Exercice 10 - XMaths

http://xmaths.free.fr 1ère ES - L
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Trinôme du second degré
−
Corrections
Exercice 10
(2x + 3)(5 - x) = 0 X 1 + x = x
2
X 3x
3
+ x
2
= 0
(x
2
- 1)(3 - 2x) = 0 3x - x
2
= 2 X x + 1
x = 1
Résolution des équations du second degré
• (2x + 3)(5 - x) = 0 ⇔ (2x + 3) = 0 ou (5 - x) = 0 ⇔ 2x = - 3 ou 5 = x ⇔ x = - 3
2 ou x = 5
L'équation (2x + 3)(5 - x) = 0 a pour solutions - 3
2 et 5 .
• 1 + x = x
2
⇔ x
2
- x - 1 = 0
L'équation x
2
- x - 1 = 0 a pour discriminant ∆ = (- 1)
2
- 4 x 1 x (- 1) = 1 + 4 = 5
∆ est strictement positif donc l'équation a deux solutions :
x
1
= 1 - 5
2 x 1 = 1 - 5 2 et x
2
= 1 + 5
2 x 1 = 1 + 5 2
L'équation 1 + x = x
2
a pour solutions 1 - 5
2 et 1 + 5 2.
• 3x - x
2
= 2 ⇔ 0 = 2 + x
2
- 3x ⇔ x
2
- 3x + 2 = 0
L'équation x
2
- 3x + 2 = 0 a pour discriminant ∆ = (- 3)
2
- 4 x 1 x 2 = 9 - 8 = 1
∆ est strictement positif donc l'équation a deux solutions :
x
1
= 3 - 1
2 x 1 = 3 - 1 2 = 1 et x
2
= 3 + 1
2 x 1 = 3 + 1 2 = 2
L'équation 3x - x
2
= 2 a pour solutions 1 et 2.
Résolutions des autres équations
• 3x
3
+ x
2
= 0 ⇔ x
2
(3x + 1) = 0 ⇔ x
2
= 0 ou 3x + 1 = 0 ⇔ x = 0 ou 3x = - 1
⇔ x = 0 ou x = - 1
3
L'équation 3x
3
+ x
2
= 0 a pour solutions 0 et - 1
3 .
• (x
2
- 1)(3 - 2x) = 0 ⇔ (x - 1)(x + 1)(3 - 2x) = 0 ⇔ (x - 1) = 0 ou (x + 1) = 0 ou (3 - 2x) = 0
⇔ x = 1 ou x = - 1 ou 3 = 2x ⇔ x = 1 ou x = - 1 ou x = 3
2
L'équation (x
2
- 1)(3 - 2x) = 0 a pour solutions 1 ; - 1 et 3
2 .
• L'équation x + 1
x = 1 est définie à condition que x soit différent de 0
(en effet 1
x n'existe pas lorsque x = 0)
Pour x ≠ 0, on peut écrire :
x + 1
x = 1 ⇔ x
2
x + 1 x = 1 ⇔ x
2
+ 1
x = 1 ⇔ x
2
+ 1 = 1 x x ⇔ x
2
- x + 1 = 0
L'équation x
2
- x + 1 = 0 a pour discriminant ∆ = (- 1)
2
- 4 x 1 x 1 = 1 - 4 = - 3
∆ est strictement négatif donc l'équation x
2
- x + 1 = 0 n'a pas de solution.
On en déduit que : l'équation x + 1
x = 1 n'a pas de solution.