Partie A : Electrocinétique Avoir compris : Savoir faire :

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Année 2011-2012
Partie A : Electrocinétique
Avoir compris :
Savoir faire :
7
7
7
7
7
Caractère linéaire d’un composant
Modèle de l’AO idéal.
AO en fonctionnement linéaire - non linéaire
Décomposition en séries de Fourier
Analyser le comportement HF et BF d’un circuit.
7 Comportement d’un composant non linéaire
(diode, Zener ...)
– Oscillateurs électriques.
CB
7 Utiliser le théorème de Millman, obtenir une
fonction de transfert
7 Exprimer le module et le déphasage d’une
fonction de transfert,
7 Tracer un diagramme de Bode
7 Trouver un point de fonctionnement
7 Décrire le fonctionnement du comparateur à
hystérésis
7 Circuits classiques avec AO
page : 1
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Chapitre A1 : Bases de l’électrocinétique
Application 1 : Taille maximale d’un circuit
Quelle est la taille maximale d’un circuit pour se placer dans l’ARQS sur le
réseau EDF (f = 50 Hz) ?
2
Partie A : Electrocinétique
7 Courant : Le courant électrique est un déplacement d’ensemble,
ordonné de particules chargées. Le sens du courant est par
convention le sens des charges positives.
7 L’intensité électrique à travers une section S : c’est la charge
qui traverse S pendant dt.
7 Dipôle : Composant électrique constitué de deux bornes
7 Noeud : borne commune à plusieurs dipôles
7 Branche : portion de circuit entre deux noeuds consécutifs
7 Maille : ensemble de branches successives définissant un circuit
fermé
A-2 : Etude des filtres
A-3 : Etude de l’Amplificateur Opérationnel
A-4 : Compléments
Autoroute
Voitures
Altitude
Débit de voitures
Rétrécissement de voies
Aire d’autoroute
Circuit automobile
Lois de Kirchhoff
Définitions :
A-1 : Bases de l’électrocinétique
Kirchhoff
Courant et tension : analogie avec une autoroute
Diode Zener
Circuit électrique
Electrons
Tension
Intensité
Résistance
Condensateur
Bobine électrique
3
Diviseur de tension et de courant
Savoir démontrer №1 : Diviseur de tension
Lois générales dans l’Approximation des régimes quasistationnaires (ARQS)
I
1
vs =
L’Approximation des régimes quasistationnaires
R2
ve
R1 + R2
Savoir démontrer №2 : Diviseur de courant
Définition :
7 Dans l’ARQS, tous les effets liés à la propagation des signaux
sont négligés.
7 L’ARQS est valable si la longueur d’onde λ de l’onde électrique
est grande devant la taille caractéristique ` du circuit, soit λ `
CB
On trouve :
On trouve :
page : 2
i1 =
R2
i
R1 + R2
i2 =
R1
i
R1 + R2
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Application 2 : diviseurs de tension et courant
'
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$
2
En utilisant un diviseur de tension et de
courant, donner la tension vs en fonction
de ve , puis avec le diviseur de courant exprimer i.
&
4
Caractéristiques des composants linéaires
Définitions :
Un composant est linéaire lorqu’il existe soit
7 une relation affine entre u et i soit u = k × i (résistance)
7 une équation différentielle linéaire à coefficients constants
reliant u à i, sans membre constant (par exemple association de
bobines et de condensateurs).
%
Régime transitoire et forcé
3
Exemples de composants linéaires
Définitions :
La résistance vérifie la loi d’Ohm uAB = RiAB en
convention récepteur.
7 régime transitoire :lorsqu’un système électrique subit une perturbation électrique extérieure, il évolue au cours du temps jusqu’à atteindre un régime établi. La durée de ce régime transitoire
est le temps de relaxation.
7 en régime sinusoïdal forcé, le circuit électrique voit sa fréquence imposée par le générateur.
II
1
Circuit avec composants linéaires
Conventions
Le condensateur vérifie les lois : q = Cu
et
i=
dq
dt
La bobine vérifie la loi en convention récepteur : uL =
di
L dt
+ ri
i (t) L
r
u (t)
Pour un condensateur plan, dont les armatures de surface S sont distantes de e, la
capacité est
C=
0 S
e
Pour un conducteur ohmique cylindrique (S, h), de conductivité ρ, la résistance est
R=
CB
page : 3
ρh
S
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3 Continuité de la tension aux bornes d’un condensateur
La tension aux bornes d’un condensateur alimenté reste continue
même lorsque les caractéristiques de l’alimentation varient de
manière discontinue.
