Note de cours - Éric Brunelle professeur de Mathématiques

Note de cours de MAT009
Mise à niveau pour Mathématiques
536
Éric Brunelle
Table des matières
Introduction
1
Chapitre 1. Quelques rappels
1. Les ensembles
2. Arithmétique sur les nombres réels
3. Les polynômes
3
3
9
15
Chapitre 2. Équations et inéquations
1. Les équations
2. Les fractions algébriques
3. Intervalles et inéquations
23
23
29
34
Chapitre 3. Étude graphique de fonctions
Introduction
1. Éléments de l’étude des fonctions
2. Opérations sur les fonctions
3. Rôle des paramètres a, b, h et k
39
39
39
49
52
Chapitre 4. La droite
1. La fonction constante
2. La fonction linéaire
3. Relations entre deux droites
4. Modélisation
5. Les distances
59
59
60
63
68
69
Chapitre 5. La parabole
1. La parabole de base
2. La fonction transformée
3. Recherche de la règle
4. Résolution d’équations ayant une fonction du second degré
5. Modélisation
6. Résolution d’inéquations ayant une parabole
7. Exercices sur la section 6
75
75
76
83
85
86
87
88
Chapitre 6. Fonctions particulières
1. Fonction rationnelle
89
89
3
4
TABLE DES MATIÈRES
2. Fonction racine carrée
3. Fonctions définies par parties
4. Fonction valeur absolue
93
101
103
Chapitre 7. Les fonctions exponentielles et logarithmiques
1. Les exponentielles
2. Les logarithmes
113
113
122
Chapitre 8. Les fonctions trigonométriques
1. Le cercle trigonométrique
2. La fonction sinus
3. La fonction cosinus
4. La fonction tangente
5. Les fonctions sécante, cosécante et cotangente
6. Identités trigonométriques
133
133
143
150
150
154
155
Introduction
1
CHAPITRE 1
Quelques rappels
1. Les ensembles
1.1. Introduction. Les ensembles sont des éléments importants
des mathématiques. La compréhension de ceux-ci est essentielle pour
faire l’étude des différentes notions de ce cours. Regardons tout d’abord
ce qu’est un ensemble.
Définition 1.1. Un ensemble est une collection d’objets appelés
éléments ayant ou non une relation entre eux.
NOTATION
Habituellement, on identifie les ensembles par une lettre majuscule
et les éléments d’un ensemble par une minuscule. Par exemple, un
élément a est dans l’ensemble A. Cette phrase peut être écrit en
mathématique comme suit :
a ∈ A, où le symbole ∈ signifie élément de.
Exemple 1.1. Les ensembles A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, maison}
et C = {3, 4}. Ici, 1 ∈ A, maison ∈ B, mais 1 ∈
/ C, c’est-à-dire que
l’élément 1 n’appartient pas à l’ensemble C.
On remarque que pour rassembler les éléments d’un ensemble, on les
met entre accolades {}. Cependant si le nombre d’éléments d’un ensemble est trop grand, cette notation est très peu utile. La façon de
faire est présentée dans le prochain exemple.
Exemple 1.2. Soit l’ensemble G, l’ensemble des garçons d’une
classe et F l’ensemble des filles de cette classe. On les écrit comme
suit :
G = {x | x est un garçon de la classe} et
F = {x | x est une fille de la classe}.
NOTATION
La barre verticale, |, signifie tel que. Ainsi, l’ensemble G se lit comme
suit :
"G est l’ensemble des x tel que x est un garçon de la classe."
3
4
1. QUELQUES RAPPELS
Définition 1.2. On dit que deux ensembles sont égaux si tous les
éléments du premier sont dans le deuxième et vice-versa.
Définition 1.3. Soit un ensemble E. On dit qu’un ensemble S est
un sous-ensemble de E si tous les éléments de S sont dans l’ensemble
E.
NOTATION
À ce moment, on écrit S ⊆ E.
Exemple 1.3. Soit les ensembles A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, maison}
et C = {3, 4}. On a que C ⊂ A, mais B * A car maison ∈
/ A.
1.2. Diagramme de Venn. Le diagramme de Venn est une manière visuelle de représenter les ensembles. Afin d’illustrer cette méthode, revenons à l’exemple précédent.
Exemple 1.4. Soit les ensembles A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, maison}
et C = {3, 4}. Le diagramme de Venn de ces ensembles est Sur cette
B
maison
2
1
3
C
4
A
Fig. 1. Diagramme de Venn.
figure, on voit bien que l’ensemble C est inclu dans l’ensemble A.
Ce diagramme sera très utile pour étudier les opérations sur les
ensembles que l’on abordera dans la prochaine section.
Définition 1.4. L’ensemble vide, noté ∅ ou {}, est l’ensemble qui
ne contient aucun élément. Il est à noter que l’ensemble vide est un
sous-ensemble de tous les ensembles.
NOTATION
∅ ⊆ A, ∀ ensembles A. Le symbole ∀ est un quantificateur universel
et signifie "pour tout".
1. LES ENSEMBLES
5
1.3. Opérations sur les ensembles. Tout comme pour les nombres,
il existe des opérations entre les ensembles. Le résultat de ces opérations
est un ensemble.
Définition 1.5. Soit A et B, deux ensembles. L’union ou réunion
de A et B est l’ensemble formé de tous les éléments qui se retrouvent
dans A et/ou B. On note cette opération A ∪ B. En mathématique, on
écrit
A ∪ B := {x|x ∈ A et/ou x ∈ B}.
Exemple 1.5. Si A = {1, 2, 3} et B = {3, 4, 5}, alors
C = A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}.
L’union de deux ensembles se visualise avec le diagramme de Venn.
La partie ombragée de la figure 2 montre la réunion des ensembles A et
B. Une autre opération importante est l’intersection de deux ensembles.
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A
B
Fig. 2. Diagramme de Venn pour l’union de A et B.
Définition 1.6. Soit A et B, deux ensembles. L’intersection de A
et B est l’ensemble formé de tous les éléments qui se retrouvent à la fois
dans A et dans B. On note cette opération A ∩ B. En mathématique,
on écrit
A ∩ B := {x|x ∈ A et x ∈ B}.
Exemple 1.6. Si A = {1, 2, 3} et B = {3, 4, 5}, alors
C = A ∩ B = {3}.
La partie ombragée de la figure 3 montre l’intersection entre l’ensemble A et l’ensemble B. La dernière opération de cette section est la
différence entre deux ensembles.
Définition 1.7. Soit A et B, deux ensembles. La différence, notée
A − B ou A \ B, est l’ensemble des éléments qui sont dans A, mais qui
ne sont pas d’en B. En mathématique, on écrit
A − B := {x|x ∈ A et x ∈
/ B}.
6
1. QUELQUES RAPPELS
11
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00
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A
B
Fig. 3. Diagramme de Venn pour l’intersection de A et B.
Exemple 1.7. Si A = {1, 2, 3} et B = {3, 4, 5}, alors
A − B = {1, 2} et B − A = {4, 5}.
Il est à noter que A − B 6= B − A. On dit alors que cette opération
n’est pas commutative. Par contre, l’intersection et la réunion le sont,
c’est-à-dire
A ∪ B = B ∪ A et A ∩ B = B ∩ A.
4.
L’ensemble résultant de la différence A − B est illustré à la figure
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A
B
Fig. 4. Diagramme de Venn pour A − B.
1.4. L’ensemble universel ou référenciel. L’étude des ensembles
est souvent reliée à certaines situations de la vie. À ce moment, les
valeurs possibles pour les éléments d’un ensemble sont soumises à des
contraintes qui forment ce que l’on nomme l’ensemble universel ou référentiel. On note cet ensemble U . Pour bien comprendre ceci, regardons
un exemple.
Exemple 1.8. Un jeu de dés à six faces consiste à lancer simultanément deux dés. On gagne si on obtient deux chiffres identiques.
Trouvez l’ensemble référentiel et l’ensemble des possibilités gagnantes.
Ici, l’ensemble U est constitué de tous les couples (x, y) où x et y
sont des nombres de 1 à 6 obtenus respectivement par le premier et
deuxième dé. Ainsi, on peut écrire
U = {(x, y)|x ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} et y ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}}.
1. LES ENSEMBLES
7
Pour ce qui est de l’ensemble des possibilités gagnantes G, on a
G = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}.
Il est à noter que G ⊂ U .
Définition 1.8. Soit un ensemble A dans un ensemble universel
U . On appelle complément de A, l’ensemble de tous les éléments de U
qui ne sont pas dans A. On note cet ensemble A0 ou Ac . En mathématique, cet ensemble est décrit par
A0 := {x|x ∈ U et x ∈
/ A}.
Exemple 1.9. Soit U = {1, 2, 3, 4, ..., 9, 10} et A = {2, 4, 6, 8}.
Alors, A0 = {1, 3, 5, 7, 9, 10}.
A0 est représenté à la figure 5.
A0
U
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A
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Fig. 5. Diagramme de Venn pour A0 .
1.5. Les ensembles de nombres réels. Dans cette section, regardons cinq ensembles très importants en mathématiques et dans la
vie quotidienne. Ces ensembles ont tous la particularité d’être infinis,
c’est-à-dire qu’ils contiennent un nombre infini d’éléments. Ceci n’était
pas le cas des ensembles qu’on a vu jusqu’ici. Le premier ensemble est
celui des nombres dits naturels.
Définition 1.9. L’ensemble des nombres naturels, noté
semble suivant :
N, est l’en-
N := {0, 1, 2, 3, 4, ...}.
NOTATION
Lorsque l’on A := B, le := signifie que l’ensemble B est la définition de l’ensemble A. Ainsi,
est par définition l’ensemble
{0, 1, 2, 3, 4, ...}. Il ne faut pas confondre := avec = qui signifie seulement égalité entre les deux ensembles.
