Ch.16 Euler

CHAPITRE 16
143
CHAPITRE 16 L’indicateur d’Euler
L’indicateur d’Euler est la fonction, notée , définie ci-dessous.
16.1 Définition
On définit : N*  N* par :
(1) 1
et si
n2
,
(n)
est le nombre d’entiers
i{1,2, ,n}
qui
sont premiers avec
n
.
On a
(1) 1
,
(2) 1
,
(3) 2
,
(4) 2
,
(5) 4
,
(6) 2
(car seuls 1 et 5 sont premiers
avec 6), etc. Si
n
est premier, tout nombre dans
{1, ,n1}
est premier avec
n
, et
n
n’est pas
premier avec
n
, donc
(n)n1
. Rappelons qu’un élément
a
d’un anneau
A
est dit inversible
s’il existe
b
dans
A
tel que
abba1
. Nous notons
U(A)
l’ensemble des éléments inversibles
de
A
.
16.2 Théorème
Si
n2
,
(n)
est le nombre d’éléments inversibles de l’anneau
Z /nZ
.
Démonstration
Les n éléments de
Z /nZ
sont les classes modulo n de
1,2, ,n1, n
.
La classe de i est inversible dans
Z /nZ
si et seulement si i est premier avec
n
(c’est une
conséquence du th. 7.11). Donc il y a
(n)
éléments inversibles dans
Z /nZ
. u
Dans l’exercice 6.8, nous avons défini le produit
AB
de deux anneaux A et B : la somme est
(a,b)(a ,b )(aa ,bb )
, le zéro est
(0,0)
, le produit est
(a,b)( a ,b )(aa ,bb )
et
l’élément neutre pour la multiplication est
(1,1)
.
16.3 Théorème
On a
U(AB)U(A)U(B)
.
Démonstration
Si
(a,b)
est inversible dans l’anneau
AB
, il existe
(a ,b )
dans
AB
tel que
(a,b)( a ,b )
(a ,b )(a,b)(1,1)
. Donc
aa a a1
et
bb b b1
. Donc
a
et
b
sont inversibles dans
A
et

CHAPITRE 16
144
B
respectivement, et
(a,b)U(A)U(B)
. Réciproquement, si
(a,b)U(A)U(B)
, alors
aU(A)
et
bU(B)
. Il existe donc
a
et
b
tels que
aa a a1
et
bb b b1
. Donc
(a,b)( a ,b )(a ,b )(a,b)1
et
(a,b)U(AB)
. u
Le résultat suivant est une version algébrique du th. 7.12 (théorème du reste chinois).
16.4 Théorème
Soient
n,mN
. Si
n
et
m
sont premiers entre eux, alors l’anneau
Z /mnZ
est
isomorphe à l’anneau
(Z /mZ)(Z /nZ )
.
Démonstration
Soit
f
:
Z(Z /mZ )(Z /nZ )
la fonction définie
f(x)([x]m,[x]n)
, où
[x]m
désigne la
classe de
xmod.m
. Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que
f
est un homomorphisme
d’anneaux (cf. ex. 1).
Le noyau de
f
est
N(f){xZ |[x]m[0]m et [x]n[0]n}
. Si
xN(f)
,
x
doit donc être
divisible par
m
et par
n
; il est donc divisible par
mn
, puisque
m
et
n
sont premiers entre eux.
Réciproquement, si
x
est divisible par
mn
,
x
est divisible par
m
et
n
, et
[x]m[0]m,[x]n[0]n
;
donc
xN(f)
. On a donc
N(f)mnZ
. D’après le cor. 15.6, il existe donc un homomorphisme
injectif d’anneaux
f
:
Z /mnZ(Z /mZ)(Z /nZ )
. Comme les ensembles de départ et
d’arrivée de
f
ont même nombre d’éléments, le fait que
f
est injectif implique qu’il est aussi
surjectif.
Donc
f
est un isomorphisme d’anneaux. u
16.5 Corollaire
Si
m,n
sont premiers entre eux,
(mn) = (m) (n)
.
Démonstration
Un isomorphisme d’anneaux
f
:
AB
induit une bijection
U(A)U(B)
(en fait un
isomorphisme de groupe multiplicatifs); faire l’exercice 16.
C’est vrai en particulier pour l’isomorphisme
f
:
Z /mnZ(Z /mZ)(Z /nZ )
. Donc
U(Z /mnZ )
et
U(Z /mZZ /nZ )
ont même nombre d’éléments. Le premier a
(mn )
éléments

