Comme les topologies I-adique et IÊn-adique co•ncident, il sufÞt de prouver l'assertion (i) pour n = 1. Soit t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtr une famille de gŽnŽrateurs de I appartenant au centre de D, et x = (xi)iÊÔÊú un ŽlŽment de lim ÊÊi IŸMiÊ. Chaque xi peut s'Žcrire sous Ò# la forme xi = ÏŸrkÊ=Ÿ1ÊtkÊyk,ÊiÊ, avec yk,Êi Ô MiÊ, et on va montrer qu'il existe des suites d'ŽlŽments y'k,Êi Ô Mi telles que, pour tous k, i, y'k,Êi ait y'k,ÊiÊ-Ÿ1 pour image dans MiÊ-Ÿ1Ê, et que xi = ÏŸrkÊ=Ÿ1ÊtkÊy'k,Êi pour tout i. Pour cela, on construit par rŽcurrence sur i les ŽlŽments y'k,Êj cherchŽs, pour 0 ² j < i, et des ŽlŽments y"k,Êi d'image y'k,ÊiÊ-Ÿ1 dans MiÊ-Ÿ1Ê, tels que xi = ÏŸrkÊ=Ÿ1ÊtkÊy"k,ÊiÊ. Si i = 0, on pose y"k,Ê0 = yk,Ê0Ê. Supposant la construction faite pour l'indice i, posons zk,Êi = `yk,ÊiÊ+Ÿ1 - y"k,ÊiÊ, o• `yk,ÊiÊ+Ÿ1 est l'image de yk,ÊiÊ+Ÿ1 dans MiÊ. On a donc ÏŸrkÊ=Ÿ1ÊtkÊzk,Êi = 0, et, si zk,ÊiÊ+Ÿ1 Ô MiÊ+Ÿ1 rel•ve zk,ÊiÊ, on a ÏŸrkÊ=Ÿ1 tkÊzk,ÊiÊ+Ÿ1 Ô IÊiÊ+Ÿ1MiÊ+Ÿ1Ê. On peut donc Žcrire ÏŸrkÊ=Ÿ1ÊtkÊzk,ÊiÊ+Ÿ1 = ÏŸrkÊ=Ÿ1ÊtkÊuk,ÊiÊ+Ÿ1Ê, o• uk,ÊiÊ+Ÿ1 Ô IÊiMiÊ+Ÿ1Ê. On ach•ve alors la rŽcurrence en posant y'k,Êi = y"k,Êi + uk,ÊiÊ, o• uk,Êi est l'image de uk,ÊiÊ+Ÿ1 dans MiÊ, et y"k,ÊiÊ+Ÿ1ÊÊ= yk,ÊiÊ+Ÿ1 - zk,ÊiÊ+Ÿ1 + uk,ÊiÊ+Ÿ1Ê, ce qui prouve l'isomorphisme (3.2.2.1). Comme l'homomorphisme canonique MÊÊ= lim ÊÊi Mi @ Mn est surjectif, la suite Ò# ÊnÊ+Ÿ1 0 Ê##@ lim ÊÊi I Ò# Mi Ê##@ M Ê##@ Mn Ê##@ 0 est exacte, d'o• l'isomorphisme (3.2.2.2). L'assertion (ii) est alors standard. D'apr•s (i), ^D est sŽparŽ et complet pour la topologie I-adique. Le graduŽ associŽ est quotient de l'anneau de polyn™mes D0[T1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊTr], o• les Ti commutent aux ŽlŽments de D0Ê. Si D0 est nÏthŽrien, il en est de m•me de D0[T1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊTr], donc de grÊ^D, et ^D est alors nÏthŽrien d'apr•s [13, III, ¤ 2, n°9, cor. 2 ˆ la prop. 12]. Ê“ dÝ -MODULES COHƒRENTS I 53 (3.2.3) Supposons que D soit un anneau nÏthŽrien ˆ gauche, et I Ç D un idŽal central. On montre essentiellement comme dans le cas commutatif les propriŽtŽs suivantes, o• l'on peut Žchanger gauche et droite : (i) Si M est un D-module ˆ gauche de type Þni, et N Ç M un sous-D-module, il existe un entier n0 tel que, pour tout n ³ n0Ê, on ait IŸnŸN Ç IŸnŸM õ N Ç IŸnÊ-Ên0ŸN. L'hypoth•se que I est central permet d'employer la m•me dŽmonstration que dans le cas commutatif : l'anneau D* = $nʳÊ0 IŸn est alors nÏthŽrien car quotient d'un anneau de polyn™mes D[T1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊTr] (o• les Ti commutent aux ŽlŽments de D). (ii) Le foncteur M ˜ÊÊÊ@ Ÿ^M est exact sur la sous-catŽgorie des D-modules ˆ gauche de type Þni. (iii) Pour tout D-module ˆ gauche de type Þni M, l'homomorphisme canonique ^D ¢D M Ê##@ Ÿ^M est un isomorphisme. (iv) (v) (vi) L'homomorphisme canonique D @ ^D fait de ^D un D-module ˆ droite plat. Tout ^D-module ˆ gauche de type Þni est sŽparŽ et complet. L'anneau ^D est nÏthŽrien ˆ gauche. (vii) Soit D @ E un homomorphisme d'anneaux tel que E soit nÏthŽrien ˆ gauche, et que IE soit un idŽal central de E. Pour que ^E soit plat ˆ droite sur ^D, il faut et sufÞt que, pour tout n, l'anneau EÊ/ÊIÊnE soit plat ˆ droite sur DÊ/ÊIÊnD. Remarque. Ñ L'hypoth•se que I est central, qui sufÞra ici, peut en fait •tre remplacŽe par l'hypoth•se plus faible que I est engendrŽ par une suite centralisante d'ŽlŽments de D, i. e. une suite (t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtd) telle que, pour tout i, l'image de ti appartienne au centre de DÊ/Ê(t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊtiÊ-Ÿ1) [38, D, ch. V]. Par exemple, sous les hypoth•ses de (2.2.1), soit (t2Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtd) une suite quelconque de sections de oXÊÊ; alors la suite (Ÿp,Êt2Ÿp mÊ+Ÿ1 ŸpmÊ+Ÿ1 ) Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtd est une suite centralisante dans d(m) , d'apr•s (2.2.4) (ii). X Nous utiliserons Žgalement le rŽsultat suivant (cf. [9, p. B5]) : (3.2.4) P ROPOSITION. Ñ Soient D un anneau nÏthŽrien ˆ gauche, I un idŽal central, E un D-module ˆ droite tel que, pour tout n, EÊ/ÊEŸIŸn soit un DÊ/ÊIŸnD-module plat. Alors ^E est un ^D -module ˆ droite plat, et, pour tout ^D -module ˆ gauche de type Þni M, le groupe abŽlien ^E ¢^D M est sŽparŽ et complet pour la topologie dŽÞnie par les sous-groupes ^E ¢^D IŸnM. Soit 0 @ M' @ M @ M"@ 0 une suite exacte de ^D-modules ˆ gauche de type Þni. La platitude de EÊ/ÊEŸIŸn sur DÊ/ÊIŸnD entra”ne que, pour tout n, on a la suite exacte 54 P. BERTHELOT 0 Ê#@ ^E ¢^D(M'Ê/ÊIŸnŸM õ M') Ê#@ ^E ¢^D MÊ/ÊIŸnŸM Ê#@ ^E ¢^D MÊ"/ÊIŸnŸM" Ê#@ 0. Par Mittag-Lefßer, la suite obtenue par passage ˆ la limite projective reste exacte. Comme, d'apr•s (3.2.3) (i), il existe n0 tel que IŸnŸM' Ç IŸnŸM õ M' Ç IŸnÊ-Ên0ŸM' pour tout nÊʳ n0Ê, on obtient ainsi la suite exacte 0 Ê#@ (^E ¢^D M')^ Ê#@ (^E ¢^D M)^ Ê#@ (^E ¢^D M")^ Ê#@ 0, ce qui montre l'exactitude du foncteur M ˜ÊÊÊÊ@ (^E ¢^D M) ^ sur la catŽgorie des ^Dmodules ˆ gauche de type Þni. En prenant une prŽsentation Þnie de M sur ^D, et en remarquant que la deuxi•me assertion est vraie lorsque M est libre de type Þni, on en dŽduit que l'homomorphisme ^E ¢^D M @ (^E ¢^D M)^ est un isomorphisme, d'o• l'ŽnoncŽ. (3.3) Modules cohŽrents sur ^d x(m) Comme pour les ox-modules cohŽrents, les propriŽtŽs de cohŽrence sur ^dx(m) rŽsultent des propriŽtŽs des complŽtŽs d'anneaux nÏthŽriens, Žtendues ici au cas non commutatif. Elles sont valables sous des hypoth•ses plus gŽnŽrales, sur u n schŽma formel localement nÏthŽrien, et c'est le cadre que nous adopterons dans cette section pour les Žnoncer. Dans cette section, nous dŽsignerons donc par x un schŽma formel localement nÏthŽrien, et par i Ç oX un idŽal de dŽÞnition. Nous noterons Xi le schŽma usuel (¾x¾,ÊÊoxÊ/ÊiÊiÊ+Ÿ1). (3.3.1) LEMME. Ñ Soient (mi)iÊÔÊú un syst•me projectif de o X -modules quasii cohŽrents, et m = lim ÊÊi miÊ. On suppose que les homomorphismes miÊ+Ÿ1Ê/ÊiÊiÊ+Ÿ1miÊ+Ÿ1 @ Ò# m i sont des isomorphismes. Alors, pour tout n ³ 0, les homomorphismes canoniques iÊnm Ê##@ lim ÊÊi iÊnmiÊ, (3.3.1.1) Ò# mÊ/Êi (3.3.1.2) ÊnÊ+Ÿ1 m Ê##@ mnÊ, sont des isomorphismes. Soit u Ç x un ouvert afÞne. Posons I = â(u, i), Mi = â(u, mi), M = â(u, m). Comme les mi sont quasi-cohŽrents, on a Mi /ÊIÊiMi Ê#ÊÊ›Ê@ MiÊ-Ÿ1Ê, et M = lim ÊÊi Mi par Ò# dŽÞnition. Le lemme rŽsulte donc de (3.2.2). (3.3.2) LEMME. Ñ Supposons x afÞne, et soit I = â(x, i). (i) Soit m un oxÊ-module tel que m Ê#ÊÊ›Ê@ lim ÊÊi mÊ/ÊiÊim, et que les mÊ/ÊiÊim soient Ò# oX -quasi-cohŽrents. Alors : i (3.3.2.1) × n Ô ú, × q ³ 1, HÊq(x, iÊnm) = 0, Ê“ 55 dÝ -MODULES COHƒRENTS I × n Ô ú, (3.3.2.2) â(x, iÊnm) = IÊnŸâ(x, m). (ii) Soit m un oxÊ-module limite inductive Þltrante d'une famille (mÂ)ÂÊÔÊL d e o xÊ-modules vŽriÞant les conditions de (i). Alors m vŽriÞe encore les propriŽtŽs prŽcŽdentes. De plus, si Ÿ^m = lim ÊÊi mÊ/ÊiÊim, et si l'on munit â(x, m) de la topologie IÒ# adique, on a ýÊâ ( x , m) Ê# Ê ÊÊŸ ›Ÿ# Ê ÊÊ@ (3.3.2.3) â(x , Ÿ^m). Pour tout n, on a encore iÊnm Ê#ÊÊ›Ê@ lim ÊÊiʳÊn iÊnmÊ/ÊiÊim. Comme les iÊnmÊ/ÊiÊÊim sont Ò# oX -quasi-cohŽrents, la nullitŽ des HÊq(x, iÊnmŸ) pour q ³ 1 rŽsulte de [EGA, 0III i 13.3.1]. Pour q = 0, on en dŽduit Žgalement, compte tenu de (3.2.2) : â(x, iÊnm) – lim Ò# mÊ/ÊiÊim), ÊÊi â(x, iÊnmÊ/ÊiÊim) – lim Ò# ÊÊi IÊnÊâ(x, mÊ/ÊiÊim) – IÊnÊlim Ò# ÊÊi â(x, d'o• (i). Comme les foncteurs m ˜ÊÊÊÊ@ HÊq(x, iÊnm) commutent aux limites inductives, les relations (3.3.2.1) et (3.3.2.2) restent valables sous les hypoth•ses de (ii). Comme elles entra”nent les isomorphismes (3.3.2.4) â(x, m)Ê/ IÊiÊâ(x, m) Ê#ÊÊÊŸ›Ÿ#ÊÊÊ@ â(x, mÊ/ÊiÊim), la relation (3.3.2.3) en dŽcoule. (3.3.3) Dans la suite de la section (3.3), on dŽsigne par d un faisceau d'anneaux (non nŽcessairement commutatifs) sur x, muni d'un homomorphisme ox @ d. On suppose que, sur tout ouvert afÞne de x, i est engendrŽ par une famille de sections dont l'image est dans le centre de dÊ; on pose di = dÊ/ÊiÊiÊ+Ÿ1Ÿd, et on note ^d = lim Êi di le Ò# complŽtŽ i-adique de d. On suppose de plus que d vŽriÞe les conditions suivantes : a) En tant que oxŸ-module par la multiplication ˆ gauche, d est limite inductive Þltrante d'une famille de oxŸ-modules d tels que les dÂÊ/ÊiÊid soient oX i quasi-cohŽrents, et que d Ê#ÊÊ›Ê@ lim ÊÊi dÂÊ/ÊiÊidŸ; Ò# b) Pour tout ouvert afÞne u Ç x, l'anneau â(u, d) est nÏthŽrien ˆ gauche. On observera que la condition a) entra”ne que, pour tout i, di est quasi-cohŽrent sur oXiÊ, de sorte que di est un faisceau d'anneaux cohŽrent ˆ gauche d'apr•s (3.1.3). Soit b une oxÊ-alg•bre commutative, ˆ sections nÏthŽriennes sur les ouverts afÞnes de x, telle que les bÊ/ÊiÊib soient oX -quasi-cohŽrentes, et que b – lim ÊÊi bÊ/ÊiÊib. Ò# iÊ Supposons que x soit un v-schŽma formel lisse, et que b soit munie d'une structure compatible de dx(m)-module ˆ gauche. Gr‰ce ˆ l'existence de la Þltration par l'ordre, et ˆ (2.3.6), les hypoth•ses a) et b) sont alors vŽriÞŽes par les faisceaux b ¢o d(m) . x x Dans ce cas, nous noterons le complŽtŽ ^d par (3.3.3.1) := lim ÊÊi bÊ/ÊiÊiÊ+Ÿ1b ¢o d(m) b ^ ¢o ^d(m) x X . x Ò# Xi i Sauf mention explicite du contraire, les modules considŽrŽs par la suite sont 56 P. BERTHELOT des modules ˆ gauche. Une variante consiste ˆ remplacer gauche par droite dans l'ŽnoncŽ des conditions a) et b). Les ŽnoncŽs qui suivent restent alors valables en Žchangeant gauche et droite. (3.3.4) P ROPOSITION. Ñ Soit d un faisceau d'anneaux sur x, muni d'un homomorphisme ox @ d, et vŽriÞant les hypoth•ses de (3.3.3). (i) Pour tout ouvert afÞne u Ç x, l'anneau â(u, ^d ) est nÏthŽrien ˆ gauche. (ii) Pour tout couple d'ouverts afÞnes u' Ç u, l'homomorphisme â(u, ^d) #@ â(u', ^d) est plat ˆ droite. (iii) Le faisceau ^d est cohŽrent ˆ gauche. (iv) Si d est plat ˆ droite sur oxÊ, il en est de m•me de ^d. Soient I = â(u, i), D = â(u, d), et munissons D de la topologie I-adique. Gr‰ce ˆ (3.3.2.3), on a ^D – â(u, ^d), si bien que la premi•re assertion rŽsulte de (3.2.3) (vi). La seconde rŽsulte de m•me de (3.2.3) (vii), gr‰ce ˆ la quasi-cohŽrence des diÊ. La troisi•me est alors consŽquence de (3.1.1). EnÞn, l'assertion (iv) rŽsulte aussi de (3.2.3) (vii). (3.3.5) LEMME. Ñ Soient A @ B un homomorphisme d'anneaux tel que B soit plat ˆ droite sur A. Pour que B soit Þd•lement plat sur A, il faut et sufÞt que, pour tout A-module ˆ gauche M monog•ne de prŽsentation Þnie, la relation B ¢A M = 0 entra”ne M = 0. Soit M un A-module ˆ gauche tel que B ¢A M = 0. Si x Ô M, et si l'on pose M'ÊÊ= A.Ÿx Ç M, alors B ¢A M' = 0 par platitude. Pour prouver que M = 0, il sufÞt de prouver que M' = 0 pour tout x. On peut donc supposer M de la forme AÊ/ÊJ, o• J est un idŽal ˆ gauche. En Žcrivant J = ôŒ JŒÊ, o• les JŒ sont les sous-idŽaux ˆ gauche de type Þni de J, et en posant MŒ = AÊ/ÊJŒÊ, on obtient l'isomorphisme lim ÊŒ MŒ Ê#ÊÊ›Ê@ M, #@ o• les MŒ sont monog•nes de prŽsentation Þnie, et o•, pour º ³ Œ, les morphismes MŒ @ Mº sont surjectifs. On a alors lim ÊŒ B ¢A MŒ = 0. Comme MŒ est monog•ne, il #@ existe ºÊʳÊÊŒ tel que l'homomorphisme B ¢A MŒ @ B ¢A Mº soit nul. Cet homox morphisme Žtant surjectif, B ¢A Mº est nul, donc Mº = M = 0. (3.3.6) P ROPOSITION. Ñ Sous les hypoth•ses de (3.3.3), supposons de plus que la Þbre dx en un point de x soit un anneau nÏthŽrien ˆ gauche. Alors : (i) Soit (^dx) ^ le complŽtŽ i x-adique de la Þbre ^dxÊ. Alors (^dx) ^ est un ^dxmodule ˆ droite Þd•lement plat. (ii) L'anneau ^d x est nÏthŽrien ˆ gauche. Ê“ dÝ -MODULES COHƒRENTS I 57 Comme l'homomorphisme (dx)^ @ (^dx) ^ est un isomorphisme, (^dx) ^ est un anneau nÏthŽrien d'apr•s (3.2.3) (vi). L'assertion (ii) rŽsulte alors de (i). Pour tout ouvert afÞne u Ð x, et tout i, l'homomorphisme â(u, di) @ di,Êx est plat ˆ droite, puisque di est oX -quasi-cohŽrent pour la multiplication ˆ gauche. Les iÊ anneaux â(u, d) et dx Žtant nÏthŽriens par hypoth•se, (^dx)^ est plat ˆ droite sur â(u, ^d) d'apr•s (3.2.3) (vii). Par passage ˆ la limite inductive, il est donc plat sur ^dxÊ. Pour prouver la Þd•le platitude de (^dx)^ sur ^dxÊ, il sufÞt d'apr•s le lemme de montrer que si M est un ^dx-module ˆ gauche monog•ne de prŽsentation Þnie tel que (^dx)^ ¢^d M = 0, alors M = 0. Il existe dans ce cas un ouvert afÞne u, et un â(u, x ^d)-module monog•ne de prŽsentation Þnie Mu tel que ^dx ¢â(u, ^d) Mu – M. Modulo ixÊ, on a ^dxÊ/ÊixÊ^dx – (^dx)^/Êix(^dx)^. Par suite, MÊ/ÊixÊM = 0, d'o• d0,Êx ¢â(u, ^d) Mu = 0. Il existe donc un ouvert afÞne u' Ç u, avec x Ô u', tel que â(u', d0) ¢â(u, ^d) Mu = 0. Soient I = â(u', i), et Mu' = â(u', ^d) ¢â(u, ^d) MuÊ. Comme, d'apr•s (3.3.2), on a â(u',ÊÊd0) – â(u', ^d)Ê/ÊIŸâ(u', ^d), on en dŽduit que Mu'Ê/ÊIŸMu' = 0. Or Mu' est de type Þni sur â(u',ÊÊ^d), donc sŽparŽ et complet pour la topologie I-adique. Il en rŽsulte que Mu' = 0, d'o• la nullitŽ de M. Remarque. Ñ D'apr•s (2.3.6), les faisceaux de la forme b ¢o dx(m) vŽriÞent l'hypox th•se de l'ŽnoncŽ lorsque les Þbres bx sont nÏthŽriennes. (3.3.7) Supposons maintenant que x soit afÞne, et notons D = â(x, d), I = â(x, i), Di = â(x, di) – DÊ/ÊIÊiÊ+Ÿ1D (d'apr•s (3.3.2.4)), ^D = ýÊ â ( x , d) – â(x, ^d) (d'apr•s (3.3.2.3)). On peut alors Žtendre la construction de [23, IÊ10.10.1] aux ^D-modules en associant ˆ un tel module M le ^d-module (3.3.7.1) ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ MÊß = l i m Ò# Êi Ê ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ , Í MÊ/ÊIŸiÊ+Ê1M MÊ/ÊIŸiÊ+Ê1M dŽsigne le oXi-module quasi-cohŽrent dŽÞni par MÊ/ÊIŸiÊ+Ê1M, o• Í muni de sa structure canonique de di-module dŽÞnie gr‰ce ˆ (3.1.3). On dispose alors d'un homomorphisme naturel Mx @ MŸß, o• Mx est le prŽfaisceau constant de valeur M, d'o• un homomorphisme canonique (3.3.7.2) ^d ¢^D M Ê##@ MŸß. (3.3.8) PROPOSITION. Ñ Avec les notations de (3.3.7), le foncteur M ˜ÊÊÊ@ MÊß poss•de les propriŽtŽs suivantes : (i) L'homomorphisme canonique ^d @ ^DŸß est un isomorphisme. (ii) Le foncteur M ˜ÊÊÊ@ MÊß est exact sur la catŽgorie des ^D -modules de type Þni. (iii) Quel que soit le ^D -module de type Þni M, l'homomorphisme MÊÊ@ÊÊâ(x, MÊß) est un isomorphisme. (iv) Quels que soient les ^D -modules de type Þni M, N, l'homomorphisme 58 P. BERTHELOT Hom^D(M, N) Ê##@ Hom^d(MÊß, NÊß) est un isomorphisme. Par construction, on a ^DŸß = lim Êi (^DÊ/ÊIŸiÊ+Ÿ1^D)~ÊÊÊÊ. Comme di est oXi-quasi-cohŽÒ# rent, et ^d = lim Êi diÊ, il sufÞt pour prouver (i) de prouver que l'homomorphisme Ò# canonique â(x, di) Ê##@ ^DÊ/ÊIŸiÊ+Ÿ1^D est un isomorphisme, ce qui rŽsulte de (3.3.2.4). Gr‰ce ˆ (3.2.3) (i), les autres assertions se montrent comme dans [23, I 10.10.2]. L'ŽnoncŽ suivant n'est qu'une variante de [23, I 10.10.2.9]. (3.3.9) PROPOSITION (ÒÊThŽor•me AÊÓ). Ñ Sous les hypoth•ses de (3.3.3), supposons x afÞne, et soit ^D = â(x, ^d). Si m est un ^d-module, les propriŽtŽs suivantes sont Žquivalentes : (i) Pour tout i, le d i-module mÊ/ÊiÊiÊ+Ÿ1m est cohŽrent, et l'homomorphisme canonique m @ lim i mÊ/ÊiÊiÊ+Ÿ1m est un isomorphisme. Ò# (ii) Il existe un isomorphisme m Ê#ÊÊ›Ê@ lim i miÊ, o• (m i) est un syst•me projectif de Ò# d i-modules cohŽrents dont les morphismes de transition se factorisent par des isomorphismes miÊ/ÊiÊimi Ê#ÊÊ›Ê@ miÊ-Ÿ1Ê. (iii) Il existe un ^D-module de type Þni M, et un isomorphisme m Ê#ÊÊ›Ê@ MÊß. (iv) Le ^D -module â(x, m) est de type Þni, et l'homomorphisme canonique ^d ¢^D â(x, m) (3.3.9.1) Ê##@ m est un isomorphisme. (v) m est un ^d -module cohŽrent. L'implication (i) ¦ (ii) est claire. Posons Di = â(XiÊ, di). Pour vŽriÞer l'implication (ii)Êʦ (iii), on observe que, mi Žtant cohŽrent sur diÊ, et ce dernier quasi-cohŽrent sur oXiÊ, le DiÊ-module Mi = â(x, mi) est de type Þni d'apr•s (3.1.3). De plus, les homomorphismes canoniques DiÊ-Ÿ1 ¢Di Mi @ MiÊ-Ÿ1 sont des isomorphismes. Comme IŸ^D est un idŽal central de type Þni, il rŽsulte de (3.2.2) que le ^D-module M = lim Ò# de type Þni, et que MÊ/ÊIŸiÊ+Ÿ1M Ê#ÊÊ›Ê@ MiÊ. On obtient alors m Ê#ÊÊÊŸ›Ÿ#ÊÊÊ@ lim Ò# i mi Ê#ÊÊÊŸ›Ÿ#ÊÊÊ@ lim Ò# i Ÿ~Mi Ê#ÊÊÊŸ›Ÿ#ÊÊÊ@ l i m Ò# i Ê ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ Í MÊ/ÊIŸiÊ+Ê1M Êi Mi est = MÊß. Pour prouver que (iii) ¦ (iv), on peut remplacer m par MŸß dans (3.3.9.1). Une prŽsentation de M sur ^D fournit alors un diagramme commutatif Ê“ 59 dÝ -MODULES COHƒRENTS I ^d ¢^D ^DÊr Ê##@ ^d ¢^D ^DÊsÊ##@ ^d ¢^D M É É À À (^DÊr)ß Ê###@ (^DÊs)ßÊ###@ ##@ 0 É À MŸß Ê###@ 0 dans lequel les deux premi•res ß•ches verticales sont des isomorphismes d'apr•s (3.3.8) (i), d'o• l'assertion, compte tenu de (3.3.8) (iii). Si (iv) est vŽriÞŽe, une prŽsentation de â(x, m) sur ^D fournit une prŽsentation de ^dÊÊ¢^D â(x, m) – m sur ^d, d'o• (v) gr‰ce ˆ (3.3.4) (iii). Montrons enÞn que (v) ¦ (i). D'apr•s (3.3.1.2), une prŽsentation locale de m sur ^d fournit une prŽsentation sur di de mÊ/ÊiÊiÊ+Ÿ1m, qui est donc di-cohŽrent gr‰ce ˆ (3.3.3). Prouver que m @ lim i mÊ/ÊiÊiÊ+Ÿ1m est un isomorphisme est une question locale Ò# sur x, de sorte qu'on peut supposer que m est le conoyau d'un homomorphisme de la forme u : ^dŸrÊÊ@ ^dŸs. Mais u est alors de la forme vŸß, avec v : ^DŸr @ ^DŸs, d'o• un isomorphisme mÊÊ–ÊÊ(Coker(v))ß, d'apr•s (3.3.8) (ii). On est ainsi ramenŽ au cas o• m = MŸß, avec M de type Þni sur ^D. Il sufÞt alors de vŽriÞer que, pour tout i, l'homomorphisme canonique Í MÊ/ÊIŸiÊ+Ê1M @ MŸßÊ/ÊiÊiÊ+Ÿ1ŸMŸß est un isomorphisme, et il ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ sufÞt encore de vŽriÞer que, pour tout f Ô â(x, ox), l'application (MÊ/ÊIŸiÊ+Ê1M)f Ê##@ (lim ÊnÊ(MÊ/ÊIŸnM)f)Ê/ÊIÊfiÊ+Ÿ1( lim ÊnÊ(MÊ/ÊIŸnM)f) Ò# Ò# est un isomorphisme, ce qui rŽsulte de (3.2.2.2) appliquŽ au syst•me projectif de DfÊmodules formŽ des (MÊ/ÊIŸnM)fÊ. (3.3.10) C OROLLAIRE. Ñ Supposons x afÞne. Les foncteurs â(x, -) et M ˜ÊÊÊ@ MÊß sont des Žquivalences quasi-inverses entre la catŽgorie des ^d -modules cohŽrents et celle des ^D -modules de type Þni. On dŽduit aussi de (3.3.9) (i) et (3.3.2.1) le corollaire : (3.3.11) C OROLLAIRE (ÒÊThŽor•me BÊÓ). Ñ Supposons x afÞne, et soit m un ^dmodule cohŽrent. Alors, pour tout q ³ 1, on a HŸq(x, m) = 0. (3.3.12) C OROLLAIRE. Ñ Sous les hypoth•ses de (3.3.3), soit m un ^d-module. Pour que m soit cohŽrent, il faut et sufÞt que, pour tout couple d'ouverts afÞnes u' Ç u, â(u, m) soit un â(u, ^d)-module de type Þni, et l'homomorphisme â(u', ^d) ¢â(u, ^d) â(u, m) Ê##@ â(u', m) un isomorphisme. (3.4) Modules cohŽrents sur ^d (m) x,ÊÝ 60 P. BERTHELOT Pour tout faisceau abŽlien E, nous noterons EÝ le faisceau E ¢ Ý. Rappelons que, si X est un espace topologique nÏthŽrien, et E un faisceau abŽlien sur X, le prŽfaisceau qui associe ˆ un ouvert U le produit tensoriel â(U, E) ¢ Ý est u n faisceau. Il en rŽsulte que, pour tout q ³ 0, on a alors (3.4.0.1) › HÊq(ŸX, E) ¢ Ý Ê##@ HÊq(ŸX, EÝ). Nous garderons dans cette section les hypoth•ses et les notations de (3.3), et nous supposerons de plus que l'idŽal de dŽÞnition i de x est tel que pÊox Ç i. (3.4.1) Comme en (3.3.3), on se donne un faisceau d'anneaux non nŽcessairement commutatifs d sur x, muni d'un homomorphisme ox @ d, tel que, sur tout ouvert afÞne de x, i soit engendrŽ par une famille de sections dont l'image est dans le centre de d. On suppose maintenant que d vŽriÞe les hypoth•ses suivantes : a) Pour tout i, di = dÊ/ÊiÊiÊ+Ÿ1d est un oX -module quasi-cohŽrent pour la iÊ structure dŽÞnie par la multiplication ˆ gauche, et l'homomorphisme d @ lim ÊÊi di Ò# est un isomorphisme. b) Pour tout ouvert afÞne u Ç x, l'anneau â(u, d) est nÏthŽrien ˆ gauche. Lorsque x est lisse sur v, et que b est une oxÊ-alg•bre commutative vŽriÞant les conditions a) et b), munie d'une action compatible de d(m) , le faisceau b ^ ¢o ^dx(m) x x vŽriÞe encore ces conditions. On suppose dans la suite que les modules considŽrŽs sont des modules ˆ gauche. En rempla•ant gauche par droite dans les conditions a) et b), on pourra encore Žchanger droite et gauche dans les rŽsultats de cette section. D'apr•s (3.3.4), les conditions a) et b) entra”nent que d est un faisceau d'anneaux cohŽrent ˆ gauche. Puisque, pour tout ouvert afÞne u Ç x, on a â(u, dÝ) = â(u, d)ÝÊ, on en dŽduit aussit™t le lemme suivant : (3.4.2) L EMME . Ñ Sous les hypoth•ses prŽcŽdentes, le faisceau dÝ est un faisceau d'anneaux cohŽrent ˆ gauche. (3.4.3) LEMME (cf. [39, 7.4]). Ñ Supposons x nÏthŽrien, et soient x = xŸ' ô xŸ" u n recouvrement ouvert de x, m' (resp. m") un dÉxŸ'Ê-module (resp. dÉxŸ"Ê-module) cohŽrent sans p-torsion, ªÊÊ: m' Ê#ÊÊ›Ê@ m" un isomorphisme dŽÞni sur xŸ' õ xŸ". Il existe Ý Ý alors un d-module cohŽrent sans p-torsion m sur x prolongeant m', et un isomorphisme mÝÉxŸ" Ê#ÊÊ›Ê@ m"Ý prolongeant ª. Comme xŸ' õ xŸ" est quasi-compact, on peut, en multipliant ª par une puissance convenable de p, supposer que ª(m'ÉxŸ'ÊõÊxŸ") Ç m"ÉxŸ'ÊõÊxŸ"Ê. Il existe alors u n entier i tel que pŸiÊ+Ÿ1(m"ÉxŸ'ÊõÊxŸ"ÊÊ/ʪ(m'ÉxŸ'ÊõÊxŸ"Ê)) = 0. Soient alors mi" = m"Ê/ÊiÊiÊ+Ÿ1m", et m † i' l'image de m'ÉxŸ'ÊõÊxŸ" dans mi"ÉxŸ'ÊõÊxŸ"Ê. Comme di est oX -quasi-cohŽrent, il en est de iÊ m•me de mi" et m † i'Ÿ, et ce dernier est rŽunion de ses sous oXŸ'ÊõÊXŸ"Ê-modules cohŽrents. i i Ê“ 61 dÝ -MODULES COHƒRENTS I Puisque m † i' est di-cohŽrent, il existe alors un sous oXŸ'ÊõÊXŸ"Ê-module cohŽrent e de m † i' i i qui engendre m † i' en tant que di-module. Soient f un sous-oXŸ"Ê-module cohŽrent de i m" prolongeant e, et n † = d Ê.Ÿf le sous-d -module (cohŽrent) de m" engendrŽ par f. i i i iÊ i Si n Ç m" est l'image rŽciproque de n † iÊ, n est un sous-d-module cohŽrent de m" tel ŸiÊ+Ÿ1 que p m" Ç n, et co•ncidant avec m' sur xŸ' õ xŸ". Le d-module m sur x obtenu par recollement de m' et n a donc les propriŽtŽs voulues. (3.4.4) LEMME. Ñ Sous les hypoth•ses de (3.4.1), soit m un d-module cohŽrent, et mt le sous-faisceau des sections de p-torsion de m. Alors mt et mÊ/Êmt sont d-cohŽrents. Pour tout n, le noyau m(n) de la multiplication par pŸn sur m est d-cohŽrent. I l sufÞt donc de montrer que sur tout ouvert afÞne u de x, on a mt = m(n) pour n assez grand, ce qui rŽsulte de (3.3.10) et de ce que â(u, d) est nÏthŽrien. (3.4.5) P ROPOSITION. Ñ Sous les hypoth•ses de (3.4.1), supposons x nÏthŽrien, et soient Coh(d) (resp. Coh(dÝ)) la catŽgorie des d-modules (resp. d Ý -modules) cohŽrents, Coh(d)Ý la catŽgorie des d-modules cohŽrents ˆ isogŽnie pr•s. Alors le foncteur m ˜ÊÊÊÊ@ mÝ induit une Žquivalence de catŽgories entre Coh(d)Ý et Coh(d Ý). Rappelons que Coh(d)Ý pour objets ceux de Coh(d), l'ensemble des morphismes dans Coh(d)Ý entre deux d-modules cohŽrents m, n Žtant Homd(m, n) ¢ Ý. Lorsque m est cohŽrent, l'homomorphisme canonique homd(m, n) ¢ Ý Ê##@ homd (mÝÊ, nÝ) Ý est un isomorphisme pour tout n, car l'existence locale de prŽsentations de m sur d permet de se ramener au cas o• m = d. Gr‰ce ˆ (3.4.0.1), la pleine ÞdŽlitŽ en rŽsulte en prenant les sections sur x. D'autre part, si m' est un dÝ-module cohŽrent, il existe un d-module cohŽrent sans torsion m, et un isomorphisme m Ý Ê#ÊÊ›Ê@ m'. En u' effet, s'il existe sur x une prŽsentation dÊsÝ Ê #@ dÊrÝ Ê Ê#@ m' Ê#@ 0, on peut, gr‰ce ˆ (3.4.0.1), multiplier u' par une puissance de p, et supposer qu'il existe u : dÊr @ dÊs tel que u' = u ¿ IdÝÊ; si m = Coker(u)Ÿ/ÊCoker(u)tÊ, m est cohŽrent d'apr•s (3.4.4), et on a m' – mÝÊ. Dans le cas gŽnŽral, il existe un recouvrement Þni de x par des ouverts sur lesquels m' poss•de une telle prŽsentation, et le lemme (3.4.3) permet d'achever la dŽmonstration par rŽcurrence sur le nombre d'ouverts du recouvrement. DŽÞnition. Ñ Soit m un dÝ-module cohŽrent. Nous appelerons mod•le entier de m ÊÊ ÊÊ tout d-module cohŽrent m Ê ¡ pour lequel il existe un isomorphisme m Ê ¡ Ý Ê#ÊÊ›Ê@ m. On ÊÊ ÊÊ dira que m Ê ¡ est un rŽseau dans m si m Ê ¡ est un sous-d-module cohŽrent de m tel que l'inclusion induise un tel isomorphisme. Les thŽor•mes A et B pour les d-modules cohŽrents entra”nent alors immŽdia- 62 P. BERTHELOT tement les thŽor•mes analogues pour les dÝ-modules cohŽrents : (3.4.6) C OROLLAIRE. Ñ Supposons x afÞne, et soient D = â(x, d), DÝ = D ¢ Ý – â(x,ÊÊdÝ). (i) Pour qu'un d Ý -module m soit cohŽrent, il faut et sufÞt que â(x, m) soit u n D Ý -module de type Þni, et l'homomorphisme canonique (3.4.6.1) dÝ ¢D â(x, m) Ê##@ m Ý un isomorphisme. (ii) Soit m un dÝ-module cohŽrent. Pour tout q ³ 1, on a HŸq(x, m) = 0. Comme DÝ est nÏthŽrien, et dÝ cohŽrent, les conditions de (i) entra”nent que m est cohŽrent. Inversement, si m est cohŽrent, il existe d'apr•s (3.4.5) un d-module ÊÊ ÊÊ cohŽrent m Ê ¡ et un isomorphisme m Ê ¡ Ê#ÊÊ›Ê@ m. Compte tenu de (3.4.0.1), les assertions Ý (i) et (ii) rŽsultent alors de (3.3.9) et (3.3.11). On notera qu'il en rŽsulte encore qu'un dÝ-module m sur un schŽma formel x (non nŽcessairement afÞne) est cohŽrent si et seulement s'il satisfait les conditions de (3.3.12) (en rempla•ant ^d par dÝ). (3.4.7) Sous les hypoth•ses du corollaire prŽcŽdent, on peut Žtendre la dŽÞnition du foncteur MÊß aux DÝ-modules de type Þni en posant MÊß = dÝ ¢D M. (3.4.7.1) Ý Le foncteur ainsi dŽÞni est encore exact, car dÝ est plat sur DÝ gr‰ce ÊÊ¡ Comme il existe un D-module de type Þni M et un isomorphisme M Ê#ÊÊ›Ê@ ÊÊ¡ Êß ›Ê MÊß (3.4.7.2) (M ) Ê#@ ˆ (3.3.4) (ii). ÊÊ¡ M ÝÊ, et que Ý d'apr•s (3.3.9), il rŽsulte de (3.3.8) et (3.4.5) que les homomorphismes (3.4.7.3) M Ê##@ â(x, MÊß), (3.4.7.4) HomD (M, N) Ê##@ Homd (MÊß, NÊß) Ý Ý sont des isomorphismes. Les foncteurs â(x, -) et M ˜ÊÊÊ@ MÊß sont donc des Žquivalences quasi-inverses entre la catŽgorie des dÝ-modules cohŽrents et celle des DÝ-modules de type Þni. (3.5) ThŽor•mes de platitude I ^ Le rŽsultat le plus important de cette section est le thŽor•me de platitude de (m) sur ^dx,ÊÝ Ê. Il joue en effet un r™le essentiel non seulement pour prouver la (mÊ+Ÿ1) dx,ÊÝ (m) cohŽrence de d“x,ÊÝÊ, mais aussi dans beaucoup de probl•mes de passage de ^dx,ÊÝ ˆ “ dx,ÊÝÊ. Ê“ 63 dÝ -MODULES COHƒRENTS I (3.5.1) Soient m Ô ú, x un v-schŽma formel lisse, et b une oxÊ-alg•bre commutative munie d'une structure compatible de dx(m)-module ˆ gauche, ˆ sections nÏthŽriennes sur les ouverts afÞnes de x, telle que les bÊ/ʵŸiÊ+Ÿ1Ÿb soient oX -quasiiÊ cohŽrentes, et que bÊÊÊ#ÊÊ›Ê@ lim Êi bÊ/ʵŸiÊ+Ÿ1Ÿb. On dŽÞnit comme en (3.3.3) les