3 page 50 Combien de nombres premiers

Euclide d’Alexandrie
Index
   !
   !
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!"#   
!$   
 $   
$   
$   
$   
$!$   
3 page 50 Combien de nombres premiers
%
&'(
) ××*+
'
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'
××$*+$,$
$
Dans les trois cas, les nombres premiers trouvés ne font pas partie de la liste initiale.
Autrement dit, il semble que si on a une liste de nombres premeirs, on peut construire trouver au moins
un nombre premier supplémentaire.
-.p/p /0/pr
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1er cas :"
"2
"23242piiir
2ième cas .
"'/(2p"
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Raisonnement par l'absurde.
6pp/p /0/prp+pp 0pr
p"/p2"7+
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?$24@ ? ?

Euclide d’Alexandrie
A22/p+2222p
B(2/'
('A2.
,CC23CC
B'/=1)'A#
D'
EF
G
122)
A(.$$
1-$$)
Problème 4 page 62
,5'2
Mn
+
n
7/n∈ℕ
Partie A : Exploration
)&n3 
En2
Mn
2
En
Mn
1/
M
')
18F
M!
M 
)
89.9:29;<=9/29>
?$24@ ? ?

Euclide d’Alexandrie
)6a+/'
an
7+1a7)1
an−
*
an−
**)1()
a≠/2a
,n.**
an−
+
an−
a−
/2'.
an
7+1a7)1
an−
*
an−
**)
6n2.n+pq2pq23
n
+
( p)q
<'22a+
p
n+q
( p)q
7+1
p
7)1
( p)q−
*
( p)q−
**)
pG/
p
7G
,
n
722n2
)6
n
7d
-.
n
7≡1d)/.
n
≡1d)
Partie B : Nombres de Mersenne lorsque p est premier.
p
Mp
+
p
7d.
6
Mp
:1d+
Mp
)
6
Mp
'/(d
Mp
d est nécessairement impair
p
7
-2.dd
I'n
n
≡1d)
I+Hn?n∈ℕI
n
≡1d)J
)
p
7d.'F/
p
7≡1d)/.
p
≡1d)
p∈I/2/p
Kℕ.
p
2
∉II
∉I2 ≡(d
2.
p
)n+
p
×q*r2rL
p
1B2n
p
)
n
+
pq+r
+
( p)q× r
-/n∈I/2/
n
≡1d)
p
∈I2
p
≡1d)/.
( p)q
≡1d)
89.9:29;<=9/29>
?$24@ ? ?

Euclide d’Alexandrie
-.
n
≡
r
1d)/.
r
≡1d)rL
p
r2I/2r+
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Partie C : Deux nombres de Mersenne
M!
et
M 
.
),'
M!
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M!
×!k*+Mk*2k∈ℕ1'k)
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M!
√
M!
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M
$ 
M
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(Remarques sur ces nombres :
On peut ajouter k = 13m + 1, car, 38 × 1 + 1 = 39 est un multiple de 13
k = 11m + 2, car, 38 × 2 + 1 = 77 est un multiple de 11
On cherche des nombres de la forme 38 × a + 1 non premiers ... a = 1 donne 39 = 3 × 13 q = 3 ou q = 13
89.9:29;<=9/29>
?$24@ ? ?

Euclide d’Alexandrie
a = 2 donne 77 = 7 × 11 q = 7 ou q = 11
a = 3 donne 115 = 5 × 23 q = 5 ou q = 23
les nombres de la forme 38(qm + a) + 1 sont factorisables par q)
2)#.
k1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
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m* ( ( ( (
$m* ( ( (
N3M×*+!/M×*+ !;M×*+!;M× *+$/
M×*++×'/M×*+$/
M×$*+$
M!
O22.
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M 
+
7+MMM$
 />'d
M 
P k*+k*2k∈ℕ
A
M 
$/.MMM$+$×$MM
M 
'
Partie D : Le test de Lucas-Lehmer
S
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Si=S−
− QQQQi⩾
).CKS C
22.
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S
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+
Sk
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2
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Ri
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Mp
)
B'F/
S+
≡
Ri
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Mp
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S+
≡
Ri+
1
Mp
)R
22.
Ri+
≡
Ri
7 1
Mp
)
)K.
89.9:29;<=9/29>
?$24@ ? ?