ccp2012 banqoral

Banque d'exercices pour l'épreuve orale de mathématiques
de la lière MP des concours communs polytechniques
A cette épreuve, les élèves ont deux exercices à résoudre. Le premier, noté sur 8 points, porte
sur des notions fondamentales du programme. Il s'agit de questions de cours ou d'exercices
d'applications classiques, gurant dans la liste ci-jointe.
Cette banque est constituée de 120 énoncés, 60 d'analyse et 60 d'algèbre-géométrie.
Précisions :
Lorsqu'il est demandé de démontrer , l'élève doit faire une démonstration de la propriété
indiquée, et ne pas se contenter de faire appel à un résultat direct de cours. Cette remarque
concerne essentiellement les questions de cours.
Ces 120 énoncés recouvrent une grande partie du programme. L'étude d'une telle banque
peut donc permettre aux candidats de mieux se préparer, en conance, à l'oral bien sûr, mais
aussi à l'écrit.
Je tiens à remercier l'ensemble des interrogateurs du concours MP pour leur contribution à
l'établissement de cette banque et plus particulièrement, Alain Calvez, Mathieu Fructus, Bruno
Harington, Marie-Françoise Lallemand, Antoine LLuel et Jean-Paul Logé.
La contribution de Ludovic d'Estampes a été très importante ; je l'en remercie profondément.
André Antibi,
Coordonnateur de l'oral de mathématiques
au concours commun polytechniques, lière MP
1
Algèbre et géométrie
2
Exercice 1
Soient θ ∈ R et n ∈ N∗ . Décomposez en produit de polynômes irréductibles dans C[X], puis
dans R[X] le polynôme :
P = X 2n − 2X n cos (nθ) + 1 .
Exercice 2
On considère les polynômes P = 3X 4 − 9X 3 + 7X 2 − 3X + 2 et Q = X 4 − 3X 3 + 3X 2 − 3X + 2.
Décomposez P et Q en facteurs premiers sur R[X], puis sur C[X] (on pourra calculer les
valeurs de P et de Q en 1 et en 2).
2. Déterminez le ppcm et le pgcd des polynômes P et Q.
1.
Exercice 3
On considère les polynômes de C[X] suivants : P = 2X 4 − 3X 2 + 1 et Q = X 3 + 3X 2 + 3X + 2.
Décomposez en facteurs premiers de P dans C[X] (on pourra calculer les valeurs de P en
1 et en -1).
2. Décomposez en facteurs premiers de Q dans C[X] (on pourra calculer la valeur de Q en
-2).
3. a) Déduisez des questions 1. et 2. qu'il existe deux polynômes U et V tels que P U +
QV = 1.
b) Indiquez une méthode pour déterminer deux polynômes U et V en utilisant l'algorithme d'Euclide.
1.
Exercice 4
On considère la fraction rationnelle R =
X5 + X4
.
(X − 2)2 (X + 1)2
Décomposez R en éléments simples.
2. Déterminez les primitives de la fonction x 7−→ R(x) sur l'intervalle ] − 1; 2[.
1.
Exercice 5
Soit E l'espace vectoriel des polynômes à coecients dans K (= R ou C) de degré inférieur ou
égal à n et f l'endomorphisme de E déni par : f (P ) = P − P 0 .
Démontrez que f est bijectif de deux manières :
a) sans utiliser de matrice de f ,
b) en utilisant une matrice de f .
2. Soit Q ∈ E. Trouvez P tel que f (P ) = Q .
(n+1)
Indication : si P ∈ E , quel est le polynôme P
?
1.
Exercice 6
Soit la matrice A =
1 2
2 4
et f l'endomorphisme de M2 (R) déni par : f (M ) = AM.
Déterminez Ker f .
2. f est-il surjectif ?
3. Trouvez une base de Kerf et une base de Imf.
1.
3
Exercice 7
1. Démontrez
que si A et B sont deux matrices carrées d'ordre n alors AB et BA ont même
trace.
2. Déduisez-en qu'en dimension nie toutes les matrices d'un même endomorphisme ont
même trace.
3. Démontrez que si A et B sont semblables alors, pour tout k ∈ N, Ak et B k ont même
trace.
Exercice 8
On note Mn (C) l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coecients complexes.
Pour A = (ai,j ) 16i6n ∈ Mn (C), on pose : kAk = sup |ai,j |.
16j6n
16i6n
16j6n
1.
Démontrez que kABk 6 n kAk kBk, puis que, pour tout entier p > 1, kAp k 6 np−1 kAkp .
2.
Démontrez que, pour toute matrice A ∈ Mn (C), la série
gente.
Est-elle convergente ?
Exercice 9
X Ap
p!
est absolument conver-
Soit Φ l'endomorphisme de Rn [X] déni par : P (X) 7−→ P (X) − P (X − 1).
Φ
Donnez la matrice de Φ dans la base canonique de Rn [X] et déduisez-en Im Φ et Ker Φ.
Exercice 10
Soit E un espace vectoriel sur R ou C et f , g deux endomorphismes de E tels que : f ◦ g = Id.
Démontrez que : Ker(g ◦ f ) = Ker f .
2. Démontrez que : Im(g ◦ f ) = Im g .
3. Démontrez que : E = Kerf ⊕ Im g .
1.
Exercice 11
Soit un entier n > 1. On considère la matrice carrée d'ordre n à coecients réels :

2
−1
0
···
0

. 

.
−1 2 −1 . . .. 


... ...
A=
0
 0 −1

 . .