faisceaux Ò# d'anneaux b ^ ¢o ^d(m) . Si b est munie d'une telle structure pour tout m Ô ú, ces x x structures Žtant compatibles entre elles (ce qui Žquivaut ˆ dire que b est muni d'une structure de dxÊ-module compatible ˆ sa structure de oxÊ-alg•bre), on obtient par passage ˆ la limite inductive un faisceau d'anneaux notŽ b ¢“o d“xÊ. x On observera que, sous ces hypoth•ses, bÊÊ¢o d(m) est un faisceau d'anneaux x x cohŽrents (ˆ gauche et ˆ droite). En effet, quels que soient les ouverts afÞnes u' Ç u, â(u', b) est plat sur â(u, b) d'apr•s (3.3.4), et il sufÞt d'appliquer (3.1.2). (3.5.2) P ROPOSITION. Ñ Soit b un faisceau de oxÊ-alg•bres vŽriÞant les hypoth•ses de (3.5.1) pour un entier m Ô ú (resp. tout m Ô ú). Alors le faisceau b ^ ¢o ^d(m) x x est plat ˆ droite et ˆ gauche sur b et sur bÊÊ¢o d(m) (resp. b ¢“o d“x est plat ˆ droite x x x et ˆ gauche sur b et sur bÊÊ¢o dx). x D'apr•s (2.3.6), â(u, bÊÊ¢o d(m) ) est un anneau nÏthŽrien ˆ gauche et ˆ droite x x ) s'identiÞe au complŽtŽ pour tout ouvert afÞne u Ç x. L'anneau â(u, b ^ ¢o ^d(m) x x (m) â(u, bÊÊ¢o dx )^ d'apr•s (3.3.2), de sorte qu'il est plat sur â(u, bÊÊ¢o d(m) ). La x x x proposition en rŽsulte. (3.5.3) THƒORéME. Ñ Soient m Ô ú, et b un faisceau de oxÊ-alg•bres vŽriÞant les hypoth•ses de (3.5.1) pour l'entier m + 1. Alors l'homomorphisme canonique 1) (b ^ ¢o ^d(m) )Ý Ê##@ (b ^ ¢o ^d(mÊ+Ÿ )Ý x x (3.5.3.1) x x est plat ˆ droite et ˆ gauche. Nous montrerons que (3.5.3.1) est plat ˆ droite, l'argument Žtant identique pour la platitude ˆ gauche. Il sufÞt de prouver que, pour tout ouvert afÞne u Ç x sur lequel x poss•de un syst•me de coordonnŽes locales t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊtdÊ, l'homomorphisme 1) â(u, (b ^ ¢o ^dx(m))Ý) Ê##@ â(u, (b ^ ¢o ^d(mÊ+Ÿ )Ý) x x x est plat. Nous poserons A = â(u, ox), B = â(u, b), et, pour i = m, m + 1, D(i) = â(u, b ¢o dx(i)), x ^D(i) = â(u, b ^ ¢o ^d(i) x ), x ^D(i) Ý = â(u, (b ^ ¢o ^d(i) x )Ý). x Rappelons que B ¢A â(u, dx(i)) Ê#ÊÊ›Ê@ D(i) d'apr•s (2.3.6.1), que ^D(i) est le complŽtŽ p-adique de D(i) d'apr•s (3.3.2.3), et que ^D(i) ¢ Ý Ê#ÊÊ›Ê@ ^D(i) d'apr•s (3.4.0.1). Ý Les hypoth•ses faites sur b entra”nent que b est un faisceau d'anneaux cohŽrent. Soit bt l'idŽal de b formŽ des sections de p-torsion. D'apr•s (3.4.4), b' = bÊ/Êbt 64 P. BERTHELOT est un b-module cohŽrent, ce qui entra”ne par (3.3.9) qu'il vŽriÞe les m•mes 1) hypoth•ses que b. De plus, l'action de d(mÊ+Ÿ passe au quotient et munit b' d'une x (mÊ+Ÿ1) structure compatible de dx -module. Pour tout i ² m + 1, l'homomorphisme canonique (i) (b ^ ¢o ^d(i) x )Ý Ê##@ (b' ^ ¢o ^dx )Ý x x est alors un isomorphisme. D'apr•s (3.4.4), il existe en effet sur tout ouvert afÞne u un entier N tel que pŸNbt = 0. Par suite, bt ¢ dx(i) est quasi-cohŽrent sur oX , d'o• la NÊ suite exacte (i) (i) 0 Ê#@ â(u, bt ¢ d(i) x ) Ê#@ â(u, b ¢ dx ) Ê#@ â(u, b' ¢ dx ) Ê#@ 0. est ˆ sections nÏthŽriennes sur les ouverts afÞnes, on obtient Comme b ¢ d(i) x encore une suite exacte apr•s complŽtion, ce qui entra”ne l'assertion. On peut donc supposer que b est sans p-torsion. Tout ŽlŽment P Ô D(m) (resp. ^D(m)) s'Žcrit de mani•re unique comme une somme Þnie (resp. la somme d'une sŽrie convergente) P = åÊ bk ¿ Ùíkð(m) (resp. P = ¾k¾Ê²Êd åÊ bk ¿ Ùíkð(m)), k o• les bk sont dans B (resp. et tendent vers 0). Par consŽquent, les homomorphismes D(m) @ ^D(m) @ ^DÝ(m), ^D(m) @ ^D(mÊ+Ÿ1) sont injectifs. Soit D' le sous-anneau de ^DÝ(m) engendrŽ par ^D(m) et D(mÊ+Ÿ1) : ^D(m) Ý ^D(m) û Ë Ì@ D' ÒÍ D(mÊ+Ÿ1). On peut dŽcrire D' comme l'ensemble des sommes de la forme P + Q, avec P Ô ^D(m), et QÊÊÔ D(mÊ+Ÿ1). En effet, il sufÞt de vŽriÞer que l'ensemble de ces sommes est stable par multiplication, et il sufÞt pour cela que, pour P Ô ^D(m), Q Ô D(mÊ+Ÿ1), on ait PQ Ô D' (resp. QP Ô D'). Comme Q est d'ordre Þni, il existe un entier r ³ 0 tel que pŸrŸQ Ô D(m). On peut alors Žcrire P = P1 + pÊrŸP2Ê, o• P1 Ô D(m) est d'ordre Þni, et P2 Ô ^D(m). On en dŽduit que PQÊÊ= P1Q + P2(ŸpÊrŸQ), avec P1Q Ô D(mÊ+Ÿ1), et P2(ŸpÊrŸQ) Ô ^D(m). Pour tout i, l'homomorphisme D(mÊ+Ÿ1)Ê/ÊpÊiÊD(mÊ+Ÿ1) @ D'Ê/ÊpÊiÊD' est un isomorphisme. En effet, sa surjectivitŽ rŽsulte de ce qu'on peut Žcrire comme prŽcŽdemment un opŽrateur P + Q Ô D' sous la forme P1 + pÊiŸP2 + Q, avec P1 + Q Ô D(mÊ+Ÿ1). Pour prouver qu'il est injectif, considŽrons un opŽrateur P Ô D(mÊ+Ÿ1) õ pÊiŸD'. On peut donc Žcrire P sous la forme P = pÊi(R + S), avec R Ô ^D(m), S Ô D(mÊ+Ÿ1). Comme P et S sont d'ordre Þni, il existe un entier d tel qu'on puisse Žcrire dans ^D(mÊ+Ÿ1) P = åÊ ¾k¾Ê²Êd ak ¿ Ùíkð(mÊ+Ÿ1), S = åÊ ¾k¾Ê²Êd ck ¿ Ùíkð(mÊ+Ÿ1), Ê“ 65 dÝ -MODULES COHƒRENTS I R = åÊ bk ¿ Ùíkð(m) = åÊ (qk(m)!Ê/Êqk(mÊ+Ÿ1)!) bk ¿ Ùíkð . (mÊ+Ÿ1) ¾k¾ ¾k¾ Comme b est sans p-torsion, on voit que bk = 0 pour ¾k¾ > d, de sorte que R Ô D(m), et P Ô pÊiŸD(mÊ+Ÿ1). Il en rŽsulte que l'homomorphisme ^D(mÊ+Ÿ1) @ ^D' est un isomorphisme, de sorte 1) › 1) que ^D(mÊ+Ÿ Ê#ÊÊÊ@ ^D'ÝÊ. D'autre part, on a D(mÊ+Ÿ = DÝ(m) Ç ^D(m) , si bien que l'inclusion Ý Ý Ý ÊÊÌÊÊÊ@ D'Ý est une ŽgalitŽ. Pour achever la dŽmonstration, il sufÞt donc de prouver ^D(m) Ý que D' est nÏthŽrien ˆ gauche, puisqu'alors ^D' sera plat ˆ droite sur D'. D'apr•s (2.2.5), D' est engendrŽ en tant que ^D(m)-module ˆ gauche par les ŽlŽments de la forme ( Ù[Ÿp mÊ+Ÿ1] mÊ+Ÿ1] )Ÿq, pour q Ô úd. Les ŽlŽments Ù[Ÿj p mÊ+Ÿ1ð (mÊ+Ÿ1) = ÙjíŸp commutent avec les ŽlŽments Ùíkð(m), tandis que, pour tout b Ô B, on a dans D(mÊ+Ÿ1) : mÊ+Ÿ1] [Ù[Ÿj p , b] = mÊ+Ÿ1 åÊ æèp öø Ù[ŸpmÊ+Ÿ1Ê-Êi]Êb ¿ Ù[i]. j j i iÊ<ÊpmÊ+Ÿ1 Si l'on pose i = pmq + r, avec r < pm, on a q < p pour tout i < pŸmÊ+Ÿ1. On peut alors mÊ+Ÿ1 Žcrire Ùj[i] = (qŸ!)-Ÿ1ÊÙjíið(m), d'o• [Ùj[Ÿp ], b] Ô D(m). En passant ˆ la limite, on voit donc mÊ+Ÿ1 que, pourÊtout P Ô ^D(m), on a [Ùj[Ÿp ], P] Ô ^D(m). Par itŽration, on en dŽduit alors que, pour tout k Ô ú et tout P Ô ^D(m), on a (3.5.3.2) mÊ+Ÿ1] [(Ùj[Ÿp )k, P] Ô åÊ ^D(m)(Ùj[Ÿp mÊ+Ÿ1] )i. iÊ<Êk Pour j = 0,Ê.Ê.Ê.Ê,Êd, soit D'j le sous-anneau de D' engendrŽ par ^D(m) et par les Ùk pour k ² j. Montrons par rŽcurrence sur j que D'j est nÏthŽrien. Posons Ù' = [ŸpmÊ+Ÿ1] Ùj , et soit I Ç D'j un idŽal ˆ gauche. Tout ŽlŽment P Ô I peut s'Žcrire (de mani•re non unique) [ŸpmÊ+Ÿ1] P = åÊ AiÊÙ'Ÿi, iʲÊr avec Ai Ô D'jÊ-Ÿ1Ê. Soit J Ç D'jÊ-Ÿ1 l'ensemble des ŽlŽments A tels qu'il existe P Ô I qui puisse s'Žcrire sous la forme P = AÊÙ'Ÿr + åÊ AiÊÙ'Êi, iÊ<Êr avec Ai Ô D'jÊ-Ÿ1Ê. Alors J est stable par somme : si P' Ô I s'Žcrit P' = A'ÊÙ'Ÿr' + ÏÊiÊ<Êr' A'iÊÙ'Êi, avec r ² r', l'ŽlŽment Ùr'Ê-ÊrP + P' appartient ˆ I, et on peut Žcrire gr‰ce ˆ (3.5.3.2) Ùr'Ê-ÊrP + P' = (ŸA + A')Ù'Ÿr' + åÊ A"iÊÊÙ'Êi. iÊ<Êr' Par suite, J est un idŽal ˆ gauche de D'jÊ-Ÿ1Ê, et poss•de une famille Þnie de gŽnŽrateurs AkÊ, 1 ² k ² s. Soient P1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊPs Ô I tels que Pk = AkÊÙ'Ÿrk + ÏÊiÊ<Êr Ak,ÊiÊÙ'Êi, avec Ak,Êi Ô k D'jÊ-Ÿ1Ê, et rÊÊ= supÊk rkÊ. Si M Ç D'j est le sous-D'jÊ-Ÿ1-module ˆ gauche engendrŽ par 1,ÊÙ',Ê.Ê.Ê.Ê,ÊÙ'Ÿr, M est nÏthŽrien ˆ gauche, et I õ M en est un sous-module de type Þni. Si Q1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊQt est une famille de gŽnŽrateurs de I õ M comme D'jÊ-Ÿ1-module ˆ gauche, on 66 P. BERTHELOT vŽriÞe aisŽment ˆ l'aide de (3.5.3.2) que la famille (P1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊPsÊ,ÊQ1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊQt) engendre I. Par passage ˆ la limite inductive, on en dŽduit le corollaire : (m) @ (3.5.4) C OROLLAIRE. Ñ Pour tout m Ô ú, l'homomorphisme canonique ^dx,ÊÝ “ dx,ÊÝ est plat ˆ droite et ˆ gauche. (3.6) Modules cohŽrents sur d “x,ÊÝ Gr‰ce au thŽor•me de platitude prouvŽ dans la section prŽcŽdente, nous allons maintenant Žtendre par passage ˆ la limite inductive les rŽsultats prouvŽs pour les (m) -modules cohŽrents aux d“x,ÊÝ-modules cohŽrents. ^dx,ÊÝ Nous Žnoncerons ici aussi les rŽsultats sous des hypoth•ses plus gŽnŽrales. Nous dŽsignerons par x un schŽma formel localement nÏthŽrien (ou un schŽma usuel), et nous supposerons donnŽ sur x un syst•me inductif (dÂ) de faisceaux d'anneaux cohŽrents ˆ gauche (resp. ˆ droite), indexŽ par un ensemble ordonnŽ Þltrant. Nous noterons dŸ“ = lim Ê dÂÊÊ. Si m est un dÂ-module ˆ gauche (resp. ˆ #@ droite), et si µ ³ Â, nous poserons mµ = dµÊÊ¢d mÂÊ, et mŸ“ = lim ÊʵʳÊ mµ – dŸ“ ¢d mÂÊ.  #@  On dispose d'abord du rŽsultat gŽnŽral suivant, dont la dŽmonstration est immŽdiate : (3.6.1) P ROPOSITION. Ñ Soient X un espace topologique, et (dÂ) un syst•me inductif Þltrant de faisceaux d'anneaux cohŽrents ˆ gauche (resp. ˆ droite) sur X, tel que, quels que soient  ² µ, les homomorphismes d @ dµ soient plats ˆ droite (resp. ˆ gauche). Alors le faisceau dŸ“ÊÊ=ÊÊlim Ê d  est un faisceau d'anneaux cohŽrent #@ ˆ gauche (resp. ˆ droite). Remarques Ñ (i) Le thŽor•me de platitude (3.5.3) entra”ne donc que, lorsque x est un v-schŽma formel lisse, et d“x le faisceau dŽÞni en (2.4.1.6), le faisceau d“x,ÊÝ = “ ôÊm ^d(m) x,ÊÝ est cohŽrent ˆ gauche et ˆ droite. J'ignore par contre si dx lui-m•me est cohŽrent. (ii) Lorsque les morphismes d @ dµ sont plats, la proposition prŽcŽdente permet de remplacer dans les ŽnoncŽs de cette section ÒdŸ“-module localement de prŽsentation ÞnieÓ par ÒdŸ“-module cohŽrentÓ. La dŽmonstration de l'ŽnoncŽ suivant est classique. (3.6.2) P ROPOSITION . Ñ Supposons x quasi-compact et quasi-sŽparŽ. (i) Soient mÂÊ, n deux d Â-modules localement de prŽsentation Þnie. L'homo- Ê“ 67 dÝ -MODULES COHƒRENTS I morphisme canonique lim ÊʵʳÊ Homd (mµÊ, nµ) Ê##@ Homd“(mŸ“, nŸ“) (3.6.2.1) #@ µ est un isomorphisme. (ii) Si m est un d Ÿ“-module localement de prŽsentation Þnie, il existe un indice Â, un d Â-module cohŽrent mÂÊ, et un isomorphisme ª : mŸ“ Ê#ÊÊ›Ê@ m. Si (Â', m', ª') vŽriÞent la m•me propriŽtŽ, il existe µ ³ Â, Â' et ªµ : m'µ Ê#ÊÊ›Ê@ mµ tel que ªÊìʪŸ“ = ª'. (3.6.3) Supposons maintenant x afÞne. Comme prŽcŽdemment, nous considŽrons dans ce qui suit les dÂ-modules ˆ gauche, les rŽsultats s'Žtendant aux modules ˆ droite en Žchangeant droite et gauche. Nous supposerons que les dÂÊ-modules cohŽrents vŽriÞent les thŽor•mes A et B, i.e. : A ) Pour qu'un dÂ-module m soit cohŽrent, il faut et sufÞt que â(x, mÂ) soit u n â(x, dÂ)-module de prŽsentation Þnie, et que l'homomorphisme d ¢â(x, d ) â(x, mÂ) Ê##@ m  soit un isomorphismeÊ; B) Pour tout dÂÊ-module cohŽrent mÂÊ, et tout q ³ 1, on a HŸq(x, mÂ) = 0. Ces hypoth•ses sont donc satisfaites lorsque les d vŽriÞent les hypoth•ses de (3.4.1), ou bien sont de la forme d° Â,ÊÝÊ, o• les d°  vŽriÞent les hypoth•ses de (3.4.1). Elles permettent d'assurer que les thŽor•mes A et B sont encore valables sur dŸ“ = lim Ê dÂÊ : #@ (3.6.4) P ROPOSITION. Ñ Sous les hypoth•ses de (3.6.3), soient D = â(x, dÂ), DŸ“ = â(x, dŸ“). En rempla•ant d et D par dŸ“ et DŸ“, et ÒcohŽrentÓ par Òlocalement d e prŽsentation ÞnieÓ, les propriŽtŽs A) et B) de (3.6.3) sont encore valables pour les dŸ“modules. Il est clair que si m vŽriÞe les conditions de (3.6.3) A), m est un dŸ“-module de prŽsentation Þnie sur x. Pour prouver la rŽciproque, notons d'abord que, x Žtant quasi-compact et quasi-sŽparŽ, les foncteurs HŸq(x, -) commutent aux limites inductives Þltrantes pour tout q ³ 0, de sorte que lim D Ê#ÊÊ›Ê@ DŸ“. Si m est loca#@ Ê  lement de prŽsentation Þnie, il existe d'apr•s (3.6.2) un indice Â, un dÂ-module cohŽrent m , et un isomorphisme dŸ“ ¢ m Ê#ÊÊ›Ê@ m. La condition A) de (3.6.3) d ÂÊ Â entra”ne que m poss•de globalement sur x une prŽsentation dÊs @ dÊr @ m @ 0. Comme le foncteur â(x, -) est exact pour les dÂ-modules cohŽrents, on en dŽduit une prŽsentation Þnie du DÂ-module â(x, m Â). De plus, l'homomorphisme (3.6.4.1) Dµ ¢D â(x, mÂ) #@ â(x, mµ),  est un isomorphisme pour tout µ ³ Â, car l'exactitude de â(x, -) pour les dÂmodules (resp. dµ-modules) cohŽrents, appliquŽe ˆ la prŽsentation prŽcŽdente, ram•ne au cas o• m = dÂÊ. Par passage ˆ la limite inductive, on en dŽduit que 68 P. BERTHELOT l'homomorphisme (3.6.4.2) DŸ“ ¢D â(x, mÂ) Ê##@ â(x, m),  est un isomorphisme, de sorte que m vŽriÞe bien les conditions de A). EnÞn, gr‰ce ˆ la commutation de la cohomologie aux limites inductives Þltrantes, la propriŽtŽ B) pour m rŽsulte de la propriŽtŽ B) pour les mµÊ. On vŽriÞe de m•me par passage ˆ la limite inductive qu'un d“-module m sur un schŽma formel x (non nŽcessairement afÞne) est cohŽrent si et seulement s'il satisfait les conditions de (3.3.12) (en rempla•ant ^d par d“). (3.6.5) C OROLLAIRE. Ñ Sous les hypoth•ses prŽcŽdentes, les foncteurs â(x, -) et dŸ“ÊÊ¢DŸ“ - sont des Žquivalences quasi-inverses entre la catŽgorie des d Ÿ“-modules localement de prŽsentation Þnie, et la catŽgorie des D Ÿ“-modules de prŽsentation Þnie. Il sufÞt de montrer que, pour tout DŸ“-module de prŽsentation Þnie M, l'homomorphisme M @ â(x, dŸ“ ¢ DŸ“ M) est un isomorphisme. Il existe un indice Â, un DÂ-module de prŽsentation Þnie MÂÊ, et un isomorphisme DŸ“ ¢D M Ê#ÊÊ›Ê@ M. Si  MµÊÊ= Dµ ¢D MÂÊ, on a donc lim Êʵ Mµ Ê#ÊÊ›Ê@ M, et lim Êʵ dµ ¢D Mµ Ê#ÊÊ›Ê@ dŸ“ ¢DŸ“ M. On est  #@ #@ µ ainsi ramenŽ ˆ vŽriÞer que les homomorphismes Mµ @ â(x, dµ ¢D Mµ) sont des µ isomorphismes. Utilisant une prŽsentation de Mµ sur DµÊ, et l'exactitude de â(x, -) pour les dµ-modules cohŽrents, on dŽduit alors l'asssertion du cas o• Mµ = DµÊ. Remarque. Ñ Supposons que les d vŽriÞent les hypoth•ses de (3.4.1). Alors, d'apr•s (3.3.4), d est plat sur DÂÊ. Par suite, dŸ“ est plat sur DŸ“, et le foncteur qui associe ˆ un DŸ“-module (resp. DŸÝ “Ê-module) M de prŽsentation Þnie le d Ÿ“-module (resp. dŸÝ “Ê-module) de prŽsentation Þnie MŸß := dŸ“ ¢DŸ“ M est un foncteur exact. C'est donc le cas, si x est lisse sur v, pour d“x = ôm ^dx(m) (resp. d“x,ÊÝ). 