Ch.16 Euler

CHAPITRE 16
CHAPITRE 16
L’indicateur d’Euler
L’indicateur d’Euler est la fonction, notée  , définie ci-dessous.
16.1 Définition
On définit  : N*  N* par : (1)  1 et si n 2 , (n) est le nombre d’entiers i {1, 2,
, n} qui
sont premiers avec n .
On a (1)  1, (2)  1, (3)  2 , (4)  2 , (5)  4 , (6)  2 (car seuls 1 et 5 sont premiers
avec 6), etc. Si n est premier, tout nombre dans {1, , n  1} est premier avec n , et n n’est pas
premier avec n , donc (n)  n  1. Rappelons qu’un élément a d’un anneau A est dit inversible
s’il existe b dans A tel que ab ba 1. Nous notons U ( A) l’ensemble des éléments inversibles
de A.
16.2 Théorème
Si n 2, (n) est le nombre d’éléments inversibles de l’anneau Z /nZ .
Démonstration
Les n éléments de Z /nZ sont les classes modulo n de 1, 2,
, n 1, n .
La classe de i est inversible dans Z /nZ si et seulement si i est premier avec n (c’est une
conséquence du th. 7.11). Donc il y a (n) éléments inversibles dans Z /nZ .
u
Dans l’exercice 6.8, nous avons défini le produit A B de deux anneaux A et B : la somme est
(a, b)  ( a, b)  (a  a, b  b) , le zéro est (0, 0) , le produit est (a, b)( a, b)  (aa, bb) et
l’élément neutre pour la multiplication est (1, 1) .
16.3 Théorème
On a U ( A B)  U (A)  U (B) .
Démonstration
Si (a, b) est inversible dans l’anneau A B , il existe ( a, b) dans A B tel que (a, b)( a, b) 
( a, b)(a, b)  (1,1) . Donc aa aa 1 et bb bb 1. Donc a et b sont inversibles dans A et
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B respectivement, et (a, b) U (A)  U (B) . Réciproquement, si (a, b) U (A)  U (B) , alors
a U ( A) et b U ( B) . Il existe donc a et b tels que aa aa 1 et bb bb 1. Donc
u
(a, b)( a, b)  (a, b)(a, b)  1 et (a, b) U (A B) .
Le résultat suivant est une version algébrique du th. 7.12 (théorème du reste chinois).
16.4 Théorème
Soient n, mN  . Si n et m sont premiers entre eux, alors l’anneau Z /mnZ est
isomorphe à l’anneau (Z /mZ )  (Z /nZ ) .
Démonstration
Soit f : Z  (Z /mZ )  (Z /nZ ) la fonction définie f (x)  ([ x]m, [x] n ) , où [x] m désigne la
classe de x mod.m. Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que f est un homomorphisme
d’anneaux (cf. ex. 1).
Le noyau de f est N( f ) { x Z |[ x]m  [0]m et [ x]n [0] n} . Si x  N( f ) , x doit donc être
divisible par m et par n ; il est donc divisible par mn , puisque m et n sont premiers entre eux.
Réciproquement, si x est divisible par mn , x est divisible par m et n , et [x] m  [0]m, [x] n  [0] n ;
donc x  N( f ) . On a donc N( f )  mnZ . D’après le cor. 15.6, il existe donc un homomorphisme
injectif d’anneaux f : Z /mnZ  (Z /mZ )  (Z /nZ ) . Comme les ensembles de départ et
d’arrivée de f ont même nombre d’éléments, le fait que f est injectif implique qu’il est aussi
surjectif.
Donc f est un isomorphisme d’anneaux.
u
16.5 Corollaire
Si m, n sont premiers entre eux, (mn) = (m) (n) .
Démonstration
Un isomorphisme d’anneaux
f : A B induit une bijection U ( A) U (B) (en fait un
isomorphisme de groupe multiplicatifs); faire l’exercice 16.
C’est vrai en particulier pour l’isomorphisme f : Z /mnZ  (Z /mZ )  (Z /nZ ) . Donc
U (Z /mnZ ) et U (Z /mZ  Z /nZ ) ont même nombre d’éléments. Le premier a  (mn ) éléments
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d’après le th. 16.2; le second est égal à U (Z /mZ )  U (Z /nZ ) , d’après le th. 16.3, et il a
u
(m)(n) éléments d’après le th. 16.2. Donc : (mn) = (m) (n) .
16.6 Corollaire
Soit n  p1n1 pn2 2
n
pk k , où les pi sont des nombres premiers distincts et les ni sont dans
 1 
1  
1 
N  . Alors (n)  n1 1 ...1 .
 p1  p2   pk 
 1 1 1
1 24
2
On a par exemple, (60)  (2 35)  601 1 1   60
 16.
 2 3 5
2 35
Démonstration
Calculons d’abord ( pr ) , où p est un nombre premier. Un élément de {1, 2,
r
, p } n’est pas
premier avec pr si et seulement s’il est divisible par p; il doit donc être de la forme sp, avec
r 1
r
1  sp p , d’où 1 s p
. Il y a donc pr 1 tels éléments et ( pr )  pr  pr 1. Le corollaire
16.5 implique, par une récurrence facile, que si m1,
alors
p
n1
1
(m1
 p
n 1
 p1 1
mk )  (m1) (mk ) .
nk
k
 p
n 1
 pk k
n1 
1 1