.
.
.
.
 .
.
. 2 −1
0 · · · 0 −1 2
Pour n > 1, on désigne par Dn le déterminant de A.
1. Démontrez que Dn+2 = 2Dn+1 − Dn .
2. Déterminez Dn en fonction de n.
3. Justiez que la matrice A est diagonalisable. Le réel 0 est-il valeur propre de A ?
4
Exercice 12
Soit E un espace vectoriel de dimension n sur R, (ei ) une base de E et v1 , v2 , . . . , vn n vecteurs
de E .
1. Démontrez qu'il existe un unique endomorphisme f de E tel que,
∀i ∈ {1; 2; . . . ; n}, f (ei ) = vi .
2.
On note L(E) l'espace vectoriel des endomorphismes de E , et Mn (R) l'espace vectoriel des
matrices carrées n × n à coecients réels. Pour tout u de L(E), on pose : ϕ(u) = Mat(ei ) u
(Mat(ei ) u désignant la matrice de u dans la base (ei )).
a) Démontrez que l'application ϕ de L(E) dans Mn (R) est linéaire et bijective.
b) Déterminez la dimension de l'espace vectoriel L(E).
Exercice 13
Soit E un espace vectoriel de dimension n sur R. On note L(E) l'ensemble des endomorphismes
de E et Mn (R) l'ensemble des matrices carrés n × n à coecients réels. On admet que L(E)
muni des lois + et ◦ est un anneau, et que Mn (R) muni des lois + et × est un anneau.
1. Précisez l'élément neutre pour la loi ◦ dans L(E) et l'élément neutre pour la loi × dans
Mn (R).
2. (ei ) désignant une base de E , on pose, pour tout u de L(E), ϕ(u) = Mat(ei ) u (Mat(ei ) u
désignant la matrice de u dans la base (ei )).
a) Démontrez que ϕ est un isomorphisme d'anneau de L(E) dans Mn (R).
n
)
=
Mat
u
.
b) Démontrez que, pour tout u ∈ L(E), Mat(ei ) (u
◦
u
◦
·
·
·
◦
u
(e
)
i
{z
}
|
n
fois
Exercice 14
Soit E un espace vectoriel de dimension n.
1. Soit {e1 , e2 , . . . , en } une base de E . Démontrez que pour tout i = 2, 3, . . . , n, {e1 + ei , e2 , . . . , en }
est une base de E .
2. Déterminez tous les endomorphismes de E dont la matrice est diagonale dans toute base
de E .
Exercice 15
Soit f un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension n.
1. Démontrez que : E = Imf ⊕ Kerf =⇒ Imf = Imf 2 .
2. a) Démontrez que : Imf = Imf 2 ⇐⇒ Kerf = Kerf 2 .
b) Démontrez que : Imf = Imf 2 =⇒ E = Imf ⊕ Kerf .
Exercice 16
N.B : Les deux questions sont indépendantes.
1.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et soit f un endomorphisme de E . On
note L (E)
n l'espace vectoriel
o des endomorphismes de E . Démontrez que, dans L (E), la
2
n2
famille Id, f, f , · · · , f
est liée et déduisez-en que f admet un polynôme annulateur
non identiquement nul.
5
2.
Soit f un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension nie et λ une valeur propre
de f .
Démontrez que si P est un polynôme annulateur de f alors : P (λ) = 0.
Exercice 17
Soit u un endomorphisme d'un espace vectoriel E sur le corps K (= R ou C). On note K[X]
l'ensemble des polynômes à coecients dans K.
1. Démontrez que :
∀(P, Q) ∈ K[X] × K[X], (P Q)(u) = P (u) ◦ Q(u) .
2.
Démontrez que : ∀(P, Q) ∈ K[X] × K[X], P (u) ◦ Q(u) = Q(u) ◦ P (u) .
b) Démontrez que pour tout (P, Q) ∈ K[X] × K[X] :
a)
(P polynôme annulateur de u)=⇒ (P Q polynôme annulateur de u)
−1 −2
3. Soit A =
. Écrivez le polynôme caractéristique de A, puis déduisez-en que le
1
2
polynôme R = X 4 + 2X 3 + X 2 − 4X est un polynôme annulateur de A.
Exercice 18
Soit E l'ensemble des matrices de la forme M (a, b) =
réels.
a b
−b a
où a et b sont des nombres
Démontrez que E est un sous-espace vectoriel et un sous-anneau de M2 (R). Quelle est
sa dimension ?
2. On pose ϕ(a + ib) = M (a, b). Démontrez que ϕ est un isomorphisme d'espaces vectoriels
de C sur E , C étant considéré comme un espace vectoriel de dimension 2 sur R.
Est-il un isomorphisme d'anneaux ?
1.
Exercice 19
p désigne un entier naturel non nul.
On considère dans Z la relation d'équivalence R dénie par : x R y ⇐⇒ ∃k ∈ Z tel que
x − y = kp.
On note Z/pZ l'ensemble des classes d'équivalence pour cette relation R.
déf.
Quelle est la classe d'équivalence de 0 ? Quelle est celle de p ?
2. Donnez soigneusement la dénition de l'addition usuelle et de la multiplication usuelle
dans Z/pZ.
3. On admet que muni de ces opérations, Z/pZ est un anneau.
Démontrez que Z/pZ est un corps si et seulement si p est premier.
1.
Exercice 20
On note Sn l'ensemble des permutations de l'ensemble constitué par les n premiers entiers non
nuls {1; 2; 3; . . . ; n}.
1. Démontrez que, muni de la loi ◦, Sn est un groupe.
6
2.
On note σ l'élément de S8 déni de la manière suivante :
1 2 3 4 5 6 7 8
5 4 1 7 8 6 2 3
l'image de chaque terme de la première ligne étant écrit juste en dessous.
a) Démontrez que la permutation σ est égale à la composée de deux cycles que l'on
précisera.
b) On note σ n la permutation |
σ ◦ σ ◦{z· · · ◦ σ}.
Déterminez σ 12 , σ 24 , σ 4 et σ 2016 .
n
fois
Exercice 21
1. u est un
endomorphisme d'un K-espace vectoriel E de dimension nie n et I désigne
l'application identité de E .
Rappelez la dénition d'une valeur propre puis démontrez que :
(λ valeur propre de u) ⇐⇒ (det (u − λI) = 0)
Déduisez-en que u admet au plus n valeurs propres distinctes.
2. Trouvez un endomorphisme de R2 admettant comme valeurs propres 0 et 1 .

0 a c
Soit la matrice M =  b 0 c  où a, b, c sont des réels.
b −a 0
Exercice 22

est-elle diagonalisable dans M3 (R) ?
2. M est-elle diagonalisable dans M3 (C) ?
1. M

1 −1 1
Soit la matrice A = −1 1 −1 .
1 −1 1
Exercice 23

Démontrez que A est diagonalisable de quatre manières :
a) sans calculs,
b) en calculant directement le déterminant det(A − λI3 ), où I3 est la matrice identité
d'ordre 3, et en déterminant les sous-espaces propres,
c) en utilisant le théorème du rang,
d) en calculant A2 .
2. On suppose que A est la matrice d'un endomorphisme u d'un espace euclidien dans une
base orthonormée.
a) Que peut-on dire de l'endomorphisme u ?
b) Trouvez une base orthonormée dans laquelle la matrice de u est diagonale.
1.

1 1 a
On considère la matrice A = 0 2 0 où a est un nombre réel.
0 0 a
Exercice 24

7
Quel est le rang de A ? La matrice A est-elle inversible ?
2. A est-elle diagonalisable ?
1.
Exercice 25


0 0 1
Soit A = 1 0 0 ∈ M3 (C) .
0 1 0
Déterminez les valeurs propres et les vecteurs propres de A. A est-elle diagonalisable ?
2. Soit (a, b, c) ∈ C3 et B = aI3 + bA + cA2 , où I3 désigne la matrice identité d'ordre 3.
Déduisez de la question 1. les éléments propres de B .
1.
Exercice 26
On considère dans l'espace vectoriel R3 la projection vectorielle f sur le plan d'équation x +
x
y
z
y + z = 0, parallèlement à la droite d d'équation = = .
1
2
3
Trouvez simplement une base de R dans laquelle la matrice de f est diagonale.
2. Déduisez-en la matrice de f dans la base canonique de R3 .
1.
3
Exercice 27
Soit f un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension n, et soit {e1 , . . . , en } une base
de E .
On suppose que f (e1 ) = f (e2 ) = · · · = f (en ) = v , où v est un vecteur donné de E .
f est-il diagonalisable ? (discutez en fonction du vecteur v )
Exercice 28
2
1. On pose A =
1
. Déterminez les valeurs propres et les vecteurs propres de A.
4 −1
3 0
2. Déterminez toutes les matrices qui commutent avec la matrice
et déduisez-en
0 −2
l'ensemble des matrices qui commutent avec A.
Exercice 29
1. On considère


