ENS Lyon 2013 - 2014 TD 1-Ensembles algébriques affines 0.1

ENS Lyon
2013 - 2014
Master 1– Géométrie algébrique élémentaire
Semaine du 14.01.2013
TD 1-Ensembles algébriques affines
Dans la suite k sera un corps algébriquement clos. Si X est une partie de An (k), on
note I(X) l’idéal de k[X1 , ..., Xn ] formé des polynômes s’annulant sur X. Si I est un idéal de
k[X1 , ..., Xn ], on note V (I) l’ensemble des zéros communs des éléments de I.
Si X ⊂ An (k) est un fermé algébrique, on note k[X] la k-algèbre des fonctions régulières
sur X, i.e. applications f : X → k telles qu’il existe F ∈ k[X1 , ..., Xn ] avec f (x) = F (x1 , ..., xn )
pour tout x = (x1 , ..., xn ) ∈ X ⊂ k n .
0.1
Topologie de Zariski et topologie classique
a) Montrer qu’un fermé de Zariski de An (C) est fermé pour la topologie usuelle de Cn , et
qu’un ouvert non vide de Zariski est dense pour la topologie classique.
b) Montrer que l’adhérence d’une partie X de An (k) est V (I(X)).
c) Montrer que {(t, et )|t ∈ C} est un fermé pour la topologie classique, et Zariski-dense dans
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A (C).
0.2
Exemples de fermés/ouverts de Zariski
a) Montrer que {(t2 , t3 )|t ∈ k} et {(t2 , t3 , t5 )|t ∈ k} sont des fermés algébriques de A2 (k) et
A3 (k).
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b) Montrer que GLn (k) est un ouvert dense de Mn (k), que l’on identifie à An (k).
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c) Montrer que l’ensemble des matrices nilpotentes de Mn (k) = An (k) est un fermé algé2
brique, et que l’ensemble des matrices de Mn (k) = An (k) à valeurs propres distinctes est un
ouvert.
0.3
Quelques calculs
a) Donner un idéal I de k[X, Y ] tel que V (I) = {(1, 1), (2, −3), (3, −7)}.
b) Trouver I(X) pour X = V (XY, Y Z, ZX) ⊂ A3 (k) et pour X = V (X 2 Y, (X − 1)(Y +
1)2 ) ⊂ A2 (k).
0.4
Fermés de A2
a) Décrire les fermés algébriques de A1 (k).
b) Montrer que si F, G ∈ k[X, Y ] sont premiers entre eux, alors l’idéal qu’ils engendrent
(F, G) contient des éléments non nuls de k[X] et k[Y ].
c) En déduire que V (F ) ∩ V (G) est fini et que dimk (k[X, Y ]/(F, G)) < ∞.
d) Montrer qu’un fermé algébrique non vide de A2 (k) est la réunion d’un ensemble fini et
d’un ensemble de la forme V (f ), avec f ∈ k[X, Y ].
0.5
Le dictionnaire X − k[X]
Soit X ⊂ An (k) un fermé algébrique, d’idéal I(X).
a) Montrer que k[X] ' k[T1 , ..., Tn ]/I(X).
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b) Montrer que l’application F → IF = {f ∈ k[X], f (y) = 0, ∀y ∈ F } induit une bijection
entre les fermés de X et les idéaux radicaux de k[X]. Montrer que les points de X correspondent
aux idéaux maximaux de k[X].
c) (un lemme bien utile) Soit X un ensemble algébrique et soit F un fermé de X, différent
de X. Soit x ∈ X \ F . Montrer qu’il existe f ∈ k[X] tel que f (x) 6= 0 et f s’annule sur F .
d) Montrer que X est fini si et seulement si k[X] est de dimension finie, et dans ce cas k[X]
n’est autre que l’algèbre de toutes les fonctions f : X → k.
e) Montrer que k[X] est intègre si et seulement si X est irréductible (i.e. X n’est pas la
réunion de deux fermés stricts). Montrer que X est connexe si et seulement si k[X] n’a pas
d’idempotent nontrivial.
f) Montrer que k[X] est un anneau noethérien. En déduire que toute suite décroissante de
fermés de X est stationnaire et que de tout recouvrement ouvert de X on peut extraire un
sous-recouvrement fini.
0.6
Compléments d’hypersurfaces et localisation
Soit X ⊂ An (k) un fermé algébrique et soit f ∈ k[X] non nulle. On pose
X̃ = {(x, t)|x ∈ X, t ∈ k, f (x)t = 1} ⊂ An+1 (k).
a) Montrer que X̃ est un fermé algébrique.
b) Montrer que k[X̃] est naturellement isomorphe à k[X][1/f ] (localisé de k[X] en f ).