N
8
1. QUELQUES RAPPELS
Il est à noter que dans certains livres 0 n’est pas dans l’ensemble
Le deuxième ensemble est celui des nombres entiers.
N.
Définition 1.10. L’ensemble des nombres entiers est l’ensemble
Z := {..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}.
On peut facilement remarquer que l’ensemble des nombres naturels
est un sous-ensemble des nombres entiers, ⊂ . Le prochain ensemble
est l’ensemble de toutes les fractions. C’est l’ensemble des nombres
rationnels.
N Z
Q
est l’enDéfinition 1.11. L’ensemble des nombres rationnels,
p
semble de tous les nombres de la forme où p est un nombre entier et
q
q, un nombre naturel sauf 0. En mathématique, on écrit
Q :=
(
Z
p ,q ∈
p ∈
q
N/{0}
)
.
Malgré ces trois ensembles, on ne peut pas décrire la vie réelle. Par
exemple, le nombre π, qui est nécessaire dans l’étude des cercles, n’est
dans aucun des ensembles. Pourtant, il s’agit bel et bien d’un nombre de
la vie puisqu’il est le rapport entre la circonférence et le diamètre d’un
cercle. Il faut donc ajouter un ensemble qui est l’ensemble des nombres
irrationnels, c’est-à-dire les nombres qui ne s’écrivent pas comme une
fraction. On note cet ensemble 0 .
Q
R
est l’ensemble
Définition 1.12. L’ensemble des nombres réels,
de tous les nombres de la vie. En réalité, est l’union de
et de 0 ,
R := Q ∪ Q0.
R
Q
Q
La relation entre ces ensembles est donnée grâce au diagramme de
Venn à la figure 6. On remarque que ⊂ ⊂ ⊂ .
N Z Q R
00000000000000000R
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N
Q0
001
11
0
1
0
0Z
1
Q
0
1
0
1
Fig. 6. Diagramme de Venn des ensembles de nombres réels.
2. ARITHMÉTIQUE SUR LES NOMBRES RÉELS
9
Exemple 1.10. Regardons dans quels ensembles sont les nombres
suivants :
– 1.3 : ce nombre est un nombre rationnel, car 1.3 = 13/10. Ainsi,
1.3 ∈ .
√
– 2 : ce nombre est irrationnel. Dans un cours plus avancé, on
peut le montrer. Il est très rare qu’une racine soit rationnelle.
– 1.2̄ est un nombre avec un développement décimal infini, mais il
est tout de même rationnel, car 1.2̄ = 11/9.
Q
1.6. Exercices sur la section 1.
(1) Soit A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 3, 7} et C = {2, 4, 5}.
a) Trouvez A ∪ B, A ∪ C, (C ∪ B) ∩ A et (A ∩ B)/C.
b) Supposons que ces ensembles sont dans l’ensemble univers
U , l’ensemble des dix premiers nombres naturels non nuls.
Trouvez A0 , B 0 et C 0 ∩ A.
c) Dessinez le diagramme de Venn de cette situation.
(2) Écrire tous les éléments des ensembles suivants :
a) {x|x ∈ et x < 4}
b) {x|x est une couleur de l’arc en ciel}
c) {x|x est une journée de la semaine contenant un a}.
N
(3) Dites si les nombres
√
√sont rationnels ou irrationnels.
a) 1 b) π c) 5 d) 4 e) 15.3̄
(4) Écrire avec l’aide des opérations sur les ensembles (∩, ∪, /, ..)
les ensembles suivants :
a) {x|x ∈ A et x ∈
/ B}
b) {x|x ∈ A ou x ∈
/ B}
c) {x|x ∈ A ou x ∈ B et x ∈ C}
(5) Écrire en extension, c’est-à-dire sous la forme {x|x ∈ ...}, les
ensembles suivants :
a) (A − B) ∪ (B − A)
b) (A ∩ C) ∩ (A ∪ B)
c) A0 ∩ A
d) A0 ∪ A
e) A0 ∩ B 0 .
(6) ***Montrez que A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∩ (A ∪ C).
2. Arithmétique sur les nombres réels
La base de l’arithmétique sur les nombres réels est connue depuis le
primaire. Il s’agit d’une opération faite entre deux ou plusieurs nombres
réels. Il y a quatre opérations de base :
10
1. QUELQUES RAPPELS
– l’addition ou somme de deux nombres réels : x + y,
– la soustraction ou différence : x − y,
– la multiplication ou produit : x × y et
– la division ou le quotient : x ÷ y.
Ici, il faut bien prendre en note que pour la division, y 6= 0.
NOTATION
La multiplication entre x et y est écrite à l’aide du symbole ×. Ce
symbole peut être confondu avec la lettre x qui est souvent utilisée.
C’est pourquoi, on notera le produit entre x et y comme x · y ou
simplement xy lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïtés.
2.1. Les exposants entiers.
R
N
Définition 1.13. Soit un nombre a ∈
\ {0} et n ∈
\ {0}.
.
Ici,
n
est
l’exposant
de
a ou
On note alors que an = a
×
a
×
...
×
a
|
{z
}
n
puissance de a.
fois
On définit a0 = 1. Par contre, 00 n’est pas défini. Cela signifie que
00 est indéterminé.
R
Proposition 1.1. Soit un nombre a ∈ \ {0} et n ∈
– si n est pair, alors an > 0, ∀a ∈ \ {0},
– si n est impair, alors an a le même signe que a.
R
N. On a que
Exemple 1.11. Trouvons les valeurs de (−5)2 et (−5)3 .
(−5)2 = −5 × −5 = 25 et (−5)3 = −5 × −5 × −5 = −125.
Il faut bien noter que −52 signifie que c’est 5 qui est au carré et
non −5, d’où l’importance des parenthèses.
Proposition 1.2 (Lois des exposants). Soit n, m ∈
a les égalités suivantes :
(1) am × an = am+n ,
1
(2) a−n = n si a 6= 0,
a
m
a
(3) n = am × a−n = am−n ,
a
(4) (am )n = anm ,
(5) (ab)m = am bm ,
 ‹n
an
a
= n , avec b 6= 0.
(6)
b
b
N. Alors, on
2. ARITHMÉTIQUE SUR LES NOMBRES RÉELS
11
Démonstration. Regardons la preuve de quelques-uns de ces résultats. Pour la première loi :
am × an = |a × a ×
... × a} × a
×a×
... × a}
{z
|
{z
m fois
=a
×
a×
... × a}
|
{z
(n+m)
= an+m
n
fois
fois
(par la définition de l’exposant)
Pour la troisième loi :
am
1
= am n
n
a
a
= am · a−n (par la deuxième loi)
= am−n
(par la loi 1)
Le principe pour démontrer les autres lois est le même.
Nous reviendrons plus loin à ces lois lors de l’étude des exposants
qui ne sont pas nécessairement naturels.
2.2. Les priorités d’opérations. Lorsque nous avons une grande
expression, il faut savoir comment la simplifier. C’est pourquoi, il existe
ce que l’on appelle la priorité d’opération. Voici les étapes :
Étape 1: On résoud l’intérieur des parenthèses en suivant la
priorité d’opérations.
Étape 2: On simplifie les exposants.
Étape 3: On effectue les multiplications et divisions.
Étape 4: On fait les additions et les soustractions.
Exemple 1.12.
3 + 4 × (5 + 2)2 − 36 ÷ (32 − 3) = 3 + 4 × (7)2 − 36 ÷ (9 − 3) les parenthèses
= 3 + 4 × (7)2 − 36 ÷ (6)
= 3 + 4 × 49 − 36 ÷ 6
le exposants
= 3 + 196 − 6
les × et ÷
= 193
les + et −
2.3. Les fractions. Rappellons qu’une fraction est un nombre réel
de la forme
a
, où a ∈ et b ∈ \ {0}.
b
c
a
et
sont équivaDéfinition 1.14. On dit que deux fractions
b
d
lentes si ad = bc.
Z
N
Exemple 1.13. Regardons quelques exemples :
12
1. QUELQUES RAPPELS
2
8
est équivalente à
.
4
16
1
13
–
est équivalente à
, car 13 × 13 = 169 × 1.
13
169
3
2
, car 2 × 14 6= 3 × 7.
– Par contre est équivalente à
7
14
–
2.3.1. Addition et soustraction de fractions.
important–important–important–important–important
Pour additionner ou soustraire deux fractions, il faut qu’elles aient
le même dénominateur. À ce moment, on additionne les numérateurs et le dénominateur reste le même.
En mathématique,
a
+
b
a
−
b
c
a+c
=
b
b
c
a−c
=
.
b
b
Par contre, si les deux fractions n’ont pas le même dénominateur, il
faut effectuer une opération supplémentaire. On doit mettre les deux
fractions sur le même dénominateur. La façon la plus simple est la
suivante :
a
+
b
a
−
b
c
ad cb
ad + cb
=
+
=
d
bd bd
bd
c
ad cb
ad − cb
=
−
=
.
d
bd bd
bd
Par la suite, on simplifie le résultat.
Exemple 1.14.
1 1
1·2 1·3
5
+ =
+
=
3 2
3·2 3·2
6
5
Ici,
est irréductible, c’est-à-dire qu’on ne peu plus simplifier cette
6
fraction.
2.3.2. Multiplication et division de fractions. La multiplication de
deux fractions est définie comme suit :
ac
a c
× = .
b d
bd
En d’autres mots, la multiplication de deux fractions cnsiste à multiplier es numérateurs ensembles et les dénominateurs ensembles. Par
2. ARITHMÉTIQUE SUR LES NOMBRES RÉELS
13
contre, la division demande un peu plus de travail.
a
 ‹  ‹−1
c
b = a
loi des exposants
c
b
d
d
 ‹
a −1 1 −1
=
lois des exposants
c
b
d
 ‹‚ Œ
a
d
lois des exposants
=
b
c
ad
=
multiplication de fractions.
bc
Ce revient à dire que la division de deux fractions est le produit du
numérateur par l’inverse du dénominateur.