1 1 −1
la matrice A = 0 2 1 .
0 0 3
Déterminez les valeurs propres de A puis une base de vecteurs propres associés.
b) Déterminez la matrice de passage P de la base initiale à la base de vecteurs propres,
puis sa matrice inverse P −1 .
a)
 0
 x =x+y−z+t
y 0 = 2y + z + 1
2. On considère le système diérentiel
, x, y, z désignant trois fonc 0
z = 3z
tions de la variable t, dérivables sur R.
Résolvez ce système diérentiel en utilisant la question 1.
8
Exercice 30
On considère la matrice A =
−1 −4
.
1
3
Démontrez que A n'est pas diagonalisable.
2. On note f l'endomorphisme de R2 canoniquement associé
à A. Trouvez une base (v1 , v2 )
1.
de R2 dans laquelle la matrice de f est de la forme
3.
a b
.
0 c
Déduisez-en une méthode de résolution du système diérentiel
x0 = −x − 4y
.
y 0 = x + 3y


0 −2 2
On considère la matrice A = −3 1 3 .
−1 1 3
Exercice 31
 
1
1. Démontrez que λ = 2 est valeur propre de A et que V = 0 est un vecteur propre
1
associé.
On admet que A admet deux
valeurs propres −2 et 4 avec comme vecteurs propres
 autres
 
1
0
0
1
respectivement associés 1 et 1.
2.
On considère les suites (an )n∈N , (bn )n∈N , (cn )n∈N dénies par leurs premiers termes a0 , b0 , c0
et :

∀n ∈ N,
 an+1 = −2bn + 2cn
bn+1 = −3an + bn + 3cn

cn+1 = −an + bn + 3cn
On suppose que a0 = 2, b0 = 2 et c0 = 0.
Calculez an , bn et cn en fonction de n.
Exercice 32
Soit E un R-espace vectoriel de dimension 3 et e = (e1 , e2 , e3 ) une base de E .
On considère la forme quadratique q dénie sur E par :
q (v) = x2 + y 2 + z 2 + 2xz
où v est le vecteur de coordonnées (x, y, z) dans la base e.
Quelle est la matrice A de q dans la base e ?
2. Déterminez les valeurs propres et les vecteurs propres de A.
3. Indiquez une méthode pour trouver une base e0 telle que si v a pour coordonnées (X, Y, Z)
dans la base e0 , alors q (v) soit de la forme αX 2 + βY 2 + γZ 2 .
1.
Exercice 33
1. Démontrez
scalaire.
l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans un espace vectoriel réel muni d'un produit
: on considèrera kx + λyk2 .
2. Dans quel cas a-t-on égalité ?
Indication
9
Exercice 34
Soit E un espace euclidien et A un sous-espace vectoriel de E .
Démontrez que E = A ⊕ A⊥ .
Indication : on admettra le fait que toute famille orthonormale de E peut être complétée
en une base orthonormale de E .
⊥
= A.
2. Démontrez que A⊥
1.
Exercice 35
Soit E un espace euclidien et F, G des sous-espaces vectoriels de E .
Démontrez que (F + G)⊥ = F ⊥ ∩ G⊥ .
⊥
2. Démontrez que (F ∩ G) = F ⊥ + G⊥ .
1.
Exercice 36
Soit E un espace euclidien et u un endomorphisme de E. On note (x|y) le produit scalaire de
x et de y .
Soit u un endomorphisme de E , tel que : ∀x ∈ E, ||u(x)|| = ||x||.
a) Démontrez que : ∀(x, y) ∈ E 2 (u(x)|u(y)) = (x|y).
b) Démontrez que u est bijectif.
2. Démontrez que l'ensemble des endomorphismes orthogonaux de E , muni de la loi ◦ , est
un groupe.
1.
Exercice 37
1. Soit h une
fonction continue et positive de [a, b] dans R.
Démontrez que :
Zb
h(x)dx = 0 =⇒ h = 0 .
a
2.
Soit E le R-espace vectoriel des fonctions continues de [a, b] dans R. On pose, pour tout
f et tout g de E , (f |g) =
Zb
scalaire sur E .
3.
Majorez
Z1
√
f (x)g(x)dx. Démontrez que l'on dénit ainsi un produit
a
xe−x dx en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
0
Exercice 38
Soit E l'espace vectoriel des applications continues et 2π -périodiques de R dans R.
1
1. Démontrez que (f | g) =
2π
Z2π
f (t) g (t) dt dénit un produit scalaire sur E .
0
10
2.
Soit F le sous-espace vectoriel engendré par f : x 7→ cos x et g : x 7→ cos (2x).
Déterminez le projeté orthogonal sur F de la fonction u : x 7→ sin2 x.
Exercice 39
Soient F (R, R) l'espace vectoriel des applications de R dans R, E le sous-espace engendré par
les cinq applications :
1
f1 : x 7→ √ , f2 : x 7→ cos x , f3 : x 7→ sin x , f4 : x 7→ cos(2x) , f5 : x 7→ sin(2x) ,
2
et F le sous-espace vectoriel engendré par f1 , f2 , f3 : F = Vect (f1 , f2 , f3 ).
1
1. Démontrez que hf | gi =
π
Zπ
f (x) g (x) dx dénit un produit scalaire sur E .
−π
2.
Vériez que f4 et f5 sont unitaires et orthogonaux.
On admettra pour la suite que B = (fi )i=1,...,5 est une base orthonormée de E .
3.
Déterminez le sous-espace vectoriel F ⊥ , orthogonal de F pour ce produit scalaire.
Exercice 40
On dénit dans M2 (R) × M2 (R) l'application ϕ (A, A0 ) = tr (t AA0 ), où tr (t AA0 ) désigne la
trace du produit de la matrice t A par la matrice A0 . On note
F=
a b
−b a
2
, (a, b) ∈ R
.
On admet que ϕ est un produit scalaire sur M2 (R) .
Démontrez que F est un sous-espace vectoriel de M2 (R).
2. Déterminez une base de F ⊥ .
1 1
3. Déterminez la projection orthogonale de J =
sur F ⊥ .
1.
1 1
Exercice 41
Soit E un espace préhilbertien et F un sous-espace vectoriel de dimension nie n > 0.
On admet que pour tout x ∈ E , il existe un élément unique y0 de F tel que x−y0 soit orthogonal
à F et que
distance de x à Fsoit égale à kx − y0 k.
la Si A =
1.
2.
a b
c d
et A0 =
a0 b 0
, alors on pose hA | A0 i = aa0 + bb0 + cc0 + dd0 .
c0 d 0
Démontrez que h· | ·i est un produit scalaire sur M2 (R).
Calculez la distance de la matrice A =
triangulaires supérieures.
1 0
−1 2
Exercice 42
au sous-espace vectoriel F des matrices
E désigne un espace euclidien. On note x|y le produit scalaire de x et de y .
11
Démontrez que si f est une forme linéaire sur E , il existe un unique élément a de E tel
que, pour tout x de E , f (x) = x|a.
2. x0 est un élément non nul de E , tel que kx0 k = 1. On note [x0 ] la droite vectorielle
engendrée par x0 et [x0 ]⊥ l'orthogonal de [x0 ].
a) Donnez la dénition de la projection orthogonale p sur [x0 ].
b) Si p(x) = λx0 , on pose g(x) = λ. Démontrez que g est une forme linéaire sur E et
indiquez l'élément b de E tel que, pour tout x de E , p(x) = x|b.
1.
Exercice 43
E désigne un espace euclidien. On note x|y le produit scalaire de x et de y .
Si u est un endomorphisme de E , on note u∗ l'endomorphisme adjoint de u.
1. a) Si u est un endomorphisme de E , précisez, en justiant votre réponse, l'endomorphisme (u∗ )∗ .
b) Si u et v sont deux endomorphismes de E , précisez, en justiant votre réponse,
l'endomorphisme (u ◦ v)∗ .
2. a) Soit (ei ) une base orthonormale de E . On note A la matrice d'un endomorphisme u
de E dans la base (ei ) et B la matrice de u∗ dans la base (ei ). En justiant votre
réponse, donnez la relation qui existe entre A et B ?
b)
Retrouvez le résultat de la question 1.(a) à l'aide de la question 2.(a).


