CINÉMATIQUE

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CINÉMATIQUE
1. INTRODUCTION
Dans le cours de mécanique de 4ème année nous avons étudié le MRU et le MRUV.
Nous avons trouvé les équations et les graphes correspondant à chaque mouvement.
Tous les mouvements étudiés se faisaient selon une trajectoire rectiligne mais dans la réalité, les
mouvements peuvent se faire dans le plan ou l’espace. Donc, la vitesse qui était représentée par
une flèche plus ou moins grande selon la valeur de cette vitesse pourra aussi varier en direction.
Nous devons introduire la grandeur mathématique : vecteur.
La vitesse et l’accélération pouvant varier en intensité et en direction seront des vecteurs.
2. VECTEUR VITESSE INSTANTANÉE D’UN MOBILE
La vitesse instantanée est la vitesse réelle du mobile à une date précise.
Par définition, le vecteur vitesse instantanée
i
V
à une date t précise est :
t
x
Vi
(en m/s) avec
x
le vecteur déplacement
et t tendant vers zéro
La vitesse instantanée
i
V
peut être constante ou varier dans le temps, c’est une grandeur
vectorielle :
origine : le mobile étudié
direction : tangente à la trajectoire
sens : celui du mouvement
intensité :
txx t
x
VIF
i
( m/s ) avec
0t
.
3. MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORME
3.1. Condition
La condition pour avoir un MRU est :
te
iCV
cela signifie que :
la direction est constante la trajectoire est une droite
uniforme.est mouvement le
constanteest intensitél'
constantest sens le
3.2. Equation
0
XtVX 
X
: position, en m, du mobile à l’instant t.
V
: vitesse du mobile en m/s.
0
X
: position du mobile à l’instant initial.
3.3. Graphes
Vitesse en fonction du temps
La vitesse est positive c-à-d que le mobile La vitesse est négative c-à-d que le mobile
se déplace dans le sens de l’axe des X. se déplace en sens contraire de l’axe des X.
t (s)
0
V (m/s)
t (s)
0
V (m/s)

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Position en fonction du temps
La pente de la droite représente la vitesse La pente de la droite représente la vitesse
qui est positive. qui est négative.
X0 représente la position du mobile à X0 représente la position du mobile à
l’instant initial c-à-d au moment où on l’instant initial c-à-d au moment où on
déclenche le chronomètre. déclenche le chronomètre.
La surface sous la courbe représente le déplacement.
4. MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORMÉMENT VARIE
4.1. Condition
La condition pour avoir un MRUA est :
te
Ca
cela signifie que :
la direction est constante la trajectoire est une droite
uniformeest mouvement le
constanteest intensitél'
constantest sens le
4.2. Equations
L’équation horaire du mouvement sera L’équation horaire de la vitesse sera
00 XtV²ta
2
1
X
0i VtaV 
X
: position, en m, du mobile à l’instant t
V
: vitesse, en m/s, du mobile à l’instant t
a
: accélération tangentielle, en m/s², du mobile à l’instant t
0
V
: vitesse du mobile du mobile à l’instant t0
0
X
: position du mobile à l’instant initial.
4.3. Graphes
Accélération en fonction du temps
L’accélération est positive c-à-d que le L’accélération est négative c-à-d que le
mobile va de plus en plus vite. mobile va de moins en moins vite.
Il accélère. il freine.
a (m/s²)
0 t (s)
a (m/s²)
0 t (s)
x0
t (s)
0
x (m)
x0
t (s)
0
x (m)

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vitesse en fonction du temps
V0 représente la vitesse à l’instant initial V0 représente la vitesse à l’instant initial
c-à-d au moment où l’on déclenche le c-à-d au moment où l’on déclenche le
chronomètre. Chronomètre.
La pente de la droite représente La pente de la droite représente
l’accélération. l’accélération.
position en fonction du temps
La courbe est une portion de parabole La courbe est une portion de parabole
de concavité positive (vers le haut). de concavité négative (vers le bas).
Ce qui traduit une augmentation de Ce qui traduit une diminution de
vitesse. vitesse.
5. TRAJECTOIRE PARABOLIQUE
A la sortie du fût d’un canon, un obus a une vitesse de
0
V
. Le fût du canon fait un angle avec
l’horizontale. On négligera les frottements de l’air sur l’obus.
A. Trouver les équations horaires du mouvement.
B. Calculer les coordonnées de la portée, de la flèche.
C. Déterminer l’équation de la trajectoire.
D. Trouver les coordonnées de l’obus à chaque instant t.
E. Trouver la vitesse de l’obus à chaque instant t.
t (s)
t (s)
V0
0
Vi (m/s)
V0
0
Vi (m/s)
x0
t (s)
0
x (m)
x0
t (s)
0
x (m)
Y
X
V0

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Equations horaires de la position
sintVtg
2
1
-Y costVX 0
2
0
Equations horaires de la vitesse
sinVtgV cosVV 0y0x
Equation de la trajectoire
tanXX
cosV2
g
Y2
22
0
Coordonnées de la portée (XP, YP)
0 ,
gsincosV2 2
0
Coordonnées de la flèche (XF, YF)
g2sinV
,
gsincosV 22
0
2
0
6. LE MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME MCU
6.1. Conditions
La trajectoire est un cercle.
La direction du vecteur vitesse varie et est tangente à la trajectoire.
L’intensité du vecteur vitesse est constante.
6.2. Equation de la vitesse
Comme l’intensité du vecteur vitesse est constante, le mobile mettra toujours le même temps
pour effectuer un tour complet.
On appelle période de révolution T, le temps nécessaire pour que le mobile effectue un tour.
L’espace parcouru en une période sera :
R2
et la vitesse instantanée sera :
R
T
2
V
.
Comme
T2
ne dépend que de la période de révolution et que ce rapport s’exprime en
radian par seconde, nous appellerons ce rapport vitesse angulaire .
Donc, la vitesse instantanée sera :
f
T
RV
2
2
f : fréquence en hertz Hz
nombre de tours par seconde.
La vitesse angulaire est la portion d’angle balayé par unité de temps. Cette grandeur est
constante pour un mouvement donné alors que la vitesse instantanée augmente lorsqu’on
s’éloigne du centre.

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6.3. Calcul de l’accélération
Par définition, le vecteur accélération sera :
0t avec
tVV t
V
aif
La construction nous montre que les vecteurs vitesses
if Vet V 
ont des directions
différentes. On déplace les vecteurs vitesses pour que leur origine soit confondue.
Calcul de V
Le théorème de Chasles nous montre que :
OAOCACV
0OCACOA
0COACOA
On choisit un point D tel que AD = DC
On choisit un vecteur unitaire
AC
u
dirigé de A vers C
Le triangle OAC est isocèle en O et le triangle OAD est rectangle en D.
Donc, nous pouvons écrire :
AC
AC
u
2
sinV2
uAD2AC
par la suite, nous devrons faire tendre t vers 0 c-à-d que va tendre vers 0
Donc, on peut assimiler le sinus à son angle en radian
AC
uVAC 
Conclusion,
AC
AC
u
t
V
t
V
uVV
finalement, lorsque t tend vers 0, le vecteur unitaire
AC
u
va tendre vers un vecteur dirigé
selon un rayon et vers le centre du cercle. Ce vecteur unitaire sera appelé vecteur normal
n
u
.
C
D
O
A