1
1 6
6
Exemple 1.15. 3 = × = = 2.
1
3 1
3
6
2.4. Les racines ou exposants fractionnaires. Nous avons vu
plus tôt les lois des exposants dans le cas où ces derniers sont des
nombres naturels. Regardons maintenant le cas où les exposants sont
des nombres fractionnaires.
Définition 1.15. Soit n un nombre naturel impair et a un nombre
réel. On écrit alors que
√
1
a n = n a.
√
n
a est la ne racine de a. Une forme équivalente à cette formulation
est :
√
b = n a ⇐⇒ bn = a
Il est très important de noter qu’ici n est impair. Le cas où n est
pair est vu dans quelques instants.
√
Exemple 1.16. Trouvons la valeur de b si b = 3 125. Une forme
équivalente
est de chercher b tel que b3 = 125. On sait que 53 = 125.
√
3
Donc, 125 = 5.
Définition 1.16. Si n est pair, alors la racine ne de a est définie
seulement si a ≥ 0.
Cette contrainte provient du√faire que bn ≥ 0 pour tout nombre n
pair. Ainsi, si a = bn , alors b = n a existe seulement si a ≥ 0. De plus,
si a = bn avec a > 0 et n √
pair, alors il √
existe deux valeurs de b qui
n
n
satisfont cette égalité : b = a ou b = − a.
14
1. QUELQUES RAPPELS
Exemple 1.17. Si x2 = 4. On a que x = 2 satisfait l’équation et
que x = −2 la satisfait aussi.
Puisque la racine d’un nombre est en réalité un exposant, elle est
sousmise aux mêmes lois que les exposants.
Proposition 1.3. Voici les règles pour manipiler les racines :
1
1
1
(1) a− n = 1 = √
,
n
a
an
√ m √
m
(2) a n = ( n a) = n am ,
√
√ √
(3) n ab = n a n b et
√
r
n
a
a
n
(4)
.
= √
n
b
b
important–important–important–important–important
√
√
√
n
a + b 6= n a + n b
2.5. Exercices sur la section 2.
(1) Simplifier les expressions suivantes :
a) (2 + 3 × 4) − 20 ÷ 2 + 3 b)
3
3
4
3
+
1
16
1
d) 4
3
73 1
y 4 y 2 y3
e)
9
y4
√
√
g) 3 64x6 y 12 × 3 125x3 y 15
√ √
2 3
c) √
6
240 × 4200
220
((−3)2 )4 (x2 )3
f)
(92 )4 (x4 )2
d)
(2) Évaluer avec une calculatrice les nombres suivants :
√
√
a) 2 b) 5 321 c) 4.568
(3) Trouver deux fractions équivalentes à chacune des fractions
suivantes :
a)
7
3
−15
b)
c)
6
16
32
3. LES POLYNÔMES
15
3. Les polynômes
Définition 1.17. Une variable est une quantité qui peut prendre
n’importe quelle valeur dans un ensemble donné.
Une constante est une quantité fixe.
Un monôme est une expression formée d’un produit d’une constante et
de variables ayant des exposants naturels.
Exemple 1.18. Voici quelques exemples :
(1) 3x2 est un monôme ayant pour constante 3 et la variable x.
(2) 14x4 y 3 z est un monôme ayant comme variables x, y et z.
(3) 4x3 y 7z −3 n’est pas un monôme, car l’exposant de z n’est pas
un nombre naturel.
(4) 3 est un monôme dit monôme constant.
Définition 1.18. Un polynôme est une somme ou différence de
monômes.
– Si le polynôme est la somme de deux monômes, on l’appelle binôme.
– Si le polynôme est la somme de trois monômes, on l’appelle trinôme.
Exemple 1.19. Voici quelques exemples :
(1) 3x2 + y est un binôme. On dit que 3 est le coefficient de x2 et
1 le coefficient de y.
(2) 3xy 9 z +8ab+4 est un trinôme. On appelle 4 le terme constant.
(3) 2x + 4y − 6z est un polynôme.
(4) 2x − 4xy −10 n’est pas un polynôme, car −4xy −10 n’est pas un
monôme.
Définition 1.19. Le degré d’un monôme est la somme des exposants de ses variables.
Le degré d’un monôme constant est 0.
Le degré d’un polynôme est le plus grand degré de ses monômes.
Exemple 1.20.
(1) 3x2 + y est de degré 2.
(2) 3xy 9 z + 8ab + 4 est de degré 1 + 9 + 1 = 11.
(3) 2x + 4y − 6z est de degré 1.
(4) 8 est de degré 0.
16
1. QUELQUES RAPPELS
3.1. Somme et différence de polynômes. Pour additionner
deux polynômes, P1 et P2 , il faut additionner les coefficients des termes
identiques, c’est-à-dire ceux qui ont les mêmes variables et mêmes exposants.
Exemple 1.21. Soit P1 = 3x + 4xy et P2 = 6xy 2 − 4x. Alors,
P1 + P2 = 3x + 4xy + 6xy 2 − 4x = (3x − 4x) + 4xy + 6xy 2
= −x + 4xy + 6xy 2
Exemple 1.22. Soit P1 = 3x2 y − 4xy 2 + 6xy − 7x + 15 et
P2 = x3 − 5xy 2 + xy + 3y + 4x − 2. Alors,
P1 + P2 = x3 + 3x2 y − 9xy 2 + 7xy − 3x + 3y + 13.
Pour ce qui est de la soustraction de deux polynômes, P1 − P2 ,
revient à multiplier tous les coefficients de P2 par −1 et à additionner
ce résultat à P1 .
Exemple 1.23. Soit P1 = 3x + 4yz 2 et P2 = 3yz 2 + x. Alors
P1 − P2 = (3x + 4yz 2 ) − (3yz 2 + x) = (3x + 4yz 2 ) + (−3yz 2 − x)
= 2x + yz 2 .
3.2. La multiplication de polynômes.
3.2.1. Multiplication monôme-monôme. Avant de passer à la multiplication de polynômes, regardons la multiplication de deux monômes
à l’aide d’un exemple.
Exemple 1.24. Soit P1 = 3x2 y et P2 = 5x8 y 3 z. Alors,
P1 · P2 = (3x2 y) · (5x8 y 3 z)
= (3 · 5)(x2 · x8 )(y · y 3)z
= 15x10 y 4 z.
3.2.2. Multiplication monôme-polynôme. La multiplication d’un monôme et d’un polynôme consiste à multiplier chaque terme du polynôme
par le monôme et faire la somme du résultat.
Exemple 1.25.
x · (x + 3y − 3xy) = x · y + x · 3y − x · 3xy
= xy + 3xy − 3x2 y
= 4xy − 3x2 y.
Le principe de distribuer la multiplication du monôme sur chaque
terme du polynôme se nomme la distributivité.
3. LES POLYNÔMES
17
3.2.3. Multiplication polynôme-polynôme. La multiplication de deux
polynômes, P1 · P2 , est très similaires. Elle consiste à multiplier P2 par
chacun des monômes de P1 et à additionner ces produits. Ceci revient
à effectuer une double distributivité.
Exemple 1.26. Soit P1 = x + y et P2 = 3xz + 4y 3 − 4. Alors,
P1 · P2 = (x + y) · (3xz + 4y 3 − 4)
= x(3xz + 4y 3 − 4) + y(3xz + 4y 3 − 4)
(1ère disbritubivitée)
= (x · 3xz + x · 4y 3 − 4x) + (y · 3xz + y · 4y 3 − 4y) (2e distributivité)
= 3x2 z + 4xy 3 − 4x + 3xyz + 4y 4 − 4y
3.3. Le quotient de polynômes.
3.3.1. Quotient monôme-monôme. Le quotient de deux monômes
est très simple si l’on se souvient de l’égalité suivante :
an
= an a−m = an−m .
am
Ainsi, pour trouver le quotient, il suffit de diviser les coefficients ensemble et de soustraire les exposants des mêmes variables du dénominateur de ceux du numérateur.
Exemple 1.27.
12x8 y 2 z 3 w
12 x8 y 2 z 3
=
·
·
w étape intermédiaire
8x5 yz 5
8 x5 y z 5
3
= x8−5 y 2−1z 3−5 w par la loi des exposants
2
3
= x3 yz −2 w.
2
important–important–important–important–important
Le quotient de deux monômes, ou plus généralement de deux polynômes, n’est pas toujours un monôme ou un polynôme, comme le
montre l’exemple précédent.
On peut effectuer la division directement en faisant les étapes dans
notre tête.
Exemple 1.28.
12x8 y 2z 3
= 6x3 y.
5
3
2x yz
Dans ce cas, on obtient un monôme.
18
1. QUELQUES RAPPELS
3.3.2. Quotient polynôme par un monôme. On sait que la fraction
a+c
a c
= + .
b
b b
La même règle s’applique si le numérateur est un polynôme et le dénominateur un monôme. On peut diviser chaque terme du polynôme par
le monôme.
Exemple 1.29.
6x4 3x3 2x2
6x4 − 3x3 + 2x2
=
−
+
2x2
2x2 2x2 2x2
3
= 3x2 − x + 1.
2
3.3.3. Quotient polynôme-polynôme. La méthode pour diviser un
polynôme par un polynôme est un peu plus complexe. On va expliciter
la façon de faire à l’aide d’un exemple. Celle-ci est la même que celle
utilisée pour la division des grands nombres réels.
