Introduction à l`algèbre commutative

Anneaux, idéaux, modules et algèbres
Modules de type fini sur un anneau principal
Les produits tensoriels de modules
Introduction à l’algèbre commutative
Soutenance de Master 2 de
Mourad MEHIDI
Université A. Mira de Béjaia
Jeudi, le 7 juin 2012
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Introduction à l’algèbre commutative
Anneaux, idéaux, modules et algèbres
Modules de type fini sur un anneau principal
Les produits tensoriels de modules
Plan
1
Anneaux, idéaux, modules et algèbres
2
Modules de type fini sur un anneau principal
3
Les produits tensoriels de modules
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Introduction à l’algèbre commutative
Anneaux, idéaux, modules et algèbres
Modules de type fini sur un anneau principal
Les produits tensoriels de modules
Anneaux, idéaux, modules et algèbres
Anneaux quotients
Soit A = (A, +, .) un anneau (commutatif et unitaire) et I un
idéal de A. On considère R la relation binaire définie par:
∀x, y ∈ A : xRy ⇔ x − y ∈ I .
Il est facile de voir que R est une relation d’équivalence et
que l’ensemble quotient A/R (muni des lois de compositions
internes induites de celles de A) est un anneau. On l’appelle
“anneau quotient de A sur I ” et on le note A/I .
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Anneaux, idéaux, modules et algèbres
Idéaux remarquables
Soit A un anneau et I un idéal de A.
1)
I est premier
Déf
⇐⇒ (∀x, y ∈ A : xy ∈ I ⇒ x ∈ I ou y ∈ I )
Prop
⇐⇒ A/I est un anneau intègre.
2) I est maximal
Déf
⇐⇒ Il n’existe aucun idéal J de A tel que:
I &J&A
Prop
⇐⇒ A/I est un corps.
On a: I maximal ⇒ I premier.
3)
I est principal
Déf
⇐⇒ I est engendré par un seul élément
⇐⇒ I = aA (pour un certain a ∈ A).x60.png
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Anneaux remarquables
Anneau principal:
Un anneau A est dit principal si tout idéal de A est principal.
Exemples: Les anneaux: Z, Z[X ], R[X ] sont principaux.
L’anneau R[X , Y ] n’est pas principal.
Anneau noetherien:
Un anneau A est dit noetherien si tout idéal de A est de type
fini (c’est-à-dire engendré par un nombre fini d’éléments).
En particulier, tout anneau principal est noetherien.
Théorème (Hilbert).
Si A est un anneau noetherien alors l’anneau A[X ] est aussi
noetherien.
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Anneaux remarquables
Corollaire.
Si A est un anneau noetherien alors l’anneau A[X1 , . . . , Xn ]
(n ≥ 1) est aussi noetherien.
Exemple: L’anneau R[X1 , . . . , Xn ] est noetherien.
Anneau local:
Théorème (Krull).
Tout anneau non nul contient au moins un idéal maximal.
Définition: Un anneau local est un anneau qui contient un
unique idéal maximal.
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Morphismes d’anneaux
Définition: Soient A et B deux anneaux (commutatifs et
unitaires). Une application f : A → B est appelée morphisme
d’anneaux si: f (0) = 0, f (1) = 1 et pour tous x, y ∈ A, on a:
f (x + y ) = f (x) + f (y )
f (x · y ) = f (x) · f (y ).
Le noyau et l’image d’un morphisme d’anneaux
Soit f : A → B un morphisme d’anneaux. Le noyau de f est
défini par:
Kerf := {a ∈ A : f (a) = 0}.
L’image de f est définie par:
Imf := {f (a), a ∈ A}.
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Morphismes d’anneaux
Il est facile de montrer que Kerf est un idéal de A et que Imf
est un idéal de B.
Le théorème d’isomorphisme:
Soit f : A → B un morphisme d’anneaux. Alors, on a:
A/Kerf ' Imf .
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Modules sur un anneau
Définition: Soit A un anneau commutatif et unitaire. Un
A-module est un triplet (M, +, .) (où + est une loi de
composition interne sur M et . est une loi de composition
externe sur M opérant sur A) tel que:
1
(M, +) est un groupe abélien.
2
∀λ, µ ∈ A, ∀x, y ∈ M:
λ.(x + y ) = λ.x + λ.y
(λ + µ).x = λ.x + µ.x
1.x = x.
Remarque: La notion de module (sur un anneau) généralise
celle d’espace vectoriel (sur un corps).
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Modules sur un anneau
Un module sur un corps commutatif n’est rien d’autre qu’un
espace vectoriel.
Un exemple important:
Tout groupe abélien (G , +) peut être considéré comme un
Z-module où la loi externe est définie par:


x| + x +
si n ≥ 0

{z· · · + x}



n fois

∀n ∈ Z, ∀x ∈ G : n · x :=
.



