ASPECTS ENERGETIQUES ( )

ASPECTS ENERGETIQUES (FORCES)
SYNTHESE

TRAVAIL D’UNE FORCE
En physique, le travail désigne un mode de
transfert de l'énergie.
TRAVAIL D’UNE FORCE
CONSTANTE

Au voisinage de la Terre, le poids 
P = m g d'un
corps dans le champ de pesanteur g uniforme est
une force
constante.
Dans le repère orthonormé
 

(O ; i , j , k ) d'axe vertical ascendant Oz, on
a:



WAB( P ) = P . AB = – mg(zB – zA).

Une force constante garde même direction, même
sens et même valeur au cours du temps.
Le travail WAB( P ) du poids d'un corps, lors d'un
déplacement de son centre de gravité de A à B, ne
dépend que de l'altitude initiale zA et de l'altitude
finale zB :

WAB( P ) = mg(zA – zB)

Le travail d'une force constante F lors d'un
déplacement
de son point d'application de A à B, noté

WAB( F ), a pour valeur :



WAB( F ) = F . AB
= F × AB × cos 

WAB( F ) travail en joule (J)
F force en newton (N)
en mètre (m)
AB déplacement


 angle entre F et AB

A

F
F

Ne pas se tromper : altitude initiale - altitude finale.

On peut aussi exprimer WAB( P ) en fonction de la
dénivellation h = |zA – zB|
– Si l'altitude
augmente au cours du mouvement :

WAB( P ) = – mgh (travail résistant).
– Si l'altitude
diminue au cours du mouvement :

WAB( P ) = mgh (travail moteur).
Moyen mnémotechnique :
« Moins-Monte » et « Plus-Plonge ».

F

F
B
F
– Si l'angle  est aigu, la force favorise le
déplacement
:

WAB( F ) > 0 (travail moteur).
– Si l'angle  est droit, la force est sans effet sur le
déplacement
:

WAB( F ) = 0.
– Si l'angle  est obtus, la force entrave le
déplacement
:

WAB( F ) < 0 (travail résistant).

– Dans le cas d'une force constante, WAB( F ) ne
dépend pas du trajet suivi de A à B.
– Pour
un déplacement
de B vers A, on a :


WBA( F ) = – WAB( F )
TRAVAIL D’UNE FORCE
QUELCONQUE

F

F

A

F
ℓ

F
Quand la force est quelconque, on découpe le trajet

de A à B en petits éléments rectilignes ℓ sur
lesquels elle varie peu. En sommant les travaux
correspondant à tous les petits éléments rectilignes de
A à B, on
obtient une valeur approchée du travail
total WAB( F ) :

A

h
 
A
0
P 0
– mg
zA
B
WAB( F ) =  F . ℓ
Cas particulier : le travail du poids
z
B
F
B
zB
L’approximation est d'autant meilleure que les
éléments rectilignes sont petits. Si ℓ  0, le

déplacement infinitésimal se note dℓ et le signe 
remplace
le signe . La valeur exacte du travail de la

force F sur le trajet de A à B est :

P


O

k
y
j
xB – xA
AB  yB – yA
 zB – zA
x


WAB( F ) =
B  

A
F . dℓ
i
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ASPECTS ENERGETIQUES (FORCES)
SYNTHESE
Calculer le travail d’une force constante
Cas particulier : travail de la tension d'un ressort
largeur
à vide


T
x’
i
x + x
x
O

Le travail d’une force constante F lors d’un
déplacement de son point d’application A à B est :

 
WAB( F ) = F . AB = F  AB  cos 
x

ℓ
En orientant l'axe x'x du ressort vers l'extérieur
de
celui-ci, on peut écrire simplement la tension T du
ressort
en 
fonction de l'abscisse x = ℓ – ℓ0 :

T = kx i

Lorsqu'on déforme le ressort, la tension T ,
fonction de l'allongement x, varie peu entre deux
positions voisines d'abscisses x et x + x. Une

valeur approchée de W0  X ( T ) pour un ressort
déformé d'une quantité X depuis sa position à vide
s'obtient alors en sommant les travaux sur des petits


éléments rectilignes ℓ = x i :
 


T . ℓ = kx i .x i = kxx
X

soit : W0  X ( T ) =  kxx
0

W0  X ( T ) = 

X
X
0
1
1
kxdx=  kx2 = kX2
2 0 2
Lors d'une compression ou d'un étirement X
depuis
sa position à vide, le travail de la tension T d'un
ressort de raideur k est :