−2 −2 1
On considère la matrice A = −2 1 −2 .
1 −2 −2
1. Justiez que A est diagonalisable.
2. Déterminez P et D dans M3 (R) telles que : t P = P −1 , D est diagonale, et t P AP = D .

u−1


Exercice 45
 x=
u2
Étudiez la courbe dénie paramétriquement par
.

u2

 y=
u+1
Exercice 44
Puis, donnez l'allure de cette courbe.
Exercice 46
√
On considère la courbe dénie en coordonnées polaires par : r = 2 cos 2θ .
Étudiez les symétries éventuelles de cette courbe.
2. Donnez l'allure de cette courbe.
π
3. Précisez la tangente au point de paramètre θ = .
1.
4
Exercice 47
Étudiez au voisinage du point de paramètre t = 1 la courbe dénie par :
Zt
x=
u2 − 1
du
u2 + 1
,
1
Indication
Zt
y=
u2 − 1
du
u3 + 1
1
: on pourra calculer les dérivées successives de x et y .
12
Exercice 48
→
− →
−
Dans un repère orthonormé O; i , j , on considère la courbe d'équation
x2 + 4y 2 + 2x − 8y + 1 = 0 .
Précisez la nature de cette courbe.
b) Tracez cette courbe.
2. Calculez
pente de la tangente en chacun des points d'intersection de la courbe et de
la
→
−
l'axe O, j .
1.
a)
Exercice 49
On considère la courbe paramétrée, dénie par :
x = cos3 t ,
.
y = sin3 t
Étudiez les symétries de cette courbe.
2. Donnez l'allure de cette courbe.
π
3. Déterminez une équation de la tangente à la courbe, au point de paramètre t = .
1.
6

u2 − 1


x
=
Exercice 50

u
, u > 0.
On considère la courbe C dénie paramétriquement par :
2

u
+
1

 y=
u+1
Donnez l'allure de la courbe C , et précisez la (ou les) asymptote(s) éventuelle(s).
Exercice 51
Donnez l'allure de la courbe dénie en coordonnées polaires par : r = 2 (cos θ − cos 2θ).
Précisez la tangente à cette courbe au point de paramètre θ = π .
Exercice 52
On considère la courbe paramétrée C :
x = f (t)
, f et g étant deux fonctions de classe C ∞
y = g (t)
sur un intervalle ouvert I .
1. Expliquez comment on peut étudier la position de C par rapport à sa tangente au voisinage
du point M0 de paramètre t0 , avec t0 ∈ I .
2. Appliquez les résultats précédents aux deux courbes suivantes au voisinage du point de
paramètre 0 :
C1 :
x = t3
y = t6
et
C2 :
x = t2
y = t4
Retrouvez ces résultats simplement sans utiliser la question 1.
Exercice 53
1. Donnez
une représentation paramétrique, dans un repère orthonormé, du cercle de centre
O et de rayon a > 0. Puis, déterminez le repère de Frénet en chaque point de ce cercle.
Précisez la valeur du rayon de courbure.
13
2. Le
plan étant rapporté à un repère orthonormé, on considère l'arc paramétré déni par
x=u
, pour u ∈ [0; +∞[.
y = u2
Déterminez, au point M de cette courbe correspondant au paramètre u = 1, le repère de
Frénet, ainsi que le rayon de courbure.

ω = y dx + xy dy




et


Z
Exercice 54

Γ est la courbe fermée composée des portions de
Soit l'intégrale curviligne I = ω où
courbes comprises entre les deux points d'intersection

Γ



des courbes C1 et C2 d'équations respectives y = x2



et y = x, dans un repère orthonormé.
La courbe Γ étant décrite dans le sens trigonométrique, calculez l'intégrale I :
directement,
2. en utilisant la formule de Green-Riemann.
1.
Exercice 55
−
→
− →
− →
On considère la quadrique (S) d'équation xy+yz = 1 dans un repère orthonormé O, i , j , k .
1.
On note q la forme quadratique associée à (S).
→
−
− →
− →
i , j , k . On la notera A.
−
−
−
b) Déterminez une base orthonormée (→
u ,→
v ,→
w ) constituée par des vecteurs propres de
A.
→
−
− →
− →
−
−
−
a) On note P la matrice de passage de la base i , j , k à la base (→
u ,→
v ,→
w ). Exa)
2.
Déterminez la matrice de q dans la base
−
−
−
pliquez pourquoi la matrice de q dans la base (→
u ,→
v ,→
w ) est égale à P −1 AP .
b) Quelle est la nature de la quadrique (S) ?
Exercice 56
Dans R2 , on considère les trois normes usuelles p0 , p1 et p2 dénies ainsi, pour tout (x, y) ∈ R2 :
p0 (x, y) =
p
x2 + y 2 , p1 (x, y) = |x| + |y| , p2 (x, y) = max(|x|, |y|) .
Démontrez que ces trois normes sont équivalentes, sans utiliser le fait que R2 est un espace
vectoriel de dimension nie.
2. On note, pour i ∈ {0, 1, 2}, Bi ((0; 0), 1), la boule ouverte de centre (0; 0) et de rayon 1
→
− →
−
pour la norme pi . (O, i , j ) désigne un repère orthonormal du plan.
Pour chaque i ∈ {0, 1, 2}, déterminez l'ensemble Ei des points M du plan dont les coor→
− →
−
données (x, y) dans le repère (O, i , j ) sont telles que (x, y) ∈ Bi ((0; 0), 1).
1.
Exercice 57
→
− →
−
On considère la similitude directe s d'écriture complexe, dans un repère orthonormal O, i , j :
z 0 = (i − 1)z + 2 − i.
1. Déterminez le centre, le rapport et l'angle de cette similitude.
2. On considère dans le plan complexe les points A d'axe i, B d'axe −1 et C d'axe −i.
14
Déterminez les points A0 , B 0 et C 0 , images respectives de A, B et C par la similitude
s.
0 B 0 C 0 ? de la longueur A0 C 0 ? de l'aire du triangle
b) Quel est la valeur de l'angle A\
0 0 0
ABC ?
a)