4. Relations avec les isocristaux surconvergents On dŽsigne toujours par x un v-schŽma formel lisse, de rŽduction X sur k, et on suppose donnŽ un diviseur Z Ç X, de complŽmentaire Y. On note y le v-schŽma formel d'espace sous-jacent Y, j : y ÌÊÊÊ@ x l'immersion ouverte correspondante, xK la Þbre gŽnŽrique de x, qui est un K-espace analytique rigide, et sp : xK @ x le morphisme de spŽcialisation. Par des constructions de gŽomŽtrie analytique rigide sur xKÊ, on peut dŽÞnir la catŽgorie des isocristaux sur Y, surconvergents le long de Z, qui constitue une catŽgorie de coefÞcients pour la cohomologie rigide de Y (cf. [2], [5]). On se propose ici de donner une interprŽtation de cette catŽgorie du point de vue Ê“ dÝ -MODULES COHƒRENTS I 69 de la thŽorie des d“x,ÊÝ-modules qui compl•te les rŽsultats de [4]. Dans la section (4.1), nous prŽcisons d'abord les rŽsultats de [4] sur l'interprŽtation des isocristaux convergents comme d“x,ÊÝ-modules cohŽrents. Pour les Žtendre aux isocristaux surconvergents le long d'un diviseur, l'Žtape essentielle est la construction en (4.2) d'un sous-faisceau notŽ d“x(“Z)Ý du faisceau image directe j*Êd“y,ÊÝÊ, le faisceau des opŽrateurs diffŽrentiels Òˆ singularitŽs surconvergentes le long de ZÓÊ; cette construction, essentielle pour l'Žtude de la cohomologie des variŽtŽs non propres, sera rŽsumŽe dans l'introduction de (4.2). La section (4.3) est alors consacrŽe ˆ Žtendre aux faisceaux ˆ partir desquels on construit d“x(“Z)Ý les thŽor•mes de platitude de (3.5). Les propriŽtŽs de cohŽrence qui en rŽsultent permettent enÞn de donner dans (4.4) une interprŽtation des isocristaux surconvergents analogue ˆ (4.1). (4.1) Cas des isocristaux convergents Nous complŽtons ici les rŽsultats de [4, 3.1] sur l'interprŽtation des isocristaux convergents sur X comme d“x,ÊÝ-modules cohŽrents. (4.1.1) Soit u = SpfÊŸA Ç x un ouvert afÞne. Pour tout m, l'anneau ^Du(m) = â(u, ^dx(m)) (m) (m) est muni de la topologie p-adique, qui s'Žtend naturellement ˆ ^Du,ÊÝ – â(u, ^dx,ÊÝ ). (m) Supposons que u soit muni de coordonnŽes locales t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊtdÊ. Tout opŽrateur P Ô ^D u,ÊÝ s'Žcrit alors de mani•re unique P = ÏÊk akÊÙíkð, avec ak @ 0 pour ¾k¾ @ &. Si ®-® dŽsigne une norme de Banach sur AÝ = â(u, ox,ÊÝ), on Žtend cette norme ˆ ^D(m) u,ÊÝ en posant ®P® = supÊk ®ak®. Puisque toutes les normes de Banach sur AK sont (m) Žquivalentes, il en est de m•me pour celles qu'on obtient ainsi sur ^Du,ÊÝ Ê. La (m) topologie dŽÞnie par une telle norme sur ^D u,ÊÝ est la topologie p-adique, car il en est ainsi sur AÝÊ. Notons aussi que si l'on change de coordonnŽes locales, l'extension de íkð la norme de AÝ ˆ ^D(m) est la u,ÊÝ est remplacŽe par une norme Žquivalente, car, si Ù' base de D(m) correspondant aux nouvelles coordonnŽes, le changement de base dans u (m) Du s'effectue par une matrice ˆ coefÞcients dans A, donc de norme bornŽe. Si la norme de AÝ est la norme spectrale, de sorte que d'apr•s (2.4.2) A est l'ensemble des ŽlŽments de norme ² 1, l'extension de cette norme ˆ ^D(m) u,ÊÝ est alors indŽpendante du choix des coordonnŽes locales, l'ensemble des ŽlŽments de norme ² 1 n'Žtant autre que ^D(m) . u (m) La K-alg•bre ^Du,ÊÝ Žtant munie ainsi d'une structure d'alg•bre de Banach (m) nÏthŽrienne, on peut Žgalement munir le module â(u, e) des sections d'un ^dx,ÊÝ - module cohŽrent e d'une structure de ^D(m) u,ÊÝ -module de Banach. En effet, â(u, e) est (m) Êr un ^D(m) u,ÊÝ -module de type Þni d'apr•s (3.4.6). Si ^Du,ÊÝ @ÊŸ@ â(u, e) est un homomor(m) Êr phisme surjectif, son noyau est un sous-^D(m) u,ÊÝ -module de type Þni de ^Du,ÊÝ , donc (m) fermŽ, et la semi-norme quotient sur â(u, e) est une norme qui en fait un ^Du,ÊÝ - 70 P. BERTHELOT module de Banach. Les normes obtenues pour deux prŽsentations diffŽrentes sont alors Žquivalentes [12, 3.7.3, prop. 3]. Le lemme suivant montre que l'on peut parfois changer l'alg•bre de Banach utilisŽe pour munir un module d'une norme sans changer sa topologie : (4.1.2) LEMME. Ñ Soient ¨ : A @ B un homomorphisme continu entre K-alg•bres de Banach nÏthŽriennes, et E un B-module ˆ gauche qui est de type Þni sur A. Alors les normes de Banach dŽÞnies sur E par sa structure de A-module et par s a structure de B-module sont Žquivalentes. En particulier, l'action de B sur E est continue pour la topologie de B et la topologie de A-module de E. Soient ®-®A et ®-®B les normes de A et B. Comme ¨ est continue, il existe c Ô é tel que, pour tout a Ô A, on ait ®¨(a)®B ² c®a®A. Fixons une application surjective uÊÊ:ÊÊAr @ EÊ; on en dŽduit une norme quotient ®-®1 sur E. Soit u' : Br @ E la factorisation B-linŽaire de uÊ; comme u' est surjective, on obtient une autre norme quotient ®-®2 sur E. Gr‰ce ˆ la relation prŽcŽdente, on voit que ®x®2 ² c®x®1 pour tout x Ô E, de sorte que l'application IdE : (E, ®-®1) @ (E, ®-®2) est continue. Ces deux normes faisant de E un espace de Banach sur K, le thŽor•me de Banach [14, ch.I, ¤ 3, th.1] entra”ne qu'elles dŽÞnissent la m•me topologie sur E. La derni•re assertion en dŽcoule. (4.1.3) Nous renvoyons ˆ [5, 2.3.2] pour la dŽÞnition gŽnŽrale de la catŽgorie des isocristaux convergents sur X, et nous rappelerons simplement ici qu'elle peut s'interpr•ter comme la catŽgorie des ox -modules E localement libres de type Þni K sur l'espace analytique rigide xKÊ, munis d'une connexion ø : E @ E ¢ ã1x qui K vŽriÞe la condition de convergence suivante [5, 2.2.14] : pour tout ouvert afÞne uÊÊÇ x, de Þbre gŽnŽrique uKÊ, muni de coordonnŽes locales t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊtdÊ, dŽÞnissant des dŽrivations ÙiÊ, toute section e Ô â(uKÊ, E) et tout Ú < 1, on a ®ÊÙ[k]ŸeÊ®ÊÚ¾k¾ @ 0 pour ¾k¾ @ &, (4.1.3.1) o• Ù[k]Ÿe est dŽÞni par l'action des dŽrivations Ùi fournie par la connexion ø, et ®-® est une norme de Banach quelconque sur â(uKÊ, E). Pour tout ox -module cohŽrent (resp. localement libre de type Þni) E, le ox,ÊÝK module sp*ÊE est cohŽrent (resp. localement projectif de type Þni), et il rŽsulte des thŽor•mes de Kiehl [30] et de (3.4.6) que les foncteurs sp* et sp* induisent des Žquivalences de catŽgories quasi-inverses entre la catŽgorie des ox -modules cohŽrents K et celle des ox,ÊÝ-modules cohŽrents. Cette Žquivalence s'Žtend aux modules cohŽrents munis d'une connexion intŽgrable, et, si (E, ø) correspond ˆ un isocristal convergent sur X, la condition (4.1.3.1) entra”ne que la structure de dx,ÊÝ-module dŽÞnie par la connexion sp*ø sur sp*ÊE s'Žtend par continuitŽ en une structure de d“x,ÊÝ-module [4, 3.1.1]. De m•me, tout morphisme horizontal (E, ø) @ (E', ø') Ê“ dÝ -MODULES COHƒRENTS I 71 dŽÞnit un morphisme d“x,ÊÝ-linŽaire sp*ÊE @ sp*ÊE', car, pour tout ouvert afÞne uÊÊÇÊÊx, le morphisme â(uKÊ, E) @ â(uKÊ, E') est continu pour les topologies d'espaces de Banach de â(uKÊ, E) et â(uKÊ, E'). On obtient alors : (4.1.4) P ROPOSITION. Ñ Le foncteur sp* induit un foncteur pleinement Þd•le de la catŽgorie des isocristaux convergents sur X dans la catŽgorie des d“x,ÊÝ-modules, dont l'image essentielle est la sous-catŽgorie des d “x,ÊÝ-modules ox,ÊÝ-cohŽrents. D e plus, ceux-ci sont d“x,ÊÝ-cohŽrents. Comme les morphismes entre isocristaux sont les morphismes ox -linŽaires KÊ commutant aux connexions, donc, en coordonnŽes locales, ˆ l'action des dŽrivations ÙiÊ, la pleine ÞdŽlitŽ est claire. Soit e un d“x,ÊÝ-module ox,ÊÝ-cohŽrent. D'apr•s ce qui prŽc•de, il existe un ox -module cohŽrent E, muni d'une connexion intŽgrable ø, et KÊ un isomorphisme e – sp*(E, ø). Il sufÞt donc de vŽriÞer que ø vŽriÞe la condition (4.1.3.1). Soient Ú < 1, et u = SpfÊŸA un ouvert afÞne de x, possŽdant des coordonnŽes locales donnant une base de dŽrivations Ù1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊÙdÊ. D'apr•s (2.4.3), il existe m Ô ú tel que Ú¾k¾ ² ckʾŸq(m) !¾, avec ckÊÊ@ 0, et k = pmqk(m) + r(m) , 0 ² r(m) < pm. Comme q(m) !ŸÙ[k] k k k k = Ùíkð(m), il sufÞt de montrer que, pour tout m, et tout e Ô â(u, e), les ŽlŽments Ùíkð(m)e, k Ô úŸd, forment une famille bornŽe dans M = â(u, e) pour sa topologie naturelle de AÝ-module de type Þni. (m) (m) (m) Soit ^Du,ÊÝ = â(u, ^dx,ÊÝ ). Comme on l'a vu en (4.1.1), on peut munir ^Du,ÊÝ d'une norme prolongeant celle de AÝÊ. Le lemme (4.1.2) entra”ne que la topologie de (m) AÝ-module de type Þni de M co•ncide avec sa topologie de ^Du,ÊÝ -module de type Þni. íkð(m) Ÿd (m) Les ŽlŽments Ù , kÊÊÔÊÊú formant une famille bornŽe dans ^Du,ÊÝ Ê, il en est de (m) m•me de leur images par l'application ^D u,ÊÝ @ M qui envoie un opŽrateur P sur PŸe. La cohŽrence sur d“x,ÊÝ des isocristaux convergents a ŽtŽ prouvŽe en [4, 3.1.4]. (4.2) OpŽrateurs diffŽrentiels ˆ singularitŽs surconvergentes Reprenant les notations introduites au dŽbut de ce chapitre, nous allons construire ici un sous-faisceau d “xŸ(“Z)Ý du faisceau image directe j*Êd“y,ÊÝÊ, dont les sections peuvent s'interprŽter comme des opŽrateurs diffŽrentiels de d“y,ÊÝ dont les coefÞcients ont des singularitŽs satisfaisant des conditions de surconvergence le long de Z. Son intŽr•t vient de ce qu'il permet de dŽcrire, parmi les d“y,ÊÝ-modules cohŽrents, ceux qui vŽriÞent les conditions de surconvergence qui en font des coefÞcients pour la cohomologie rigide de y (lorsque x est propre sur vŸ). Il jouera ainsi dans la prŽsente thŽorie le m•me r™le que le faisceau Òimage directe ˆ singularitŽs mŽromorphes de dYÓ dans la thŽorie analytique complexe. La mŽthode de construction de d“xÊ(“Z)Ý utilisŽe ici est parall•le ˆ celle que nous avons employŽe en (2.4.1) pour construire d“x,ÊÝ : pour un entier m ÞxŽ, nous 72 P. BERTHELOT construirons d'abord une famille de faisceaux d'opŽrateurs modulo pŸi pour tout i, puis nous passerons ˆ la limite projective pour i variable, d'o• une famille de faisceaux d'opŽrateurs sur x, dont nous prendrons la limite inductive pour m variable. Quant aux faisceaux modulo pŸi, nous les construirons en montrant que, pour  convenablement choisi, l'alg•bre des fonctions analytiques sur le voisinage strict VÂÊÊ= xK - ]Z[x,Ê = {x Ô xK ¾ ¾Ÿf(x)¾ ³ Â} de ]YŸ[x (cf. [2, 2.5] ou [5, 1.2]) poss•de u n , et en appliquant (2.3.5) ˆ sa mod•le entier canonique muni d'une opŽration de d(m) x Ÿi -Êr rŽduction modulo p : le point clŽ est que, si  = ¾p¾ , o• r est multiple de pmÊ+Ÿ1, u n tel mod•le est fourni par la complŽtŽe ^bxŸ(Ÿf, r) de l'alg•bre ox[pÊ/ÊfÊr], et que celle-ci est stable par l'action de d(m) . Par construction, les coefÞcients de d“xÊ(“Z) sont dans x l'alg•bre b“x(ŸfŸ) = lim m ^bxŸ(Ÿf, pmÊ+Ÿ1)Ê; comme b“x(ŸfŸ)Ý – (ox[1Ÿ/Êf]“)ÝÊ, o• ox[1Ÿ/Êf]“ #@ est la complŽtion faible de l'alg•bre de fractions ox[1Ÿ/Êf], les constructions qui suivent fournissent une mŽthode pour Žtudier par rŽduction modulo pŸi les propriŽtŽs liŽes ˆ la surconvergence. (4.2.1) P ROPOSITION. Ñ Soient m, r Ô ú deux entiers tels que r soit multiple d e pmÊ+Ê1, et X @ S un morphisme lisse de ç (p)-schŽmas (resp. schŽmas formels). On Þxe f Ô â(ŸX, oX), et on pose b(Ÿf, r) = oXŸ[T]Ÿ/Ÿ(ŸfÊrT - p). (i) Il existe sur b(Ÿf, r) une structure canonique de dX(m)-module compatible avec sa structure de oXÊ-alg•bre. (ii) Si g Ô â(ŸX, oX), et f' = gŸf, l'homomorphisme ¨g : b(Ÿf, r) = oXŸ[T]Ê/Ÿ(ŸfÊrT - p) Ê##@ b(Ÿf', r) = oXŸ[T']Ê/Ÿ(Ÿf'ÊrT '- p) -linŽaire. tel que ¨g(T) = gŸrT' est d(m) X (iii) Si r est multiple de pm'Ê+Ÿ1, avec m' ³ m, la structure de d(m) -module d e X (m') b(Ÿf,ÊÊr) est induite par sa structure de dX -module. Pour munir b(Ÿf, r) d'une structure de d(m) -module compatible avec sa strucX ture de oXÊ-alg•bre, il sufÞt d'apr•s (2.3.4) de dŽÞnir une m-PD-stratiÞcation ªn : pnX,Ê(m) ¢o b(Ÿf, r) Ê#ÊÊ›Ê@ b(Ÿf, r) ¢o pnX,Ê(m) X X telle que les ªn soient des isomorphismes d'alg•bres. Par fonctorialitŽ, il sufÞt de le faire lorsque S = SpecÊç(p)Ê, X = SpecÊç(p)[t], f = t. Posons alors t1 = t ¿ 1, t2 = 1 ¿ t, de sorte que, d'apr•s (1.5.1), on a (¾ŸXŸ¾, pnX,Ê(m)) = SpecÊ(ç(p)[t1]ít2 - t1ð(m)Ê/ÊIŸ{nÊ+Ÿ1}), o• mÊ+Ÿ1 IÊÊ= (t ††††† q. Comme l'anneau 2Ê-Êt1) est le m-PD-idŽal engendrŽ par t2 - t1Ÿ. Soit r = p ç(p)[t1]ít2 - t1ð(m) est sans torsion, on peut dŽÞnir un polyn™me ˆ puissances divisŽes Ä(m) (t1Ê, t2) Ô I Ç ç(p)[t1]ít2 - t1ð(m)Ê, homog•ne de degrŽ r, par la relation r (4.2.1.1) mÊ+Ÿ1 t2Êr - tÊ1 r = ((t1 + (t2 - t1))Êp mÊ+Ÿ1 = ((tÊp 1 )q - tÊr1 mÊ+Ÿ1} + pÊ´(t1Ê, t2) + ŸpŸ!