Algèbre et Algèbre Linéaire en MP programme 2014

Algèbre et Algèbre Linéaire en MP
programme 2014
12 mars 2016

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Table des matières
1 Algèbre générale et arithmétique 5
1.1 Les premiers algorithmes de l’arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Debrefsrappels .............................. 5
1.1.2 Algorithme d’Euclide, identité de Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Décomposition en facteurs premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Groupes, première approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Groupes et sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Exemples de groupes et de sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Congruences : l’anneau Z/nZ........................... 15
1.3.1 Relation d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2 Sous groupes de (Z,+),congruences ................... 15
1.3.3 Générateurs de (Z/nZ,+),inversibles de (Z/nZ,+,×)......... 17
1.3.4 Le groupe des inversibles de l’anneau Z/nZ............... 20
1.4 Groupes,leretour.................................. 21
1.4.1 Groupes monogènes et cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.2 Ordre d’un élément dans un groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.3 Racines niemes de l’unité dans C...................... 22
1.4.4 Théorème de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.5 Groupesproduits.............................. 24
1.4.6 Exercices.................................. 25
1.5 Compléments du point de vue des idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.1 Anneauxetcorps.............................. 27
1.5.2 Notiond’idéal ............................... 28
1.5.3 Bref retour sur la divisibilité dans un anneau intègre . . . . . . . . . . . 29
1.5.4 L’anneau Z/nZ............................... 30
1.6 Aproposdespolynômes .............................. 37
1.6.1 Division euclidienne des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.6.2 Racines et coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.6.3 Idéaux de K[X]............................... 41
1.6.4 Le théorème de Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.7 Algorithmique.................................... 43
1.7.1 Division euclidienne et algorithme d’Euclide étendu . . . . . . . . . . . 43
1.7.2 Exponentiation rapide et Codage RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
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4TABLE DES MATIÈRES
1.8 Quelquescorrigés.................................. 47
1.9 Autres exemples de groupes et de leurs sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.9.1 Groupesymétrique............................. 51
1.9.2 Legroupeorthogonal............................ 53

Chapitre 1
Algèbre générale et arithmétique
1.1 Les premiers algorithmes de l’arithmétique
1.1.1 De brefs rappels
Théorème 1.1 division euclidienne
Pour tout couple d’entiers naturels (a, b)tel que b > 0,il existe un couple (q, r)et un seul véri-
fiant : a=bq +ret 0 ≤r < b.
Pour calculer les entiers qet rtels que a=bq +ravec 0≤r < b vous
n’imaginez tout de même pas que votre processeur utilise des multiplica-
tions ? Il procède en fait par soustractions successives comme dans la co-
lonne de droite, où, pour diviser 243 par 13, par exemple, on partira de
a= 243 on retranchera b= 13 jusqu’à obtenir un nombre r < b.
C’est cette idée que nous allons suivre pour une preuve algorithmique de ce
théorème.
Exercice 1.1 preuve algorithmique du théorème précédent
1. Justifier l’unicité du couple (q, r)dans une division euclidienne.
2. Preuve algorithmique de l’existence
(a) Décrire un algorithme de division euclidienne n’utilisant que
la soustraction comme opération arithmétique et contrôlé par
une boucle while ou son équivalent si vous utilisez un pseudo-
langage.
(b) Justifier que l’algorithme termine.
(c) Reconnaître un invariant de boucle permettant de démontrer
le théorème qui précède.
243
230
217
204
191
178
165
152
139
126
113
100
87
74
61
48
35
22
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Définition 1.1 diviseurs, nombres premiers, ppcm, pgcd...
Dans les définitions qui suivent a∈Zet b∈Zsont deux entiers relatifs.
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