x+y+z


Exercice 58

x + y + 2z
1. On considère le système
2x − y − z



x − 2y + z
=
1
=
0
où m désigne un réel.
= −1
= m
Démontrez qu'il existe une unique valeur m0 de m pour laquelle ce système admet une
solution unique et donnez cette solution.
−
→
− →
− →
2. Dans l'espace rapporté à un repère O, i , j , k , on considère la droite d de représenta

 x=u
 x=t
0
tion paramétrique y = 2 + u et la droite d de représentation paramétrique y = 2 − t .


z = −1 + u
z = −1
Démontrez que d et d0 sont concourantes.
b) Démontrez que d peut être dénie comme intersection des deux plans d'équations
x + y + z = 1 et x + y + 2z = 0 et que d0 peut être dénie comme intersection des
deux plans d'équations 2x − y − z = −1 et x − 2y + z = −5.
Déduisez-en le résultat de la question 1.
a)
Exercice 59
On considère dans le plan une droite d et un point F non situé sur d. On suppose que la distance
du point F à d est égale à 1.
Déterminez, en utilisant un repère orthonormé judicieusement choisi, que l'ensemble des points
M du plan tels que
1
MF
= est une conique, H désignant le projeté orthogonal de M sur d.
MH
2
Déterminez la nature et une équation réduite de cette conique et donnez l'allure de cette courbe.
Exercice 60
Soit dans l'espace une sphère de centre O et de rayon R, et un point A non situé sur la sphère.
On note d la distance OA. Une droite ∆ passant par A coupe la sphère en P et Q.
Exprimez le produit AP ×AQ en fonction de d et de R, en utilisant, dans un repère orthonormé
judicieusement choisi, une équation de la sphère et une représentation paramétrique de ∆.
15
Analyse
16
Exercice 1
1. On considère
deux suites numériques (un )n∈N et (vn )n∈N telles que un ∼ vn . Démontrez
que un et vn sont de même signe à partir d'un certain rang.
1
1
− tan
.
2. Déterminez le signe au voisinage de l'inni de : un = sh
n
n
Exercice 2
On considère dans R les deux suites (un ) et (vn ) dénies par :
n
X
1
un =
i!
i=0
et
vn = un +
1
.
n!
Démontrez que ces deux suites sont adjacentes.
2. On admet que lim un = e. Démontrez que e est irrationnel.
1.
n→+∞
Indication
: on pourra raisonner par l'absurde et supposer que e =
entiers naturels.
p
où p et q sont deux
q
Exercice 3
1. Pour une
suite de réels (un ), énoncez le critère de Cauchy.
2. Soit f une fonction dérivable de ]0; 1] dans R telle que : ∀x ∈]0; 1], |f 0 (x)| ≤ 1.
1
On pose, pour tout entier naturel n non nul, Un = f
. Démontrez, en utilisant le
n
critère de Cauchy, que cette suite converge.
Exercice 4
1. Déterminez
2.
le développement limité à l'ordre 5 de la fonction f : x 7→
cos x
.
1−x
Donnez, pour k ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}, la valeur de f (k) (0).
Exercice 5
1
.
(x + 1)(3 − x)
1. Décomposez f (x) en éléments simples et déduisez-en les primitives de f sur l'intervalle
]3; +∞[.
On pose f (x) =
Déterminez le développement en série entière en 0 de la fonction f et précisez le rayon de
convergence.
3. Déterminez le développement limité à l'ordre 5 en 0 de la fonction f .
2.
Exercice 6
1. Donnez
l'idée de la démonstration de la formule de Leibniz, concernant la dérivée n
d'un produit de fonctions.
2.
On pose f (x) =
e2x
pour x > −1. Calculez f (n) (x) pour tout n ∈ N.
1+x
17
ème
Exercice 7
I désigne un intervalle de R.
Donnez la dénition d'une fonction convexe dénie sur I , à valeurs réelles.
2. Soit f une fonction convexe de I dans R. Démontrez la propriété suivante, où n désigne un
1.
entier supérieur ou égal à 3 : Si λ1 , λ2 , . . . , λn sont des nombres positifs tels que
f
!
λi xi
6
i=1
Indication
: on pourra remarquer que
λi = 1
i=1
et si x1 , x2 , . . . , xn appartiennent à I , alors
n
X
n
X
n
X
λi f (xi ) .
i=1
n
X
λ i xi =
i=1
1−
n
X
!
λi
i=3
n
λ 1 x1 + λ 2 x2 X
+
λ i xi .
n
X
i=3
1−
λi
i=3
3.
Déduisez de ce qui précède, en utilisant la fonction ln, que pour tout entier n > 1 et pour
tous x1 , x2 , . . . , xn ∈ R∗+ , on a l'inégalité :
1
(x1 x2 · · · xn ) n 6
x1 + x2 + · · · + xn
.
n
Exercice 8
Soit f une fonction de [a; b] dans R, continue sur [a; b]. On suppose que f est dérivable sur ]a; b[,
sauf peut-être en un point x0 de ]a; b[.
1. Démontrez que si la fonction f 0 admet une limite en x0 , alors la fonction f est dérivable
en x0 et f 0 (x0 ) = lim f 0 (x).
x→x0
2.
Démontrez que la réciproque de la propriété de la question 1 est fausse.
Indication
: on pourra considérer la fonction g dénie par : g(x) = x2 sin
g(0) = 0.
1
si x 6= 0 et
x
Exercice 9
Soit f une fonction numérique continue sur [0; +∞[ telle que f a une limite nie l quand
n → +∞.
1. Écrivez la dénition de : lim f (x) = l et de : f uniformément continue sur [0; +∞[.
x→+∞
2.
Démontrez que f est uniformément continue sur [0; +∞[.
Exercice 10
1. Démontrez
que, dans un espace vectoriel normé complet, toute série absolument convergente est convergente.
2. Mn (R) est-il complet ?
Exercice 11
Étudiez la série de terme général un =
Indication
1
où n > 2 et α ∈ R.
n (ln n)α
: on distinguera le cas α 6 0 et le cas α > 0.
18
Exercice 12
Soit (un )n∈N une suite de réels strictement positifs et l un réel positif strictement inférieur à 1.
X
un+1
= l, alors la série
un converge.
n→+∞ un
un+1
= l puis majorez, pour n
Indication : écrivez judicieusement la dénition de lim
n→+∞ un
assez grand, un par le terme général d'une suite géométrique.
X
n
2. Quelle est la nature de la série
?
(3n + 1)!
1.
Démontrez que si lim
Exercice 13
1. Soient (un )n∈N