1
W0  X ( T ) = kX2
2
Si l'extrémité libre du ressort se déplace d'un point A
d'abscisse XA à un
point B d'abscisse XB, l'expression

du travail WAB( T ) est :

1
WAB( T ) = k(XB2 – XA2)
2

Le travail W0  X ( T ) correspond à l'aire du
triangle coloré sur le graphe donnant la valeur T de
la tension en fonction de la déformation x Cette aire
est la somme des aires des rectangles représentant

les travaux élémentaires W( T ) = kxdx pour des
variations infinitésimales dx.
T(N)
kX
kx
A = kxdx
cos  = 1
WAB= F.AB
0 <  < 90°
0 < cos  < 1
1
A = kX2
2
x x + dx
METHODE
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
A F

AB

F
α
A

AB
 = 90°
cos  = 0
F
A
B
90°

B
AB

90° <  < 180° – 1 < cos  < 0
WAB < 0
Travail
résistant
Cos α = 1
WAB = – F.AB
F α
A

B
AB
180°

F

A AB B
ENERGIE MECANIQUE DU PENDULE
ELASTIQUE
Dans la suite, on étudie l'énergie du système ressortsolide en mouvement dans le cas d'un pendule
élastique horizontal, constitué d'un solide de masse m
et d'un ressort de constante de raideur k.
ENERGIE MECANIQUE D’UN
PENDULE HORIZONTAL
Énergie cinétique de translation
Dans le référentiel d'étude, le mouvement d'un solide
peut toujours être décomposé en un mouvement de
translation et un mouvement de rotation. L’énergie
cinétique du solide est une énergie qu'il possède du
fait de ce double mouvement. Lorsqu'il est en
translation, son énergie cinétique se réduit à son
énergie cinétique de translation.
Dans le référentiel d'étude, l'énergie cinétique de
translation E, d'un système de masse m a pour
expression :
EC énergie cinétique en joule (J)

1
EC = mv2 m masse en kilogramme (kg)
2

–2
v vitesse en m.s
Tous les points d'un solide en translation ont le même
mouvement, donc la même vitesse.
X
B

WAB = 0
Travail
nul
 = 180°
L’expression exacte de W0  X ( T ) s’obtient en
considérant des variations de longueur infinitésimales
dx :

WAB > 0
Travail
moteur
=0
x(m)
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ASPECTS ENERGETIQUES (FORCES)
VARIATIONS DE L’ENERGIE
MECANIQUE
Énergie potentielle élastique
En modifiant la longueur à vide d'un ressort (flipper,
stylo à bille...), on lui fournit de l'énergie.
L'énergie emmagasinée par un ressort du fait de sa
déformation est appelée énergie potentielle
élastique. Cette énergie est égale au travail
mécanique de la force qu'on doit exercer pour le
comprimer ou l'étirer, depuis sa position à vide.

Le travail de la tension T d'un ressort déformé
d'une quantité x depuis sa position à vide est :

