Introduction à la physique statistique et à la physique

Jean-Noël Roux, Stéphane Rodts et Gabriel Stoltz
Introduction à la physique statistique et à
la physique quantique
6 mai 2014
Cours ENPC - IMI - 2ème année

Avant-propos
La mécanique quantique et la physique statistique, deux domaines essentiels de la physique
moderne, sont à la base de nombreux développements actuels à la frontière de la science des ma-
tériaux, pour lesquels une approche classique macroscopique est inadaptée. Ce cours présente les
concepts fondamentaux de ces disciplines sous un aspect pragmatique, celui de la simulation numé-
rique à l’échelle moléculaire, pour laquelle les mathématiques appliquées apportent des contribu-
tions décisives. La présentation des techniques de simulation dans une approche multidisciplinaire
constitue une voie pédagogique privilégiée pour appréhender concrètement et durablement les no-
tions délicates qui sous-tendent ces théories ; mais c’est également une ouverture vers des outils
numériques aujourd’hui incontournables pour des domaines aussi variés que la physique des hautes
énergie, l’ingénierie nucléaire, les nanotechnologies et l’électronique, la biologie moléculaire et la
pharmaceutique, les matériaux poreux et granulaires, les fluides complexes,...
Ce cours se veut une introduction motivée et motivante à la physique contemporaine. Nous in-
sistons sur le terme d’introduction, tant il y a de points que nous n’aurons pas le temps d’évoquer,
ou de traiter avec l’attention nécessaire. Cependant, l’étudiant intéressé pourra tout naturelle-
ment prolonger, approfondir et s’approprier les éléments théoriques enseignés ici par le biais de
stages, dans le milieu académique ou industriel (CEA, EDF, Lafarge, pour ne citer que quelques
partenaires privilégiés de l’Ecole des Ponts), d’un Master Recherche (par exemple en Analyse
Numérique, en Science des Matériaux, en Physique des Liquides), voire d’une thèse, ou d’une
embauche dans une entreprise désireuse de s’ouvrir aux nouvelles possibilités offertes par l’expéri-
mentation numérique à l’échelle microscopique!
L’objectif de la première partie du cours, consacrée à physique statistique, est de montrer
comment une approche purement microscopique permet de calculer les grandeurs macroscopiques
usuelles de la mécanique et de la thermodynamique : équations d’états, capacités calorifiques,
compressibilités, énergies libres, potentiels chimiques. . . C’est également l’occasion de donner une
définition microscopique de concepts thermodynamiques peu intuitifs tels que l’entropie, ainsi que
son rôle primordial dans les propriétés macroscopiques familières des matériaux. On y illustre enfin
la dynamique des systèmes microscopiques sur un exemple simple, en précisant les relations entre
fluctuations spontanées du système et réponses aux perturbations extérieures. Ces enseignements
s’appréhendent le mieux de manière pratique : c’est pourquoi, au-delà des séances de travaux pra-
tiques sur ordinateur, des mini-projets orientés, fondés sur une technique de simulation et orientés
vers une application physique particulière, viennent compléter la formation.
La seconde partie du cours introduit les concepts fondamentaux de la mécanique quantique
(dualité onde-particule, fonction d’onde, quantification, caractère probabiliste et perturbateur de
la mesure, relations d’incertitude, indiscernabilité des particules, liaison chimique, théorie des
bandes,. . . ), ainsi que leur formalisation mathématique rigoureuse (théorie spectrale des opéra-
teurs auto-adjoints), et les méthodes de simulation numérique associées (pour la résolution pratique
de l’équation de Schrödinger). Nous privilégions la compréhension des concepts sur des exemples

VI Avant-propos
simples traités en profondeur, à partir desquels nous donnons des éléments de généralisation.
C’est la seconde année que ce cours a lieu, et c’est donc également la seconde version seulement
de ce cours écrit ! Nous prions d’avance le lecteur de nous pardonner les erreurs qui ne doivent pas
manquer, et le remercions de nous faire part de toutes les remarques qu’il voudra bien nous faire
pour améliorer cet ouvrage.
Marne-la-Vallée, 1er février 2008
Jean-Noël Roux
Stéphane Rodts
Gabriel Stoltz

Table des matières
Partie I Introduction à la physique statistique
1 Préliminaires .............................................................. 3
1.1 Les constituants de la matière et leurs interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Interactions des particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Origines, ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Modèlessimples.................................................... 6
1.2.3 Conséquences macroscopiques de la forme des interactions . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Physique statistique et simulation moléculaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Description microscopique et statistique des grands systèmes ............... 13
2.1 Système, espace des phases, microétats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Évolution des systèmes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.1 Équations de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.2 Pourquoi adopter le formalisme hamiltonien ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.3 Intégration de la dynamique hamiltonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Comportement des grands systèmes : observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Approche statistique des grands systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.1 Approche de l’équilibre, moyennes et corrélations en temps . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.2 Limite thermodynamique, moyennes et corrélations dans l’espace . . . . . . . . . 24
2.4.3 Ensembles statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Quelques observables courantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5.1 L’énergie et ses fluctuations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5.2 Le tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.3 Microstructure et corrélations de densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Exercices .................................................................... 32
3 Postulat fondamental et ensemble microcanonique .......................... 33
3.1 Le postulat de base et ses conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.1 Macroétat d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.2 Casdugazparfait.................................................. 35
3.1.3 Distribution de Maxwell (cas général) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Entropie,température..................................................... 38
3.2.1 Définition ......................................................... 38
3.2.2 Propriétés de l’entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.3 Couplage thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.4 Les dérivées de la fonction entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.5 Entropie et fluctuations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.6 Discussion......................................................... 42