(t2 - t1){Ÿp = pÊÄr(m)(t1Ê, t2). )q - tÊr1 Ê“ 73 dÝ -MODULES COHƒRENTS I Posons alors T1 = T ¿ 1 Ô oXŸ[T] ¢o pnX,Ê(m)Ê, T2 = 1 ¿ T Ô pnX,Ê(m) ¢o oX[T]. On X X dŽÞnit un homomorphisme de pnX,Ê(m)-alg•bres ªn : pnX,Ê(m) ¢o (oX[T]Ÿ/Ÿ(tŸrT - p)) Ê##@ (oXŸ[T]Ÿ/Ÿ(tŸrT - p)) ¢o pnX,Ê(m) X X en posant ªn(T2) = T1(1 + T1ÊÄ(m) (t1Ê, t2))-1, r (4.2.1.2) (t1Ê, t2) est nilpotent dans pnX,Ê(m)Ê. C'est un isomorphisme, ce qui a un sens car Ä(m) r dont l'inverse envoie T1 sur T2(1 - T2ÊÄ(m) (t1Ê, t2))-1. Comme Ä(m) (t1Ê, t2) Ô I, ªn induit r r l'identitŽ par rŽduction modulo I, et la condition de cocycle rŽsulte de ce que, d'apr•s (4.2.1.1), on a Ä(m) (t1Ê, t2) + Är(m)(t2Ê, t3) = Ä(m) (t1Ê, t3) r r (4.2.1.3) dans ç(p)[t1]ít2 - t1Ê, t3 - t2ð(m). Si f' = gf, soient f1 = fÊ¿Ê1, f'1 = f'Ê¿Ê1, g1 = gÊ¿Ê1, f2Ê=Ê1 ¿ f, f'2 = 1Ê¿Êf', g2 = 1Ê¿Êg. Prouver que ¨g est dX(m)-linŽaire revient ˆ prouver qu'il est horizontal. Si T'1ÊÊ= T' ¿ 1, il faut montrer que gŸ2 rŸT'1(1 + T'1ÊÄ(m) (Ÿf'1Ê, f'2))-1 = gŸ1 rŸT'1(1 + gŸ1 rŸT'1ÊÄ(m) (Ÿf1Ê, f2))-1 r r dans (oXÊ[T']Ê/Ÿ(Ÿf'ŸrT' - p)) ¢ pnX,Ê(m)Ê. Compte tenu de l'homogŽnŽitŽ de Ä(m) (t1Ê, t2), il r sufÞt de vŽriÞer que gŸ2 r(1 + T'1ÊÄ(m) (Ÿf'1Ê, g1Êf2)) = gŸ1 rŸ(1 + T'1ÊÄ(m) (Ÿf'1Ê, f'2)), r r soit encore, gr‰ce ˆ (4.2.1.3), (Ÿg1Êf'1Ê, g1Êf'2) - Ä(m) (Ÿg2Êf'1Ê, g1Êf'2)) g2ŸrŸ - g1ŸrŸ = T'1(Ä(m) r r = T'1ÊÄ(m) (Ÿg1Êf'1Ê, g2Êf'1) r = T'1Êf1'ŸrÊÄ(m) (g1, g2), r ce qui est clair. EnÞn, si r est multiple de pm'Ê+Ÿ1, avec m' ³ m, il sufÞt pour prouver l'assertion (iii) de montrer que la m-PD-stratiÞcation (ªn) se dŽduit de la m'-PD-stratiÞcation n n ˆ pŸX,Ê(m) Ê, et cela rŽsulte de ce que, (ª'n) par extension des scalaires de pŸX,Ê(m') 1) d'apr•s (4.2.1.1), Ä(m) est l'image de Ä(mÊ+Ÿ par l'homomorphisme canonique r r ç(p)[t1]ít2 - t1ð(m') ##@ ç(p)[t1]ít2 - t1ð(m)Ê. Remarque. Ñ Lorsque X est la droite afÞne •1SÊ, on peut expliciter l'action des opŽrateurs Ùíkð sur une section de la forme TÊn Ô b(Ÿt, r). Soient en effet k, n Ô ú deux entiers ÞxŽs, (h, a) l'unique couple d'entiers tel que k + h = ar, avec 0 ² h < r, et posons k = pmqk(m) + rk(m), avec 0 ² r(m) < pŸm. On se ram•ne d'abord par changement k de base au cas o• S = SpecÊç(Ÿp)Ê. On observe alors que b(t, r) est sans p-torsion, de sorte que l'on peut faire le calcul apr•s tensorisation par Ý. Cela permet d'Žcrire TÊÊ= pÊ/ÊtÊr, Ä(m) (t1Ê, t2) = (tŸ2 r - t1Ÿr)Ÿ/Êp, et on est simplement ramenŽ au calcul en r 74 P. BERTHELOT caractŽristique 0 de Ùíkð(ŸpŸnÊ/ÊtŸnr). On obtient ainsi la relation (4.2.1.4) íkð Ÿn Ù T k = (-1) q(m) !Ê(nrÊ+ÊkÊ-Ê1)!Ê k k!Ê(nrÊ-Ê1)!ÊpÊa thŸTÊnÊ+Êa, dans laquelle le coefÞcient numŽrique est en fait entier d'apr•s ce qui prŽc•de. (4.2.2) P ROPOSITION. Ñ Sous les hypoth•ses de (4.2.1), soient i Ç oS un m-PDidŽal quasi-cohŽrent, g Ô â(ŸX, oX), h Ô â(ŸX, iŸoX), et f'ÊÊ= gŸf + h. Supposons que i soit m-PD-nilpotent sur S. Il existe alors un homomorphisme canonique de oXÊalg•bres, d(m) -linŽaire X Úg,Êh : b(Ÿf, r) Ê##@ b(Ÿf', r), vŽriÞant les propriŽtŽs suivantes : (i) Si g' Ô â(ŸX, oX), h' Ô â(ŸX, iŸoX), et f" = g'f' + h', g" = g'g, h" = g'h + h', alors (4.2.2.1) Úg",Êh" = Úg',Êh' ì Úg,Êh : b(Ÿf, r) Ê#@ b(Ÿf", r). (ii) Úg,Ê0 = ¨gÊ, Ú1,Ê0 = Id. (iii) Si f est non diviseur de 0 dans oXÊÊ/ÊiŸoXÊ, Úg,Êh ne dŽpend que de f et f'. (iv) Si r est multiple de pm'Ê+Ÿ1, avec m' ³ m, Úg,Êh est indŽpendant de m ² m'. Posons b(Ÿf', r) = oX[T']Ÿ/Ÿ(Ÿf'ÊrT' - p), et supposons d'abord que g = 1. On consid•re les deux morphismes X @ SpecÊç(Ÿp)[t] envoyant respectivement t sur f et sur f'Ê; comme h = f' - f appartient au m-PD-idŽal iŸoXÊ, m-PD-nilpotent d'apr•s (3.1.8) (iv), le morphisme produit se factorise par SpecÊç(Ÿp)[t1]ít2 - t1ðÊ/ÊIÊ{nÊ+Ÿ1} pour n assez grand. On en dŽduit un isomorphisme d'alg•bres ªh : b(Ÿf, r) Ê#ÊÊ›Ê@ b(Ÿf', r) en prenant l'image inverse de la m-PD-stratiÞcation ªnÊ; on a donc (4.2.2.2) ªh(T) = T'(1 + T'Ä(m) (Ÿf + h, fŸ))-1. r -linŽaire, rŽsulte de la condition de cocycleÊ; si Le fait que ªh soit horizontal, donc d(m) X h'ÊÊÔ â(ŸX, iŸoX), on dŽduit aussi de celle-ci la relation ªh' ì ªh = ªh'Ê+ÊhÊ. Dans le cas gŽnŽral, o• f' = gŸf + h, on pose (4.2.2.3) Úg,Êh = ªh ì ¨g : b(Ÿf, r) Ê#@ b(gŸf, r) Ê#@ b(Ÿf', r). L'assertion (ii) est claire. Pour prouver (i), ce qui prŽc•de ram•ne ˆ vŽriÞer que, si gÊÊÔ â(ŸX, oX), h Ô â(ŸX, iŸoX), le diagramme ªh b(Ÿf, r) ###@ b(Ÿf + h, r) É É ¨ g À À ªgŸh b(ŸgŸf, r) ##@ b(ŸgŸf + gh, r) ¨g (4.2.2.4) est commutatif, et cela rŽsulte de l'homogŽnŽitŽ de Ä(m) (t1Ê, t2). r Supposons que f' = gŸf + h = g'f + h', avec h, h' Ô â(ŸX, iŸoX). Si f est non Ê“ dÝ -MODULES COHƒRENTS I 75 diviseur de 0 modulo i, on en dŽduit que g' = g + u, avec u Ô â(ŸX, iŸoX), et h = uf + h'. Pour prouver que Úg,Êh = Úg',Êh'Ê, il faut alors montrer que ¨g'Ê = ªufÊìʨg : b(Ÿf, r) #@ b(ŸgŸf, r) #@ b(Ÿg'f, r). Si b(Ÿg'f, r) = oXŸ[T'1]Ê/Ÿ(Ÿg'ŸrfÊrŸT'1 - p), il sufÞt de vŽriÞer que g'Ÿr(1 + T'1ÊÄ(m) (Ÿg'f, gŸfŸ)) = gÊr. r (Ÿg', g) est dŽÞni, et l'assertion rŽsulte de ce Comme g' - g = u Ô â(ŸX, iŸoX), Ä(m) r qu'on a g'ÊrÊT'1ÊÊfÊrÊÄr(m)(Ÿg', g) = pÊÄ(m) (Ÿg', g) = gÊr - g'Êr. r Si on suppose enÞn que r est multiple de pm'Ê+Ÿ1, avec m' ³ m, il est clair que ¨g ne dŽpend pas de m ² m', et il en est de m•me de ªh d'apr•s (4.2.1) (iii), si bien que Úg,Êh est indŽpendant de m. Lorsque f est non diviseur de 0 modulo i, et f' = gŸf + h, on notera Ú(Ÿf', f, r) au lieu de Úg,ÊhÊ. La relation (4.2.2.1) s'Žcrit alors (4.2.2.5) Ú(Ÿf", f, r) = Ú(Ÿf", f', r) ì Ú(Ÿf', f, r). Si g est inversible, i.e. si f et f' engendrent le m•me idŽal modulo i, on obtient ainsi -modules Ú(Ÿf', f, r) : b(Ÿf, r) Ê#ÊÊ›Ê@ b(Ÿf',ÊÊr). un isomorphisme canonique de d(m) X (4.2.3) Soient m, r Ô ú deux entiers tels que r soit multiple de pmÊ+Ÿ1, X @ S un morphisme lisse de ç(Ÿp)-schŽmas (resp. schŽma formels), i Ç oS un m-PD-idŽal quasicohŽrent (resp. cohŽrent), m-PD-nilpotent, X0 = V(iŸoX) Ç X, et Z Ç X0 un diviseur de X0Ê. Si U est un ouvert de X, et f Ô â(U, oX) une section relevant une Žquation locale de Z dans X0Ê, il rŽsulte de la section prŽcŽdente que, en tant que oUÊ-alg•bre munie d'une action compatible de d(m) , b(Ÿf, r) est indŽpendante ˆ isomorphisme U canonique pr•s du choix de la section f. En recollant les alg•bres ainsi dŽÞnies sur un recouvrement afÞne de X sur lequel Z poss•de une Žquation locale, on associe donc canoniquement ˆ Z un faisceau de oXÊ-alg•bres bXŸ(Z, r), muni d'une -module. De plus, si Z' ‚ Z est un second diviseur, et si structure compatible de d(m) X f, f' rel•vent des Žquations locales de Z, Z', les homomorphismes Ú(Ÿf', fŸ, r) sont compatibles aux isomorphismes de recollement d'apr•s (4.2.2.5), de sorte qu'on dispose d'un homomorphisme canonique d (m) -linŽaire X Ú(Z',ÊZ, r) : bXŸ(Z, r) Ê#@ bXŸ(Z', r), tel que, lorsque Z" ‚ Z' est un troisi•me diviseur, on ait (4.2.3.1) Ú(Z", Z, r) = Ú(Z", Z', r) ì Ú(Z', Z, r). Soit maintenant r' = ar un multiple de r. D'apr•s ce qui prŽc•de, il existe u n -modules Ú(aŸZ, Z, r) : bXŸ(Z, r) @ bXŸ(aŸZ, r). Si homomorphisme canonique de d(m) X f rel•ve une Žquation locale de Z dans X0Ê, fÊa rel•ve une Žquation locale de aŸZ, et on 76 P. BERTHELOT a par dŽÞnition b(ŸfÊa, r) = b(Ÿf, ar). Cette ŽgalitŽ s'Žtend aux structures de d(m) X (m) Ÿa Ÿa (m) modules, car il rŽsulte de (4.2.1.1) que l'on a Är (t1 , t2 ) = Är' (t1Ê, t2) , si bien que les m-PD-stratiÞcations de b(ŸfÊa, r) et b(Ÿf, ar) co•ncident. Si f' = gŸf + h, on a Žgalement Ú(Ÿf'Êa, fÊa, r) = Ú(Ÿf', f, ar), car il sufÞt de le vŽriÞer pour ¨gÊ, ce qui est clair, et pour ªhÊ, ce qui rŽsulte de la relation prŽcŽdente. On a donc une ŽgalitŽ de d(m) X modules bXŸ(aŸZ, r) = bXŸ(Z, ar), ce qui permet d'Žcrire l'homomorphisme Ú(aŸZ, Z, r) sous la forme Ú(Z, r', r) : bXŸ(Z, r) Ÿ##@ bXŸ(Z, r'), avec la relation (4.2.3.2) Ú(Z, r", r) = Ú(Z, r", r') ì Ú(Z, r', r) pour r" = a'r'. Lorsque r (resp. r') est multiple de pm'Ê+Ÿ1, avec m' ³ m, la structure de d(m) X (m') module de bXŸ(Z, r) est induite par sa structure de dX -module, et les homomorphismes Ú(Z',ÊÊZ, r) (resp. Ú(Z, r', r)) sont indŽpendants de m ² m'. Remarque. Ñ Plus gŽnŽralement, on peut dŽÞnir pour tout r' ³ r, avec pmÊ+Ÿ1ʾÊr', u n homomorphisme d(m) -linŽaire Ú(Z, r', r) : bXŸ(Z, r) @ bXŸ(Z, r'), en recollant les X homomorphismes dŽÞnis localement par Ú(Z, r', r)(T) = fÊr'Ê-ÊrŸT', -linŽaritŽ rŽsultant de la relation la d(m) X (4.2.3.3) (m) (t1Ê, t2) + t1ÊrŸÄr'Ê-Êr (t1Ê, t2) Är'(m)(t1Ê, t2) = t2Êr'Ê-ÊrŸÄ(m) r qu'on dŽduit de (4.2.1.1). La relation (4.2.3.2) reste encore valable, de sorte que les faisceaux bXŸ(Z, pmÊ+Ÿ1) forment une famille coÞnale dans la famille des bXÊ(Z, r) pour r variant dans l'ensemble des multiples de pmÊ+Ÿ1. (4.2.4) Soient maintenant x un v-schŽma formel lisse, de rŽduction Xi sur vÊ/ʵŸiÊ+Ÿ1 (resp. X sur k), Z Ç X un diviseur, m un entier tel que µ soit muni d'une m-PDstructure topologiquement m-PD-nilpotente, et r un multiple de pmÊ+Ÿ1. En appliquant ce qui prŽc•de aux faisceaux bX (Z, r), et en observant que bX (Z, r) ¢ vÊ/ʵÊi – i i bX (Z, r), on voit que le faisceau ^bxŸ(Z, r) = lim Êi bX (Z, r) est muni d'une iÊ-Ÿ1 Ò# i structure canonique de ^dx(m)-module. On observera que, si u Ç x est un ouvert tel qu'il existe fÊÊÔ â(x, ox) relevant une Žquation locale de Z dans X, on a sur u (4.2.4.1) ^bxŸ(Z, r) – oxÊ{T}Ê/Ê(ŸfÊrT - p), gr‰ce au thŽor•me A appliquŽ ˆ oxÊ{T} = üoxÊ[T]. Dans le cas o• r = pmÊ+Ÿ1, nous poserons Ê“ 77 dÝ -MODULES COHƒRENTS I b(m) (Z) = bXŸ(Z, pmÊ+Ÿ1), X (Z) ^b(m) x = ^bxŸ(Z, pmÊ+Ÿ1). Pour m' ³ m, l'homomorphisme canonique (Z) Ê##@ ^bx(m')(Z) Ú(m',Êm)(Z) = Ú(Z, pm'Ê+Ÿ1, pmÊ+Ÿ1) : ^b(m) x @ ^d(m') . Par passage ˆ la limite inductive, on est semi-linŽaire par rapport ˆ ^d(m) x x obtient donc un faisceau de oxÊ-alg•bres oxŸ(“Z) = lim Êm ^b(m) (Z), x (4.2.4.2) #@ muni d'une structure de d“xÊ-module “ compatible ˆ sa structure de oxÊ-module. Nous dirons que oxŸ( Z) est le faisceau des fonctions sur x ˆ singularitŽs surconvergentes le long de Z. (4.2.5) Soit r un multiple de pmÊ+Ÿ1. Sous les hypoth•ses de (4.2.3), on peut gr‰ce ˆ (2.3.5) utiliser l'action de d(m) sur bXŸ(Z, r) pour munir bXŸ(Z, r) ¢o dX(m) d'une X X structure de faisceau d'anneaux. Sous les hypoth•ses de (4.2.4), on peut ainsi dŽÞnir, pour tout vŸ-schŽma formel lisse x, et tout diviseur Z Ç X, le faisceau d'anneaux ^bxŸ(Z,ÊÊr) ¢o dx(m), et son complŽtŽ p-adique x (4.2.5.1) ^bxŸ(Z, r) ^ ¢o ^d(m) x x = lim Êi bX (Z, r) ¢o d(m) X . Ò# i Xi i Le faisceau ^bxŸ(Z,ÊÊr) ¢o dx(m) vŽriÞe les hypoth•ses de (3.3.3). Par suite, les faisx (m) ceaux ^bxŸ(Z,ÊÊr) ^ ¢o ^d(m) et ^bxŸ(Z,ÊÊr) ^ ¢o ^dx,ÊÝ sont cohŽrents, et les modules cohŽx x x rents sur ces faisceaux vŽriÞent les thŽor•mes A et B. Si m' ³ m, et si r' est multiple de r et de pm'Ê+Ÿ1, on dispose par passage ˆ la limite d'un homomorphisme canonique de faisceaux d'anneaux (4.2.5.2) ^bxŸ(Z, r) ^ ¢o ^dx(m) x Ê##@ ^bxŸ(Z, r') ^ ¢o ^d(m') . x x Par passage ˆ la limite inductive, on dŽÞnit alors le faisceau d'anneaux (4.2.5.3) (Z) ^ ¢o ^d(m) . d“xÊ(“Z) = lim Êm ^b(m) x x #@ Il est muni d'un homomorphisme canonique x d“x @ d “xŸ(“Z). Nous dirons que d“x(“Z) est le faisceau des opŽrateurs diffŽrentiels de niveau Þni, ˆ singularitŽs surconvergentes le long de Z. Ses sections sur les ouverts afÞnes poss•dent une description analogue ˆ celle de (2.4.4) pour d“x (voir par exemple dans l'introduction le cas o• Z est l'origine dans la droite afÞne). Lorsque Z est u n diviseur ample dans une variŽtŽ projective, ses sections globales fournissent Žgalement des anneaux d'opŽrateurs diffŽrentiels importants, dont les coefÞcients sont dans une alg•bre faiblement compl•te relevant l'anneau de coordonnŽes de X • Z : ainsi, l'exemple suivant, dž ˆ C.