3 Continuité du courant dans une bobine
Le courant traversant une bobine, dans un circuit de résistance
non négligeable, reste continu même lorsque les caractéristiques
de l’alimentation varientde manière discontinue.
4
5
Système du second degré
La forme canonique pour un système du second ordre est :
d2 s (t)
ds (t)
+ 2ξω0
+ ω02 s (t) = f (t)
dt2
dt
Propriétés
à connaître
ω0 est la pulsation propre en rad.s−1 et ξ, le coefficient d’amortissement sans dimension.
On peut écrire également cette équation sous la forme
d2 s (t) ω0 ds (t)
+ ω02 s (t) = f (t)
+
dt2
Q dt
Cas du circuit RC
1
on a posé Q = 2ξ
le facteur de qualité, nombre sans dimension.
Savoir démontrer №4 : Différents régimes d’un système du
second degré
Savoir démontrer №3 : Charge et décharge d’un condensateur
7 L’équation différentielle du circuit est
1
1
duc
+
uc =
E
dt
RC
RC
t
7 Pour la charge, on trouve uc = E 1 − exp − RC
7 Pour la décharge à partir de la date t1 , on trouve
t − t1
t > t1 → uc = E exp
RC
III
1
Régime sinusoïdal forcé
Régime linéaire
Définition :
Un circuit est placé en régime linéaire, lorsque tous les composants sont linéaires.
CB
page : 4
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2
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3 La puissance moyenne dissipée dans un composant d’impédance
Z est
1
2
2
Pmoy = Re(Z)Imax
= Re(Z)Ief
f
2
3 On peut aussi l’écrire sous la forme :
Notation complexe
1
jCω
Pour ω → 0 le condensateur se comporte comme un circuit ouvert
Pour ω → ∞ le condensateur se comporte comme un court circuit
3 Pour la bobine ZL = jLω
Pour ω → 0 la bobine se comporte comme un court circuit
Pour ω → ∞ le condensateur se comporte comme un circuit
ouvert
3 Pour le condensateur Zc =
3
Pmoy =
Propriétés
à connaître
IV
1
1
2
2
Re(Y )Umax
= Re(Y )Uef
f
2
Pmoy =
Propriétés
à connaître
1
Re(ui)
2
Composants non linéaires
Diodes
1.a
Diode idéale
1.b
Diode semi-idéale
Valeurs efficaces
Définition :
Soit une fonction périodique du temps u (t), de période T , on note
U sa valeur efficace avec
s
Z
1 T 2
U=
u (t) dt
T 0
Application 3 : Signal sinusoïdal
Pour un signal sinusoïdal de la forme u (t) = umax cos (ωt), U =
4
u√
max
2
Puissance moyenne, facteur de puissance
Définition :
La puissance moyenne est Pmoy =
CB
1
T
RT
0
P (t)dt
page : 5
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1.c
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Diode non idéale
Application 4 : diode réelle
'
2
CB
Application au redressement
4
Impédance d’entrée et de sortie
$
7 Donner le courant électrique dans le circuit en supposant que la diode est idéale.
7 Dans un second temps en supposant que
la diode est réelle.
&
3
Définition :
%
Diode Zener
page : 6
7 L’impédance d’entrée Ze , d’un quadrupole linéaire est le rapport de la tension d’entrée au courant entrant avec le
schéma donné dans la figure ci-dessous.
7 L’impédance de sortie est l’impédance équivalente du modèle de thèvenin équivalent au quadrupole qui apparait entre ses
bornes de sortie.
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Savoir démontrer №5 : Détermination de la résistance d’entrée
Principaux théorèmes
V
Pour déterminer la résistance d’entrée d’un quadrupole, on fait varier la résistance Rv et
Ug
→ Re = Rv
(A.1)
lorsque Ue =
2
1
Théorème de Millman (très important)
$
Application 5 : théorème de Millman
'
A l’aide du théorème de Millman, donner le
courant i circulant dans la résistance R.