0.7
Description locale des fonctions régulières
Soit X ⊂ An (k) un fermé algébrique et soit U un ouvert non vide de X. Une fonction
f : U → k est dite régulière en x ∈ U s’il existe un voisinage ouvert U 0 ⊂ U de x et des fonctions
g(y)
g, h ∈ k[X] telles que h n’a pas de zéro dans U 0 et f (y) = h(y)
pour tout y ∈ U 0 . On note OX (U )
l’ensemble des fonctions régulières sur U , i.e. applications f : U → k régulières en chaque point
de U .
a) Montrer que OX (U ) est naturellement une k-algèbre.
b) Soit ϕ ∈ OX (X) et soit I = {f ∈ k[X]|f ϕ ∈ k[X]}. Montrer que I est un idéal de k[X],
calculer V (I) et en déduire que OX (X) = k[X].
c) Montrer que si f ∈ k[X] est non nulle, alors en posant D(f ) = {x ∈ X, f (x) 6= 0} on a
un isomorphisme canonique de k-algèbres
OX (D(f )) ' k[X][1/f ].
d) Calculer OA2 (A2 \ {(0, 0)}).
0.8
Produits d’ensembles algébriques
Soient X ⊂ An (k) et Y ⊂ Am (k) deux fermés algébriques.
a) Montrer que X × Y ⊂ Am+n est un fermé algébrique et que k[X × Y ] ' k[X] ⊗k k[Y ].
b) Montrer que si X et Y sont irréductibles, alors il en est de même de X × Y . En déduire
que le produit tensoriel de deux k-algèbres de type fini intègres est intègre.
c) Montrer que la topologie de Zariski sur A2 (k) n’est pas la topologie produit sur A1 (k) ×
A1 (k).
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0.9
Lemme de normalisation de Noether
Dans cet exercice k est un corps quelconque.
a) Soit A = k[x1 , ..., xm ] une k-algèbre de type fini et telle que x1 , ..., xm soient algéi
briquement liés. Montrer que si e est suffisamment grand, alors en posant yi = xi − xem et
B = k[y1 , ..., ym−1 ], on a A = B[xm ] et xm est entier sur B (en particulier A est un B-module
de type fini). Montrer que si k est infini, on peut en fait choisir yi = xi − ai xn pour des
a1 , ..., an−1 ∈ k convenables.
b) En déduire le lemme de normalisation : si A est une k-algèbre de type fini, alors on peut
trouver a1 , ..., an ∈ A algébriquement indépendants sur k et tels que A soit un k[a1 , ..., an ]module de type fini (et donc tout élément de A est entier sur k[a1 , ..., an ].
c) Trouver explicitement a1 , ..., an comme dans b) pour les k-algèbres suivantes : A =
k[X, 1/X], A = k[X 2 , X 3 ], A = k[X, Y, Z]/(XY Z − 1), A = k[X, Y ]/(X 2 + Y 2 − 1).
d) Démontrer le lemme de Zariski : si une k-algèbre de type fini est un corps, alors c’est une
extension finie de k.
e) En déduire que si m est un idéal maximal d’une k-algèbre de type fini A, alors A/m est
une extension finie de k. De plus, si f : A → B est un morphisme de k-algèbres de type fini et
si m est un idéal maximal de B, alors f −1 (m) est un idéal maximal
√ de A.
f) Soit I un idéal d’une k-algèbre de type fini A. Montrer que I est l’intersection des idéaux
maximaux contenant I.
0.10
Théorème d’Ax-Grothendieck
Soient P1 , ..., Pn ∈ k[X1 , ..., Xn ] des polynômes avec k algébriquement clos. On se propose
de montrer que si l’application
f : An (k) → An (k),
x → f (x) = (P1 (x), ..., Pn (x))
est injective, alors elle est surjective. On suppose par l’absurde que f n’est pas surjective.
a) Montrer que si A est une Z-algèbre de type fini et si m est un idéal maximal de A, alors
A/m est un corps fini.
b) Montrer qu’il existe mi ≥ 1 et Hi,j ∈ k[X, Y ] tels que
X
(Xi − Yi )mi =
Hi,j (Pi (X) − Pi (Y )).
j
P
c) Montrer qu’il existe a1 , ..., an ∈ k et G1 , ..., Gn ∈ k[X] tels que i Gi (Pi − ai ) = 1.
d) Conclure, en considérant le sous-anneau A de k engendré par les coefficients de tous les
Gi , Pi , Hi,j et par tous les ai , ainsi qu’un idéal maximal m de A.
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