1
W0  X ( T ) = kx2
2
En prenant comme état de référence l'état où le
ressort n'est ni comprimé ni étiré (énergie potentielle
nulle), l'énergie potentielle élastique Epe du ressort a
donc pour expression :
1 2
kx
2
Epe énergie potentielle élastique–1 en joule (J)
k constante de raideur en N.m
x compression ou étirement en mètre (m)
SYNTHESE
Conservation en l'absence de phénomènes
dissipatifs
Dans la mesure où on peut négliger les frottements,
l'énergie mécanique Em du pendule élastique en
régime libre est constante au cours du temps. Il y a
en permanence transfert d'énergie du solide au ressort
(et vice-versa) tel que :
EC = – Epe.
Quand une grandeur reste constante au cours du
temps, on dit
se conserve.
E qu'elle
(J)
E (J)
Em
Em
EC
EC
Epe =
Plus la compression ou l'étirement est grand, plus
l'énergie emmagasinée est grande. L'énergie
potentielle élastique est une énergie de réserve, qui
peut être ultérieurement convertie en énergie
cinétique.
Énergie mécanique du pendule
Le mouvement du pendule élastique horizontal est un
mouvement de translation rectiligne.
L'énergie mécanique Em d'un pendule élastique
horizontal est la somme de l'énergie cinétique de
translation EC du solide et de l'énergie potentielle
élastique Epe du ressort
Em = EC + Epe , avec Em en joule (J).
Epe
Epe
– xm
O
xm
x (m)– xm
O
En régime libre non amorti, l'élongation x du pendule
élastique est une fonction sinusoïdale du temps, de
période la période propre T 0 Elle prend donc des
valeurs opposées à chaque demi période :
T
T
xt + 0 = – x(t), doù : x2t + 0 = x2(t).
 2
 2
La fonction EPe(t), qui varie en x2, a donc pour
T
période 0.
2
Dans la mesure où on peut négliger les frottements,
l'énergie cinétique EC et l'énergie potentielle élastique
EPe du pendule en régime libre sont périodiques de
T
période 0.
2
EC, Epe (J)
T0
2
Si la masse du ressort est négligeable devant celle du
solide, l'énergie mécanique du pendule s'écrit à
1
1
chaque instant : Em = mv2 + kx2 ,
2
2
où v est la vitesse du solide et x l'élongation du
ressort.
Le centre d'inertie du pendule élastique horizontal
évolue toujours à la même altitude. Il n'est donc pas
nécessaire de comptabiliser l'énergie potentielle de
pesanteur, nulle si l'on prend l’état de référence à
cette altitude.
CLASSEUR Terminale S
O
T0
T0
t (s)
2
La conservation de l'énergie du pendule élastique en
régime libre se traduit par le fait que l'amplitude des
oscillations reste constante.
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xm
x (m)
ASPECTS ENERGETIQUES (FORCES)
Influence des frottements
Dans la pratique, des frottements (au niveau de l'air
ou d'un éventuel support) provoquent une diminution
de l'énergie mécanique Em du pendule élastique en
régime libre.
En présence de frottements, l'énergie mécanique E m
du pendule élastique en régime libre diminue. La
variation d'énergie mécanique est égale au travail
résistant des forces de frottements :
Em = Wfrottement
Si les frottements sont peu importants, la perte
d'énergie mécanique se traduit par une diminution de
l'amplitude des oscillations (régime pseudo–
périodique). Si les frottements sont importants, il n'y
a plus d'oscillations (régime apériodique).
Dans le cas d'oscillations forcées, l'amplitude des
oscillations reste constante, car l'excitateur fournit
l'énergie nécessaire pour compenser les pertes dues
aux frottements.
METHODE
Relier amplitude et vitesse maximale
Au cours des oscillations du pendule élastique,
l'allongement maximal xm du ressort est atteint en
bout de course (la vitesse du solide est nulle) et la
vitesse maximale vm du solide est atteinte lors du
passage par la position d'équilibre (l'élongation du
ressort est nulle).
 On considère l'état 1 du pendule lorsque le
ressort est en bout de course :
1
Em = EC1 + Epe1 = 0 + kxm2
2
 On considère l'état 2 du pendule lors du passage
par la position d'équilibre :
1
Em = EC2 + Epe2 = mvm2 + 0
2
 Dans la mesure où on peut négliger les
frottements, on écrit que l'énergie mécanique Em du
pendule se conserve :
1
1
kx 2 = mvm2, soit kxm2 = mvm2.
2 m 2
On relie ainsi xm et vm sans passer par les équations
horaires :
m
k
xm = v m
ou vm = xm
k
m
SYNTHESE
ENERGIE MECANIQUE DANS LE
CHAMP DE PESANTEUR
TERRESTRE
On étudie l'énergie d'un projectile de masse m en
mouvement dans le champ de pesanteur terrestre
uniforme
LES REFERENTIELS D’ETUDE
Énergie cinétique de translation
Dans le référentiel terrestre, on considère le projectile
en mouvement de translation (tous ses points ont le
même mouvement). Son énergie cinétique se réduit
donc à son énergie cinétique de translation EC :
1
EC = mv2
2
EC énergie cinétique de translation en joule (J)
(kg)
m masse en kilogramme
v vitesse en m.s–1
Énergie potentielle de pesanteur :
L'énergie emmagasinée par un corps du fait de sa
position par rapport à la Terre est appelée énergie
potentielle de pesanteur. Sa variation est égale au
travail mécanique de la force à exercer pour
modifier l'altitude de ce corps, sans lui communiquer
d'énergie cinétique.
Dans le
champ de pesanteur terrestre uniforme,
la


force F à exercer
est l'opposée du poids P . Le
travail de la force F pour élever le centre d'inertie
du corps
de l'altitude
0 à l'altitude z est :