&
! Attention...
4
2
%
A ne pas utiliser à la sortie d’un amplificateur opérationnel (sinon, il faut ajouter la variable is courant de sortie
de l’AO).
Equivalences de Thévenin et Norton
$
Application 6 : modèle de Thévenin
'
En
utilisant
des
subsitutions
de
proche
en
proche,
donner
le
générateur
équivalent
au
générateur
suivant.
Le
représenter
en
notation
de
Thévenin
puis
de
Norton.
Savoir démontrer №6 : Détermination de la résistance de sortie
Pour déterminer la résistance de sortie d’un quadrupole, on mesure la tension
de sortie à vide Uv , puis la tension de sortie avec une charge Rc variable, notée
Us
lorsque Us =
CB
Uv
→ Rs = Rc
2
(A.2)
&
3
%
Théorème de superposition
L’état électrique d’un circuit linéaire comportant une distribution quelconque de
sources indépendantes (tension et courant) est obtenu en superposant les états associés
à chaque source supposée seule dans le circuit :
3 l’intensité du courant circulant dans une branche est la somme des intensités produite par chaque source seule (les autres étant éteintes)
page : 7
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3 la tension aux bornes d’un dipôle est la somme des tensions produites par chaque
source supposée seule.
Application 7 : théorème de superposition
'
$
A l’aide du théorème de superposition, donner le courant i circulant
dans la résistance R.
&
! Attention...
4
CB
%
Ne pas éteindre les sources commandées lors de l’utilisation du théorème de superposition.
page : 8
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Chapitre A2 : Etude des Filtres
Partie A : Electrocinétique
Application 1 : Expression de H
'
Exprimer la fonction de transfert pour le
montage suivant.
$
R
L
Ue (t)
C
R
Us (t)
A-1 : Bases de l’électrocinétique
A-2 : Etude des filtres
&
A-3 : Etude de l’Amplificateur Opérationnel
A-4 : Compléments
Fourier
I
1
Filtre passe-bande
2
%
Relation avec l’équation différentielle du circuit
Le circuit étant linéaire, il existe une équation différentielle linéaire entre la grandeur
de sortie s et la grandeur d’entrée e, soit
Définitions
Fonction de transfert
an
dn s
ds
dm e
de
+ ... + a1
+ a0 s = bm m + ... + b1
+ b0 e
n
dt
dt
dt
dt
Définition :
La fonction de transfert en tension s’écrit
H (jω) =
Définition :
s
e
L’ordre du circuit est l’ordre de l’équation différentielle et s’identifie donc à l’ordre de la fonction de transfert.
Après calcul, H s’écrit donc sous la forme d’un quotient de 2 polynômes
N (jω)
H (jω) =
D (jω)
Définitions :
L’ordre de la fonction de transfert correspond à à l’ordre le
plus élevé des polynômes D ou N .
Les racines du polynôme N sont les zéros de la fonction de transfert H.
Les racines du polynôme D sont les pôles de la fonction de transfert H.
CB
Application 2 : retrouver l’équation différentielle du circuit à par'
tir de H
On s’intéresse au circuit ci-contre.
1. Etablir la fonction de transfert du circuit
donné.
2. En déduire l’équation différentielle associée.
&
page : 9
C
Ue (t)
$
L
R
Us (t)
%
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3
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Stabilité d’un circuit
Définition :
Un montage est dit stable lorsque sa tension de sortie reste bornée
pour une tension d’entrée bornée.
Les critères de stabilité d’un circuit linéaire
(ordre 1 ou 2)
Soit
N (jω)
H=
D (jω)
avec
! Attention...
4
N (jω) =
n
X
bk (jω)
k
k=0
D (jω) =
m
X
ak (jω)
II
k
k=0
Un filtre d’ordre 1 ou 2 a un fonctionnement linéaire
stable en régime libre si tous les coefficients du dénominateur D (jω) de H sont de même signe.
Il est stable en régime sinusoïdal forcé, si de plus,
7 a1 est non nul et ;
7 degré de N (jω) < degré de D (jω).