Exemple 1.30. On veut diviser 2x2 + 8x − 8 par x + 3.
Étape 1: Écrire les termes des polynômes en ordre décroissant
de degré. Ici, c’est déjà le cas.
Étape 2: Écrire la division à l’aide du crochet, | .
2x2 + 8x − 8 | x + 3
Étape 3: On regarde combien de fois le premier terme du polynôme de droite entre dans le premier terme du polynôme de
gauche. Ici, x entre 2x fois dans 2x2 . On écrit ce résultat sous
le crochet. Par la suite, on multiplie x + 3 par 2x et on écrit
se produit sous 2x2 + 8x − 8.
2x2 + 8x − 8 | x + 3
2x2 + 6x
2x
Étape 4: On effectue la soustraction entre le polynôme de gauche
et celui en dessous de lui.
2x2 + 8x − 8 | x + 3
−(2x2 + 6x)
2x
2x − 8
3. LES POLYNÔMES
19
Étape 5: On répète les deux dernières étapes jusqu’à ce que le
degré du polynôme gauche soit plus petit que le degré du polynôme diviseur.
2x2 + 8x − 8 | x + 3
−(2x2 + 6x)
2x + 2
2x − 8
−(2x + 6)
− 14
Étape 6: Puisque −14 est de degré 0 et x + 3 de degré 1, on ne
peut plus diviser. Alors, la réponse est
2x2 + 8x − 8
14
= 2x + 2 −
.
x+3
x+3
On appelle −14 le reste de la division.
3.4. Les priorités d’opérations. Les priorités des opérations
sont les mêmes que pour les expressions contenant seulement des nombres
réels.
Exemple 1.31. Simplifions 3(x+2)2 −(2x−5)(3x+1)+(x3 −x)÷x.
3(x + 2)2 − (2x − 5)(3x + 1) + (x3 − x) ÷ x
= 3(x + 2)(x + 2) − (2x − 5)(3x + 1) + (x3 − x) ÷ x
= 3(x2 + 2x + 2x + 4) − (6x2 + 2x − 15x − 5) + (x2 − 1)
= 3x2 + 12x + 12 − 6x2 + 13x + 5 + x2 − 1
= −2x2 + 25x + 16
On
On
On
On
fait les exposants.
multiplie les () ensembles.
simplifie les parenthèses.
effectue les + et -.
3.5. Mise en évidence simple. La mise en évidence simple est
l’opération inverse de la distributivité. Pour ce faire, on trouve le monôme qui est en commun à chacun des termes du polynôme. Par la
suite, on place ce monôme en avant de la parenthèse qui contient le
quotient de chaque terme du polynôme par le monôme.
Exemple 1.32. Faire la mise en évidence simple de 3x2 y + 6xy 2z −
9x y z . On remarque que chaque coefficient est un multiple de 3 et
que chaque terme possède au moins un x et un y. Ainsi, on mettra 3xy
en évidence.
4 3 2
3x2 y + 6xy 2 z − 9x4 y 3 z 2 = 3xy(x + 2yz − 3x3 y 2 z 2 )
Exemple 1.33. On peut faire une mise en évidence simple pour
ax + ay. Ainsi,
ax + ay = a(x + y).
20
1. QUELQUES RAPPELS
3.6. Mise en évidence double. La mise en évidence double est
un peu l’inverse de la multiplication de deux polynômes.
Exemple 1.34. Soit l’expression ax + bx + ay + by. On remarque
qu’il n’y a rien en commun dans chacun des termes. Par contre, il y
a x qui est dans les deux premiers et y dans le deuxième. Mettons ces
termes en évidence.
ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b)
À ce moment, il y a a + b en commun dans les deux termes. Effectuons
une autre mise en évidence.
ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b)
= (a + b)(x + y)
Nous venons donc de faire une double mise en évidence.
Exemple 1.35. Effectuons une double mise en évidence de l’expression 2x2 + 4x − 5ax − 10a.
2x2 + 4x − 5ax − 10a = 2x(x + 2) − 5a(x + 2)
= (x + 2)(2x − 5a).
3.7. Les expressions spéciales.
3.7.1. Trinôme carré parfait. Un trinôme carré parfait est le résultat du développement de (x + y)2. Ainsi, le membre de droite de
(x + y)2 = x2 + 2xy + y 2
est un trinôme carré parfait. Le but est donc de repérer les expressions
qui proviennent d’un carré parfait. Pour y arriver, on vérifie si deux
des termes sont des carrés et si c’est le cas, on regarde si le dernier
terme vaut le double du produit des racines des deux autres termes. À
ce moment, le trinôme est un carré parfait et on peut l’écrire comme
le carré de la somme des racines des deux carrés
Exemple 1.36. Soit l’expression 4x2 + 20xy + 25y 2. On a que 4x2
est le carré de 2x et 25y 2 est celui de 5y. On vérifie maintenant que le
double du produit entre 2x et 5y vaut le troisième terme qui est 20xy.
2(2x)(5y) = 20xy
Ainsi, 4x2 + 20xy + 25y 2 = (2x + 5y)2 .
Il est à noter que si le terme du centre est négatif, x2 − 2xy + y 2,
alors on place un signe négatif entre x et y, x2 − 2xy + y 2 = (x − y)2 .
3. LES POLYNÔMES
21
3.7.2. Trinôme de la forme x2 + bx + c. Ici, on aimerait écrire
x + bx + c, où b, c ∈ , comme un produit (x + u)(x + v) toujours avec
u, v ∈ . Mais comment trouver u et v ? On sait que
2
R
R
x2 + bx + c = (x + u)(x + v)
= x2 + (u + v)x + uv.
On a donc deux conditions sur u et sur v. Il faut que u + v = b et
uv = c. Ainsi, si l’on trouve u et v qui satisfont ces conditions, on peut
facilement factoriser le trinôme.
Exemple 1.37. Soit le trinôme x2 + 40x + 300. On cherche u et v
tels que u + v = 40 et uv = 300. Si u = 10 et v = 30, on respecte les
conditions. Alors, on a que
x2 + 40x + 300 = (x + 10)(x + 30).
3.7.3. Trinôme de la forme ax2 + bx + c. Encore une fois, on veut
factoriser, c’est-à-dire de mettre sous la forme d’un produit, le trinôme
ax2 + bx + c, où a, b, c sont des constantes réelles. La différence avec
le cas précédent est la présence du coefficient a. Pour y parvenir, on
veut séparer le terme central, bx, en une somme de deux termes pour
pouvoir faire une mise en évidence double. Mais comment séparer ce
terme ? Voici comment. Faire une mise en évidence double revient à
écrire ax2 + bx + c sous la forme (ux + v)(kx + l). En développant ce
terme, on obtient
ax2 + bx + c = ukx2 + (ul + vk)x + vl.
En posant λ = ul et γ = vk, on obtient que λ + γ = b et λγ = ac.
Ainsi, en trouvant deux nombre dont la somme est b et dont le produit
est ac, on peut séparer le terme central en somme de λx + γx) et faire
une mise en évidence double.
Exemple 1.38. Factorisons 6x2 + 7x−3. On cherche deux nombres
λ et γ tels que λ + γ = b = 7 et λγ = ac = −18. Si λ = 9 et γ = −2,
on respecte les conditions. Ainsi,
6x2 + 7x − 3 = 6x2 + 9x − 2x − 3
(séparation du terme central)
= 3x(2x + 3) − 1(2x + 3) (première mise en évidence)
= (3x − 1)(2x + 3)
(deuxième mise en évidence).
3.7.4. Différence de carré. Si une expression est une différence de
carrés, c’est-à-dire de la forme x2 − a2 , on peut factoriser facilement.
Cette factorisation est x2 − a2 = (x + a)(x − a).
22
1. QUELQUES RAPPELS
Exemple 1.39. Soit l’expression 25x2 −144y 2 . Ici, 25x2 est le carré
de 5x et 144y 2 est celui de 12y. Puisqu’il y a un signe négatif entre les
deux, on obtient que 25x2 − 144y 2 = (5x + 12y)(5x − 12y).
important–important–important–important–important
La somme de deux carrés n’a pas de factorisation, c’està-dire que
l’on ne peut pas factoriser les expressions de la forme x2 + a2 .
3.8. Exercices sur la section 3.
(1) Dites si les expressions suivantes sont de polynômes. Si oui,
trouvez son degré et son terme constant s’il existe.
a) xyz 2 + 4x − 8 + 15x10 ,
b) 2x−1 + 4,
c) x2 + bx + c où b, c ∈ .
R
(2) Soit P1 = x + 3 et P2 = x4 + 3x3 + 7x2 + 9x + 12. Trouvez
a)P1 + P2 ,
b)P2 − P1 ,
c)P1 · P2 ,
d)P2 ÷ P1 .
2
(3) Effectuez les multiplications suivantes :
a) (x + y)(xy 2 + 2x − 4x4 y)
b) (x2 + 3x + 5)(x + 1)
c) (3x − 1)(x + 5)
d) (x − 1)(x + 1)
e) (x + y)2
f) (x + y)3
(4) Effectuez les divisions suivantes :
a) (x2 + 2x + 4) ÷ (x + 3)
b) (x3 + a3 ) ÷ (x + a)
c) (x4 + x3 + x2 + x + 1) ÷ (x + 1)
d) (x3 + 4x + 2) ÷ (x + 1)
27x6 yz 2 + 3xz − 6x4 z 15
e)
3x2 z
(5) Factorisez au maximum les expressions suivantes :
a) ax2 + ay 2
b) 7x + 14y − x − 2y
c) x2 − 5x + 6
2
2
4
4
d) 9x − 81y
e) 9x − 81y
f) x2 − x + 6
g) 3x2 + 13x + 12 h) 8x4 y 6 + 4xy 4 − 12x3 y 5 i) 14x − 2x2 − 20
CHAPITRE 2
Équations et inéquations
Dans ce chapitre, nous ferons l’étude de la manipulation des équations et des inéquations. On abordera également la résolution de cellesci ainsi que la notion de domaine d’une équation et d’une inéquation.