ÊHuyghe, fournit une interprŽtation de la ÒcomplŽtion faibleÓ de l'alg•bre de Weyl sur K = Frac(vŸ) en termes des faisceaux d“x(“Z)Ý : Exemple ([24]). Ñ Supposons que x soit la droite projective formelle sur SpfÊŸv, et Z le point ˆ l'inÞni de X. On a alors 78 P. BERTHELOT â(x, d“xŸ(“Z)Ý) – {ÊåÊ Œj,ÊkÊtÊjŸÙŸkÊ/ÊkŸ! ¾ Œj,Êk Ô K, et Á c, Ú < 1 tels que ¾Œj,Êk¾ ² cŸÚÊjÊ+ÊkÊ}. k (4.3) ThŽor•mes de platitude II Les principaux rŽsultats de cette section sont d'une part la cohŽrence du faisceau d“xŸ(“Z)Ý construit dans la section prŽcŽdente, gr‰ce au thŽor•me de platitude (4.3.5) gŽnŽralisant (3.5.3), d'autre part la Þd•le platitude sur d“xŸ(“Z)Ý du faisceau j*Êd“y,ÊÝÊ. Nous commencerons par l'Žtude du faisceau des fonctions ˆ singularitŽs surconvergentes. (4.3.1) Restant sous les hypoth•ses de (4.2.4), nous noterons j : Y ÌÊÊ@ X l'inclusion du complŽmentaire de Z dans X, xK l'espace analytique rigide Þbre gŽnŽrique de x, sp : xK @ x le morphisme de spŽcialisation. Rappelons que sur xKÊ, on dŽÞnit le faisceau jŸ“Ÿox des germes de fonctions surconvergentes le long de Z de la mani•re K suivante. Si fÊÊÔÊÊâ(u, ox) est une section de ox relevant une Žquation locale de Z dans X, et si, pour ÂÊÊ< 1, on note U l'ensemble des points de uK = sp-1(u) tels que ¾Ÿf(x)¾ ³ Â, l'ouvert U ne dŽpend pas du choix de f d•s que  ³ ¾¹¾ (o• ¹ est une uniformisante de vŸ), ce qui permet de recoller les U pour u variable en un ouvert de xK encore notŽ UÂÊ; si j : UÂÊÊÌÊÊ@ xK est l'immersion canonique, et E un faisceau sur xKÊ, on dŽÞnit jŸ“ŸE par jŸ“ŸE = lim ÊŸÂÊ@Ÿ1 ÊjÂÊ*ÊjÂÊ*ÊE. #@ (4.3.2) PROPOSITION. Ñ Pour tout r ³ 0, posons Âr = p-Êr. (i) Avec les notations de (4.2.4), il existe des isomorphismes canoniques de oxÊalg•bres (4.3.2.1) (4.3.2.2) ›Ê sp j jÊ* Êo , Ê#@ * ÂrŸ* Âr xKÊ ›Ê sp jŸ“Ÿo , oxŸ(“Z)Ý Ê#@ * xKÊ ^bxŸ(Z, r)Ý ce dernier Žtant d“x,ÊÝ-linŽaire pour la structure de d“x,ÊÝ-module dŽÞnie en [4, 4.1.4]. (ii) Pour tout ouvert afÞne u Ç x, â(u, ^bxŸ(Z, r)) et â(u, ^bxŸ(Z, r)Ý) sont des anneaux nÏthŽriens. Les faisceaux ^b xŸ(Z, r)Ý et oxŸ(“Z)Ý sont plats sur ox,ÊÝ et sur les faisceaux ^bxŸ(Z, r')Ý pour pmÊ+Ÿ1¾Êr'ʾÊr. Les faisceaux ^bxŸ(Z, r), ^bxŸ(Z, r)Ý et oxŸ(“Z)Ý sont cohŽrents, et les modules cohŽrents sur ces faisceaux vŽriÞent les thŽor•mes A et B. Soient u = SpfÊŸA Ç x un ouvert afÞne sur lequel il existe f Ô â(u, ox) relevant une Žquation locale de Z, et uK = sp-1(u) = SpmÊ(ŸA ¢ KŸ) sa Þbre gŽnŽrique. D'apr•s (3.4.0.1) et (4.2.4.2), on a Ê“ 79 dÝ -MODULES COHƒRENTS I â(u, ^bxŸ(Z, r)Ý) – (ŸA{T}Ê/Ÿ(ŸfÊrT - p)) ¢ K – â(uK õ U , ox Ÿ) rÊ – â(u, sp* j Ÿ* r K jÊ* Êo Âr xKÊ). L'identiÞcation ainsi obtenue est indŽpendante du choix de f, car l'homomorphisme canonique A ¢ K @ (ŸA{T}Ê/Ÿ(ŸfÊrT - p)) ¢ K est un Žpimorphisme dans la catŽgorie des K-alg•bres de Tate. Par recollement, on obtient donc un isomorphisme de faisceaux de oxÊ-alg•bres ^bxŸ(Z, r)Ý Ê#ÊÊ›Ê@ sp* j Ÿ* jÂÊ* Êox , nŽcessairement continu. r r KÊ Par passage ˆ la limite, on en dŽduit l'isomorphisme (4.3.2.2), car l'image inverse par sp d'un ouvert afÞne de x est un ouvert afÞno•de de xKÊ, ce qui entra”ne que sp* commute aux limites inductives Þltrantes. Comme l'opŽration de ^d(m) sur ^b(m) (Z) x x est continue par construction, et que celle de d“x,ÊÝ sur sp* jŸ“Ÿox l'est aussi pour la K topologie limite inductive des topologies des sp* j Ÿ* jÊ* Êox (cf. [4, 4.1.4]), il sufÞt  r r K pour prouver la linŽaritŽ sur d“x,ÊÝ de cet isomorphisme de vŽriÞer sa compatibilitŽ ˆ l'action des dŽrivations Ùi associŽes ˆ un syst•me de coordonnŽes locales. Or on a TÊÊ= pÊ/ŸfÊr dans (ŸA{T}Ê/Ÿ(ŸfÊrT - p)) ¢ K, et l'action de Ùi sur T est ainsi dŽterminŽe de mani•re unique. Comme oxŸ[T]Ê/Ÿ(ŸfÊrT - p) vŽriÞe les hypoth•ses de (3.3.3), il rŽsulte de (3.3.4) et (3.4.2) que ^bxŸ(Z, r) et ^bxŸ(Z, r)Ý sont cohŽrents. Si u est un ouvert afÞne de x, on a â(u,ÊÊ^bxŸ(Z, r)) = lim Êi â(u, bX (Z, r)), avec Ò# i ›Ê â(u, b â(u, bX (Z, r))Ê/ʵÊiŸâ(u, bX (Z, r)) Ê#@ X i i (Z, r)). iÊ-Ÿ1 Or les anneaux â(u, bX (Z, r)) sont nÏthŽriens : c'est clair si Z poss•de une i Žquation globale sur u, et le cas gŽnŽral en rŽsulte car les bX (Z, r) sont oX -quasii i cohŽrents. D'apr•s (3.2.2) (iii), â(u, ^bxŸ(Z, r)) est donc nÏthŽrien. Les faisceaux ^bxŸ(Z, r) satisfont ainsi les hypoth•ses de (3.3.3) et (3.4.1), de sorte que les ^bxŸ(Z, r)modules cohŽrents vŽriÞent les thŽor•mes A et B. Par ailleurs, la dŽmonstration de (i) montre que, pour tout ouvert afÞne u assez petit, et tout r'ʾÊr, les homomorphismes â(u, ox,ÊÝ) Ê##@ â(u, ^bxŸ(Z, r')Ý) Ê##@ â(u, ^bxŸ(Z, r)Ý ) s'identiÞent ˆ des homomorphismes d'alg•bres de Tate induits par l'inclusion d'un ouvert afÞno•de. Comme de tels homomorphismes sont plats [12, 7.3.2, cor. 6], la platitude sur ox,ÊÝ et sur ^bxŸ(Z, r')Ý des faisceaux ^bxŸ(Z, r)Ý et oxŸ(“Z)Ý en rŽsulte. On en dŽduit Žgalement, gr‰ce ˆ (3.6.1), que oxŸ(“Z)Ý est un faisceau d'anneaux cohŽrent. De plus, les oxŸ(“Z)Ý-modules cohŽrents vŽriÞent les thŽor•mes A et B d'apr•s (3.6.4). Si u = SpfÊŸA est un ouvert afÞne o• f Ô A rel•ve une Žquation locale de Z, il est facile de vŽriÞer que l'anneau â(u, oxŸ(“Z)Ý) s'identiÞe ˆ (ŸAf)“ÝÊ, o• (ŸAf)“ est le complŽtŽ faible de AfÊ. Comme le complŽtŽ faible d'une alg•bre de type Þni sur un anneau nÏthŽrien est nÏthŽrien [19], l'anneau â(u, oxŸ(“Z)Ý) est nÏthŽrien sous cette hypoth•se, et le cas gŽnŽral en rŽsulte gr‰ce au thŽor•me A. 80 P. BERTHELOT Remarque. Ñ Il n'est pas vrai par contre en gŽnŽral que oxŸ(“Z) soit plat sur oxÊ, ni que â(u, oxŸ(“Z)) soit nÏthŽrien lorsque u est un ouvert afÞne de x. En effet, s'il en Žtait ainsi, l'alg•bre lim Êm bX(m)(Z) serait plate sur oX et ˆ sections nÏthŽriennes #@ sur les ouverts afÞnes. Or on a localement b(m) (Z) – oXÊ[T]Ê/Ÿ(ŸfÊp X mÊ+Ÿ 1 S(oXÊÊ/Ÿ(ŸfÊp )), d'o• lim Êm b(m) (Z) – lim Êm S(oXÊÊ/Ÿ(ŸfÊp X #@ #@ mÊ+Ÿ1 )) – S(lim Êm oXÊÊ/Ÿ(ŸfÊp #@ mÊ+Ÿ1 mÊ+Ÿ1 T) – )) – S(h1Z(oX)), alg•bre qui n'est ni nÏthŽrienne, ni plate sur oXÊ, puisque h1Z(oX) est un module de f-torsion qui n'est pas de type Þni. (m) Pour Žtudier la platitude des faisceaux ^bxŸ(Z,ÊÊr) ^ ¢o ^dx,ÊÝ Ê, nous aurons besoin x des lemmes suivants. (4.3.3) LEMME. Ñ Soient r Ô ú, A une vŸ-alg•bre sŽparŽe et compl•te, topologiquement de type Þni, sans p-torsion, f Ô A, A{ŸfŸ} le complŽtŽ de l'anneau de fractions AfŸŸ, B = A[T]Ÿ/Ÿ(ŸfÊrT - p). On suppose que f n'est pas diviseur de 0 modulo µ. (i) L'anneau B est sans p-torsion et p-adiquement sŽparŽ. (ii) L'homomorphisme ^BÊÊ@ÊÊA{ŸfŸ} envoyant T sur pÊ/ÊfÊr est injectif. (iii) Si de plus A ¢v k est int•gre, ^B l'est aussi. Les hypoth•ses entra”nent que les suites (ŸfŸ) et (Ÿp, fŸ) sont rŽguli•res dans A. Il en est alors de m•me pour les suites (ŸfÊrT - p) et (Ÿp, fÊrT - p) dans AÊ[T]. Il en rŽsulte que la suite (ŸfÊrT - p, p) est rŽguli•re dans A[T], donc B sans p-torsion. Pour montrer que B est p-adiquement sŽparŽ, il sufÞt de montrer que si x Ô B est tel qu'il existe b Ô B tel que (1Ê- pŸb)x = 0, alors x = 0. Or A s'envoie injectivement dans B, car f est non diviseur de 0 dans A. De plus, BÊ/ŸŸA est de f-torsion, et f est non diviseur de 0 dans B, puisque B est sans p-torsion. Il sufÞt donc de montrer que si x Ô A est tel qu'il existe aÊÊÔ A, s Ô ú tels que (ŸfÊs - pŸa)x = 0, alors x = 0. Cela rŽsulte de ce que la suite (Ÿp, fÊs) est rŽguli•re dans A, et A p-adiquement sŽparŽ. Comme B est un anneau nÏthŽrien, on en dŽduit par platitude que ^B est aussi sans p-torsion, et par consŽquent sans f-torsion ni T-torsion. Par suite, ^B s'injecte dans l'anneau de fractions ^BfÊ, et, puisque (^B f)^ – A{ŸfŸ}Ê, il sufÞt pour prouver (ii) de montrer que ^Bf est p-adiquement Ð ou T-adiquement Ð sŽparŽ. On est ainsi ramenŽ ˆ montrer que si x Ô ^Bf est tel qu'il existe b Ô ^Bf tel que (1ŸÊ- bT)x = 0, alors x = 0. Il revient au m•me de montrer que si x Ô ^B est tel qu'il existe b Ô ^B et s Ô ú tels que (ŸfÊs - bT)x = 0, alors x = 0. Observons que ^BÊ/Ÿ(T) – A{T}Ÿ/Ÿ(T, fÊrT - p) – AÊ/ÊpŸA. Puisque f est non diviseur de 0 modulo p, il en rŽsulte que x Ô (T). Comme ^B est sans T-torsion, on en dŽduit que x Ô õÊi TŸiŸ^B, donc qu'il existe c Ô ^B tel que (1 - cT)x = 0. Soient `x, `Ÿc les images de x, c dans BÊ/ÊpŸB, et P, C Ô (ŸAÊ/ÊpŸA)[T] des ŽlŽments d'images `x , `Ÿc. On a donc (1 - CT)P Ô (ŸfÊrT), d'o• P Ô (T). Si P = TP', on obtient donc que (1 - cT)P' Ô (ŸfÊr), d'o• l'on dŽduit que P' Ô (ŸfÊr), et P Ô (ŸfÊrT). Par consŽquent, Ê“ 81 dÝ -MODULES COHƒRENTS I `xÊÊ= 0, et x Ô pŸ^B. Comme ^B est sans p-torsion, on voit que x Ô õÊi pŸiŸ^B , ce qui entra”ne que x = 0 puisque ^B est sŽparŽ. Si A est sans p-torsion et AÊ/ʵŸA int•gre, A est int•gre, et il en est de m•me de A{ŸfŸ}Ê, qui vŽriÞe les m•mes hypoth•ses que A. Par suite, (ii) entra”ne (iii). (4.3.4) LEMME. Ñ Soient m Ô ú, r un multiple de pmÊ+Ÿ1, r' un multiple de r, X @ S un morphisme lisse de ç (Ÿp)-schŽmas (ou schŽmas formels), f Ô â(ŸX, oX), et Ú : b(Ÿf,ÊÊr) = oXÊ[T]Ÿ/Ÿ(ŸfÊrT - p) @ b(Ÿf, r') = oXŸ[T']Ÿ/Ÿ(ŸfÊr'T' - p) l'homomorphisme dŽÞni en (4.2.3). Pour tout entier k, le sous-b(Ÿf, r)-module de b(Ÿf, r') engendrŽ par les T'i pour i ² k est un sous-d X(m)-module ˆ gauche. Compte tenu de la construction de la structure de d(m) -module en termes de mX PD-stratiÞcations donnŽe en (4.2.1), il sufÞt de le prouver dans la situation universelle o• X = SpecÊç(Ÿp)[t], f = t. Soit r' = ar. On observe d'abord que les polyn™mes ˆ puissances divisŽes Är(m) dŽÞnis en (4.2.1.1) vŽriÞent la relation åÊ Är'(m)(t1Ê, t2) = (4.3.4.1) a pÊŸjÊ-Ÿ1æè j öø t(aÊ-Êj)r ÊÄr(m)(t1Ê, t2)Êj. 1 1ʲÊjʲÊa En effet, comme ç(p)[t1]ít2 - t1ð(m) est sans torsion, il sufÞt de le prouver apr•s multiplication par p. On a alors (m) pŸÄr' (t1Ê, t2) = t2Ÿr' - t1Ÿr' = (tŸ1 r + (tŸ2 r - t1Ÿr))a - tŸ1 r' = (tŸ1 r + pŸÄr(m)(t1Ê, t2))a - t1Ÿr', d'o• l'assertion. Fixons n Ô ú. Comme l'isomorphisme ªn : pnX,Ê(m) ¢ b(t, r) Ê#ÊÊ›Ê@ b(t, r) ¢ pnX,Ê(m) est un isomorphisme d'alg•bres, il sufÞt de prouver l'ŽnoncŽ pour k = 1. Reprenons les notations de (4.2.1). Compte tenu de ce que p = tŸ1 rT1Ê, et t1(aÊ-Ÿ1)rT'1 = T1Ê, la relation prŽcŽdente permet d'Žcrire ªn(T'2) = T'1(1 + T'1 åÊ a pÊŸjÊ-Ÿ1æè j öø t1(aÊ-Êj)rÊÄr(m)(t1Ê, t2)Êj)-1 1ʲÊjʲÊa = T'1(1 + åÊ æèaöø TÊŸjÊÄ(m)(t , t )Êj)-1 j r 1Ê 2 1 1ʲÊjʲÊa = T'1(1 + T1ÊÄr(m)(t1Ê, t2))-Êa, d'o• le lemme. (4.3.5) THƒORéME. Ñ Soient m' ³ m, r un multiple de pmÊ+Ÿ1, r' un multiple commun de pm'Ê+Ÿ1 et de r, Z Ç X un diviseur. Les homomorphismes canoniques (4.3.5.1) (m) ^bxŸ(Z, r) ^ ¢o ^dx,ÊÝ x Ê##@ ^bxŸ(Z, r') ^ ¢o ^d(m') x,ÊÝ x 82 P. BERTHELOT sont plats ˆ droite et ˆ gauche. Comme les alg•bres ^bxŸ(Z, r) vŽriÞent les hypoth•ses de (3.5.1), le thŽor•me de platitude (3.5.3) entra”ne que l'homomorphisme (m) ^bxŸ(Z, r') ^ ¢o ^dx,ÊÝ x Ê##@ ^bxŸ(Z, r') ^ ¢o ^d(m') x,ÊÝ x est plat ˆ droite et ˆ gauche. Il sufÞt donc de prouver l'ŽnoncŽ lorsque m = m'. L'argument est analogue ˆ celui de (3.5.3). Soit u = SpfÊŸA Ç x un ouvert afÞne connexe tel qu'il existe f Ô â(u, ox) relevant une Žquation de Z, et un syst•me de coordonnŽes relatives pour u. Soient B = A[T]Ê/Ÿ(ŸfÊrT - p), B' = A[T']Ê/Ÿ(ŸfÊr'T' - p), D = â(u, dx(m)), ^B,ÊÊ^B', ^D les complŽtŽs p-adiques de B, B', D, Ú : B @ B' l'homomorphisme tel que Ú(T) = fÊr'Ê-ÊrT', Ú' : B ¢ D @ B' ¢ D l'homomorphisme induit par Ú. Il sufÞt de prouver que ^B'ÊÊ^ ¢ÊÊ^DÝ est plat sur ^B ^ ¢ ^DÝÊ. Observons d'abord que, f Žtant non diviseur de 0 modulo p, les anneaux B et B' sont sans p-torsion d'apr•s (4.3.3), et il en est de m•me de ^B et ^B' par platitudeÊ; de m•me, B ¢ D, B' ¢ D, ^B ^ ¢ ^D et ^B' ^ ¢ ^D sont sans p-torsion. De plus, l'existence de coordonnŽes locales sur u permet de dŽduire de (4.3.3) que les homomorphismes ^B ^ ¢ ^D @ ^B' ^ ¢ ^D et B' ¢ D @ ^B' ^ ¢ ^D sont injectifs. ConsidŽrons le sous-anneau (4.3.5.1) D' = ^B ^ ¢ ^D + B' ¢ D Ç ^B' ^ ¢ ^D. C'est bien un sous-anneau de ^B' ^ ¢ ^D, car il sufÞt de vŽriÞer que si P Ô ^B ^ ¢ ^D, QÊÊÔÊÊB'ÊÊ¢ D, alors PQ et QP sont dans D'. Or il existe a Ô ú tel que fÊaŸQ Ô B ¢ D, donc b Ô ú tel que pbŸQ Ô B ¢ D. Ecrivant P sous la forme P = P1 + pbŸP2Ê, avec P1 Ô B ¢ D, P2 Ô ^B ^ ¢ ^D, on en tire l'assertion. L'homomorphisme ^D' @ ^B' ^ ¢ ^D est alors un isomorphisme. En effet, l'homomorphisme D'Ê/ÊpŸiŸD' @ (^B' ^ ¢ ^D)Ÿ/ÊpŸi(^B' ^ ¢ ^D) est surjectif puisque B' ¢ D Ç D'. Il est injectif, car si un opŽrateur appartient ˆ D' õ pŸi(^B ' ^ ¢ ^D), il s'Žcrit sous la forme PÊÊ+ÊÊQ = pŸiŸP', avec P Ô ^B ^ ¢ ^D, Q Ô B' ¢ D, P' Ô ^B' ^ ¢ ^D, et P s'Žcrit P = P1 + piŸP2Ê, avec P1 Ô B ¢ D, P2 Ô ^B ^ ¢ ^D. On a alors P1 + Q Ô B' ¢ D õ pŸi(^B' ^ ¢ ^D) = pŸiŸB' ¢ D, d'o• P + Q Ô pŸiŸD'. Comme BÝ – B'ÝÊ, on a (^B ^ ¢ ^D)Ý = D'QÊ. Pour achever la dŽmonstration, il sufÞt donc de montrer que l'homomorphisme D' @ ^D' est plat, et pour cela que D' est nÏthŽrien. Pour tout k, soit D'k = { åÊ T'ŸiÊQi ¾ Qi Ô ^B ^ ¢ ^DÊ} Ç D'. iʲÊk Par passage aux complŽtŽs, il rŽsulte de (4.3.4) que D'k est un sous-(^B ^ ¢ ^D)-module ˆ gauche de D', de sorte que D'hŸ.