4
1
Papier semi-logarithmique
Définition :
C’est l’ensemble des deux graphes qui donnent en fonction de la
fréquence f , de la pulsation ω ou encore de la grandeur réduite x =
ω
f
=
:
f0
ω0
7 le gain en décibel GdB = 20 log|H|
7 le déphasage Φ.
Comportement intégrateur, dérivateur
e
Dérivateur : lorsque la fonction de transfert est égale à H = jx → vs = ω10 dv
dt IntégraR
1
teur : lorsque la fonction de transfert est égale à H = jx
→ vs = ω10 ve dt
CB
Diagramme de Bode
En général, ces graphiques sont construits sur papier semi-logarithmique (voir cicontre)
page : 10
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Application 3 : Placer correctement des points sur papier semi'
log
En
TP,
le
signal
f
( kHz)
Vs
( V)
$
on
effectue
les
mesures
d’amplitude
suivantes ;
d’entrée
présente
une
amplitude
Ve
=
1
V.
0,5
1
2
10
15
20
50
100
200
500
0,999
0,999
0,989
0,775
0,623
0,514
0,236
0,121
0,067
0,024
Pour exprimer la valeur du déphasage, on donne
en général la valeur de tan ϕ
tan ϕ =
avec
GdB
1. Compléter soigneusement le graphe donnant le gain en décibels en fonction
de la fréquence.
2. En déduire la nature du filtre.
3. Tracer les asymptotes.
4. Mesurer graphiquement la bande passante de ce filtre.
&
2
Déphasage
2.a
Im (H)
Re (H)
Définitions
ϕ ∈ ]−π, π]
Dans cet intervalle, pour une valeur de tan ϕ donnée, ϕ peut prendre deux valeurs (voir figure cicontre)
%
Donner la valeur de tan ϕ est donc insuffisant.
On est donc ammené à étudier le signe de sin ϕ
ou cos ϕ. Dans la pratique, on étudiera le signe sur
l’expression la plus simple. Dans tous les cas le dénominateur |H| > 0.
Définition :
Im (H)
|H|
Re (H)
cos ϕ =
|H|
En régime sinusoïdal forcé, on a :
ve
= vem cos (ωt + ϕe )
vs
=
sin ϕ =
vsm cos (ωt + ϕs )
En notation complexe, la fonction de transfert H peut s’exprimer
en fonction de son module |H| et de sa phase ϕ
(A.3)
(A.4)
On a résumé dans le tableau suivant les différents cas :
H = |H|ejϕ
On note ϕ le déphasage de la tension de sortie par rapport à la
tension d’entrée
ϕ =
2.b
CB
ϕs − ϕe = arg (H)
tan ϕ > 0
sin ϕ < 0 ⇒ ϕ ∈ [−π, − π2 ]
sin ϕ > 0 ⇒ ϕ ∈ [0, π2 ]
Propriétés
page : 11
tan ϕ < 0
sin ϕ < 0 ⇒ ϕ ∈ [− π2 , 0]
sin ϕ > 0 ⇒ ϕ ∈ [ π2 , π]
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Si H =
D’où
Remarque :
! Attention...
4
1
alors ϕ0 = arg (G) = − arg (H) = −ϕ.
G
Im (G)
tan ϕ = −
Re (G)
Im (G)
Re (G)
sin ϕ = −
et cos ϕ =
|G|
|G|
(A.5)
Vs = 0
Vs 6= 0
Hautes Fréquences
Vs 6= 0
Passe-haut
Coupe-bande ou réjecteur de fréquences
(A.6)
Cette méthode de calcul de la phase ne s’applique pas pour
des fonctions de transfert dont le numérateur est différent
de 1, comme
H=
Basses
fréquences
Vs = 0
Passe-bande
Passe-bas
Définition :
La bande passante à -3 dB est l’ensemble ds pulsations pour
lesquelles la fonction de transfert vérifie
jx
jx
ou H =
1 + jx
1 + jx − x2
|H| (ω) ≥
|H|max
√
⇔ GdB ≥ GdB max − 3dB
2
Les pulsations de coupures ωc vérifient l’égalité |H| (ωc ) =
2.c
III
1
|H|max
√
2
Allure de la courbe de réponse en phase
Etude des filtres
Prévoir la nature d’un filtre sans calcul
1. Remplacer les condensateurs et les bobines du circuit réel par leurs modélisations
basses fréquences (resp. hautes fréquences)