et (vn )n∈N deux suites de nombres réels positifs. Montrez que :
un ∼ vn
=⇒
X
un et
X
vn sont de même nature.
X (i − 1) sin
√
2. Étudiez la convergence de la série
n−1
(i est ici le nombre complexe de carré égal à −1)
1
n
.
Exercice 14
Soit (un )n∈N une suite décroissante positive de limite nulle.
1.
Démontrez que la série
Indication
2.
X
(−1)k uk est convergente.
: on pourra considérer (S2n )n∈N et (S2n+1 )n∈N avec Sn =
n
P
(−1)k uk .
k=0
Indiquez un majorant du reste de cette série. Démontrez ce résultat.
Exercice 15
Soit X un ensemble , (fn )n∈N une suite de fonctions de X dans C et f une fonction de X dans
C.
On suppose que : (∀x ∈ X) (∀n ∈ N) |fn (x) − f (x)| 6 αn où (αn )n∈N est une suite de
réels telle que lim αn = 0. Démontrez que la suite (fn )n∈N converge uniformément vers
n→+∞
f sur X .
2. La suite (z n )n∈N converge-t-elle uniformément dans le disque ouvert D 0, 21 de centre 0
et de rayon 21 ?
Converge-t-elle uniformément dans le disque ouvert D (0, 1) de centre 0 et de rayon 1 ?
1.
Exercice 16
n
π
On pose fn (x) = √ e−n
2 x2
.
Étudiez la convergence simple de la suite de fonctions (fn )n∈N .
2. a) Démontrez que, pour tout a > 0, cette suite converge uniformément sur les intervalles
] − ∞; −a] et [a; +∞[.
b) Converge-t-elle uniformément sur ]0, +∞[ ?
1
.
Indication : on pourra considérer fn
n
1.
19
Exercice 17
On pose fn (x) = (x2 + 1)
1.
2.
nex + xe−x
.
n+x
Démontrez que la suite de fonctions (fn )n∈N converge uniformément sur [0, 1].
Calculez lim
Z1
n→+∞
x2 + 1
nex + xe−x
dx.
n+x
0
Exercice 18
1. Soit X une
partie de R, (fn )n∈N une suite de fonctions de X dans R convergeant simplement vers une fonction f . On suppose qu'il existe une suite (xn )n∈N d'éléments de X telle
que la suite (fn (xn ) − f (xn ))n∈N ne tend pas vers 0.
Démontrez que la suite de fonctions (fn )n∈N ne converge pas uniformément vers f sur X .
2.
Pour tout x ∈ R, on pose fn (x) =
sin (nx)
.
1 + n 2 x2
Étudiez la convergence simple de la suite (fn )n∈N .
b) Étudiez la convergence uniforme de la suite (fn )n∈N sur [a, +∞[ (avec a > 0) puis
sur ]0, +∞[.
a)
Exercice 19
1. Soit (fn )
une suite d'applications de [a, b] dans R.
On suppose que la suite (fn ) converge uniformément sur [a, b] vers une application f , et
que, pour tout n ∈ N, fn est continue en x0 , avec x0 ∈ [a, b].
Démontrez que f est continue en x0 .
2. On pose, pour tout x ∈ [0; 1], gn (x) = xn . La suite (gn ) converge-t-elle uniformément sur
[0; 1] ?
Exercice 20
1. On note E
l'espace vectoriel des applications bornées de X dans C, X désignant un
ensemble non vide quelconque.
On pose, pour tout f de E , kf k∞ = sup |f (x)|.
x∈X
Démontrez succinctement que l'application f 7→ kf k∞ est une norme sur E .
2. Soit (gn ) une suite d'applications de X dans C, X désignant un ensemble non vide quelconque. On suppose que, pout tout n ∈ N, gn est bornée et que la suite (gn ) converge
uniformément sur X vers g .
Démontrez que l'application g est bornée.
Exercice 21
1. Soit (fn )n∈N
une suite de fonctions continues sur [a, b], à valeurs réelles. Démontrez que si
la suite (fn )n∈N converge uniformément vers f , alors la suite
Z
a
vers
Z
b
f (x) dx.
a
20
b
fn (x) dx
n∈N
converge
2.
Justiez comment ce résultat peut être utilisé dans le cas des séries de fonctions puis
démontrez que :
Z 1 +∞ !
+∞
2
0
X
xn
dx =
n=0
X 1
.
n
n2
n=1
Exercice 22
1. Démontrez que toute série de fonctions normalement convergente sur X
convergente sur X .
2.
est uniformément
X n2
La série de fonctions
z n est-elle uniformément convergente sur le disque fermé de
n!∗
centre 0 et de rayon R ∈ R+ ?
Exercice 23
On considère la série de fonctions de terme général un dénie par :
x x
− .
∀n ∈ N∗ ∀x ∈ [0, 1] un (x) = ln 1 +
n
n
On pose, lorsque la série converge, S(x) =
+∞ h
X
n=1
x xi
ln 1 +
− .
n
n
Démontrez que S est dérivable sur [0, 1].
2. Calculez S 0 (1).
Indication : pensez à décomposer une fraction rationnelle en éléments simples.
1.
Exercice 24
Soit A ⊂ C et (fn )n∈N une suite de fonctions de A dans C.
1.
Démontrez l'implication :
la série de fonctions
X
fn converge uniformément sur A
⇓
la suite de fonctions (fn )n∈N converge uniformément vers 0 sur A
2.
La série entière
et de rayon 1 ?
X
z n est-elle uniformément convergente sur le disque ouvert de centre 0
Exercice 25
On considère la série de fonctions
P (−1)n n
x , x désignant un réel.
n
Étudiez la simple convergence de cette série.
On note D l'ensemble des x où cette série converge, et S(x) la somme de cette série.
2. a) Étudiez la convergence normale puis la convergence uniforme de cette série sur D .
b) La fonction S est-elle continue sur D ?
1.
Exercice 26
1. Démontrez
que la série
X zn
n!
est absolument convergente pour tout z ∈ C.
21
2.
On pose, pour tout z ∈ C, f (z) =
+∞ n
X
z
n=0
n!
.
Démontrez que : f (z) × f (z 0 ) = f (z + z 0 ), sans utiliser le fait que f (z) = ez .
3.
Déduisez-en que : ∀z ∈ C, f (z) 6= 0 et
1
= f (−z).
f (z)
Exercice
X 27
Soit
1.
2.
an z n une série entière de rayon de convergence R > 0.
Démontrez que cette série converge uniformément sur tout disque fermé de centre 0 et de
rayon r tel que 0 6 r < R.
Démontrez que la fonction z 7−→
+∞
X
an z n est continue en tout point du disque ouvert de
n=0
convergence.
Exercice 28
Calculez le rayon de convergence de chacune des séries entières suivantes :
nα z n (α ∈ R).
X
2nπ
2.
cos
xn .
3
1.
X
Exercice 29
1. Démontrez