W( F ) = – W( P ) = – mg(0 – z) = mgz
En prenant comme état de référence l'état d'altitude
z = 0 pour le centre d'inertie (énergie potentielle
nulle), l'énergie potentielle de pesanteur EPP d'un
projectile a pour expression :
Epp = mgz
EPP énergie potentielle de pesanteur en joule (J)
m masse en kilogramme (kg) –2
g intensité de la pesanteur m.s
z altitude du centre d'inertie en mètre (m)
Énergie mécanique du projectile
L'énergie mécanique Em d'un projectile dans le
champ de pesanteur terrestre est la somme de son
énergie cinétique EC et de son énergie potentielle de
pesanteur Epp :
Em = EC + Epp, avec Em en joule (J).
Pour un projectile de masse m, dont le centre d'inertie
se déplace à l'altitude z et dont la vitesse de
1
translation est v : Em = mv2 + mgz
2
CLASSEUR Terminale S
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ASPECTS ENERGETIQUES (FORCES)
VARIATIONS DE L’ENERGIE
MECANIQUE
Conservation en l'absence de phénomènes
dissipatifs
Outre son poids exercé par la Terre, un projectile
n'est soumis qu'aux forces exercées par l'air (la
poussée d'Archimède et les forces de frottement
fluide).
Dans la mesure où les forces exercées par l'air sont
négligeables, l'énergie mécanique Em du projectile
est constante au cours du temps. Les variations
d'énergie cinétique et potentielle de pesanteur se
compensent exactement :
EC = – Epp.
SYNTHESE
Exemple :
Dans le cas d'un pendule élastique vertical en régime
libre, les variations d'énergie cinétique du pendule
s'accompagnent de variations de l'énergie potentielle
de pesanteur (variation de l'altitude du centre
d'inertie) et de l'énergie potentielle élastique
(variation de l'allongement du ressort). En l'absence
de frottements, l'énergie mécanique E m du pendule se
conserve.
Dans la mesure où on peut négliger les frottements,
l'énergie mécanique Em d'un système qui évolue
librement est constante au cours du temps.
En présence de frottements, l'énergie mécanique E m
d'un système qui évolue librement diminue au cours
du temps. La variation d'énergie mécanique est égale
au travail résistant des forces de frottements :
Em = Wfrottement
Si le projectile descend, son énergie potentielle EPP
diminue et son énergie cinétique EC augmente
d'autant. Si le projectile s'élève, son énergie cinétique
EC diminue et son énergie potentielle de pesanteur
EPP augmente d'autant.
z (m)
E(J)
B
Em = cte
zB

v0
A
Epp
1
B
mv02
2

zA
EC
A
mgzA
B
A
C
z
O
O
zA
B
z (m)
C x (m)
Trajectoire
Energies
METHODE
Reconnaître les graphes de différentes
formes d’énergie
E (J)
1
2
3
O
t (s)
Influence des frottements
Dans la pratique, les frottements dus à l'air entraînent
une diminution de l'énergie mécanique E m du
projectile en interaction avec la Terre.
En présence de frottements, l'énergie mécanique Em
du projectile diminue. La variation d'énergie
mécanique est égale au travail résistant des forces de
frottements :
Em = Wfrottement
GENERALISATION A UN SYSTEME
QUELCONQUE
Un système quelconque peut posséder différentes
formes d'énergie potentielle correspondant aux
différentes interactions auxquelles il participe :
énergie potentielle de pesanteur Epp, énergie
potentielle élastique Epe …
L'énergie mécanique Em du système est la somme de
son énergie cinétique EC et de toutes les énergies
potentielles : Em =EC + Epe + Epp + …
CLASSEUR Terminale S
Un pendule, écarté de sa position d’équilibre, est
lâché sans vitesse initiale à la date t = 0. On a
représenté 1es variations au cours du temps de
l’énergie cinétique EC, de l’énergie potentielle de
pesanteur Epp et de l’énergie mécanique Em.
 L’énergie mécanique Em est la somme de
l’énergie cinétique EC et de l’énergie potentielle de
pesanteur Epp : la courbe représentant Em s’obtient
par addition des deux autres courbes (courbe 1)
 On étudie les variations de l’énergie potentielle
de pesanteur Epp. Quand on lâche le pendule, il perd
de l'altitude : Epp diminue. Après passage par la
position d'équilibre, le pendule remonte : Epp
augmente. La courbe Epp(t) est décroissante puis
croissante : c'est la courbe 2.
 On étudie les variations de l’énergie cinétique
EC. Quand le pendule perd de l’altitude, sa vitesse
augmente : EC augmente. Après passage par la
position d’équilibre, sa vitesse diminue : EC diminue.
La courbe EC(t) est croissante puis décroissante :
c'est la courbe 3.
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