ŸD'k Ç D'hÊ+ÊkÊ. On obtient ainsi une Þltration d'anneau croissante sur D', discr•te et exhaustive. Pour prouver que D' est nÏthŽrien, il sufÞt alors de prouver que grÊD' est nÏthŽrien. Or on a fÊr'T' = p Ô ^B ^ ¢ ^D, de sorte que, pour Ê“ dÝ -MODULES COHƒRENTS I 83 tout k ³ 1, on a fÊr'grkÊD' = 0. Comme p = fÊrT, il en rŽsulte que pŸaŸgrkÊD' = 0 pour k ³ 1. ConsidŽrons alors la suite exacte 0 Ê##@ pŸaÊgrÊD' Ê##@ grÊD' Ê##@ grÊD'Ê/ÊpŸaÊgrÊD' Ê##@ 0. Comme pŸaÊgrÊD' = pŸaÊgr0ÊD' = pŸaŸ^B ^ ¢ ^D, et que sa structure de grÊD'-module provient via l'homomorphisme d'augmentation de sa structure de ^B ^ ¢ ^D-module, pŸaÊgrÊD' est un grÊD'-module nÏthŽrien. Il sufÞt alors de montrer que grÊD'Ê/ÊpŸaÊgrÊD' est nÏthŽrien. Mais, sur grÊD'Ê/ÊpŸaÊgrÊD', la Þltration par l'ordre par rapport aux opŽrateurs Ùíkð est une Þltration d'anneau exhaustive, dont le graduŽ associŽ est commutatif et nÏthŽrien, car engendrŽ comme B-alg•bre par les classes des Ùiíkð, k ² pm, et par celle de T'. Par suite, grÊD'Ê/ÊpŸaÊgrÊD' est lui-m•me nÏthŽrien, ainsi donc que grÊD'. On dŽduit alors de (3.6.1) et (3.6.4) : (4.3.6) C OROLLAIRE. Ñ Sous les hypoth•ses de (4.2.5), le faisceau d“xŸ(“Z)Ý est u n faisceau d'anneaux cohŽrent ˆ gauche et ˆ droite. Les d “xŸ(“Z)Ý -modules cohŽrents vŽriÞent les thŽor•mes A et B. (4.3.7) Sous les hypoth•ses de (4.2.3), les homomorphismes oX @ bXŸ(Z, r) sont des isomorphismes en dehors de Z. Il en est donc de m•me des homomorphismes d(m) ÊÊ@ bXŸ(Z, r) ¢ dX(m) pour pmÊ+Ÿ1ʾÊr, et, sous les hypoth•ses de (4.2.4), des homoX @ ^bxŸ(Z, r) ^ ¢ ^dx(m), d“x @ d “xŸ(“Z). morphismes ox @ ^bxŸ(Z, r), ox @ oxŸ(“Z), ^d(m) x Par adjonction, on en dŽduit notamment des homomorphismes canoniques (4.3.7.1) oxŸ(“Z) Ê##@ j*ÊoyÊ, (4.3.7.2) d“xŸ(“Z) Ê##@ j*Êd“yÊ. Nous allons montrer que, apr•s tensorisation par Ý, ils sont Þd•lement plats. (4.3.8) LEMME. Ñ Soient X un espace topologique, a @ b un homomorphisme d e faisceaux d'anneaux sur X. On suppose qu'il existe une base æ d'ouverts de X telle que, pour tout U Ô æ, â(U, b) soit un â(U, a)-module ˆ droite Þd•lement plat. Alors, pour tout x Ô X, bx est un ax-module ˆ droite Þd•lement plat. D'apr•s le lemme (3.3.5), il sufÞt de montrer que, si M est un ax-module ˆ gauche monog•ne de prŽsentation Þnie tel que bx ¢a M = 0, alors M = 0. Il existe x un ouvert U Ô æ, et un â(U, a)-module monog•ne de prŽsentation Þnie MU tels que M – ax ¢â(U,Êa) MUÊ. Comme lim ÊU'ÊÐÊxÊâ(U', b) ¢â(U,Êa) MU = 0, et que MU est mono#@ g•ne, il existe U' Ô æ, avec x Ô U', tel que â(U', b) ¢â(U,Êa) MU = 0. L'hypoth•se entra”ne alors que â(U', a) ¢â(U,Êa) MU = 0, d'o• M = 0. Nous dirons que a @ b est Þd•lement plat ˆ droite si, pour tout x Ô X, bx est 84 P. BERTHELOT Þd•lement plat ˆ droite sur axÊ. Il est Žquivalent de demander que b soit plat ˆ droite sur a, et que, pour tout a-module ˆ gauche m, la relation b ¢a m = 0 entra”ne que mÊÊ= 0. (4.3.9) LEMME. Ñ Soient X @ S un morphisme lisse entre schŽmas de caractŽristique p, et f Ô â(X, oX). Si r est multiple de pmÊ+Ê2, et si b(Ÿf, r) = oXÊ[T]Ê/Ÿ(ŸfÊrT) est muni de la structure de dX(m)-module dŽÞnie en (4.2.1), la section T ¿ 1 appartient au centre du faisceau d'anneaux b(Ÿf, r) ¢ d(m) . X D'apr•s (2.3.5.1), il sufÞt de montrer que, pour tout k, on a ÙíkðT = 0. Gr‰ce ˆ la dŽÞnition de la structure de d(m) -module de b(Ÿf, r) en termes de m-PD-stratiÞcaX tion, il est Žquivalent de montrer (avec les notations de (4.2.1)) que ªn(T2) = T1Ê, soit encore que Ä(m) (t1Ê, t2) est divisible par p lorsque r = apmÊ+Ê2. Dans ce cas, on peut r Žcrire dans ç(Ÿp)[t1]ít2 - t1ð(m) : mÊ+Ÿ1 pŸÄr(m)(t1Ê, t2) = t2Êr - tÊr1 = ((tŸ2 p mÊ+Ê2 = (tÊp 1 mÊ+Ÿ1 )Ÿp)a - tÊr1 = ((t1Êp + pŸÄ(m) (t , t ) )Êp)a - tÊr1 pmÊ+Ÿ1 1Ê 2 + pŸ2Ÿ´(t1Ê, t2))a - tÊr1 = pŸ2Ÿ©(t1Ê, t2), d'o• le rŽsultat puisque ç(Ÿp)[t1]ít2 - t1ð(m) est sans p-torsion. (4.3.10) THƒORéME. Ñ Avec les notations de (4.3.7), on a : (i) Les homomorphismes (4.3.7.1) et (4.3.7.2) sont injectifs et plats ˆ droite et ˆ gauche. (ii) Les homomorphismes (4.3.10.1) oxŸ(“Z)Ý Ê##@ j*Êoy,ÊÝÊ, (4.3.10.2) d“xŸ(“Z)Ý Ê##@ j*Êd“y,ÊÝÊ, sont Þd•lement plats ˆ droite et ˆ gauche. L'injectivitŽ de (4.3.7.1) rŽsulte de (4.3.3) (ii), et celle de (4.3.7.2) s'en dŽduit en utilisant des coordonnŽes locales. Si u = SpfÊA est un ouvert afÞne, l'homomorphisme â(u, bx(m)(Z))f @ Af est un isomorphisme, de sorte que Af est plat sur â(u,ÊÊbx(m)(Z)). Ces anneaux Žtant nÏthŽriens, il en rŽsulte en passant aux complŽ- tŽs que A{ŸfŸ} est plat sur â(u,ÊÊ^bx(m)(Z)). On en dŽduit la platitude de (4.3.7.1) par passage ˆ la limite inductive pour m variable. Celle de (4.3.7.2) se voit par le m•me argument. Montrons la Þd•le platitude de (4.3.10.2), celle de (4.3.10.1) pouvant se prouver par le m•me argument, ou en invoquant les rŽsultats sur les complŽtions faibles. Par (3.3.5) et (4.3.8), il sufÞt de montrer que si u est un ouvert afÞne sur lequel il existe fÊÊÔÊÊâ(u, ox) relevant une Žquation locale de Z, et M un â(u, d“xŸ(“Z)Ý)module monog•ne de prŽsentation Þnie tel que â(uÊõÊy, d“x,ÊÝ) ¢ M = 0, alors M = 0. Ê“ dÝ -MODULES COHƒRENTS I 85 (m) Comme â(u, d“xŸ(“Z)Ý) = lim m',Êm â(u, ^b(m') (Z) ^ ¢ ^dx,ÊÝ ), on peut trouver m' ³ m, x #@ (m) (m') et un â(u, ^bx (Z) ^ ¢ ^dx,ÊÝ )-module monog•ne de prŽsentation Þnie M' tel que M provienne de M' par extension des scalaires. De m•me, quitte ˆ augmenter m et m', on peut supposer que â(uÊõÊy, ^d(m) x,ÊÝ ) ¢ M' = 0. Posons ^Dm' = â(u, ^b(m') (Z) ^ ¢ ^d(m) ), ^D' = â(uÊõÊy, ^d(m) ), et choisissons u n x x x ^Dm'Ê-module monog•ne sans torsion E tel que M' – EÝÊ. Par le m•me argument que prŽcŽdemment, ^D' est plat sur ^Dm'Ê, de sorte que ^D' ¢ E est Žgalement sans torsion, et par consŽquent est nul. Si E0 = EÊ/ÊpŸE, on voit ainsi que (E0)f = 0. Soit e u n gŽnŽrateur de E. Il existe alors s Ô ú et R Ô ^Dm' tels que (ŸfÊsÊÊ-ÊÊpR)e = 0. Quitte ˆ augmenter m', on peut supposer s ² pm'Ê+Ÿ1, de sorte que, en notant ^bx(m')(Z) = m'Ê+Ÿ1 ox{T}Ÿ/Ÿ(ŸfÊp ŸT - p), cette relation peut se mettre sous la forme fÊs(1 - TR')e = 0. Puisque E est sans p-torsion, il est a fortiori sans f-torsion, si bien que l'on a en fait (1 - TR')e = 0. On en dŽduit que (1 - TR')ÊpÊe = 0. L'opŽrateur (1 - TR')Êp est de la forme 1 + pŸS + (-TR')Êp. On peut supposer que m' ³ m + 1, ce qui d'apr•s (4.3.9) assure que, modulo p, T appartient au centre de ^Dm'Ê/ÊpŸ^Dm'Ê, et permet d'Žcrire (1ÊŸ-ÊÊTR')Êp sous la forme 1 + pŸS' + TŸpR". L'homomorphisme ^Dm' @ ^Dm'Ê+Ÿ1 envoie T mÊ+Ÿ1 mÊ+Ê2 mÊ+Ê2 sur fÊ(ŸpÊ-Ÿ1)p T', donc TÊp sur fÊ(ŸpÊ-Ÿ1)p ŸT'Êp = pfÊ(ŸpÊ-Ÿ2)p ŸT'ÊpÊ-Ÿ1. Par consŽquent, l'opŽrateur (1ÊŸ- TR')Êp s'Žcrit sous la forme 1 + pŸQ dans ^Dm'Ê+Ÿ1Ê. Comme cet anneau est p-adiquement complet, (1ÊŸ- TR')Êp y est inversible, ce qui entra”ne que ^Dm'Ê+Ÿ1 ¢ E = 0, donc que M = 0. (4.3.11) C OROLLAIRE . Ñ L'homomorphisme d“x,ÊÝ @ d“xŸ(“Z)Ý est plat ˆ droite et ˆ gauche. Il rŽsulte de (3.3.4) (ii) par passage ˆ la limite sur m que l'homomorphisme dx,ÊÝ @ j*Êd“y,ÊÝ est plat ˆ droite et ˆ gauche. La Þd•le platitude de j*Êd“y,ÊÝ sur d “xŸ(“Z)Ý entra”ne alors l'ŽnoncŽ. “ (4.3.12) P ROPOSITION. Ñ (i) Pour tout d “xŸ(“Z)Ý-module cohŽrent m, l'homomorphisme canonique (4.3.12.1) j*Êd“y,ÊÝ ¢d“ (“Z) m ##@ j*ÊŸjÊ*Ÿm xŸ Ý est un isomorphisme. (ii) Pour qu'un d“xŸ(“Z)Ý-module cohŽrent soit nul, il faut et sufÞt que sa restriction ˆ y soit nulle. La premi•re assertion est locale, et claire si m est un d“xŸ(“Z)Ý-module libre de type Þni. Si m est un d“xŸ(“Z)Ý-module cohŽrent, il poss•de sur tout ouvert afÞne u une prŽsentation de la forme (d“uŸ(“Z)Ý)s Ê#@ (d“uŸ(“Z)Ý)r Ê#@ mÉu Ê#@ 0. 86 P. BERTHELOT Comme uÊõÊy est afÞne, et que les d“uŸ(“Z)Ý-modules cohŽrents vŽriÞent le thŽor•me B, le foncteur j*ÊŸjÊ* prŽserve l'exactitude de cette suite, d'o• l'assertion dans le cas gŽnŽral. La deuxi•me assertion en rŽsulte gr‰ce ˆ la pleine ÞdŽlitŽ de j*Êd“y,ÊÝ sur d“xŸ(“Z)ÝÊ. (4.4) Cas des isocristaux surconvergents Nous allons maintenant utiliser les rŽsultats des sections prŽcŽdentes pour donner une description de la catŽgorie des isocristaux surconvergents sur Y en termes de d“xŸ(“Z)Ý-modules analogue ˆ (4.1.4). (4.4.1) Nous gardons les hypoth•ses et les notations de (4.2.4) et (4.3.1). Rappelons que, si E est un jŸ“Ÿox -module cohŽrent (resp. localement libre de rang Þni), il existe KÊ Â0 < 1, et un ox -module cohŽrent (resp. localement libre de rang Þni) E0 sur U Ê, KÊ 0 tel que EÊÊ– jŸ“ŸE0Ê. De m•me, si E est muni d'une connexion intŽgrable ø, il existe (en augmentant Žventuellement Â0) une connexion intŽgrable ø0 sur E0 telle que ø = jŸ“(ø0). On dit que (E, ø) est surconvergente le long de Z si elle vŽriÞe la condition suivante [5, 2.2.13] : pour tout ouvert afÞne u Ç x tel qu'il existe f Ô â(u, ox) relevant une Žquation de Z, et muni de coordonnŽes locales t1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,Êtd dŽÞnissant une base de dŽrivations ÙiÊ, et tout Ú < 1, il existe ÂÚ < 1 tel que l'on ait, pour tout  tel que ÂÚ ²  < 1, et tout e Ô â(uK õ UÂÊ, E0), (4.4.1.1) ®ÊÙ[k]ÊeÊ®ÊÚ¾k¾ @ 0 pour ¾k¾ @ &, en dŽsignant par ®-® une norme de Banach sur â(uK õ UÂÊ, E 0)Ê; par continuitŽ, il rŽsulte de la formule de Leibnitz que la propriŽtŽ (4.4.1.1) est alors satisfaite avec la m•me constante ÂÚ pour toute section e Ô â(u'K õ UÂÊ, E 0), lorsque u' est un ouvert afÞne contenu dans u. La catŽgorie des isocristaux sur Y, surconvergents le long de Z, peut alors •tre dŽcrite comme la catŽgorie des jŸ“Ÿox -modules localement libres KÊ de rang Þni, munis d'une connexion intŽgrable, et surconvergente le long de Z. mÊ+Ÿ1 (4.4.2) P ROPOSITION. Ñ Pour tout m ³ 0, soient Âm = p-1Ê/Êp , Um = U , jm mÊ l'inclusion de Um dans xKÊ. Le foncteur sp*ÊìÊŸjmÊ* (resp. sp*) induit une Žquivalence entre la catŽgorie des oU -modules (resp. jŸ“Ÿox -modules) cohŽrents et celle des m K ^bx(m)(Z)Ý-modules (resp. oxŸ(“Z)Ý-modules) cohŽrents. Cette Žquivalence fait corres- pondre les modules localement libres de type Þni aux modules localement projectifs de type Þni, et s'Žtend aux modules munis d'une connexion intŽgrable. D'apr•s (4.3.2), on a sp*ÊìÊŸjmÊ*ÊŸoU – ^b(m) (Z)Ý . VŽriÞer que, si E est cohŽrent x m Ê (m) sur ŸoU , sp*ÊìÊŸjmÊ*ÊE l'est sur ^bx (Z)ÝÊ, et qu'on obtient ainsi une Žquivalence de mÊ catŽgories, est une question locale sur x, de sorte qu'on peut supposer x afÞne, et Z Ê“ dÝ -MODULES COHƒRENTS I 87 dŽÞni par fÊÊÔ â(x, ox). Comme, pour tout ouvert afÞno•de V de xKÊ, l'ouvert V õ Um = {Ÿx Ô V ¾ ¾Ÿf(x)¾ ³ ÂmŸ} est afÞno•de, on dŽduit des thŽor•mes de Kiehl que jmÊ*ÊoU m est un faisceau d'anneaux cohŽrent, que jmÊ* Žtablit une Žquivalence entre la catŽgorie des oU -modules cohŽrents et celle des jmÊ*ÊoU -modules cohŽrents, et que, m m sur tout ouvert afÞno•de de xKÊ, les thŽor•mes A et B sont valables pour les jmÊ*ÊoU m modules cohŽrents. Comme, pour tout ouvert afÞne u Ç x, sp-1(u) = uK est afÞno•de, on voit que le foncteur sp* est exact sur la catŽgorie des jmÊ*ÊoU -modules m cohŽrents, et on dŽduit alors du thŽor•me A l'assertion de l'ŽnoncŽ pour les modules sans connexion, ainsi que l'assertion relative aux modules localement libres de rang Þni. Pour Žtendre cette Žquivalence aux modules ˆ connexion intŽgrable, il sufÞt d'observer qu'elle s'Žtend aux jmÊ*ÊoU -alg•bres commutatives qui sont cohŽm rentes en tant que jmÊ*ÊoU -modules, ainsi qu'aux modules cohŽrents sur celles-ci, et m d'utiliser la description des connexions intŽgrables en termes de stratiÞcations. Puisque xK est quasi-compact et sŽparŽ, on peut appliquer les rŽsultats de (3.6) au faisceau jŸ“Ÿox = lim Êm jmÊ*ÊoU sur xKÊ. De plus, le foncteur sp* commute aux K #@ m limites inductives Þltrantes, car l'image inverse par sp d'un ouvert afÞne est u n ouvert afÞno•de. On peut alors dŽduire par passage ˆ la limite l'ŽnoncŽ relatif aux ox(“Z)Ý-modules cohŽrents de l'ŽnoncŽ relatif aux ^b(m) (Z)Ý-modules cohŽrents. x (4.4.3) P ROPOSITION. Ñ Soient E un isocristal sur Y, surconvergent le long de Z, et e = sp*ÊE. Il existe sur e une structure canonique de d“xŸ(“Z)Ý-module, induisant la structure de d“x,ÊÝ-module dŽÞnie en [4, 4.1.5], et fonctorielle en E. Par recollement, il sufÞt de considŽrer les sections sur un ouvert afÞne u Ç x, muni d'un syst•me de coordonnŽes locales dŽÞnissant des dŽrivations Ù1Ê,Ê.Ê.Ê.Ê,ÊÙdÊ, et mÊ+Ÿ1 tel que Z õ u soit dŽÞni par f Ô â(u, ox). Notons ø la connexion de E, Âm = p-1Ê/Êp , Um = U , et soit m0 tel qu'il existe un ox -module cohŽrent E0 sur Um Ê, muni d'une mÊ KÊ 0 connexion intŽgrable et surconvergente ø0Ê, et un isomorphisme (E,Êø) – jŸ“(E0Ê,Êø0). Pour tout m, posons B(m) = â(Um õ uKÊ, ox ) – â(u,ÊÊ^b(m) (Z)Ý), x K Ÿ(m) M = â(Um õ uKÊ, E0) – B(m) ¢B(m0) MŸ(m0), de sorte que â(u, sp*ÊE) – lim ÊmÊMŸ(m). Soit P Ô â(u, d“xŸ(“Z)Ý)Ê; il existe m ³ m0 tel #@ que P s'Žcrive PÊÊ= ÏÊk akŸÙíkð(m), o• ak Ô B(m), et akÊÊ@ 0 pour ¾k¾ @ &. Avec les notations de (2.4.3), choisissons Ú < 1 tel qu'il existe cÊÊÔ é pour lequel ¾Ÿq(m) Ÿ!¾ < cŸÚ¾k¾ k pour tout k. La condition de surconvergence de ø entra”ne qu'il existe n0 ³ m tel que l'on ait ®ŸÙ[k]ÊeŸ®ŸÚ¾k¾ @ 0 pour tout n ³ n0 et tout e Ô MŸ(n), la norme Žtant prise dans MŸ(n). On obtient alors ®ŸakŸÙíkðŸeŸ® = ®ŸakŸqk(m)Ÿ!ŸÙ[k]ŸeŸ® ² cŸ®ŸakŸ®Ÿ®ŸÙ[k]ÊeŸ®ŸÚ¾k¾ @ 0, et on peut dŽÞnir P.