Introduction à l`algèbre commutative

x60.png
Anneaux, idéaux, modules et algèbres
Modules de type fini sur un anneau principal
Les produits tensoriels de modules
Introduction à l’algèbre commutative
Soutenance de Master 2 de
Mourad MEHIDI
Université A. Mira de Béjaia
Jeudi, le 7 juin 2012
Introduction à l’algèbre commutative

x60.png
Anneaux, idéaux, modules et algèbres
Modules de type fini sur un anneau principal
Les produits tensoriels de modules
Plan
1Anneaux, idéaux, modules et algèbres
2Modules de type fini sur un anneau principal
3Les produits tensoriels de modules
Introduction à l’algèbre commutative

x60.png
Anneaux, idéaux, modules et algèbres
Modules de type fini sur un anneau principal
Les produits tensoriels de modules
Anneaux, idéaux, modules et algèbres
Anneaux quotients
Soit A= (A,+, .)un anneau (commutatif et unitaire) et Iun
idéal de A. On considère Rla relation binaire définie par:
∀x,y∈A:xRy⇔x−y∈I.
Il est facile de voir que Rest une relation d’équivalence et
que l’ensemble quotient A/R(muni des lois de compositions
internes induites de celles de A) est un anneau. On l’appelle
“anneau quotient de Asur I” et on le note A/I.
Introduction à l’algèbre commutative

x60.png
Anneaux, idéaux, modules et algèbres
Modules de type fini sur un anneau principal
Les produits tensoriels de modules
Anneaux, idéaux, modules et algèbres
Idéaux remarquables
Soit Aun anneau et Iun idéal de A.
1)Iest premier Déf ⇐⇒ (∀x,y∈A:xy ∈I⇒x∈Iou y∈I)
Prop
⇐⇒ A/Iest un anneau intègre.
2)Iest maximal Déf ⇐⇒ Il n’existe aucun idéal Jde Atel que:
I&J&A
Prop
⇐⇒ A/Iest un corps.
On a: Imaximal ⇒Ipremier.
3)Iest principal Déf ⇐⇒ Iest engendré par un seul élément
⇐⇒ I=aA (pour un certain a∈A).
Introduction à l’algèbre commutative

x60.png
Anneaux, idéaux, modules et algèbres
Modules de type fini sur un anneau principal
Les produits tensoriels de modules
Anneaux, idéaux, modules et algèbres
Anneaux remarquables
Anneau principal:
Un anneau Aest dit principal si tout idéal de Aest principal.
Exemples: Les anneaux: Z,Z[X],R[X]sont principaux.
L’anneau R[X,Y]n’est pas principal.
Anneau noetherien:
Un anneau Aest dit noetherien si tout idéal de Aest de type
fini (c’est-à-dire engendré par un nombre fini d’éléments).
En particulier, tout anneau principal est noetherien.
Théorème (Hilbert).
Si Aest un anneau noetherien alors l’anneau A[X]est aussi
noetherien.
Introduction à l’algèbre commutative