2. Déterminer si la tension Vs s’annule ou non pour le circuit simplifié
3. Reprendre ces deux étapes aux hautes fréquences.
4. Conclure sur la nature du filtre suivant ce tableau récapitulatif
CB
page : 12
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2
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Méthode générale
4.b
Intégrateur
Point méthode 1. Calcul de la fonction de transfert H
2. Discuter de la nature du filtre
7 en se ramenant à une forme canonique usuelle ;
7 en étudiant le comportement asymptotique de la fonction
3. Donner les expressions de son module |H| et du gain en décibels GdB
4. Diagramme de Bode
7 description et équation des asymptotes (attention au gain statique)
7 étude de tan ϕ
7 tracé des 2 courbes
7 Repérer les pulsations de coupure.
3
Bilan des filtres à connaître
4
5
Filtres du deuxième ordre
IV
1
Filtrage et analyse de Fourier
Décomposition d’un signal, rôle du filtre
Tout signal f (t) périodique de période T (soit ω = 2π
T ), peut se décomposer en une
somme de fonctions sinusoïdales. Cette somme comporte une infinité de termes , on lui
donne le nom de série. On a l’égalité suivante :
f (t)
=
f (t)
=
a0
+ a1 cos (ωt) + b1 sin (ωt) + a2 cos (2ωt) + b2 sin (2ωt) + ...
2
∞
a0 X
[an cos (nωt) + bn sin (nωt)]
+
2
n=1
Les nombres réels ak et bk se calculent par les formules suivantes :
an
Filtres du premier ordre
bn
4.a
Dérivateur
=
=
2
T
2
T
Z
t0 +T
t0
Z t0 +T
f (t) cos (nωt) dt
f (t) sin (nωt) dt
t0
où t0 est une date arbitraire (le calcul de l’intégrale ne dépend pas de t0 ).
– an et bn sont les coefficients dePFourier de f d’ordre n ; on a limn→∞ an = 0 et
∞
limn→∞ bn = 0 et laPsérie a20 + n=1 [an cos (nωt) + bn sin (nωt)] est convergente.
p
a0
– Si on calcule 2 + n=1 an cos (nωt) + bn sin (nωt), on écrit le développement de
Fourier de la fonction f à l’ordre p.
– Si la fonction f est paire alors ∀n, bn = 0
– Si la fonction est impaire alors ∀n, an = 0
– Si la fonction est symétrique par rapport à l’axe des x, alors a0 = 0.
CB
page : 13
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2
CB
Exemples
Année 2011-2012
3
Espace temporel et espace des fréquences
4
Filtrage d’un créneau par une filtre passe bande
page : 14
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5
CB
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Test de linéarité
page : 15
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Chapitre A3 : Etude de l’Amplificateur Opérationnel
Partie A : Electrocinétique
On peut donc différentier deux régimes de fonctionnement
que l’on résume sur le diagramme ci-contre.
7 Le régime linéaire pour −m ≤ ≤ m
7 Le régime saturé dans les autres cas.
2
A-1 : Bases de l’électrocinétique
A-2 : Etude des filtres
Résistances d’entrée et de sortie
Définitions :
A-3 : Etude de l’Amplificateur Opérationnel
7
A-4 : Compléments
On note Re la résistance d’entrée
de l’AO, c’est la résistance équivalente
à l’AO vue de l’entrée.
Re =
v+ − v−
ie
7 On note Rs la résistance de sortie de l’AO, c’est la résistance équivalente hévenin de l’AO vue de la sortie.
us = A + Rs is
Amplificateur Opérationnel
I
1
Composant
Par convention, les courants ie et is entrent dans l’AO.
Description de l’AO
3
Amplificateur opérationnel
Modèle de l’AO idéal
7
7
7
7
Impédance d’entrée Re infinie
Impédance de sortie Rs = 0
Gain statique est infini → = 0
Il comporte tout de même des saturations
7 us reste constante quelle que soit la
charge
Définitions :
7 Un AO est une composant actif alimenté en continu (en général
entre +15 V et −15 V ), présentant deux entrées appelées entrées
inverseuse (−) et non inverseuse (+).
