2M371 – Algèbre linéaire 2 Université Pierre et Marie Curie

2M371 – Algèbre linéaire 2 Université Pierre et Marie Curie
Mathématiques Année 2016/2017
Devoir maison no2
À rendre sur feuille le mercredi 29 mars 2017
Dans ce qui suit, kdésignera un corps commutatif où 26= 0,Eun k-espace vectoriel, et idEl’application identité
de E. Si ϕ∈End(E), on pose ϕ2=ϕ◦ϕ. Si Fet Gsont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E,
pour tout x∈E, il existe d’uniques xF∈Fet xG∈Gtels que x=xF+xG. Avec ces notations, posant :
p(x) = xFet s(x) = xF−xG,
on définit deux applications pet sde Edans E, respectivement appelées projection (ou projecteur)de Esur F
parallèlement à Get symétrie de Epar rapport à Fparallèlement à G. Enfin, si f:E→E, nous dirons que f
est une projection (resp. une symétrie) de Es’il existe Fet Gdeux sous-espaces supplémentaires de Etels que
fsoit la projection de Esur Fparallèlement à G(resp. la symétrie de Epar rapport à Fparallèlement à G).
Partie I. Caractérisations des projections et symétries.
1) a. Montrer que toute projection de Eest un endomorphisme de E.
b. Soient Fet Gdeux sous-espaces supplémentaires de E, et pla projection de Esur Fparallèlement à G.
Montrer que F= im pet G= ker p.
c. Soit p∈End(E). Prouver l’équivalence entre les conditions suivantes :
(i)pest une projection de E.
(ii)p2=p.
2) a. Montrer que toute symétrie de Eest un endomorphisme de E.
b. Soient Fet Gdeux sous-espaces supplémentaires de E, et sla symétrie de Epar rapport à Fparallèlement
àG. Montrer que F= ker(s−idE)et G= ker(s+ idE).
c. Soit s∈End(E). Prouver l’équivalence entre les conditions suivantes :
(i)sest une symétrie E.
(ii)s2= idE.
d. Justifier que toute symétrie sde Eest un automorphisme de E, dont on spécifiera l’inverse s−1.
Dans la suite de ce problème, on fixe F1et F2deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans E. Notons p1
(resp. p2) la projection de Esur F1parallèlement à F2(resp. sur F2parallèlement à F1), et s1(resp. s2) la
symétrie de Epar rapport à F1parallèlement à F2(resp. par rapport à F2parallèlement à F1).
Partie II. Propriétés des projections et symétries.
1) Montrer que p1◦p2=p2◦p1= 0,p1+p2= idE,s1+s2= 0, et sj= 2pj−idEpour tout j∈ {1,2}.
2) Supposons maintenant Ede dimension finie non nulle, et soient j∈ {1,2},λ∈k.
a. Justifier que pjet sjsont des endomorphismes diagonalisables de E.
b. On suppose que λest valeur propre de pj. Prouver que λ∈ {0,1}, et expliciter, suivant la valeur prise
par λ, l’espace propre pour pjassocié à λ.
c. On suppose que λest valeur propre de sj. Prouver que λ∈ {−1,1}, et expliciter, suivant la valeur prise
par λ, l’espace propre pour sjassocié à λ.
On suppose désormais k=R, et l’on se propose de déterminer, pour d∈ {2,3}et différents choix de sous-
espaces supplémentaire F1,F2de E=Rd, les projections p1, p2et symétries s1, s2précédemment définies.
Notons E= (e1, . . . , ed)la base canonique de E, et Π1,Π2, S1, S2les matrices de p1, p2, s1, s2dans la base E.
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Partie III. Un exemple en dimension 2.
On se place dans E=R2. Soient u1, u2les vecteurs de Edonnés par u1= (−1,1),u2= (1,2), posons
U= (u1, u2), et supposons F1= Vect(u1),F2= Vect(u2).
1) a. Vérifier que les sous-espaces F1et F2sont bien supplémentaires dans E.
b. En déduire que la famille Uest une base de E.
2) Soit Pla matrice de passage de EàU. Expliciter P, puis calculer son inverse P−1.
3) a. Soit v= (x, y)∈E. Exprimer, en fonction de xet y, les composantes de vdans la base U.
b. En déduire, pour tout v= (x, y)∈Eet j∈ {1,2}, les expressions de pj(v)et sj(v)en fonction de x, y.
c. Construire les matrices Π1,Π2, S1, S2.
4) On se propose de retrouver les résultats de IV.3.bet IV.3.cen utilisant les résultats de II.2.
a. Construire les matrices ∆1,∆2, D1, D2de p1, p2, s1, s2dans la base U.
b. Exprimer Π1,Π2, S1, S2en fonction de ∆1,∆2, D1, D2,Pet P−1.
c. Retrouver successivement les résultats de IV.3.cpuis IV.3.b.
5) Soit v= (5,1) ∈E. Dans le plan muni du repère orthonormé direct (O;e1, e2):
– représenter graphiquement les sous-espaces F1et F2, ainsi que le vecteur v;
– après avoir calculé p1(v),p2(v),s1(v),s2(v), représenter graphiquement ces quatre vecteurs.
Partie IV. Un exemple en dimension 3.
On se place dans E=R3. Soient u1, u2, u3les vecteurs de Edéfinis par u1= (1,2,2),u2= (1,1,0),u3= (0,1,1),
et supposons F1= Vect(u1),F2= Vect(u2, u3).
1) Vérifier que les sous-espaces F1et F2sont bien supplémentaires dans E.
2) Déterminer :
– les matrices Π1,Π2, S1, S2,
– pour tout v= (x, y, z)∈Eet tout j∈ {1,2}, les expressions de pj(v)et sj(v)en fonction de x,y,z.
3) Dans l’espace d’origine O, dessiner successivement :
– un plan F2passant par O;
– une droite F1qui ne soit pas contenue dans F2mais qui coupe F2au point O;
– un point Mquelconque, représentant un vecteur v∈E, qui ne soit contenu ni dans F1ni dans F2;
– les points A1, A2, B1, B2représentant respectivement les vecteurs p1(v),p2(v),s1(v),s2(v).
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