Ex1. On s`intéresse à une population de 135 000 personnes

Devoir de Mathématiques : probabilités
Ex1. On s’intéresse à une population de 135 000 personnes abonnées à un fournisseur d’accès à Internet. Il
existe deux fournisseurs A et B. Toute personne est abonnée à un seul de ces fournisseurs. On sait qu’un
tiers des personnes de cette population est abonné au fournisseur A.
Par ailleurs, 60% des personnes abonnées au fournisseur A accèdent à Internet par le haut débit, et 51 % des
personnes abonnées au fournisseur B accèdent à Internet par le haut débit.
On choisit une personne au hasard dans cette population, et on admet que la probabilité d’un évènement est
assimilée à la fréquence correspondante.
On note : A l’évènement : « la personne choisie est abonnée au fournisseur A »
B l’évènement: « la personne choisie est abonnée au fournisseur B »
H l’évènement: « la personne choisie accède à Internet par le haut débit »
1) Décrire cette situation aléatoire par un arbre pondéré.
0,6
H
A
1
3
0.4
2
3
0,51
H
B
0.49
2) Montrer que la probabilité de l’évènement « la personne est abonnée au fournisseur A et accède à
Internet par le haut débit » est égale à 0,20.
1
0.6 0.2
3
3) Montrer que la probabilité de l’évènement H : « la personne accède à Internet par le haut débit » est
égale à 0,54.
4) Formule des probabilités totales : 0.2 0.51 0.54
5) Calculer pH(A), probabilité de A sachant H, puis en donner la valeur décimale arrondie au centième.
0.2
10
0.37
0.54 27
6) On choisit au hasard trois personnes dans cette population. On admet que le nombre de personnes est
suffisamment grand pour assimiler le choix des trois personnes à des tirages successifs indépendants
avec remise. Calculer la probabilité de l’évènement :
M « exactement deux des personnes choisies accèdent à Internet par le haut débit ». On en donnera la
valeur décimale arrondie au centième.
Il s’agit de la succession de trois épreuves de Bernoulli. On a une loi binomiale de paramètres 3 0.54.
3 0.54 0.46 0.40
Ex2. ( Pondichéry 2009) PARTIE A
Cette première partie est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes trois réponses sont
proposées, une seule de ces réponses convient.
Sur votre copie, noter le numéro de la question et recopier la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée.
Une seule réponse est acceptée.
Barème : Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l’absence de réponse à une
question ne rapporte ni n’enlève de point. Si le total donne un nombre négatif, la note attribuée à cette partie sera
ramenée à zéro.
1. On lance un dé cubique équilibré. Les faces sont numérotées de 1 à 6.
La probabilité d’obtenir une face numérotée par un multiple de 3 est
1
1
1
•
•
•
6
3
2
2. Soient A et B deux évènements tels que p(A) = 0,2, p(B) = 0,3 et p ( A ∩ B ) = 0,1 ; alors
• p ( A ∪ B ) = 0, 4
• p ( A ∪ B) = 0,5
• p ( A ∪ B) = 0,6
3. Soient A et B deux évènements indépendants de probabilité non nulle, alors on a obligatoirement :
• p ( A ∩ B) = 0
• pA ( B ) = pB ( A )
• p ( A ∩ B ) = p (A) × p (B)
4. Une expérience aléatoire a trois issues possibles : 2 ; 3 et a (où a est un réel).
1
1
1
On sait que p(2) = , p (3) = et p(a ) = .
2
3
6
On sait de plus que l’espérance mathématique associée est nulle. On a alors
• a = − 12
• a=6
• a=−5
Dans cette partie toutes les réponses seront justifiées.
Dans un club , Julien joue au basket. Il sait que lors d’un lancer sa probabilité de marquer un panier est égale à 0,6.
1. Julien lance le ballon quatre fois de suite. Les quatre lancers sont indépendants les uns des autres.
a. Montrer que la probabilité que Julien ne marque aucun panier est égale à 0,0256.
On a une répétition de 4 épreuves de Bernoulli indépendantes .
On a donc une loi binomiale de paramètre n=4 et p=0.6
Le seul chemin conduisant à 4 paniers réussies est SSSS ; 0.6 0.0256
b. Calculer la probabilité que Julien marque au moins un panier.
L événement contraire de A : « au moins un panier . » est « aucun panier. »
0.4
1 1 0.4 0.9744
La probabilité que Julien marque au moins un panier est 0.9744.
PARTIE B
2. Combien de fois Julien doit-il lancer le ballon au minimum pour que la probabilité qu’il marque au moins un
panier soit supérieure à 0,999 ?
Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.
Soit n le nombre de lancers.
La probabilité d’obtenir n échecs consécutifs est égale à 0.4" .
La probabilité de marquer au moins un panier est alors égale à : 1 0.4" .
On cherche le plus petit n tel que : 1 0.4" # 0.999 soit 0.4" # 0.001 $%& 0.4" ' 0.001
soit ln0.4" ' *0.001$%& #
+",.,,+",.
7.5
Le plus petit entier n est 8.
Julien doit lancer le ballon au moins 8 fois pour que la probabilité de marquer au moins un panier soit supérieure à
0.999.