ENS Lyon 2013 - 2014 TD 1-Ensembles algébriques affines 0.1

ENS Lyon 2013 - 2014
Master 1– Géométrie algébrique élémentaire Semaine du 14.01.2013
TD 1-Ensembles algébriques affines
Dans la suite ksera un corps algébriquement clos. Si Xest une partie de An(k), on
note I(X)l’idéal de k[X1, ..., Xn]formé des polynômes s’annulant sur X. Si Iest un idéal de
k[X1, ..., Xn], on note V(I)l’ensemble des zéros communs des éléments de I.
Si X⊂An(k)est un fermé algébrique, on note k[X]la k-algèbre des fonctions régulières
sur X, i.e. applications f:X→ktelles qu’il existe F∈k[X1, ..., Xn]avec f(x) = F(x1, ..., xn)
pour tout x= (x1, ..., xn)∈X⊂kn.
0.1 Topologie de Zariski et topologie classique
a) Montrer qu’un fermé de Zariski de An(C)est fermé pour la topologie usuelle de Cn, et
qu’un ouvert non vide de Zariski est dense pour la topologie classique.
b) Montrer que l’adhérence d’une partie Xde An(k)est V(I(X)).
c) Montrer que {(t, et)|t∈C}est un fermé pour la topologie classique, et Zariski-dense dans
A2(C).
0.2 Exemples de fermés/ouverts de Zariski
a) Montrer que {(t2, t3)|t∈k}et {(t2, t3, t5)|t∈k}sont des fermés algébriques de A2(k)et
A3(k).
b) Montrer que GLn(k)est un ouvert dense de Mn(k), que l’on identifie à An2(k).
c) Montrer que l’ensemble des matrices nilpotentes de Mn(k) = An2(k)est un fermé algé-
brique, et que l’ensemble des matrices de Mn(k) = An2(k)à valeurs propres distinctes est un
ouvert.
0.3 Quelques calculs
a) Donner un idéal Ide k[X, Y ]tel que V(I) = {(1,1),(2,−3),(3,−7)}.
b) Trouver I(X)pour X=V(XY, Y Z, ZX)⊂A3(k)et pour X=V(X2Y, (X−1)(Y+
1)2)⊂A2(k).
0.4 Fermés de A2
a) Décrire les fermés algébriques de A1(k).
b) Montrer que si F, G ∈k[X, Y ]sont premiers entre eux, alors l’idéal qu’ils engendrent
(F, G)contient des éléments non nuls de k[X]et k[Y].
c) En déduire que V(F)∩V(G)est fini et que dimk(k[X, Y ]/(F, G)) <∞.
d) Montrer qu’un fermé algébrique non vide de A2(k)est la réunion d’un ensemble fini et
d’un ensemble de la forme V(f), avec f∈k[X, Y ].
0.5 Le dictionnaire X−k[X]
Soit X⊂An(k)un fermé algébrique, d’idéal I(X).
a) Montrer que k[X]'k[T1, ..., Tn]/I(X).
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b) Montrer que l’application F→IF={f∈k[X], f(y)=0,∀y∈F}induit une bijection
entre les fermés de Xet les idéaux radicaux de k[X]. Montrer que les points de Xcorrespondent
aux idéaux maximaux de k[X].
c) (un lemme bien utile) Soit Xun ensemble algébrique et soit Fun fermé de X, différent
de X. Soit x∈X\F. Montrer qu’il existe f∈k[X]tel que f(x)6= 0 et fs’annule sur F.
d) Montrer que Xest fini si et seulement si k[X]est de dimension finie, et dans ce cas k[X]
n’est autre que l’algèbre de toutes les fonctions f:X→k.
e) Montrer que k[X]est intègre si et seulement si Xest irréductible (i.e. Xn’est pas la
réunion de deux fermés stricts). Montrer que Xest connexe si et seulement si k[X]n’a pas
d’idempotent nontrivial.
f) Montrer que k[X]est un anneau noethérien. En déduire que toute suite décroissante de
fermés de Xest stationnaire et que de tout recouvrement ouvert de Xon peut extraire un
sous-recouvrement fini.
0.6 Compléments d’hypersurfaces et localisation
Soit X⊂An(k)un fermé algébrique et soit f∈k[X]non nulle. On pose
˜
X={(x, t)|x∈X, t ∈k, f(x)t= 1} ⊂ An+1(k).
a) Montrer que ˜ Xest un fermé algébrique.
b) Montrer que k[˜ X]est naturellement isomorphe à k[X][1/f](localisé de k[X]en f).