, mk sont premiers entre eux deux à deux,
on
a

n
 p1 1
n
   p 
n
pk k   p1 1
Par
suite,
1 

p1 
1 
n 
pk k 1 , ce qui implique le corollaire.
 pk 
nk
k
u
Exercices résolus
1.
Soit A, B, C des anneaux et des homomorphismes d’anneaux f : A B , g : A C .
Montrer que h : A B C , h(a)  ( f (a), g(a)) est un homomorphisme d’anneaux.
2.
n
Soit n  p1 1
pk k ( pi premiers distincts, ni N  ). La fonction de Möbius  est définie
n
k
par : (n)  0 si l’un au moins des ni est  2 , et (n)  (1) dans le cas contraire.
Montrer que si m, n sont premiers entre eux, alors (mn)  (m)(n) .
*3.
Montrer que si n 2 , alors
 (d)  0 , où la sommation est faite sur tous les diviseurs
d
d|n
de n. Aide : écrire n comme en 2. et déterminer les diviseurs de n ; utiliser la formule du
k
binôme pour (1 1) .
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*4.
Montrer que
 (d)  n. Aide : pour
d diviseur de n. , écrire A(d )  { k | pgdc(k, n)  d ,
d|n
1  k  n} , et montrer que | A(d) |  (n /d) .
n
5.


Montrer que (n)   1/ pgdc(n, k) , où [x] est la partie entière de x , i.e le plus grand
k1
entier  x.
6.
*7.
Trouver des entiers m, n tels que (mn)  (m)(n) . Même question pour  .
Montrer que si a divise b, alors (a) divise (b) . En déduire que si n a r diviseurs
premiers distincts, alors 2r 1 divise (n) .
Exercices non résolus
*8.
En utilisant la formule du corollaire 16.6, montrer que (mn)  (m)(n)
d
, où
(d)

d  pgdc(m, n) , pour tous entiers m, n N .
*9.
En utilisant la formule
n
 (d)  [1/ n] (cf. ex. 3 et 5), montrer que (n)  (d ) d .
d|n
d|n
10.
Prouver que (n), n  3, est toujours un nombre pair.
11.
Calculer (n) et (n) pour n  1, 2,
, 30.
*12. Considérons le groupe cyclique Z /75Z . Combien admet-il :
a)
b)
c)
13.
*14.
de générateurs (un générateur d’un groupe cyclique G est un élément a qui satisfait
à la conclusion du th. 13.16)?
d’éléments d’ordre 5, 10, 15, 25 respectivement?
de sous-groupes?
Trouver le nombre d’éléments inversibles dans l’anneau suivant :
Z /75Z ;
Z /123Z ;
a)
b)
c)
Z /1000Z .
(Vrai ou faux)
a)
L’anneau Z / pZ [x] , p premier, admet p  1  ( p) éléments inversibles.
b)
L’anneau Z /nZ [x], n  1, admet (n) éléments inversibles.
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*15.
a)
Prouver que d , diviseur de n  1, le groupe cyclique Z /nZ admet (d ) éléments
b)
d’ordre d (lesquels?) et un seul sous-groupe de cardinalité d (lequel?).
Prouver que k {1, 2, ..., n  1} est d’ordre n / pgdc(k, n) dans le groupe additif
Z /nZ .
c)
16.
Trouver l’ordre des éléments de Z /24Z .
Soit f : A B un homomorphisme d’anneaux. Montrer que la restriction de f à U ( A)
définit un homomorphisme de groupes multiplicatifs h : U ( A) U (B) . Montrer que si f
est bijectif, h l’est aussi.
*17.
Combien y a-t-il d’homomorphismes de groupes?
a)
entre Z /12Z et Z /6Z ;
b)
entre Z /12Z et Z /10Z ;
c)
entre Z /15Z et Z /16Z .
*18.
Combien y a-t-il d’isomorphismes de groupes?
a)
entre Z /3Z  Z /4Z  et Z /12Z ;
b)
entre Z /2Z  Z /2Z  et lui-même.
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