Diversité de l`activité de l élève algorithmique et calcul formel
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Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Diversité de l’activité de l élève algorithmique et calcul formel Académie Aix-Marseille version du 9 mai 2011 Exemples calcul formel Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Plan de l’exposé 1. Les instructions officielles 2. Algorithmique : une progression possible au lycée 3. Des exemples en algorithmique 4. Le calcul formel : pourquoi ? 5. Des exemples intégrant du calcul formel Exemples calcul formel Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Plan de l’exposé 1. Les instructions officielles 2. Algorithmique : une progression possible au lycée 3. Des exemples en algorithmique 4. Le calcul formel : pourquoi ? 5. Des exemples intégrant du calcul formel Exemples calcul formel Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Plan de l’exposé 1. Les instructions officielles 2. Algorithmique : une progression possible au lycée 3. Des exemples en algorithmique 4. Le calcul formel : pourquoi ? 5. Des exemples intégrant du calcul formel Exemples calcul formel Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Plan de l’exposé 1. Les instructions officielles 2. Algorithmique : une progression possible au lycée 3. Des exemples en algorithmique 4. Le calcul formel : pourquoi ? 5. Des exemples intégrant du calcul formel Exemples calcul formel Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Plan de l’exposé 1. Les instructions officielles 2. Algorithmique : une progression possible au lycée 3. Des exemples en algorithmique 4. Le calcul formel : pourquoi ? 5. Des exemples intégrant du calcul formel Exemples calcul formel Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel Plan de l’exposé Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Exemples pris dans les nouveaux livres Rechercher une valeur approchée d’une solution à une équation. Rechercher une valeur approchée d’un irrationnel Statistique et probabilité Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel Outil de vérification Prise en charge d’un calcul Un lieu de points Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? 1. Analyse Exemples calcul formel Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? 1. Analyse Exemples calcul formel Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? 3. Statistique probabilité Exemples calcul formel Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? 3. Statistique probabilité Exemples calcul formel Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Les programmes en résumé Exemples calcul formel Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel Plan de l’exposé Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Exemples pris dans les nouveaux livres Rechercher une valeur approchée d’une solution à une équation. Rechercher une valeur approchée d’un irrationnel Statistique et probabilité Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel Outil de vérification Prise en charge d’un calcul Un lieu de points Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel Structure d’un algorithme Structure d’un algorithme Entrée - traitement - sortie Affectation Test " Si ... alors " Boucle "Pour ... de ... à ..." Boucle "Tant ... que ..." Comprendre Seconde Seconde Seconde Seconde Seconde Modifier Seconde Seconde Seconde Seconde Seconde Créer Seconde Seconde Seconde Première Première Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel Évaluation d’un algorithme Évaluation d’un algorithme Terminaison Validation Performance - de l’algorithme - du programme Sensibilisation sur des exemples Seconde Seconde Se poser la question Première Première Première Terminale Terminale • Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel Plan de l’exposé Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Exemples pris dans les nouveaux livres Rechercher une valeur approchée d’une solution à une équation. Rechercher une valeur approchée d’un irrationnel Statistique et probabilité Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel Outil de vérification Prise en charge d’un calcul Un lieu de points Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Hyperbole (programme 2011) Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Transmath (programme 2011) Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Transmath (programme 2011) Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel Rechercher une valeur approchée d’une solution à une équation. • Balayage en seconde • Dichotomie en première • Newton en terminale Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel Dichotomie Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b], qui change de signe entre a et b. Le principe de dichotomie permet en divisant à chaque étape l’intervalle de moitié, en considérant le milieu c, de trouver une valeur approchée d’une racine de f à près. Pour atteindre la précision , arbitrairement petite, il suffit d’itérer ce processus n fois, où n est le plus petit entier tel |a−b| 2n ≤ . On peut aussi dire que n est le plus petit entier supérieur ou égal à log2 ( |a−b| ). Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel Dichotomie Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b], qui change de signe entre a et b. Entrées : a réel, b réel, a < b, f fonction continue sur [a, b] telle que f (a) ∗ f (b) ≤ 0, un nombre réel arbitrairement petit. Traitement : tant que b − a > faire a+b c← 2 si f (a) ∗ f (c) > 0 alors a ← c sinon b ← c résultat a Sortie : un nombre réel qui approche une racine de f à près. Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel Dichotomie Organisation de l’étude possible • On donne l’algorithme aux élèves et on demande ce qu’il fait. • Il est fort possible qu’ils n’aient pas d’idée. On propose aux élèves de le faire fonctionner "à la main" sur une fonction et des bornes données. • les élèves le rendent exécutable par une machine et le font fonctionner. • On revient sur la question (si elle n’est pas réglée) : que fait cet algorithme ? Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Dichotomie Exemples calcul formel Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel Rechercher une valeur approchée d’un irrationnel • Algorithme de héron pour la recherche d’une valeur approchée de la racine carrée d’un nombre • Recherche de la valeur approchée de π Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel Algorithme de Héron Pour les mathématiques actuelles, rechercher la racine carrée d’un nombre A revient à résoudre l’équation x 2 − A = 0. Chez les mathématiciens grecs, extraire la racine carré de A c’est trouver un carré dont l’aire soit A. En prenant un rectangle de côté arbitraire a0 et de même aire, il est nécessaire que la longueur de l’autre côté soit bo = aAo . Mais ce rectangle n’est pas carré (en général). Pour le rendre "plus carré", il suffit de prendre un rectangle dont la longueur est la moyenne arithmétique des deux côtés précédents soit ao + bo 2 et dont l’aire reste A. En itérant infiniment le processus, on transforme petit à petit le rectangle en carré de même aire. Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Algorithme de Héron Exemples calcul formel Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel Algorithme de Héron L’algorithme peut s’écrire de deux façons : 1. en calculant simultanément deux suites (technique proche du principe) ; a←2 b←1 e ← précision souhaitée tant que a − b > e faire a ← (a + b)/2 b ←√ 2/a résultat 2 est compris entre b et a 2. en ne calculant qu’une seule suite 1 ; l’étude de cette suite étant un classique de la classe de terminale S. 1. Cf APMEP Bulletin 486 Étude d’un très vieil algorithme par Catherine Combelles Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Algorithme de Héron Codage avec Scilab Exemples calcul formel Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Algorithme de Héron Résultat avec Scilab Exemples calcul formel Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Algorithme de Héron Codage avec Python Exemples calcul formel Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Statistique et probabilité Voir atelier spécifique statistique probabilité • Intervalle de fluctuation • Simulation de la loi géométrique tronquée • Triangle de Pascal • Simulation de la loi binomiale Exemples calcul formel Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel Plan de l’exposé Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Exemples pris dans les nouveaux livres Rechercher une valeur approchée d’une solution à une équation. Rechercher une valeur approchée d’un irrationnel Statistique et probabilité Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel Outil de vérification Prise en charge d’un calcul Un lieu de points Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel Fonction du calcul formel en lycée Le calcul formel prend sa place dans le cadre de la résolution d’un problème (d’une démarche d’investigation), uniquement comme un recours simple, utilisant peu d’instructions, et uniquement au moment où l’en a besoin, comme • outil de calculs numérique exact ou avec une précision aussi grande que l’on veut, • outil de vérification, • outil pour prendre en charge un calcul que l’on ne sait pas faire, • outil de généralisation (utilisation des affectations), • algorithmique dans un système de calcul formel Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel Plan de l’exposé Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Exemples pris dans les nouveaux livres Rechercher une valeur approchée d’une solution à une équation. Rechercher une valeur approchée d’un irrationnel Statistique et probabilité Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel Outil de vérification Prise en charge d’un calcul Un lieu de points Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel Des exemples utilisant le calcul formel • Un problème classique d’optimisation : optimiser le volume d’une casserole • Démontrer les formules de Descartes (optique) • Un problème de lieu de points Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel Problème de la casserole. Optimiser de la matière première On veut fabriquer une casserole cylindrique en aluminium au moyen d’une feuille de métal de surface donnée S. On veut calculer le rapport qu’il doit exister entre la hauteur h et le rayon x pour que le volume soit maximal. On suppose qu’il n’y a aucun déchet de métal, que son épaisseur reste constante, et qu’il n’y a pas de couvercle. Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Problème de la casserole. Si on note x le rayon et h la hauteur, on a La surface totale est S = πx 2 + 2πhx. x Le volume d’exprime par V (x) = (S − πx 2 ) 2 2 S 3πx En dérivant V 0 (x) = − 2 2 On en tire S = 3πx 2 En égalisant les deux expressions de S, on a h = x Exemples calcul formel Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Problème de la casserole Exemples calcul formel Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel Établir les lois de Descartes Démontrer la lois de Descartes pour la réfraction qui s’énonce ainsi sur le site wikipedia.fr : 1. le rayon réfracté est dans le plan d’incidence 2. la relation liant les indices de réfraction n1 et n2 de chacun des milieux et les angles incident θ1 et réfracté θ2 sont liés par la relation dite de Snell-Descartes : n1 · sin(θ1 ) = n2 · sin(θ2 ) Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Établir les lois de Descartes Exemples calcul formel Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel Établir les lois de Descartes La loi de Snell-Descartes de la réfraction exprime le changement de direction d’un faisceau lumineux lors de la traversée d’une paroi, séparant deux milieux différents. Chaque milieu est caractérisé par sa capacité à « ralentir » la lumière, modélisée par son indice de réfraction n qui s’exprime sous la forme c n= v où v est la vitesse de la lumière dans ce milieu et c est la vitesse de la lumière dans le vide. Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel Établir les lois de Descartes Le rayon lumineux se déplace à la vitesse v1 du côté de A et à la vitesse v2 du côté B. Le temps de trajet est AM MB + v1 v2 Le problème consiste à minimiser la fonction définie sur [0, c] par : p √ x 2 + a2 (c − x)2 + b2 + f (x) = v1 v2 Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel Établir les lois de Descartes La dérivée est f 0 (x) = 2x 2(x − c) p √ + 2 2 2v1 x + a 2v2 (c − x)2 + b2 Un élève de première S ne dispose pas de la dérivée de la composée de deux fonctions (cf nouveau programme). Le calcul formel peut donc être utile afin d’obtenir cette dérivée. L’usage d’un outil de calcul formel peut donc être fort utile dans ce cas là. Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Établir les lois de Descartes Exemples calcul formel Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Établir les lois de Descartes On a donc x x −c + =0 v1 AM v2 BM nous en déduisons que A0 M 1 B0M 1 = AM v1 BM v2 ou encore A0 M c B0M c = AM v1 BM v2 c’est à dire n1 sin i1 = n2 sin i2 Exemples calcul formel Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel Un problème de tangentes On considère la parabole P d’équation y = ax 2 + bx + c sur laquelle on choisit deux points A et B d’abscisses opposés et non nulles. Les tangentes d1 et d2 à P en A et B se coupent en un point I. Sur quel lieu de points se situe le point I ? Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel Expérimentation sur un exemple Expérimentation avec un logiciel de calcul formel : on choisit des valeurs pour a, b et c. Dans l’idéal chaque regroupement d’élèves réuni autour d’un ordinateur choisit un triplet différent. On réalise la figure afin d’obtenir un résultat expérimental. Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Expérimentation sur un exemple Exemples calcul formel Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel Expérimentation sur un exemple On démontre la conjecture pour les valeurs de a, b et c choisies. f (x) = x 2 + 0, 5x + 2 d’où f 0 (x) = 2x + 0, 5. La tangente d1 en A(m, f (m)) a pour équation y = (2m + 0, 5)(x − m) + m2 + 0, 5m + 2 La tangente d2 en B(−m, f (−m)) a pour équation y = (−2m + 0, 5)(x + m) + (−m)2 − 0, 5m + 2 On cherche le point d’intersection entre ces deux droites : I(x, y ) ∈ d1 ∩d2 ⇐⇒ y = (2m + 0, 5)(x − m) + m2 + 0, 5m + 2 y = (−2m + 0, 5)(x + m) + (−m)2 − 0, 5m + 2 ce qui implique que : (2m + 0, 5)(x − m) + m2 + 0, 5m + 2 = (−2m + 0, 5)(x + m) + (−m)2 − 0, 5m + 2 ⇐⇒ 4mx = 0 ⇐⇒ x = 0 Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Exemples calcul formel Cas général • Le cas général peut s’expérimenter en utilisant les curseurs de GeoGebra. • La démonstration peut se réaliser en utilisant un logiciel de calcul formel. Les instructions officielles Progression algo Exemples algo Calcul formel : pourquoi ? Cas général Exemples calcul formel