Nous nous restreindrons au cas d’une seule variable. Finalement, on
verra comment résoudre certaines situations.
1. Les équations
1.1. Introduction aux équations.
Définition 2.1. Voici quelques définitions :
– Une équation est une égalité entre deux expressions contenant une
ou plusieurs variables.
– Le domaine d’une équation est l’ensembe des valeurs qu’on peut
attribuer à sa ou ses variables.
– La ou les solutions d’une équations sont la ou les valeurs des
variables qui rendent l’égalité vraie.
– L’ensemble solution d’une équation, noté ES, est l’ensemble constitué de toutes les solutions de cette équation.
Exemple 2.1. Regardons quelques exemples que nous expliquerons
par la suites.
R
(1) x + 5 = 7. Le domaine est
et la solution est x = 2.
√
(2) x − 1 = 4. Le domaine est x ≥ 1 et la solution est x = 17.
x+7
= 0. Le domaine est \ {4} et la solution est x = −7.
(3)
x−4
Comment avons-nous trouvé le domaine et la solution des équations
de l’exemple ? Nous reviendrons au domaine plus loin. Pour l’instant
concentrons-nous sur la manipulation des équations.
R
1.1.1. Propriétés des équations. Pour résoudre une équation, il faut
isoler la variable d’un côté et avoir une constante de l’autre. Pour ce
faire, on peut faire les quatre opérations que voici :
On débute avec une équation A = B et soit C une expression. Alors,
23
24
2. ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS
(1) A + C = B + C, la somme de l’expression C des deux côtés ne
change pas l’égalité,
(2) A − C = B − C, la soustraction de l’expression C des deux
côtés ne change pas l’égalité,
(3) AC = BC, le produit par l’expression C des deux côtés ne
change pas l’égalité,
(4) An = B n , la même puissance des deux côtés ne change pas
l’égalité et
(5)
A
B
= , la division par l’expression C des deux côtés ne change
C
C
pas l’égalité à la condition que C ne soit jamais nul.
Ces propriétés nous permettent de résoudre les équations de ce chapitre.
Exemple 2.2. Trouvons l’ensemble solution des équations de l’exemple
précédent.
(1)
x+5 =7
x = 7 − 5 = 2 en soustrayant 5 des deux côtés
(2)
Ainsi, ES = {2}.
√
x−1
€√
Š2
x−1
x−1
x
(3)
=4
= 42 on élève au carré les deux côtés.
= 16
= 17 en additionnant 1 de chaque côté.
L’ensemble solution est donc ES = {17}.
x+7
=0
x−4
x+7 =0
en multipliant les deux côtés par x − 4.
x = −7 en soustrayant 7 de chaque côté.
D’où, ES = {−7}.
Le prochain exemple montre que l’on peut arriver à des résultats
ridicules si on ne fait pas attention par quoi l’on divise.
1. LES ÉQUATIONS
Exemple 2.3.
a =b
a2 = ab
a2 − b2 = ab − b2
(a + b)(a − b) = b(a − b)
a+b =b
25
hypothèse de départ
en multipliant les deux côtés par a.
en soustrayant b2 de chaque côté.
différence de carrés à gauche et mise en évidence à droite
en divisant les deux côtés par a − b.
Maintenant, si l’on pose a = 1, on a aussi b = 1 par l’hypothèse de
départ. En reportant ces valeurs de a et b dans la dernière équation,
on obtient 2 = 1. Ceci est vraiment une absurdité. Elle provient du fait
que l’on a divisé par 0 au moment de la division par a − b, car a = b.
Il faut donc être très vigilant avec la division.
1.1.2. Le domaine d’une équation. Jusqu’ici, nous avons trouver
l’ensemble solution de diverses équations sans tenir compte du domaine
de définition de ces équations. Le domaine sera spécifié lors de l’étude
des différentes fonctions. La seule chose que nous dirons pour l’instant sur le domaine est que l’ensemble solution ES doit être un sousensemble du domaine. Ainsi, si certaines valeurs de la variable rendent
l’équation vraie, il se peut qu’elles soient rejettées si elles ne sont pas
dans le domaine.
1.2. Les équations linéaires d’une seule variable.
Définition 2.2. Une équation linéaire d’une seule variable est une
équation entre deux polynômes de degré 1.
Exemple 2.4. Voici deux exemples :
(1) 3x + 4 = 2x − 4 est une équation linéaire.
√
(2) 3x − 2 = 4 n’est pas linéaire, car il y a la présence d’une
racine.
Proposition 2.1. Le domaine d’une équation linéaire est
R.
Cette proposition signifie donc qu’il n’y a jamais de problèmes de
domaine avec les équations linéaires sauf dans le cas où l’équation décrit une situation. Nous y reviendrons plus tard.
Pour résoudre une équation linéaire, il faut manipuler l’équation pour
la mettre sous la forme x = c où c est une constante.
Exemple 2.5.
3x + 4 =2x − 4
3x − 2x = − 4 − 4
x=−8
26
2. ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS
Donc, ES = {−8}.
Il arrive parfois qu’une équation ne possède aucune solution comme
le montre l’exemple suivant :
Exemple 2.6.
3x + 1 =3x − 5
3x − 3x = − 5 − 1
0=−6
Ceci ne se peut pas et donc il n’y a pas de valeurs de x qui rendent
l’équation vraie. On écrit alors ES = ∅.
1.3. Mises en situation ou modélisation. La modélisation mathématique consiste à mettre en équations des phénomènes de la vie
courrante. Regardons deux situations qui peuvent être décrites par des
équations linéaires.
Exemple 2.7. Un vendeur téléphonique reçoit un salaire de base
de 20$ par jour plus 4$ par vente effectuée. Combien de ventes doit-il
faire par jour s’il veut obtenir un salaire quotidient de 100$ ?
La première étape est d’identifier la variable de cette situation. Ici,
posons que la variable x est le nombre de vente par jour.
La deuxième étape est de déterminer le domaine de cette variable. Ici,
on est dans une situation où x est le nombre de vente. Donc, x doit
être un nombre naturel. On écrit dom = .
N
La troisième étape consiste à écrire l’équation à résoudre. Ici, on cherche
x tel que 20 + 4x = 100. Le membre de gauche correspond au salaire
quotidien du vendeur selon le nombre de vente et le membre de droite
est le salaire désiré.
La quatrième étape est de résoudre l’équation.
20 + 4x = 100
4x = 80
x = 20.
La cinquième et dernière étape est de vérifier si la solution est dans le
domaine. Ici, 20 ∈ . Donc, la réponse est 20 ventes par jour.
N
Exemple 2.8. Un père a 24 ans de plus que son fils. Dans 13 ans,
il aura le double de l’âge de son fils. Quel est l’âge du père et du fils
présentement ?
1. LES ÉQUATIONS
27
Étape 1: Posons x : l’âge du fils présentement.
Étape 2: Le domaine est dom =
nombre naturel.
N, car un âge est toujours un
Étape 3: L’âge du père est de x + 24. Dans 13 ans il aura le
double de l’âge de son fils. En mathématique, on a
x + 37 =2(x + 13).
Le membre de gauche correspond à l’âge du père dans 13 ans
et le membre de droite est le double de l’âge du fils dans 13
ans.
Étape 4: La résolution de l’équation :
x + 37 =2(x + 13)
x + 37 =2x + 26
11 =x
Étape 5: On a que 11 est effectivement un nombre naturel. Ainsi,
la réponse est que l’âge du fils est de 11 ans et celui du père
est de 35 ans.
1.4. La règle du produit nul.
Proposition 2.2. Soit A et B deux expressions. Si AB = 0, alors
soit A = 0 ou B = 0. Cette proposition se généralise pour le produit
de plusieurs facteurs. À ce moment, l’un ou l’autre de ces facteurs est
nul.
Exemple 2.9.
x−6= 0
x=6
(x − 6)(x + π) = 0
OU
x+π = 0
OU
x = −π
Ainsi, ES = {−π, 6}.
Cependant, il est très rare d’avoir une équation déjà sous cette
forme. Il faut travailler un peu.
28
2. ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS
Exemple 2.10. Trouvez l’ensemble solution de a3 + 3a2 = 4a + 12.
a3 + 3a2
a3 + 3a2 − 4a − 12
2
a (a + 3) − 4(a + 3)
(a + 3)(a2 − 4)
(a + 3)(a + 2)(a − 2)
On a trois
a+3 =0
a+2
a = −3
a
Donc, ES = {−3, −2, 2}
= 4a + 12
=0
=0
=0
=0
possibilités.
=0
a−2 =0
= −2
a =2
1.5. Exercices sur la section 1.
(1) Résoudre les équations linéaires suivantes :
a) 3x − 4 = 2x + 6 b) − 9x − 6 = 0 c) − x − 7 = −9 + 5x
d) πx − 4 = πx + 6 e) 10x = 3x
f) x = 4x − 6
(2) Trouver l’ensemble solution des équations suivantes :
a) (3x − 6)(4x + 8) = 0
b) x2 − 81 = 0 c) x2 − x − 6 = 0
2
d) (x + 1)(x − 1)(x − 4) = 0 e) 6x − 4 = x f) x4 − 16 = 0
(3) Deux restaurants possèdent un bar à salade où l’on paie au
poid. Au premier restaurant, il en coûte 3$ de base et 0.50$
par kilogramme de salade. Au deuxième, le prix de base est de
2$ et c’est 0.75$ le kilogramme.
a) Combien coûte 1kg de salade dans les deux restorants ?
b) Combien a-t-on de salade dans les deux restaurants s’il en
coûte 5$ ?
c) Quel quantité de salade revient au même prix dans les deux
restaurants ?