(−x) + (−x) + · · · + (−x) si n ≤ 0


{z
}
|
(−n) fois
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Modules sur un anneau
Quelques notions sur les modules analogues à celles
des espaces vectoriels:
Espaces vectoriels
Sous-espace vectoriel
Application linéaire
Partie libre
Partie génératrice
Base
Dimension
Modules
Sous-module
Morphisme de modules
Partie libre
Partie génératrice
Base
Rang
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Modules sur un anneau
Quelques différences avec les espaces vectoriels:
1
Il existe des modules ne possédant pas de base.
Exemple: Le Z-module Z/nZ (n ≥ 2) ne possède pas de
base.
Définition: Un module est dit libre s’il possède une base.
2
Une partie libre maximale n’est pas forcément une base.
3
Une partie génératrice minimale n’est pas forcément une
base.
Quelques définitions:
1
Un module M est dit de type fini s’il est engendré par un
nombre fini d’éléments.
2
Un module M est dit noetherien si tout sous-module de
M est de type fini.
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Modules sur un anneau
Le lemme de Nakayama:
Soit M un A-module de type fini et I un idéal de A tel que
M = IM. Alors, il existe a ∈ I tel que (1 + a)M = 0.
Corollaire. Soit M un A-module de type fini et u un
endomorphisme surjectif de M. Alors u est un automorphisme.
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Algèbres sur un anneau
Définition: Soit A un anneau (commutatif et unitaire). Une
A-algèbre (ou une algèbre sur A) est un quadriplet (X , +, ×, ·),
où + et × sont des lois de composition interne sur X et · est
une loi de composition externe sur X (opérant sur A), tel que:
1
L’ensemble structuré (X , +, ×) est un anneau.
2
L’ensemble structuré (X , +, ·) est un A-module.
Exemple: L’ensemble Z[X ] est une Z-algèbre.
Note: La plupart des théorèmes importants sur les modules et
les algèbres ont été obtenu à partir de l’étude des algèbres de
polynômes.
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Algèbres sur un anneau
Le théorème de Hilbert.
Soit k un corps commutatif. Les invariants d’une k-algèbre
de type fini sous l’action d’un groupe fini forment une
k-algèbre de type fini.
Explicitement: Soit A une k-algèbre de type fini et G
un groupe fini d’automorphismes de A. Alors l’ensemble des
invariants de A sous l’action de G :
AG := {a ∈ A : ∀g ∈ G , g (a) = a}
est une sous-algèbre de A de type fini.
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Algèbres sur un anneau
Application: L’ensemble des polynômes symétriques de
R[X1 , . . . , Xn ] (n ≥ 2) est une R-algèbre de type fini.
On peut montrer en fait que cette algèbre est engendrée par
les n polynômes symétriques élémentaires: σ1 , σ2 , . . . , σn .
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Géométrie algébrique
Définition: Une variété algébrique de Cn est un ensemble de
zéros d’un ou plusieurs polynômes de C[X1 , . . . , Xn ].
Exemples: Dans un plan affine (R2 ou C2 ), une droite, un
cercle, une conique, . . . sont des exemples de variétés
algébriques.
Définition: Une variété algébrique est dite irréductible si elle
ne peut pas s’écrire comme réunion de deux variétés
algébriques distinctes et non vides.
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Géométrie algébrique
Correspondance Géométrie-Algèbre:
À toute variété algébrique V de Cn , on peut associer un idéal
de C[X1 , . . . , Xn ]:
I (V ) := {P ∈ C[X1 , . . . , Xn ] : P ≡ 0 sur V }.
Inversement, à tout idéal I de C[X1 , . . . , Xn ], on peut
associer une variété algébrique de Cn :
Z (I ) := {a ∈ Cn : P(a) = 0, ∀P ∈ I }.
Théorème. Soit V une variété algébrique de Cn . Alors, on a:
V est irréductible ⇐⇒ I (V ) est premier.
