Devoir libre n12: Variables aléatoires réelles finies. BCPST1 C Pour le 01/06 2011/2012

BCPST1 C
Devoir libre n12: Variables aléatoires réelles finies.
Pour le 01/06
2011/2012
On considère une urne contenant N boules dont r boules blanches et N −r boules noires (avec 0 <
r 6 N ). Dans cette urne, on prélève les boules une à une et sans remise, jusqu'à l'obtention de
toutes les boules blanches, et on note X le nombre de tirages qu'il est nécessaire d'eectuer pour
cela.
Le but de l'exercice est de déterminer la loi de X ainsi que son espérance et sa variance.
1.
a. Traiter le cas N = 4 et r = 1.
b.
Traiter le cas N = 4 et r = 2.
2.
Dans le cas r = 1, reconnaître la loi de X . Donner son espérance.
3.
Même question dans le cas r = N .
4.
On étudie maintenant le cas général 1 < r < N .
a. Déterminer l'ensemble des valeurs prises par X .
b.
Soit k l'une de ces valeurs.
(i) Déterminer la probabilité pour qu'au cours des k − 1 premiers tirages soient apparues r − 1 boules blanches (on pourra reconnaître une loi usuelle).
k−1
r−1
(ii) Vérier que P(X = k) = .
N
r
c.
En déduire les valeurs des sommes
N N N X
k−1 X k X k+1
,
,
.
r
−
1
r
r
+
1
k=r
k=r
k=r
d.
n−1
n
Après avoir prouvé que n
=p
, montrer que
p−1
p
E(X) =
e.
r(N + 1)
.
r+1
Calculer E X(X + 1) et en déduire V(X).
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