(4) Gaston achète des actions à la bourse. Le coût initial est de
30$. La valeur de cette action augmente de 0.05$ par jour.
Après combien de jour l’action vaudra 40.10$ ?
(5) Roger roule 100km/h vers Québec à partir de Montréal. Il doit
faire 332km. Dans combien de temps arrivera-t-il à destination
s’il a déjà parcouru 112km ?
(6) Deux F18 de l’armé sont en plein vol. Il reste le tier de caburant pour le premier F18 et 120L pour le second. Un avion
ravitailleur vient remplir leur réservoir. Il prend 5 minutes pour
remplir le premier et 6 minutes pour le second. Si le débit de
transfert d’essence est le même pour les deux F18,
2. LES FRACTIONS ALGÉBRIQUES
29
a) écriver une équation qui permet de trouver ce débit (identifier bien la variable),
b) trouver le débit du transfert d’essence (en L/min),
c) quelle quantitée d’essence peut contenir le réservoir d’un
F18 ?
(7) À quelle heure précise, entre 3h et 4h, les aiguilles d’une horloge sont-elles superposées ?
2. Les fractions algébriques
2.1. Introduction.
Définition 2.3. Une fraction algébrique est une expression de la
P
forme
où P et Q sont des polynômes avec Q 6= 0.
Q
Exemple 2.11. Voici deux exemples :
x+4
est une fraction algébrique.
(1)
2x2 + 4
√
x+4
(2)
n’est pas une fraction algébrique, car le numérateur
2x2 + 4
n’est pas un polynôme.
Proposition 2.3. Le domaine d’une fraction algébrique est l’ensauf les valeurs qui rendent le dénosemble de toutes les valeurs de
minateur nul.
R
Exemple 2.12.
x+8
+ 3x2 − 4x − 12
On sait par l’exemple 2.10 que le dénominateur s’annule pour x = −3,
x = −2 et x = 2. Ainsi, le domaine est \ {−3, −2, 2}.
x3
R
Jusqu’ici, pour trouver le domaine d’une équation, on a deux étapes
à faire.
Étape 1: Vérifier le contexte de l’équation.
Étape 2: Enlever les valeurs de la variable pour lesquelles le
dénominateur s’annule.
On ajoutera des étapes lorsqu’on étudiera d’autres notions.
Définition 2.4. Deux fractions algébriques
lentes si P S = RQ.
P
R
et
sont équivaQ
S
30
2. ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS
Par contre, deux fractions équivalentes ne le sont pas nécessairement
pour toutes les valeurs de la variable. Il faut donc trouver le domaine
d’équivalence de deux fractions.
Définition 2.5. Le domaine d’équivalence, domE, de deux fracP
R
tions algébriques,
et , est l’intersection du domaine de chacune
Q
S
des fractions. En mathématique,
R
P
domE = dom ∩ dom .
Q
S
1
x−1
Exemple 2.13. Soit
et
. Ces deux fractions
x+2
(x + 2)(x − 1)
sont équivalentes, car 1(x + 2)(x − 1) = (x + 2)(x − 1). Trouvons le
1
est \{−2} et le domaine
domaine d’équivalence. Le domaine de
x+2
x−1
est \ {−2, 1}. Ainsi, l’ntersection des deux nous
de
(x + 2)(x − 1)
donne
R
R
domE =
R \ {−2, 1}.
2.2. Simplification de fractions algébriques. Montrons la façon de procéder afin de simplifier une fraction algébrique avec un
exemple.
Exemple 2.14. On veut simplifier la fraction algébrique
6x3 − 10x2 − 4x
.
18x4 + 78x3 + 24x2
Étape 1: Factorisation du dénominateur.
6x3 − 10x2 − 4x
2x(3x2 − 5x − 2)
=
18x4 + 78x3 + 24x2
6x2 (3x2 + 13x + 4)
2x(x − 2)(3x + 1)
.
= 2
6x (x + 4)(3x + 1)
Étape 2: Trouver le domaine. Ici, on veut que le dénominateur
soit différent de 0. Donc, dom = \ {−4, − 31 , 0}.
R
Étape 3: Déterminer les facteurs du numérateur et du dénominateur qui sont en commun. Ici, les facteurs en commun sont
2, x, 3x + 1.
Étape 4: Simplifier les facteurs en commun.
x−2
2x(x − 2)(3x + 1)
=
.
2
6x (x + 4)(3x + 1)
3x(x + 4)
2. LES FRACTIONS ALGÉBRIQUES
31
important–important–important–important–important
Il est à noter que le domaine de cette fraction reste le domaine de
départ, car pour les autres valeurs de la variable, la fraction n’est
pas définie.
2.3. Addition de fraction. L’addition de fractions algébriques
se fait de la même façon que la somme de fractions de nombre. On additionne les numérateurs lorsque nous avons le même dénominateur. Si
le dénominateur est différent, il faut trouver le dénominateur commun.
Exemple 2.15. On veut simplifier
x+4
3
+
.
2x2 + 5x + 2 4x2 + x − 14
Étape 1: On factorise les dénominateurs afin de trouver le domaine
3
x+4
+
.
(2x + 1)(x + 2) (4x − 7)(x + 2)
Ainsi, le domaine est
R \ {−2, − 21 , 74 }.
Étape 2: On cherche le dénominateur commun. Il manque 4x−
7 à la première fraction et 2x + 1 à la deuxième. On multiplie
donc chaque fraction par ce qui manque comme suit :
x+4
4x − 7
3
2x + 1
·
+
·
.
(2x + 1)(x + 2) 4x − 7 (4x − 7)(x + 2) 2x + 1
Étape 3: On peut maintenant additionner les fractions et simplifier.
(x + 4)(4x − 7) + 3(2x + 1)
4x2 + 15x − 25
=
.
(2x + 1)(x + 2)(4x − 7)
(2x + 1)(x + 2)(4x − 7)
2.4. Multiplication et division de fractions algébriques. La
multiplication et la division se fait exactement comme pour les fractions
de nombres. Soit P, Q, R et S des polynômes. Alors,
R
PR
P
× =
Q S
QS
R
PS
P
÷ =
Q S
QR
32
2. ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS
2.5. Les fractions algébriques complexes. Une fraction algébrique complexe est une expression qui contient plusieurs étages. Il
n’existe pas de recette pour les simplifier. Il faut seulement respecter
l’ordre des opérations et les étages.
Exemple 2.16.
1 1
b+a
+
a b = ab
1 1
b−a
−
a b
ab
a+b
ab
=
·
ab
b−a
a+b
=
b−a
Exemple 2.17.
1
1
p+m
+
m p
mp
= 2
1
1
p − m2
− 2
2
m
p
m2 p2
m2 p2
p+m
· 2
=
mp
p − m2
(p + m)mp
=
p2 − m2
(p + m)mp
=
(p − m)(p + m)
mp
.
=
p+m
2.6. Équations contenant des fractions algébriques. La résolution des équations contenant des fractions algébirques nécessite les
mêmes étapes que pour résoudre une équation linéaire.
Exemple 2.18. Trouvons l’ensemble solution de
x
4
+
= 1.
x+2 x+6
Étape 1: On trouve le domaine de l’équation. Ici, on ne veut
pas de division par 0. Donc, dom = \ {−6, −2}.
R
2. LES FRACTIONS ALGÉBRIQUES
33
Étape 2: On résoud en manipulant l’équation.
x
4
+
x+2 x+6
x(x + 6) + 4(x + 2)
(x + 2)(x + 6)
x(x + 6) + 4(x + 2)
x2 + 10x + 8
2x − 4
x
=1
addition de fractions
=1
= (x + 2)(x + 6) multiplication par (x + 2)(x + 6)
= x2 + 8x + 12 développement
=0
=2
Étape 3: On vérifie si les solutions sont dans le domaine. Ici,
c’est le cas, c’est-à-dire que 2 ∈ dom. Ainsi ES = {2}.
2.7. Exercices sur la section 2.
(1) Trouver le domaine des fractions algébriques suivantes :
a)
x+4
x+4
x+3
b) 2
c) 4
2
(x − 1
x −x−6
x − 16
(2) Simplifier les expressions suivantes en n’oubliant pas de spécifier le domaine de validité :
x+3
x2
x + 1 x2 − 9
+
b)
×
x2 − 1 x + 1
x − 3 x2 − 1
2
2
x −x
4x − 24x + 36
d) 2
c) 3
2
x − x − 6x
x + 2x
2
2x + 1
x+3
(x2 − 18x + 80)(x2 − 6x − 7)
f) 2 − 2
+ 3
e) 2
2
(x − 5x − 50)(x − 15x + 56)
x
x − x x − x2
3
x − 6x + 36x
x+7
g)
÷
x2 − 49
x2 − x − 42
a)
(3) Simplifier les fractions complexes suivantes :
1
1
−
a) x + 2 4
2
1−
x
1
1
−
c) 3x − 2 3x + 2
1
4
9− 2
x
b)
1
1+x
1−
1
x−
x
d) 1 +
x
1+x+
2x2
1−x
34
2. ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS
(4) Résoudre les équations suivantes :
1
−4
x2 − x − 6
+ 2
=3
b)
=x
x−3 x −9
x
1 1
1 1
2−x
2
c) − = − où a et b des constantes d)
− =4
a x
x b
3x + 1 3
a)
3. Intervalles et inéquations
3.1. Les intervalles. Les nombres réels peuvent être mis sur une
droite, dite la droite réelle. Cette dernière est représentée à la figure 1.