que si |an | ∼ |bn | alors les séries entières
de convergence.
2.
Trouvez le rayon de convergence de la série entière
Exercice 30
1. Soit (an )n∈N
une suite bornée telle que la série
vergence de la série entière
2.
X
X
X
an z n et
X
bn z n ont même rayon
X in n2
z n (où i2 = −1).
2
n +1
an diverge. Quel est le rayon de con-
an z n ?
Quel est le rayon de convergence de la série entière
X
π
zn ?
cos n
2
Exercice 31
1. Que savez-vous
du rayon de convergence de la somme de deux séries entières (on ne
demande pas de démonstration) ?
2. Développez en série entière au voisinage de 0, en précisant le rayon, la fonction f : x 7−→
ln (1 + x) + ln (1 − 2x) .
La série obtenue converge-t-elle pour x =
1
1
? x = ? Si oui quelle est sa somme ?
4
2
Exercice 32
Soit (an )n∈N une suite complexe telle que la suite
22
|an+1 |
|an |
admet une limite.
n∈N
1.
2.
Démontrez que les séries entières
gence.
On le note R.
Démontrez que la fonction x 7−→
X
+∞
X
an xn et
X
nan xn−1 ont le même rayon de conver-
an xn est dérivable sur l'intervalle ] − R, R[.
n=0
Exercice 33
Déterminez le développement en série entière à l'origine de la fonction f (x) = ln
précisant son rayon de convergence.
Exercice 34
1. Déterminez
le rayon de convergence de la série entière
1+x
1−x
en
P xn
.
(2n)!
+∞
X
xn
On pose S(x) =
.
(2n)!
n=0
Déterminez le développement en série entière en 0 de la fonction x 7→ ch(x), et précisez
le rayon de convergence.
3. a) Déterminez S(x).
b) On considère la fonction f dénie sur R par :
2.
√
√
f (0) = 1, f (x) = ch x pour x > 0, f (x) = cos −x pour x < 0 .
Démontrez que f est de classe C ∞ sur R.
Exercice 35
On considère la fonction f de R dans R, de période 2π , dénie ainsi :
f (x) = x sur ] − π, π[
et
f (−π) = 0 .
La série de Fourier de f converge-t-elle vers f (x) en tout point x de R ?
2. Déterminez la série de Fourier de f .
1.
Exercice 36
Soit f la fonction 2π -périodique sur R telle que : ∀t ∈ [0; 2π[, f (t) = t2 .
1.
Expliquez pourquoi, pour tout réel t, la série de Fourier de f converge, et précisez sa
limite.
2.
Déterminez la série de Fourier de f , puis déduisez-en la somme de la série :
X 1
.
n2
n>1
Exercice 37
Soit f la fonction numérique 2π -périodique dénie par : ∀x ∈ [−π; π[, f (x) = x2 .
1.
Expliquez pourquoi la série de Fourier de f converge sur R. Précisez la somme de
cette série.
b) La série de Fourier de f converge-t-elle normalement sur R ?
a)
23
2.
a)
Déterminez la série de Fourier de f .
b)
Déduisez-en la somme de la série
X (−1)n
n2
n>1
Exercice 38
1. Démontrez
.
que pour tout entier n, la fonction t 7−→
[0, +∞[.
2.
On pose un =
Z
dt
+∞
0
Exercice 39
1+
+ tn e−t
t2
Pour tout n > 1, on pose In =
Z
0
+∞
1+
t2
1
est intégrable sur
+ tn e−t
. Calculez lim un .
n→+∞
−1
1 + t2
n
dt.
Justiez que In est bien dénie.
n
2. Démontrez que (−1) In décroît et déterminez sa limite.
1.
3.
La série
X
In est-elle convergente ?
Exercice 40
e−x
et pour tout n ∈ N un =
On pose fn (x) =
1 + n 2 x2
Z
1
fn (x) dx.
0
Étudiez la convergence simple sur [0, 1] de la suite de fonctions (fn )n∈N , puis l'uniforme
convergence sur [0, 1]
2. Trouvez la limite de la suite (un )n∈N .
1.
Exercice 41
N.B : les deux questions sont indépendantes.
ln x
est-elle intégrable sur ]0, +∞[ ?
1 + x2
e−x
2. La fonction x 7−→ √
est-elle intégrable sur ]1, +∞[ ?
x−1
1.
La fonction x 7−→
Exercice 42
On pose, pour tout x de ]0; +∞[ et pour tout t de [0; +∞[ :
f (t, x) = e−t tx−1 .
1.
Démontrez que la fonction t 7→ f (t, x) est intégrable sur [0; +∞[.
On pose, pour x ∈]0; +∞[, Γ(x) =
Z
+∞
e−t tx−1 dt.
0
Démontrez que, pour tout x de ]0; +∞[, Γ(x + 1) = xΓ(x).
3. Démontrez que Γ est de classe C 1 et exprimez Γ 0 (x) sous forme d'intégrale.
2.
Exercice 43
1. Énoncez
le théorème de dérivation sous le signe intégrale.
24
Z+∞
2
2. Démontrez que la fonction f : x 7−→
e−t cos (xt) dt est de classe C 1 sur R.
0
3.
Trouvez une équation diérentielle linéaire d'ordre 1 dont f est solution.
Exercice 44
Calculez l'intégrale double
ZZ p
x2 + y 2 dxdy
I=
D
où D est déni par : x + y − 2y > 0 ; x + y 2 − 1 6 0 ; x > 0 ; y > 0.
2
2
2
Exercice 45
1. Démontrez
que la fonction x 7→ e−x est intégrable sur [0; +∞[.
2. Pour chaque nombre r > 0, on note Cr le carré [0; r] × [0; r] et Dr l'ensemble déni par :
x2 + y 2 6 r2 , x > 0, y > 0.
a)
2
Quelle relation y a-t-il entre
ZZ
e
−(x2 +y 2 )
dxdy et
Cr
b)
r
Z
e−t dt ?
2
0
Calculez en fonction de r l'intégrale double
ZZ
e−(x
2 +y 2 )
dxdy .
Dr
c)
Déduisez de ce qui précède la valeur de l'intégrale
Z
+∞
e−x dx.
2
0
Indication
: on pourra remarquer que Dr ⊂ Cr ⊂ D2r .
Exercice 46
Résolvez sur l'intervalle ]1, +∞[ l'équation diérentielle : y 0 +
x
y = 2x.
1 − x2
Exercice 47
Résolvez sur R l'équation diérentielle : y 00 + y = cos x en utilisant la méthode de variation des
constantes.
Exercice 48
Toute fonction f de C dans C peut être écrite, pour tout z = x + iy ∈ C, sous la forme
f (z) = u(x, y) + iv(x, y), u et v désignant deux fonctions de R2 dans R.
On se propose de trouver, s'il en existe, des fonctions f satisfaisant aux conditions suivantes :
C1. Les fonctions u et v sont de classe C ∞ sur R2 .
C2.
1.
Pour tout (x, y) de R2 ,
∂u
∂v
∂u
∂v
(x, y) =
(x, y) et
(x, y) = − (x, y).
∂x
∂y
∂y
∂x
Démontrez que, si u et v existent, alors, pour tout (x, y) de R2 :
∂ 2u
∂ 2u
(x,
y)
+
(x, y) = 0
∂x2
∂y 2
2.
et
∂ 2v
∂ 2v
(x,
y)
+
(x, y) = 0 .
∂x2
∂y 2
On suppose que u(x, y) = x3 − 3xy 2 + 2x2 − 2y 2 + 3x.