7 Ce composant est conçu pour réaliser une amplification différentielle en tension :
vs = A (v+ − v− ) = A
tant que
|vs | ≤ VSat
4
Propriétés
à connaître
Fonctionnement linéaire, non linéaire
7 A ' 10 est le gain et la tension différentielle.
6
Définitions :
CB
page : 16
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7 En zone (ou régime) linéaire, on a → 0 et A → ∞, et
v+ = v−
tant que
|vs | ≤ VSat
7 En zone saturée, 6= 0 et
vs = signe () × VSat
7 Lorsqu’une impédance relie l’entrée inverseuse et la sortie,
l’AO est en régime linéaire
7 Lorsqu’une impédance relie l’entrée non-inverseuse et la
sortie, l’AO est en régime saturé.
7 Si les deux bornes sont reliées à la sortie, il faut étudier l’équation différentielle pour connaitre le régime.
Propriétés
à connaître
Voici une description des courants de polarisation :
II
1
Défauts statiques de l’AO réel
Saturations en tension et en courant
Définition :
7 La tension de sortie est limitée aux valeur +VSat ' 15V et
−VSat , dans ce domaine l’AO a donc un fonctionnement non
linéaire.
7 La valeur absolue de l’intensité du courant de sortie d’un AO
est limité à la valeur iSat ' 20 mA.
2
Tension de décalage et courants de polarisation
Expérimentalement, on observe une différence de tension entre la borne inverseuse et
non inverseuse différente de , Le schéma d’un AO réel peut être décrit comme celui de la
figure ci-dessous :
CB
page : 17
US = Ai
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III
1
Année 2011-2012
Comportement dynamique
IV
1
Fonction de transfert dynamique
Montages classiques linéaires
Amplificateur non inverseur
Savoir démontrer №1 : Amplificateur non inverseur
Définitions :
7 l’AO peut être modélisé par un filtre passe-bas du premier
ordre :
A0
A=
1 + j ff0
7 La fonction de transfert avec un AO idéal est
7 A0 ' 105 est le gain statique, f0 est la fréquence de coupure
f0 ' 10 Hz.
7 La fonction de transfert est
H =1+
H=
1+
R2
R1
A0
A0 R1
R1 +R2
+ jx
7 En déduire que ce montage est stable.
2
Slew-rate
La pente du signal de sortie :
dVs
dt
est bornée à une valeur maximale nommée slew-rate :
sr
dVs dt ≤ sr
2
Suiveur
3
Amplificateur inverseur
(A.7)
Cela provoque une déformation du signal comme on peut l’observer sur le schéma suivant :
CB
page : 18
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4
Année 2011-2012
Intégrateur
7
Sommateur inverseur
8
Soustracteur
Savoir démontrer №2 : Intégrateur
Le pseudo-intégrateur est réalisé en plaçant
une résistance R0 en parallèle avec C, on
trouve alors
H=−
R0
R
1 + jR0 Cω
Ce montage est intégrateur pour ω 5
1
R0 C
Dérivateur
Savoir démontrer №3 : Dérivateur
Le pseudo-dérivateur est réalisé en plaçant
une résistance R0 en série avec C, on trouve
alors
jRCω
H=−
1 + jR0 Cω
Ce montage est dérivateur pour ω 6
Montages classiques avec AO non-linéaire
V
1
Comparateur simple
2
Comparateur à hystérésis
1
R0 C
Déphaseur
2.a
le comparateur à hystérésis inverseur
Méthode pour obtenir la courbe vs = f (ve )
CB
page : 19
Lycée Masséna - Nice
Notes de cours - PC*
Année 2011-2012
La tension extérieure est de la forme e (t) = emax cos (ωt)
L’AO est idéal en régime non linéaire.
ε=
R2
Vs − e (t)
R2 + R1
2
On note VB± = ± R2R+R
Vsat les tensions de bascule du
1
montage.
Pour e (t) = −emax , VS = Vsat . L’AO va rester à Vsat ,
tant que e (t) < VB− .
Pour e (t) > VB− , VS = −Vsat , L’AO va rester à Vsat , tant que e (t) > VB+
La deuxième bascule a lieu pour e (t) = VB+
On obtient le schéma donné ci-dessous.
2.b
CB
Comparateur non inverseur
page : 20
Lycée Masséna - Nice