CHAPITRE 16
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d’après le th. 16.2; le second est égal à
U(Z /mZ )U(Z /nZ)
, d’après le th. 16.3, et il a
(m)(n)
éléments d’après le th. 16.2. Donc :
(mn) = (m) (n)
. u
16.6 Corollaire
Soit
np1
n1p2 n2pk nk
, où les
pi
sont des nombres premiers distincts et les
ni
sont dans
N
. Alors
(n)n11
p1
 11
p2
... 11
pk
.
On a par exemple,
(60) (2235)60 11
2
 11
3
 11
5
601
22 34 516
.
Démonstration
Calculons d’abord
(pr)
, où
p
est un nombre premier. Un élément de
{1, 2, , pr}
n’est pas
premier avec
pr
si et seulement s’il est divisible par
p
; il doit donc être de la forme
sp
, avec
1sppr
, d’où
1spr1
. Il y a donc
pr1
tels éléments et
(pr)prpr1
. Le corollaire
16.5 implique, par une récurrence facile, que si
m
1, ,mk
sont premiers entre eux deux à deux,
alors
(m
1m k) (m 1)(mk)
. Par suite, on a
p1
n1pk nk
   p1
n1
  pk
nk
p
1
n1p1 n11
  pk
nkpk nk1
 p 1
n111
p1
 pk
nk11
pk
, ce qui implique le corollaire. u
Exercices résolus
1. Soit
A,B,C
des anneaux et des homomorphismes d’anneaux
f
:
AB
,
g
:
AC
.
Montrer que
h
:
ABC
,
h(a)(f(a), g(a))
est un homomorphisme d’anneaux.
2. Soit
np1
n1pk nk
(
pi
premiers distincts,
niN
). La fonction de Möbius est définie
par :
(n)0
si l’un au moins des
ni
est
2
, et
(n)(1)k
dans le cas contraire.
Montrer que si
m,n
sont premiers entre eux, alors
(mn) (m)(n)
.
*3. Montrer que si
n2
, alors
(d)0
d|n
, où la sommation est faite sur tous les diviseurs
d
de
n.
Aide : écrire
n
comme en 2. et déterminer les diviseurs de
n
; utiliser la formule du
binôme pour
(11)k
.

CHAPITRE 16
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*4. Montrer que
(d)n
d|n
. Aide : pour
d
diviseur de
n.
, écrire
A(d){k|pgdc(k,n)d
,
1kn}
, et montrer que
|A(d)| (n/d)
.
5. Montrer que
(n)1/pgdc(n,k)
k1
n
, où
[x]
est la partie entière de
x
, i.e le plus grand
entier
x
.
6. Trouver des entiers
m,n
tels que
(mn) (m)(n)
. Même question pour .
*7. Montrer que si
a
divise
b
, alors
(a)
divise
(b)
. En déduire que si
n
a
r
diviseurs
premiers distincts, alors
2r1
divise
(n)
.
Exercices non résolus
*8. En utilisant la formule du corollaire 16.6, montrer que
(mn) (m)(n)d
(d)
, où
dpgdc(m,n)
, pour tous entiers
m,nN
.
*9. En utilisant la formule
(d)[1/n]
d|n
(cf. ex. 3 et 5), montrer que
(n) (d)n
d
d|n
.
10. Prouver que
(n), n3
, est toujours un nombre pair.
11. Calculer
(n)
et
(n)
pour
n1,2, ,30
.
*12. Considérons le groupe cyclique
Z /75Z
. Combien admet-il :
a) de générateurs (un générateur d’un groupe cyclique
G
est un élément
a
qui satisfait
à la conclusion du th. 13.16)?
b) d’éléments d’ordre 5, 10, 15, 25 respectivement?
c) de sous-groupes?
13. Trouver le nombre d’éléments inversibles dans l’anneau suivant :
a)
Z /75Z
; b)
Z /123Z
; c)
Z /1000Z
.
*14. (Vrai ou faux)
a) L’anneau
Z /pZ
[x]
,
p
premier, admet
p1 (p)
éléments inversibles.
b) L’anneau
Z /nZ
 [x], n1
, admet
(n)
éléments inversibles.

CHAPITRE 16
147
*15. a) Prouver que
d
, diviseur de
n1
, le groupe cyclique
Z /nZ
admet
(d)
éléments
d’ordre
d
(lesquels?) et un seul sous-groupe de cardinalité
d
(lequel?).
b) Prouver que
k{1,2,...,n1}
est d’ordre
n/pgdc(k,n)
dans le groupe additif
Z /nZ
.
c) Trouver l’ordre des éléments de
Z /24Z
.
16. Soit
f
:
AB
un homomorphisme d’anneaux. Montrer que la restriction de
f
à
U(A)
définit un homomorphisme de groupes multiplicatifs
h
:
U(A)U(B)
. Montrer que si
f
est bijectif,
h
l’est aussi.
*17. Combien y a-t-il d’homomorphismes de groupes?
a) entre
Z /12Z
et
Z /6Z
;
b) entre
Z /12Z
et
Z /10Z
;
c) entre
Z /15Z
et
Z /16Z
.
*18. Combien y a-t-il d’isomorphismes de groupes?
a) entre
Z /3Z
 Z /4Z
et
Z /12Z
;
b) entre
Z /2Z
 Z /2Z
et lui-même.