Ÿe comme l'image dans â(u, sp*ÊE) de la somme de la sŽrie de 88 P. BERTHELOT terme gŽnŽral akŸÙíkðŸe, qui converge dans MŸ(n). Il est clair que cela ne dŽpend pas des choix faits, et munit â(u, sp*ÊE) d'une structure de â(u, d“xŸ(“Z)Ý)-module qui induit la structure de â(u, d“xŸÝ)-module de [4, 4.1.5]. Tout morphisme horizontal E @ E' induit un morphisme â(u, ^b(m) (Z)Ý)-linŽaire â(u, sp*ÊE) @ â(u, sp*ÊE') qui x commute aux dŽrivations ÙiÊ, et la construction prŽcŽdente permet d'en dŽduire par continuitŽ qu'il est â(u, d“xŸ(“Z)Ý)-linŽaire. (4.4.4) Pour caractŽriser les d“xŸ(“Z)Ý-modules qui proviennent d'un isocristal surconvergent, nous aurons besoin d'Žtendre les dŽÞnitions de (4.1.1) sur la topologie (m) du module des sections d'un ^dx,ÊÝ -module cohŽrent. Soit u un ouvert afÞne de x. Pour tout n Ô ú, l'alg•bre ^B = â(u, ^bx(n)(Z)) est naturellement munie de la topologie p-adique, qui dŽÞnit la topologie p-adique de â(u, ^b(n) (Z)Ý) – ^BÝÊ. La topologie x obtenue sur cette alg•bre est une topologie de Banach, car ^B est une alg•bre topologiquement de type Þni, et ^BÝ peut donc •tre munie d'une norme de Banach qui dŽÞnit sa topologie. De m•me, s'il existe un syst•me de coordonnŽes locales sur u, tout (m) opŽrateur P Ô â(u, ^b(n) (Z) ^ ¢ ^dx,ÊÝ ), avec n ³ m, peut s'Žcrire de mani•re unique x íkð PÊÊ=ÊÊÏ Êk bkÊ¿ÊÙ , o• les bk Ô ^BÝ tendent vers 0 pour ¾k¾ @ &, et, une fois choisie une (m) norme de Banach sur ^BÝÊ, on munit l'alg•bre ^D = â(u, ^bx(n)(Z) ^ ¢ ^dx,ÊÝ ) d'une norme de Banach dŽÞnissant sa topologie p-adique en posant ®P® = supÊk ®bk®. (Z)Ý-module (resp. un ^b(n) (Z) ^ ¢ ^d(m) EnÞn, si e est un ^b(n) x,ÊÝ -module) cohŽrent, E = x x â(u,ÊÊe) est un module de type Þni sur ^BÝ (resp. ^DÝ) d'apr•s le thŽor•me A, et on munit E d'une norme de Banach en prenant la norme quotient dŽÞnie par une prŽsentation Þnie quelconqueÊ; comme ^BÝ (resp. ^DÝ) est une alg•bre de Banach nÏthŽrienne, les normes dŽÞnies par deux prŽsentations sont Žquivalentes. On vŽriÞe encore comme en (4.1.1) qu'un changement de coordonnŽes locales remplace les normes considŽrŽes par des normes Žquivalentes. (4.4.5) THƒORéME. Ñ Le foncteur sp* induit un foncteur pleinement Þd•le de la catŽgorie des isocristaux sur Y, surconvergents le long de Z, dans la catŽgorie des d“xŸ(“Z)Ý-modules. Son image essentielle est formŽe des d “xŸ(“Z)Ý -modules e pour 0)(Z) -module cohŽrent e , muni d'un lesquels il existe un entier n0Ê, et un ^b (n x Ý 0Ê isomorphisme ›Ê e, lim ÊnʳÊn ^b(n) (Z) ¢ e0 Ê#@ x (4.4.5.1) #@ 0 et vŽriÞant la condition suivante : (4.4.5.2) Pour tout m Ô ú, il existe un entier nm ³ max(nmÊ-Ÿ1Ê, m), et une structure d e (nm) (^bx(nm)(Z) ^ ¢ ^d(m) (Z) ¢ e0Ê, telle que les homomorphismes x,ÊÝ )-module sur Ê^b x ^ mÊ+Ÿ1)(Z) ¢ e (Z) ¢ e0 Ê##@ Ê^b(n x 0 (nm) Êbx “ “ soient (^bx(nm)(Z) ^ ¢ ^d(m) x,ÊÝ )-linŽaires, et l'isomorphisme (4.4.5.1) dxÊ( Z)Ý-linŽaire. Ê“ dÝ -MODULES COHƒRENTS I 89 Gardons les notations de (4.4.2) et (4.4.3). Gr‰ce ˆ (4.4.2), le foncteur sp* est pleinement Þd•le, car tout morphisme d“xŸ(“Z)Ý-linŽaire est a fortiori horizontal. Si (E, ø) est un isocristal sur Y, surconvergent le long de Z, il existe n0Ê, et un ox K module cohŽrent E0 sur Un Ê, muni d'une connexion intŽgrable et surconvergente 0 0)(Z) -module e ø0Ê, tel que (E, ø) – jŸ“(E0Ê, ø0). Si l'on pose e0 = sp*ÊìÊŸj0Ê*ÊE0Ê, le Ê^b(n x Ý 0 est cohŽrent gr‰ce ˆ (4.4.2). Soit u Ç x un ouvert afÞne sur lequel il existe des coordonnŽes locales. La dŽmonstration de (4.4.3) montre que, pour tout m, il existe n ³ m (m) (Z) ¢ e0) poss•de une structure canonique de â(u, ^b(n) (Z) ^ ¢ ^dx,ÊÝ tel que â(u, Ê^b(n) x x )-module. De plus, d'apr•s (4.4.1), on peut garder le m•me entier n lorsqu'on remplace u par un ouvert afÞne u' Ç u. La condition (4.4.5.2) en rŽsulte. RŽciproquement, si e vŽriÞe les conditions de l'ŽnoncŽ, il existe sur Un u n 0 module ˆ connexion intŽgrable E0 tel que e0 – sp*ÊE0Ê. Soit u un ouvert afÞne de x. m)(Z) ¢ d(m) ) sur MŸ(nm) = â(u, b(n)(Z) ¢ e ) D'apr•s (4.1.2), l'action de â(u, ^b(n ^ ^ x,ÊÝ ^ x x 0 est continue pour sa topologie de B(nm)-module de type Þni. Par suite, pour toute section e Ô MŸ(nm), l'ensemble des ŽlŽments Ùíkð(m)Ê¿Êe est bornŽ dans MŸ(nm), ce qui entra”ne comme en (4.1.4) la surconvergence de la connexion de E0Ê. En gŽnŽral, nous identiÞerons implicitement la catŽgorie des isocristaux surconvergents le long de Z ˆ son image essentielle dans la catŽgorie des d“xŸ(“Z)Ýmodules. Nous terminerons en montrant qu'un isocristal surconvergent le long de Z est cohŽrent sur d“xŸ(“Z)ÝÊ. Pour cela, nous aurons besoin de quelques prŽliminaires. (4.4.6) DŽÞnitions. Ñ Soient u un ouvert afÞne de x sur lequel il existe un syst•me (m) = â(u, ^b(n) (Z) ^ ¢ ^dx,ÊÝ ), E u n de coordonnŽes locales, n ³ m deux entiers, ^D(m) Ý x (m) ^DÝ -module de type Þni. On dira que E est topologiquement nilpotent si, pour tout e Ô E, ÙíkðŸe @ 0 pour la topologie de Banach dŽÞnie en (4.4.4). Si E Ê¡ est un mod•le entier de E, et si E Ê¡ est la rŽduction de E Ê¡ modulo µŸiÊ+Ÿ1, il revient au m•me de dire i que, pour tout i, E Ê¡ i est quasi-nilpotent, donc nilpotent d'apr•s (2.3.7)Ê; on voit ainsi que cette condition ne dŽpend pas des coordonnŽes. 1) Si la structure de ^DÝ(m)-module de E est induite par une structure de ^D(mÊ+Ÿ Ý module (avec n ³ m + 1), alors E est topologiquement nilpotent. En effet, E est aussi 1) de type Þni sur ^D(mÊ+Ÿ . Le lemme (4.1.2) entra”ne que les topologies dŽÞnies par ces Ý deux structures de modules sont les m•mes. Or les ŽlŽments Ùíkð(mÊ+Ÿ1) forment une 1) famille bornŽe de ^D(mÊ+Ÿ , donc les Ùíkð(mÊ+Ÿ1)Ÿe forment une famille bornŽe de E. Ý (m) = (qŸ!Ê/Êq'Ÿ!)Ùíkð(mÊ+Ÿ1), avec k = pmq + r = L'assertion dŽcoule alors de ce que Ùíkð i i pmÊ+Ÿ1q' + r', 0 ² r < pm, 0 ² r' < pmÊ+Ÿ1, et qŸ!Ê/Êq'Ÿ! @ 0. Soit e un ^bx(n)(Z) ^ ¢ ^d(m) x,ÊÝ -module. On dira que e est topologiquement nilpotent s'il existe une base d'ouverts afÞnes possŽdant un syst•me de coordonnŽes locales, (m) telle que pour tout u Ô æ, â(u, e) soit de type Þni sur â(u, ^bx(n)(Z) ^ ¢ ^dx,ÊÝ ), et soit topologiquement nilpotent. 90 P. BERTHELOT La condition de nilpotence permet d'amŽliorer les rŽsultats de [39, 7.3] et [4, 3.1.2] sur l'existence de mod•les entiers oxÊ-cohŽrents et stables sous l'action de ^dx(m) pour les isocristaux convergents. , et e un dÝ(4.4.7) PROPOSITION. Ñ Soient m ² n deux entiers, d = ^bx(n)(Z) ^ ¢ ^d(m) x (n) module, cohŽrent sur ^bx (Z)ÝÊ, et topologiquement nilpotent. Il existe alors un dmodule ÊÊe¡ , cohŽrent sur ^b x(n)(Z) et sans p-torsion, et un isomorphisme d-linŽaire ÊÊe¡ ÊÊŸ#ÊÊ›Ê@ e. Ý On suppose d'abord que x est un ouvert afÞne, muni de coordonnŽes locales, sur lequel la condition de nilpotence de (4.4.6) est remplieÊ; soient A = â(x,ÊÊox), XiÊÊ=ÊÊSpecÊŸAÊ/ʵÊiÊ+Ÿ1A, Pi = â(XiÊ, pX Ê(m)), B = â(x, ^bx(n)(Z)), D = â(x, d), EÊÊ=ÊÊâ(x, e). i On pose P' = lim Êi B ¢A PiÊ. Ò# Comme e est cohŽrent sur ^bx (Z)ÝÊ, E est un BÝ-module de type ÞniÊ; soit E' Ç E u n sous-B-module de type Þni tel que E'Ý = E. Par ailleurs, Pi est libre sur AÊ/ʵÊiÊ+Ÿ1A, de base les sections {k}. Il rŽsulte alors de (3.2.4) que E' ¢B P' est sŽparŽ et complet pour la topologie p-adique. L'hypoth•se de nilpotence entra”ne que, pour tout e Ô E, la famille ( ÙíkðŸe)k tend vers 0 pour la topologie de DÝ-module de E, donc pour sa topologie de B Ý-module d'apr•s (4.1.2). Comme celle-ci n'est autre que celle que dŽÞnit la topologie p-adique de E', la famille ( ÙíkðŸeÊ¿Ê {k})k tend vers 0 dans E ¢B P'. On peut donc dŽÞnir une application Æ : E @ E ¢B P' en posant (n) Æ(e) = åÊ ÙíkðŸe ¿ {k} . k Gr‰ce ˆ la m-PD-stratiÞcation des b(m) X (Z) , on a P' – lim Êi Pi ¢A B, ce qui donne une i Ò# seconde structure de B-module sur P' par multiplication ˆ droite. On vŽriÞe alors facilement que Æ est B-linŽaire pour cette structure de B-module sur P'. On pose alors E Ê¡ = ÆŸ-1(E' ¢B P'), et on voit comme en [4, 3.1.2] que E Ê¡ est u n sous-B-module de type Þni de E, stable sous l'action de D, et tel que E Ê¡ Ý – E. Le ^bx(n)(Z)-module cohŽrent ÊÊe¡ dŽÞni par EÊ¡ poss•de alors les propriŽtŽs requises. EnÞn, on passe du cas afÞne au cas gŽnŽral en raisonnant comme en (3.4.3). (4.4.8) C OROLLAIRE. Ñ Supposons vŽriÞŽes les hypoth•ses de (4.4.7). Alors : (i) e est cohŽrent sur ^b(n) (Z) ^ ¢ ^d(m) x x,ÊÝ Ê; (ii) Pour tout n' ³ n, l'homomorphisme canonique (4.4.8.1) (Z) ¢^b ^b(n') x est un isomorphisme. (n) (Z) x e Ê##@ (^b(n') (Z) ^ ¢ ^d(m) x x,ÊÝ ) ¢^b(n')(Z)Ê^¢Ê^d(m) e x x,ÊÝ Ê“ 91 dÝ -MODULES COHƒRENTS I L'assertion (ii) entra”ne donc que ^bx(n')(Z) ¢^b(n)(Z) e poss•de une structure x (m) canonique de (^b(n') (Z) ¢ d )-module compatible ˆ sa structure de ^b(n') (Z)Ý^ ^ x,ÊÝ x x (n) (m) module, et prolongeant la structure de (^bx (Z) ^ ¢ ^dx,ÊÝ )-module de e. Pour tout ouvert afÞne u Ç x, posons Bu = â(u, ^b(n) (Z)), B'u = â(u, ^b(n') (Z)), x x (n) (m) (n') (m) Du = â(u, ^bx (Z) ^ ¢ ^dx ), D'u = â(u, ^bx (Z) ^ ¢ ^dx ). Comme e est cohŽrent sur (Z)ÝÊ, â(u, e) est de type Þni sur Bu,ÊÝÊ, donc sur Du,ÊÝÊ. Pour montrer (i), il sufÞt ^b(n) x donc d'apr•s le thŽor•me A de montrer que, pour tout ouvert afÞne u' Ç u, l'homo- morphisme canonique Du' ¢D â(u, e) @ â(u', e) est un isomorphisme. D'apr•s u (4.4.7), il existe un ^b(n) (Z)-module cohŽrent ÊÊe¡ muni d'une structure compatible de x (b(n)(Z) ¢ d(m))-module tel que e – ÊÊe¡ , si bien qu'il sufÞt de prouver que l'homo- ^ ^ ^ x x ÝÊ morphisme analogue pour ÊÊe¡ est un isomorphisme. La source et le but Žtant de type Þni sur D'uÊ, ils sont complets, ce qui ram•ne ˆ montrer la m•me assertion pour les ÊÊe¡ Ê/ʵÊiÊ+Ÿ1ÊÊe¡ . Il rŽsulte alors de (2.3.6) et de la remarque (iii) de (2.3.5) que les homomorphismes ÊÊ¡ Ê/ʵÊiÊ+Ÿ1ÊÊe¡ ) Ê##@ DU' ¢D â(UiÊ, e ÊÊ¡ Ê/ʵÊiÊ+Ÿ1ÊÊe¡ ), BU' ¢B â(UiÊ, e i Ui i Ui o• les indices Ui et U'i dŽsignent les sections des rŽductions modulo µÊiÊ+Ÿ1, sont des isomorphismes, d'o• l'assertion. On voit de m•me que les homomorphismes B'U ¢B â(UiÊ, e ÊÊ¡ Ê/ʵÊiÊ+Ÿ1ÊÊe¡ ) Ê##@ D'U ¢D â(UiÊ, e ÊÊ¡ Ê/ʵÊiÊ+Ÿ1ÊÊe¡ ) i Ui i Ui sont des isomorphismes, ce qui entra”ne l'assertion (ii). (Z) ¢ d(m) -module, cohŽrent sur ^bx(n)(Z). (4.4.9) P ROPOSITION. Ñ Soit ÊÊe¡ un ^b(n) x x Alors l'homomorphisme canonique (4.4.9.1) ÊÊe¡ Ê##@ (^bx(n)(Z) ^ ¢ ^dx(m)) ¢^b(n)(Z)Ê¢Êd(m) e ÊÊ¡ x x est un isomorphisme. ^ Il sufÞt de reprendre la dŽmonstration de [4, 3.1.3] en rempla•ant ox par b(n) (Z). x (4.4.10) C OROLLAIRE. Ñ Sous les hypoth•ses de (4.4.7), l'homomorphisme canonique (4.4.10.1) e Ê##@ (^b(n) (Z) ^ ¢ ^d(m) x xÊÊÝ ) ¢^b(n)(Z)Ê^¢Ê^d(m') e x x,ÊÝ est un isomorphisme pour tout m' ² m. (Z) ¢ dx(m'), ^d'(m') = ^b(n) (Z) ^ ¢ ^dx(m'). Pour tout m' ² m, posons d'(m') = ^b(n) x x D'apr•s (4.4.7), e poss•de un mod•le entier ÊÊe¡ qui est un d'(m)-module ^b(n) (Z)x 92 P. BERTHELOT cohŽrent. En tensorisant par Ý les isomorphismes (4.4.9.1) pour m' ² m, on obtient les isomorphismes ›Ê ^d'(m') ¢ (m') e Ê#@ ›Ê ^d'(m) ¢ (m) e, e ÊÊ#@ Ý Ý d d Ý dont le corollaire rŽsulte puisque d'(m') Ý Ý = (m) d'Ý . (4.4.11) C OROLLAIRE. Ñ Sous les hypoth•ses de (4.4.5), soient E un isocristal sur Y, surconvergent le long de Z, e = sp*ÊE le d “xÊ(“Z)Ý-module correspondant, e0 u n 0)(Z) -module cohŽrent vŽriÞant la condition (4.4.5.2) pour une suite d'entiers ^b(n x Ý m)(Z) ¢ (n ) (nm), eŸ(m) = ^b(n ^b 0 (Z) e0Ê. Pour tout m, l'homomorphisme canonique x x Ÿ(1) mÊ+Ÿ1)(Z) ¢ d(m)) ¢ (n ) eŸ(mÊ+Ÿ1) Ê##@ (^b(n ^ ^ x ^b 1 (Z)Ê^¢Ê^d(0) e x (4.4.11.1) x x est un isomorphisme. mÊ+Ÿ1)(Z) ¢ d(m) )La condition (4.4.5.2) entra”ne que, pour tout m ³ 0, le (^b(n ^ ^ x,ÊÝ x Ÿ(mÊ+Ÿ1) module e est topologiquement nilpotent. On en dŽduit successivement gr‰ce ˆ (4.4.10) et (4.4.8) que les homomorphismes Ÿ(mÊ+Ÿ1) mÊ+Ÿ1)(Z) ¢ d(m)) ¢ (n eŸ(mÊ+Ÿ1) Ê##@ (^b(n , ^ ^ x ^b mÊ+Ÿ1)(Z)Ê^¢Ê^d(0) e x x x Ÿ(1) mÊ+Ÿ1)(Z) ¢ d(0)) ¢ (n ) eŸ(mÊ+Ÿ1) Ê##@ (^b(n ^ ^ x ^b 1 (Z)Ê^¢Ê^d(0) e x x x sont des isomorphismes, d'o• le corollaire. (4.4.12) THƒORéME. Ñ Soient E un isocristal sur Y, surconvergent le long de Z, et e = sp*ÊE. Alors e est cohŽrent sur d“xÊ(“Z)ÝÊ. Soient e0 un ^bx(n0)(Z)Ý-module cohŽrent vŽriÞant la condition (4.4.5.2) pour e, Ÿ(1) m)(Z) ¢ (n ) (nm) une suite d'entiers correspondante, eŸ(m) = ^b(n ^b 0 (Z) e0Ê. Comme e x x 1)(Z) ¢ d(0) est un (^b(n ^ ^ x,ÊÝ )-module topologiquement nilpotent, il est cohŽrent sur x ) (Z) ^ ¢ ^d(0) ^b(n x,ÊÝ d'apr•s (4.4.8). Si x (n ) ) s r (^b(n (Z) ^ ¢ ^d(0) (Z) ^ ¢ ^d(0) x x,ÊÝ ) Ê##@ (^bx x,ÊÝ ) 1 1 1 Ê##@ eŸ(1) Ê##@ 0 est une prŽsentation locale de eŸ(1), on en dŽduit gr‰ce au corollaire prŽcŽdent les prŽsentations mÊ+Ÿ1)(Z) ¢ d(m) )s Ê##@ (b(nmÊ+Ÿ1)(Z) ¢ d(m) )r Ê##@ eŸ(mÊ+Ÿ1) Ê##@ 0, (^b(n ^ ^ x,ÊÝ ^ x ^ ^ x,ÊÝ x qui fournissent une prŽsentation analogue de e sur d“xÊ(“Z)Ý par passage ˆ la limite inductive pour m variable. Remarque. Ñ Sous les hypoth•ses du thŽor•me, il n'est par contre pas toujours vrai que e soit cohŽrent sur d“x,ÊÝÊ. En effet, nous montrerons dans [7] que, lorsque x est propre, la cohomologie de de Rham d'un d“x,ÊÝ-module cohŽrent est de type Þni Ê“ dÝ -MODULES COHƒRENTS I 93 sur K. Or, si e = sp*ÊE, la cohomologie de de Rham de e s'identiÞe ˆ la cohomologie rigide de E, d'apr•s [4, 3.2.3 et 4.1.7]. Si l'on prend v = ç(Ÿp)Ê, x = ^æ1vÊ, Y = GmÊkÊ, et si E est l'isocristal surconvergent sur Y dŽÞni par jŸ“Ÿox Ê, muni de la connexion ø telle K que ø(1) = (ŒÊ/Êt)Ÿdt, o• Œ Ô ç(Ÿp) est un nombre de Liouville, la cohomologie rigide de E est donnŽe par l'action de ø sur l'espace des fonctions analytiques sur une couronne de la forme 1 - ª < ¾t¾ < 1 + ª, avec ª > 0 variable, et il est classique que son HÊ1 est de dimension inÞnie. Il y a donc lieu de considŽrer que la cohŽrence sur d“x,ÊÝ est une condition de Þnitude supplŽmentaire ˆ imposer aux isocristaux surconvergents. Par contre, il semble raisemblable de conjecturer que tout F-isocristal surconvergent est cohŽrent sur d“x,ÊÝÊ, l'existence d'une action de Frobenius Žliminant les difÞcultŽs liŽes aux nombres de Liouville. 94 P. BERTHELOT Bibliographie [EGA] [SGA4] A. Grothendieck, J. DieudonnŽ, ƒlŽments de GŽomŽtrie AlgŽbrique, Publ. Math. I.H.E.S. 4, 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32 (1960-67). M. Artin, A. Grothendieck, J.-L. Verdier, ThŽorie des topos et cohomologie Žtale des schŽmas, Lecture Notes in Math. 269, 270, Springer-Verlag (1972). [1] P. Berthelot, Cohomologie cristalline des schŽmas de caractŽristique p > 0, Lecture Notes i n Math. 407, Springer Verlag (1974). [2] P. Berthelot, GŽomŽtrie rigide et cohomologie des variŽtŽs algŽbriques de caractŽristique p, JournŽes d'analyse p-adique (1982), in Introduction aux cohomologies p-adiques, Bull. Soc. Math. France, MŽmoire 23, p. 7-32 (1986). [3] P. 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