−2 −1 0 1 2 3
Fig. 1. La droite réelle.
Définition 2.6. Un intervalle est un sous ensemble de la droite
réelle, c’est-à-dire une partie de la droite.
NOTATION
La façon d’écrire un intervalle allant du nombre a au nombre b
dépend si ces nombres sont compris ou non dans l’intervalle. Trois
cas sont possibles :
Cas 1: Si a et b sont inclus dans l’intervalle, on écrit cet
intervalle [a, b]. On représente graphiquement cet intervalle
comme illustré à la figure 2. On note que les points aux
extrémités sont pleins ce qui signifie qu’ils sont inclus. C’est
un intervalle fermé.
Cas 2: Si a et b sont exclus de l’intervalle, on écrit cet intervalle ]a, b[. La figure 3 montre comment le dessiner. Ici, les
extrémités sont des cercles vides, ce qui signifie qu’ils ne
sont pas dans l’intervalle. On dit alors que ces un intervalle
ouvert.
Cas 3: Si a est inclus et b exclus ou l’inverse, on note les
respectivement [a, b[ et ]a, b]. Les figures 4 et 5 montrent
ces intervalles.
Si a ou b valent ±∞, le crochet est ouvert par définition. Par
exemple, [a, ∞[ où le crochet de droite est ouvert. Pour s’en rappeler, on peut se dire que l’infini ne fait pas partie des nombres
réels.
3. INTERVALLES ET INÉQUATIONS
a
35
b
Fig. 2. Un intervalle fermé à gauche et à droite.
a
b
Fig. 3. Un intervalle ouvert à gauche et à droite.
a
b
Fig. 4. Un intervalle fermé à gauche et ouvert à droite.
a
b
Fig. 5. Un intervalle ouvert à gauche et fermé à droite.
3.2. Les inéquations.
Définition 2.7. Une inéquation est une inégalité, indentifiée par
un des symboles ≤, ≥, < ou >, entre deux expressions.
Exemple 2.19. Voici quelques exemples d’inéquations :
(1) x > 3,
(2) 3x − 3 < 2x2 ,
x+8
(3)
≥ 1.
x−4
Résoudre une inéquation consiste à déterminer les valeurs de la variable pour lesquelles l’inégalité reste vérifiée. Pour ce faire, on isole la
variable d’un côté de l’inégalité, tout comme pour une équation. Par
contre, la manipulation se fait avec un peu plus de difficulté.
Soit une inégalité de départ entre deux expressions A et B. Prenons par
exemple A < B. Ce sont les mêmes propriétés qui s’appliquent pour
les autres inégalités. Soit C une autre expression. Alors,
(1) A ± C < B ± C, c’est-à-dire que l’addition ou la soustraction
d’une expression des deux côtés ne change pas l’inégalité.
36
2. ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS
(2) AC < BC si C est positif et AC > BC si C est négatif.
Ainsi, si on multiplie les deux côtés par une expression qui est
négative, on change l’inégalité de côté. Si C est positif, rien ne
change.
(3) A/C < B/C si C est positive et on change le signe de l’inéquation si C est négatif.
Exemple 2.20. Voici quelques exemples pour illustrer ces propriétés.
(1) On veut résoudre 3x − 1 < 4.
3x − 1 < 4
3x < 5 addition de 1 de chaque côté.
3
x <
division par 5 qui ne change pas l’inégalité.
5
Ainsi, l’ensemble solution est noté ES =] − ∞, 35 [. Ici, 35 n’est
pas inclus dans l’intervalle, x est strictement plus petit que 53 .
On représente cet ensemble solution comme suit :
3
5
Fig. 6. Représentation graphique de x < 35 .
Trouvons
3x − 4
−2x
x
l’ensemble solution de 3x − 4 ≥ 5x + 6.
≥ 5x + 6
≥ 10
addition de 4 et de −5x de chaque côté.
≤ −5
division par −2 qui change l’inégalité de côté.
Ainsi, ES =] − ∞, −5].
important–important–important–important–important
Il est à noter que si A < B alors A2 ≮ B 2 . Par exemple, si −2 < 1,
on a alors 4 ≮ 1. Par contre, parfois l’inégalité persiste comme dans
le cas 1 < 2 alors 1 < 4. Il faut donc faire attention et étudier ceci
cas par cas.
3.2.1. Étape pour la résolution d’inéquations. Tout comme pour la
résolution des équations, la première étape à effectuer lors de la résolution d’inéquations est de trouver le domaine. Rappelons que pour le
trouver, on vérifie les points suivants :
Étape 1: Vérifier le contexte de l’équation.
3. INTERVALLES ET INÉQUATIONS
37
Étape 2: Enlever les valeurs de la variable pour lesquelles les
dénominateurs s’annulent.
Par la suite, on isole la variable à l’aide des propriétés. Finalement, l’ensemble solution est l’intersection du domaine et de l’intervalle trouvé
pour la variable.
Exemple 2.21. Trouvons l’ensemble solution de l’inéquation
(x − 2)(2x + 5)
< 3x + 8.
2x + 5
Tout d’abord, il faut déterminer le domaine. On ne doit pas diviser par
zéro, donc x 6= − 25 . D’où dom = \ {− 25 }.
R
(x − 2)(2x + 5)
2x + 5
x−2
−10
−5
< 3x + 8
< 3x + 8
< 2x
<x
en simplifiant le terme de gauche
Ainsi, ES =] − 5, ∞[\{− 25 }. Ici, on enlève le point qui n’est pas dans le
domaine. On peut représenter cet ensemble solution sur la droite réelle
comme suit :
−5
− 25
Fig. 7. Représentation graphique de l’ensemble solution
ES =] − 5, ∞[\{− 25 }.
CHAPITRE 3
Étude graphique de fonctions
Introduction
Ce chapitre se veut une introduction aux différents points de l’étude
des fonctions. Nous aborderons aussi la notion de paramètres influençant l’allure d’un graphique. Ceux-ci seront très utiles pour tracer les
fonctions des autres chapitres.
L’étude d’une fonction comporte huit éléments :
(1) Le domaine
(2) L’image
(3) L’ordonnée à l’origine
(4) Le(s) zéro(s)
(5) Le signe des images
(6) Les extremums
(7) Les intervalles de croissance et décroissance
(8) L’axe de symétrie
Chacun de ces points sera vu séparément, mais avant de commencer il
serait bien de savoir ce qu’est une fonction.
1. Éléments de l’étude des fonctions
Définition 3.1. Une fonction d’une seule variable est une relation
qui associe à chaque élément d’un ensemble A UN SEUL élément d’un
ensemble B. On note cette fonction
f : A −→ B
x → y = f (x).
Cette notation se lie comme suit :”Pour chaque valeur de x ∈ A, on
associe une valeur y ∈ B à l’aide de la règle y = f (x). ” On dit que x
est la variable indépendante et y est la variable dépendante.
On peut visualiser une fonction grâce au graphique sagittal.
39
40
3. ÉTUDE GRAPHIQUE DE FONCTIONS
f (x)
A
B
Fig. 1. Graphique sagittal représentant une fonction.
Deux points importants sont illustrés sur cette figure. Le premier est
que deux éléments de A peuvent être envoyés sur le même y. Le deuxième
point est que ce ne sont pas tous les éléments de B qui sont le résultat
de la fonction, i.e. que certains points de B ne sont pas reliés par une
flèche.
Puisque nous travaillons avec des fonctions qui partent d’un sousensemble de , il est difficile de les représenter à l’aide du graphique
sagittal. C’est la raison pour laquelle on utilise une représentation cartésienne. Lorsqu’une fonction est donnée par une règle f (x), cela signifie
R
0110
1010
0
1
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1010
1010
10
f (x)
(a, f (a))
a
x
Fig. 2. Graphique cartésien.
que F est une fonction de la variable x. Lorsque l’on veut évaluer cette
fonction en un point précis x = a, on note f (a).
1. ÉLÉMENTS DE L’ÉTUDE DES FONCTIONS
41
Exemple 3.1. Soit f (x) = x2 + 1. Alors f (2) = 22 + 1 = 5.
1.1. Le domaine d’une fonction.
Définition 3.2. Le domaine d’une fonction f , noté dom(f ), est
l’ensemble de départ de la fonction, c’est-à-dire l’ensemble A dans notre
notation.
La grande question ici est de savoir quel est cet ensemble A. Puisque
le cours consiste à étudier les fonctions réelles, on part de l’idée que
A = . Par contre, f est une règle qui utilise des valeurs de x. Il faut
donc que les valeurs de x fassent que la règle soit bien définie. Cela
signifie, par exemple, que x ne doit pas rendre un dénominateur égale
à 0. La prochaine définition du domaine est plus applicable pour la
suite de ce cours.
R
Définition 3.3. Le domaine d’une fonction f (x) est l’ensemble
des valeurs possibles de x dans .
R
Pour l’instant, on a trois points à vérifier afin de trouver le domaine.
D’autres points s’ajouteront par la suite.
(1) Le contexte
(2) Les racines paires
(3) Les dénominateurs
Exemple 3.2. Soit la fonction A(x) = πx2 qui calcule l’aire d’un
cercle de rayon x. Ici, dom(A) = [0, ∞[, car le rayon d’un cercle est
toujours positif.
Exemple 3.3. Trouvons le domaine de la fonction
√
9−x
.
f (x) =
(x + 3)(x + π)
Le contexte: Ici, il n’y a pas de contexte, donc aucune restriction.
Les racines: On a la présence d’une racine carrée. Son intérieur
doit être positif. D’où
9−x≥0
9 ≥ x.
Cette condition donne que x ∈] − ∞, 9].
Le dénominateur: Le dénominateur doit être différent de 0.
