cours d`algèbre Geometrie 2 de LMI2

LICENCE MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUE
DEUXIÈME ANNÉE
Unité d’enseignement LMI 3.02
ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE 2
Françoise GEANDIER
Université Henri Poincaré Nancy I
Département de Mathématiques

.

Table des matières
I Rappels d’algèbre linéaire ······································· 1
1. Espaces vectoriels.
2. Applications linéaires - Matrices.
3. Déterminants.
4. Espaces vectoriels de polynômes.
II Réduction des endomorphismes ······························ 13
1. Sous-espaces propres.
2. Diagonalisation.
3. Polynômes d’endomorphismes.
4. Trigonalisation.
III Exponentielles de matrices - Systèmes d’équations différentielles linéaires
························································· 27
1. Normes sur Knet Mn(K).
2. Exponentielles de matrices.
3. Systèmes d’équations différentielles linéaires.
4. Equations différentielles linéaires homogènes d’ordre nà coefficients
constants.
IV Espaces euclidiens ·········································· 37
1. Formes bilinéaires symétriques - Formes quadratiques.
2. Espaces euclidiens.
3. Orthogonalité.
4. Bases orthogonales et orthonormées.
5. Projection orthogonale - Symétrie orthogonale.
6. Problèmes de moindres carrés.

V Espaces hermitiens ·········································· 51
1. Formes sesquilinéaires hermitiennes - Formes quadratiques.
2. Espaces hermitiens.
3. Orthogonalité.
4. Bases orthogonales et orthonormées.
VI Réduction des matrices normales ··························· 57
1. Matrice adjointe.
2. Matrices normales.
3. Cas des matrices réelles.

I RAPPELS D’ALGÈBRE LINÉAIRE
1. Espaces vectoriels
1.1 Rnet Cn
On considère Rle corps des nombres réels et Cle corps des nombres complexes.
On appelle vecteur àncomposantes réelles tout n-uplet x= (x1,x2,...,xn)où x1,x2,...,xn
sont des réels et on note Rnl’ensemble de ces vecteurs. Le plus souvent, on utilisera la
notation dite vecteur colonne suivante :
x=
x1
x2
.
.
.
xn
De la même façon, on définit Cnl’ensemble des vecteurs à ncomposantes complexes. Dans
la suite, Kdésignera l’un des corps Rou Cet Knl’ensemble des vecteurs à ncomposantes
dans K. On notera 0le vecteur nul de Kn, i.e le vecteur dont toutes les composantes sont
nulles.
On définit deux opérations sur Kn
∗l’addition : si x=
x1
x2
.
.
.
xn
et y=
y1
y2
.
.
.
yn
, on définit z=x+ypar z=
x1+y1
x2+y2
.
.
.
xn+yn
;
∗la multiplication par un scalaire λ, i.e un élément de K,λx =
λx1
λx2
.
.
.
λxn
.
On remarque que pour tout vecteur xde E, on peut écrire
x=
x1
x2
.
.
.
xn
=x1
1
0
.
.
.
0
+x2
0
1
.
.
.
0
+··· +xn
0
0
.
.
.
1
.
On a ainsi exhibé nvecteurs particuliers de E:
e1=
1
0
.
.
.
0
, e2=
0
1
.
.
.
0
,...., en=
0
0
.
.
.
1
.
et ainsi xs’écrit sous la forme x=x1e1+x2e2+··· +xnen.
1