a) Trouvez les fonctions v telles que les conditions C1 et C2 soient satisfaites.
25
Démontrez qu'il existe une fonction f = u+iv unique telle que f (0) = 0 et explicitez
f (z) en fonction de z .
c) Pour cette fonction f , construisez dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé, le point A d'axe f (i).
b)
Exercice 49
Soit l'équation diérentielle : x(x − 1)y 00 + 3xy 0 + y = 0.
1. Trouvez les solutions de cette équation développables en série entière à l'origine. Déterminez la somme des séries entières obtenues.
2. Indiquez une méthode pour trouver toutes les solutions de l'équation diérentielle sur
chacun des intervalles ]0; 1[, ] − ∞; 0[ et ]1; +∞[.
Exercice 50
On pose f (x, y) = p
xy
x2 + y 2
et f (0, 0) = 0.
Démontrez que f est continue sur R2 .
2. Démontrez que f admet des dérivées partielles en tout point de R2 .
1.
Exercice 51
1. Étudiez
les extrêma de la fonction dénie par : f (x, y) = 4 − x2 − y 2 en utilisant la
méthode générale de recherche d'extrêma d'une fonction de 2 variables.
2. Retrouvez géométriquement le résultat précédent.
p
Indication : quelle est la surface d'équation z =
4 − x2 − y 2 ?
p
Exercice 52
1. Soit A une
partie non vide d'un espace vectoriel normé E .
Démontrez que : x ∈ A ⇐⇒ ∃(xn )n∈N telle que ∀n ∈ N xn ∈ A, et lim xn = x.
n→+∞
2.
Démontrez que si A est un sous-espace vectoriel de E , alors A est un sous-espace vectoriel
de E .
Exercice 53
E et F désignent deux espaces vectoriels normés.
1.
Soient f une application de E dans F et a un point de E .
Démontrez que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
est continue en a.
P2. Pour toute suite (xn ) d'éléments de E telle que lim xn = a, lim f (xn ) = f (a).
P1. f
n→+∞
2.
n→+∞
Soit A une partie dense d'un sous-espace vectoriel normé E , et soient f et g deux applications continues de E dans F , F désignant un espace vectoriel normé.
Démontrez que si, pour tout x ∈ A, f (x) = g(x), alors f = g .
Exercice 54
E et F désignent deux espaces vectoriels normés.
26
est un sous-ensemble compact de E , et f une fonction de E dans F .
Démontrez que si f est continue sur A, alors f (A) est un sous-ensemble compact de F .
2. On suppose que g est une fonction continue de E dans C.
Démontrez que si A est un sous-ensemble compact de E , alors :
1. A
est une partie bornée de C ;
b) ∃x0 ∈ A tel que sup g(x) = g(x0 ).
a) g(A)
x∈A
Exercice 55
Soit E un espace normé complet et soit A un sous-ensemble de E .
Démontrez que : A complet ⇐⇒ A fermé.
2. Pour chacun des sous-ensembles suivants de R, dites s'il est complet ou non, en justiant
votre réponse :
1.
a) ]0; 1]
b) [−2; 2] ∪ [3; +∞[
c) ]0; 1[ ∪ ] − ∞; 2]
Exercice 56
Soient E, F deux espaces vectoriels normés sur le corps R.
1.
Démontrez que si f est une application linéaire de E dans F , alors les propriétés suivantes
sont deux à deux équivalentes :
est continue sur E .
P2. f est continue en 0.
P3. ∃k > 0 tel que ∀x ∈ E, kf (x)k 6 k kxk.
P1. f
2.
Soit E l'espace vectoriel des applications linéaires et continues de [0; 1] dans R muni de
la norme dénie par : kf k = sup |f (x)| .
x∈[0;1]
On considère l'application ϕ de E dans R dénie par : ϕ(f ) =
Z
1
f (t)dt.
0
Démontrez que ϕ est linéaire et continue.
Exercice 57
On note E l'espace vectoriel des applications continues de [0; 1] dans R. On pose, pour tout f
de E :
Z 1
p∞ (f ) = sup |f (x)|
et
p1 (f ) =
|f (x)|dx .
x∈[0;1]
0
Démontrez succinctement que p∞ et p1 sont deux normes sur E .
b) Démontrez qu'il existe k > 0 tel que, pour tout f de E , p1 (f ) ≤ kp∞ (f ).
c) Démontrez que tout ouvert pour la norme p1 est un ouvert pour la norme p∞ .
2. Démontrez que les normes p1 et p∞ ne sont pas équivalentes.
1.
a)
27
Exercice 58
On note R[X] l'espace vectoriel des polynômes à coecients réels. Pour tout polynôme P =
n
X
ai X i , n désignant le degré de P , on pose :
i=0
p1 (P ) =
n
X
|ai |
et
p2 (P ) = max |ai | .
0≤i≤n
i=0
Démontrez succinctement que p1 et p2 sont des normes sur R[X].
b) Démontrez que tout ouvert pour la norme p2 est un ouvert pour la norme p1 .
c) Démontrez que les normes p1 et p2 ne sont pas équivalentes.
2. On note Rk [X] le sous-espace vectoriel de R[X] constitué par les polynômes de degré
inférieur ou égal à k . On note p01 la restriction de p1 à Rk [X] et p02 la restriction de p2 à
Rk [X].
Les normes p01 et p02 sont-elles équivalentes ?
1.
a)
Exercice 59
On note l2 l'ensemble des suites x = (xn ) de nombres complexes telles que la série
|xn |2
converge.
1. Démontrez que l2 est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des suites de nombres
complexes.
P
2. a) Démontrez que pour x = (xn ) ∈ l2 et y = (yn ) ∈ l2 , la série
xn yn converge.
P
On pose x|y = +∞
n=0 xn yn .
b) Démontrez que l'on dénit ainsi un produit scalaire dans l2 .
3. On suppose que l2 est muni de ce produit scalaire et de la norme associée.
Soit n ∈ N. Pour tout x = (xn ) ∈ l2 , on pose ϕ(x) = xn . Démontrez que ϕ est une
application linéaire et continue de l2 dans C et calculez ||ϕ||, où ||ϕ|| désigne la norme
usuelle dans l'espace vectoriel des applications linéaires et continues de l2 dans C.
P
Exercice 60
Soit A une algèbre normée de dimension nie ayant e pour élément unité.
1. Soit u un élément de A tel que kuk < 1.
a)
Démontrez que la série
b)
Démontrez que (e − u) est inversible et que (e − u)
X
un est convergente.
−1
=
+∞
X
n=0
2.
Démontrez que, pour tout u de A, la série
28
X un
n!
converge.
un .