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Quelques définitions
Pour ce qui suit, on fixe A un anneau commutatif, unitaire,
intègre et principal.
Quelques définitions: Soit M un A-module.
1
On dit qu’un élément m ∈ M est de torsion s’il existe
a ∈ A \ {0} tel que a · m = 0.
2
On dit que M est un module de torsion si tout élément de
M est de torsion.
3
On dit que M est un module sans torsion si aucun
élément de M \ {0} n’est de torsion.
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Sous-modules d’un module libre
Exemples: — Le Z-module Z/nZ (n ≥ 2) est de torsion.
— Le Z-module Z2 est sans torsion.
Théorème. Soit M un A-module libre de rang n (n ≥ 1) et P
un sous-module de M. Alors, il existe une base (e1 , . . . , en ) de
M et des éléments non nuls a1 , . . . , ar (r ≤ n) de A tels que:
1. ai /ai+1 , pour tout i = 1, . . . , n − 1.
2. La famille (a1 e1 , . . . , ar er ) constitue une base de P.
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Modules de type fini
Théorème. Soit M un A-module de type fini. Alors, il existe
un unique r ∈ N et une unique famille d’éléments
d1 , . . . , dr ∈ A, non inversibles, tels que:
(d1 ) ⊃ (d2 ) ⊃ · · · ⊃ (dr )
et
M ' A/(d1 ) ⊕ A/(d2 ) ⊕ · · · ⊕ A/(dr ).
Appellation: Les éléments d1 , . . . , dr de A s’appellent les
facteurs invariants de M.
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Application aux groupes abéliens de type fini
Corollaire 1. Soit M un A-module de type fini. Alors M est
somme directe du module de torsion Mtor et d’un module libre.
Corollaire 2. Soit M un A-module de type fini et sans
torsion. alors M est libre.
Application aux groupes abéliens de type fini:
Théorème. Soit G un groupe abélien de type fini. Alors, il
existe un unique entier r ∈ N et une unique famille d’entiers
strictement positifs (d1 , . . . , ds ), avec d1 /d2 / . . . /ds , tels que:
G ' Zr ⊕ Z/d1 Z ⊕ Z/d2 Z ⊕ · · · ⊕ Z/ds Z.
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Les produits tensoriels de modules
Les produits tensoriels de modules
Construction du produit tensoriel
Soit A un anneau (commutatif et unitaire) et M et N deux
A-modules. On va construire dans ce qui suit un nouveau
A-module M ⊗A N et une application bilinéaire:
⊗ : M × N −→ M ⊗A N.
Gràce au produits tensoriels, l’étude des applications
bilinéaires se ramène à l’étude des applications linéaires.
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Les produits tensoriels de modules
Les produits tensoriels de modules
Construction du produit tensoriel
Construction
On considère L = A(M×N) l’ensemble des applications de
M × N dans A qui sont nulles sauf en un nombre fini de
points. Il est claire que L est libre et admet pour base la
famille I(m,n) ((m, n) ∈ M × N), avec:
(
1 si (x, y ) = (m, n)
I(m,n) (x, y ) :=
(∀(x, y ) ∈ M × N).
0 sinon
On considère ensuite R le sous-module de L engendré par les
éléments suivants:
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Construction du produit tensoriel
λI(m,n) − I(λm,n)
λI(m,n) − I(m,λn)
I(m+m0 ,n) − I(m,n) − I(m0 ,n)
I(m,n+n0 ) − I(m,n) − I(m,n0 )
(avec λ ∈ A, m, m0 ∈ M, n, n0 ∈ N).
On définit alors:
M ⊗A N := L/R.
On note m ⊗ n la classe de I(m,n) dans M ⊗A N.
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La propriété universelle du produit tensoriel
Par construction même, l’application:
⊗ : M × N −→ M ⊗A N
(m, n) 7−→ m ⊗ n
est bilinéaire.
La propriété universelle du produit tensoriel:
Soient M, N et P trois A-modules. Pour toute application
bilinéaire f : M × N → P, il existe un unique homomorphisme
de modules ϕ : M ⊗A N → P tel que: f = ϕ ◦ ⊗ .
⊗
ϕ
f : M × N −→ M ⊗A N −→ P.
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