2M371 – Algèbre linéaire 2 Université Pierre et Marie Curie

2M371 – Algèbre linéaire 2
Mathématiques
Université Pierre et Marie Curie
Année 2016/2017
Devoir maison no 2
À rendre sur feuille le mercredi 29 mars 2017
Dans ce qui suit, k désignera un corps commutatif où 2 6= 0, E un k-espace vectoriel, et idE l’application identité
de E. Si ϕ ∈ End(E), on pose ϕ2 = ϕ ◦ ϕ. Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E,
pour tout x ∈ E, il existe d’uniques xF ∈ F et xG ∈ G tels que x = xF + xG . Avec ces notations, posant :
p(x) = xF
et
s(x) = xF − xG ,
on définit deux applications p et s de E dans E, respectivement appelées projection (ou projecteur) de E sur F
parallèlement à G et symétrie de E par rapport à F parallèlement à G. Enfin, si f : E → E, nous dirons que f
est une projection (resp. une symétrie) de E s’il existe F et G deux sous-espaces supplémentaires de E tels que
f soit la projection de E sur F parallèlement à G (resp. la symétrie de E par rapport à F parallèlement à G).
Partie I. Caractérisations des projections et symétries.
1) a. Montrer que toute projection de E est un endomorphisme de E.
b. Soient F et G deux sous-espaces supplémentaires de E, et p la projection de E sur F parallèlement à G.
Montrer que F = im p et G = ker p.
c. Soit p ∈ End(E). Prouver l’équivalence entre les conditions suivantes :
(i) p est une projection de E.
(ii) p2 = p.
2) a. Montrer que toute symétrie de E est un endomorphisme de E.
b. Soient F et G deux sous-espaces supplémentaires de E, et s la symétrie de E par rapport à F parallèlement
à G. Montrer que F = ker(s − idE ) et G = ker(s + idE ).
c. Soit s ∈ End(E). Prouver l’équivalence entre les conditions suivantes :
(i) s est une symétrie E.
(ii) s2 = idE .
d. Justifier que toute symétrie s de E est un automorphisme de E, dont on spécifiera l’inverse s−1 .
Dans la suite de ce problème, on fixe F1 et F2 deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans E. Notons p1
(resp. p2 ) la projection de E sur F1 parallèlement à F2 (resp. sur F2 parallèlement à F1 ), et s1 (resp. s2 ) la
symétrie de E par rapport à F1 parallèlement à F2 (resp. par rapport à F2 parallèlement à F1 ).
Partie II. Propriétés des projections et symétries.
1) Montrer que p1 ◦ p2 = p2 ◦ p1 = 0, p1 + p2 = idE , s1 + s2 = 0, et sj = 2pj − idE pour tout j ∈ {1, 2}.
2) Supposons maintenant E de dimension finie non nulle, et soient j ∈ {1, 2}, λ ∈ k.
a. Justifier que pj et sj sont des endomorphismes diagonalisables de E.
b. On suppose que λ est valeur propre de pj . Prouver que λ ∈ {0, 1}, et expliciter, suivant la valeur prise
par λ, l’espace propre pour pj associé à λ.
c. On suppose que λ est valeur propre de sj . Prouver que λ ∈ {−1, 1}, et expliciter, suivant la valeur prise
par λ, l’espace propre pour sj associé à λ.
On suppose désormais k = R, et l’on se propose de déterminer, pour d ∈ {2, 3} et différents choix de sousespaces supplémentaire F1 , F2 de E = Rd , les projections p1 , p2 et symétries s1 , s2 précédemment définies.
Notons E = (e1 , . . . , ed ) la base canonique de E, et Π1 , Π2 , S1 , S2 les matrices de p1 , p2 , s1 , s2 dans la base E.
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Partie III. Un exemple en dimension 2.
On se place dans E = R2 . Soient u1 , u2 les vecteurs de E donnés par u1 = (−1, 1), u2 = (1, 2), posons
U = (u1 , u2 ), et supposons F1 = Vect(u1 ), F2 = Vect(u2 ).
1) a. Vérifier que les sous-espaces F1 et F2 sont bien supplémentaires dans E.
b. En déduire que la famille U est une base de E.
2) Soit P la matrice de passage de E à U. Expliciter P , puis calculer son inverse P −1 .
3) a. Soit v = (x, y) ∈ E. Exprimer, en fonction de x et y, les composantes de v dans la base U.
b. En déduire, pour tout v = (x, y) ∈ E et j ∈ {1, 2}, les expressions de pj (v) et sj (v) en fonction de x, y.
c. Construire les matrices Π1 , Π2 , S1 , S2 .
4) On se propose de retrouver les résultats de IV.3.b et IV.3.c en utilisant les résultats de II.2.
a. Construire les matrices ∆1 , ∆2 , D1 , D2 de p1 , p2 , s1 , s2 dans la base U.
b. Exprimer Π1 , Π2 , S1 , S2 en fonction de ∆1 , ∆2 , D1 , D2 , P et P −1 .
c. Retrouver successivement les résultats de IV.3.c puis IV.3.b.
5) Soit v = (5, 1) ∈ E. Dans le plan muni du repère orthonormé direct (O ; e1 , e2 ) :
– représenter graphiquement les sous-espaces F1 et F2 , ainsi que le vecteur v ;
– après avoir calculé p1 (v), p2 (v), s1 (v), s2 (v), représenter graphiquement ces quatre vecteurs.
Partie IV. Un exemple en dimension 3.
On se place dans E = R3 . Soient u1 , u2 , u3 les vecteurs de E définis par u1 = (1, 2, 2), u2 = (1, 1, 0), u3 = (0, 1, 1),
et supposons F1 = Vect(u1 ), F2 = Vect(u2 , u3 ).
1) Vérifier que les sous-espaces F1 et F2 sont bien supplémentaires dans E.
2) Déterminer :
– les matrices Π1 , Π2 , S1 , S2 ,
– pour tout v = (x, y, z) ∈ E et tout j ∈ {1, 2}, les expressions de pj (v) et sj (v) en fonction de x, y, z.
3) Dans l’espace d’origine O, dessiner successivement :
– un plan F2 passant par O ;
– une droite F1 qui ne soit pas contenue dans F2 mais qui coupe F2 au point O ;
– un point M quelconque, représentant un vecteur v ∈ E, qui ne soit contenu ni dans F1 ni dans F2 ;
– les points A1 , A2 , B1 , B2 représentant respectivement les vecteurs p1 (v), p2 (v), s1 (v), s2 (v).
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