0.7 Description locale des fonctions régulières
Soit X⊂An(k)un fermé algébrique et soit Uun ouvert non vide de X. Une fonction
f:U→kest dite régulière en x∈Us’il existe un voisinage ouvert U0⊂Ude xet des fonctions
g, h ∈k[X]telles que hn’a pas de zéro dans U0et f(y) = g(y)
h(y)pour tout y∈U0. On note OX(U)
l’ensemble des fonctions régulières sur U, i.e. applications f:U→krégulières en chaque point
de U.
a) Montrer que OX(U)est naturellement une k-algèbre.
b) Soit ϕ∈OX(X)et soit I={f∈k[X]|fϕ ∈k[X]}. Montrer que Iest un idéal de k[X],
calculer V(I)et en déduire que OX(X) = k[X].
c) Montrer que si f∈k[X]est non nulle, alors en posant D(f) = {x∈X, f(x)6= 0}on a
un isomorphisme canonique de k-algèbres
OX(D(f)) 'k[X][1/f].
d) Calculer OA2(A2\ {(0,0)}).
0.8 Produits d’ensembles algébriques
Soient X⊂An(k)et Y⊂Am(k)deux fermés algébriques.
a) Montrer que X×Y⊂Am+nest un fermé algébrique et que k[X×Y]'k[X]⊗kk[Y].
b) Montrer que si Xet Ysont irréductibles, alors il en est de même de X×Y. En déduire
que le produit tensoriel de deux k-algèbres de type fini intègres est intègre.
c) Montrer que la topologie de Zariski sur A2(k)n’est pas la topologie produit sur A1(k)×
A1(k).
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0.9 Lemme de normalisation de Noether
Dans cet exercice kest un corps quelconque.
a) Soit A=k[x1, ..., xm]une k-algèbre de type fini et telle que x1, ..., xmsoient algé-
briquement liés. Montrer que si eest suffisamment grand, alors en posant yi=xi−xei
met
B=k[y1, ..., ym−1], on a A=B[xm]et xmest entier sur B(en particulier Aest un B-module
de type fini). Montrer que si kest infini, on peut en fait choisir yi=xi−aixnpour des
a1, ..., an−1∈kconvenables.
b) En déduire le lemme de normalisation : si Aest une k-algèbre de type fini, alors on peut
trouver a1, ..., an∈Aalgébriquement indépendants sur ket tels que Asoit un k[a1, ..., an]-
module de type fini (et donc tout élément de Aest entier sur k[a1, ..., an].
c) Trouver explicitement a1, ..., ancomme dans b) pour les k-algèbres suivantes : A=
k[X, 1/X],A=k[X2, X3],A=k[X, Y, Z]/(XY Z −1),A=k[X, Y ]/(X2+Y2−1).
d) Démontrer le lemme de Zariski : si une k-algèbre de type fini est un corps, alors c’est une
extension finie de k.
e) En déduire que si mest un idéal maximal d’une k-algèbre de type fini A, alors A/m est
une extension finie de k. De plus, si f:A→Best un morphisme de k-algèbres de type fini et
si mest un idéal maximal de B, alors f−1(m)est un idéal maximal de A.
f) Soit Iun idéal d’une k-algèbre de type fini A. Montrer que √Iest l’intersection des idéaux
maximaux contenant I.
0.10 Théorème d’Ax-Grothendieck
Soient P1, ..., Pn∈k[X1, ..., Xn]des polynômes avec kalgébriquement clos. On se propose
de montrer que si l’application
f:An(k)→An(k), x →f(x) = (P1(x), ..., Pn(x))
est injective, alors elle est surjective. On suppose par l’absurde que fn’est pas surjective.
a) Montrer que si Aest une Z-algèbre de type fini et si mest un idéal maximal de A, alors
A/m est un corps fini.
b) Montrer qu’il existe mi≥1et Hi,j ∈k[X, Y ]tels que
(Xi−Yi)mi=X
j
Hi,j (Pi(X)−Pi(Y)).
c) Montrer qu’il existe a1, ..., an∈ket G1, ..., Gn∈k[X]tels que PiGi(Pi−ai) = 1.
d) Conclure, en considérant le sous-anneau Ade kengendré par les coefficients de tous les
Gi, Pi, Hi,j et par tous les ai, ainsi qu’un idéal maximal mde A.
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