Cherchons les valeurs de x pour lesquelles le dénominateur
42
3. ÉTUDE GRAPHIQUE DE FONCTIONS
s’annule. Ces valeurs seront rejetées du domaine.
(x + 3)(x + π) = 0
x+3 = 0
x+π = 0
x = −3
x = −π
D’où les valeurs à rejeter sont −π et −3.
Pour trouver le domaine de f , on prend l’intersection de toutes ces
conditions et on obtient
dom(f ) =] − ∞, 9] \ {−π, −3}.
Pour trouver le domaine d’une fonction sur un graphique cartésien,
il faut regarder pour quelles valeurs de x, il existe une valeur de y.
Le graphique à la figure 3 nous servira d’exemple tout au long de ce
chapitre.
y en fonction de x
10
8
6
4
2
y
0
−2
−4
−6
−8
−10
−12
−14
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
Fig. 3. Exemple de représentation graphique d’une fonction f (x).
Les caractéristiques importantes à regarder sont les endroits où apparaissent un cercle noir ou un cercle blanc. Dans cette figure, on a
un cercle noir en x = −5 et en x = 0. Le point en x = −5 indique
la début de la fonction. Si la fonction débutait à l’infini, on ne met
pas de point. Ainsi, le domaine débute en x = −5. On remarque que
la fonction continue à l’infini, car il n’y a pas de cercle qui arrête le
fonction à droite. Le seul point pourrait être en x = 0, mais il y a des
valeurs de y pour des x à droite de 0. Pour ce qui est de ce point, on
1. ÉLÉMENTS DE L’ÉTUDE DES FONCTIONS
43
peut penser qu’il n’est pas dans le domaine, car il y a un cercle vide.
Cependant, f (0) = 8, car en x = 0, il y a un cercle plein en y = 8.
D’où le dom(f ) = [−5, ∞[.
1.2. L’image d’une fonction.
Définition 3.4. Le codomaine d’une fonction f , noté codom(f )
est l’ensemble d’arrivée de celle-ci. Ainsi, si f : A −→ B, alors B est
le codomaine de f .
Définition 3.5. L’image d’une fonction f , notée ima(f ) est l’ensemble de toutes les valeurs prises par y. Il est à noter que ima(f ) ⊆
codom(f ).
La distinction entre l’image et le codomaine est bien établie dans
la figure 1. Le codomaine est l’ensemble B tandis que l’image est l’ensemble de tous les éléments de B qui sont reliés à un ou plusieurs
éléments de A par la fonction (ici la flèche).
Exemple 3.4. L’exemple simple est la fonction
f:
R
R −→ R
x → y = x2 .
Ici, codom(f ) = , mais les valeurs possibles de y sont les nombres
réels positifs, d’où ima(f ) = [0, ∞[.
Pour la suite de ce cours, on supposera toujours que le codom(f ) =
R. Ainsi, on représentera les fonctions seulement avec l’aide de leur
règle.
Exemple 3.5. Trouvons l’image de la fonction représentée à la figure 3. Pour ce faire, il faut identifier toutes les valeurs possibles de
y. En balayant l’axe des y de bas en haut, on cherche les valeurs de y
qui sont sur la fonction. La première valeur rencontrée est −12 et ça
monte jusqu’à 4. Par contre, 4 n’est pas une valeur prise par la fonction
à cause du cercle vide. En continuant le balayage, on voit que 8 est une
valeur possible. Ainsi,
ima(f ) = [−12, 4[∪{8}.
Le calcul algébrique de l’ensemble image sera abordé à chaque fonction que nous étudierons.
44
3. ÉTUDE GRAPHIQUE DE FONCTIONS
1.3. L’ordonnée à l’origine. Voici sa définition :
Définition 3.6. L’ordonnée à l’origine est
la valeur de la fonction lorsque x vaut 0.
En d’autres termes, l’ordonnée à l’origine est
f (0). Graphiquement, elle correspond à la valeur de y lorsque la fonction croise l’axe y.
y
f (0)
x
Trouver l’ordonnée à l’origine algébriquement est assez simple. Il
suffit de remplacer x par 0 dans la règle de la fonction.
Exemple 3.6. Soit f (x) = 3x + 1. Alors, l’ordonnée à l’origine est
f (0) = 3 · 0 + 1 = 1.
Exemple 3.7. L’ordonnée à l’origine de la fonction sur la figure 3
est 8, car c’est la valeur de y lorsque x = 0. Il faut faire attention le
cercle vide en y = 4 signifie que ce point n’est pas sur la fonction.
important–important–important–important–important
Il existe seulement une seule valeur de l’ordonnée à l’origine d’une
fonction. Sinon, ce n’est pas une fonction !
1.4. Les zéros. Voici la définition des zéros d’une fonction : Trouver
Définition 3.7. Les zéros d’une fonction
(aussi appellés racines ou abscisses à l’origine) sont les valeurs de x dans le domaine
de f qui rendent la fonction nulle. Graphiquement, ce sont les endroits où la fonction
croise l’axe des x.
y
zéros
x
algébriquement les zéros d’une fonction f (x) consiste à résoudre l’équation f (x) = 0. Cependant, il n’est pas toujours facile et même possible
de résoudre cette équation selon la fonction. Nous regarderons comment
faire pour chaque fonction que l’on étudiera.
Exemple 3.8. Trouvons les zéros de f (x) = x2 + x − 6. On doit
résoudre
x2 + x − 6 = 0
(x + 3)(x − 2) = 0
x+3 =0
ou
x−2 =0
x = −3
x=2
Puisque le domaine est
R, alors les zéros sont −3 et 2.
1. ÉLÉMENTS DE L’ÉTUDE DES FONCTIONS
45
Exemple 3.9. La fonction de la figure 3 possède deux zéros en
x = −0.5 et x = 4.
1.5. Le signe des images. Ici, on recherche les valeurs de x pour
lesquelles f (x) ≤ 0 ou f (x) ≥ 0 en d’autres mots, on cherche quand
f (x) est positive et quand elle est négative. Il ya deux manières de procéder : graphiquement ou algébriquement. Dans les deux cas cependant,
il faut trouver les zéros de la fonction.
Graphiquement: La première étape,
on trouve les zéros de la fonction.
Sur le graphique ci-contre, on a trois
zéros : en x1 , x2 et x3 . Par la suite,
on recherche à quels endroits la fonction est positive, c’est-à-dire pour
quelles valeurs de x on a y au dessus de l’axe des x. Dans ce cas, c’est
lorsque x est entre x1 et x2 et lorsqu’il est plus grand que x3 . On écrit
alors
y
x1
x2
x3
f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [x1 , x2 ] ∪ [x3 , ∞[.
D’une manière similaire, on trouve que
f (x) ≤ 0, ∀x ∈] − ∞, x1 ] ∪ [x2 , x3 [.
Exemple 3.10. Trouvons le signe des images de la fonction sur la
figure 3.
On sait que les zéros sont −0.5 et 4. On remarque que la fonction
est négative si x < −0.5 et si x > 4 et est positive le reste du temps.
D’où,
f (x) ≤ 0, ∀x ∈ [−5, −0.5] ∪ [4, ∞[,
f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [−0.5, 4].
Il est à noter que la fonction n’est pas définie pour des x plus petits que
−5, d’où la raison pur laquelle l’intervalle pour f (x) négatif débute à
−5 et non à −∞.
Algébriquement: Plusieurs façons sont possibles afin de trouver algébriquement le signe des images. Nous utiliserons ici un
tableau de signes. Cette méthode fonctionne dans tous les cas.
Voici la marche à suivre pour faire ce tableau.
x
46
3. ÉTUDE GRAPHIQUE DE FONCTIONS
(1) Trouvez le domaine de la fonction.
(2) Trouvez les zéros et les valeurs qui annulent le dénominateur.
(3) Mettre les zéros et les valeurs qui annulent le dénominateur dans le tableau (voir exemple).
(4) Évaluer la fonction dans chaque intervalle. Cela vous donne
le signe de la fonction dans chaque intervalle.
Exemple 3.11. Trouvons le signe des images de
(x + 3)(x − 2)
f (x) =
.
(x + 1)
Le domaine: ici dom(f ) = \ {−1}.
R
Les zéros: Les zéros sont −3 et 2. De plus −1 annule le
dénominateur.
Construction du tableau: La ligne où se trouve la fonction correspond aux signes de la fonction dans l’intervalle
des x. Pour les trouver, on évalue la fonction en un point
de cet intervalle.
x
f (x)
−
−3
0
+
−1
6∃
−
2
0
On a donc que
f (x) ≥ 0,∀x ∈ [−3, −1[∪[2, ∞[
f (x) ≤ 0,∀x ∈] − ∞, −3]∪] − 1, 2].
1.6. Les extremums d’une fonction.
Définition 3.8. Le maximum absolu (ou global) d’une fonction
f (x), noté max(f ), est la plus grande valeur qu’atteint f (x) et ce, pout
tout x ∈ dom(f ). D’une manière similaire, le minimum absolu (ou
global) de f (x) est la plus petite valeur atteinte. On note le minimum
min(f ).
Dans ce chapitre, nous n’étudierons que les cas graphiques.
Exemple 3.12. Le graphique de la figure 3 montre que la plus
grande valeur de f (x) ou de y est de 8. Ainsi, max(f ) = 8. Pour
le minimum, min(f ) = −12.
+
1. ÉLÉMENTS DE L’ÉTUDE DES FONCTIONS
47
Exemple 3.13. Trouvons les extremums de cette fonction.
y
x1
x2
x3
x
Cette fonction ne possède ni maximum ni minimum, car elle monte
tout le temps à droite, et diminue lorsque x décroît.
Définition 3.9. (x0 , f (x0 )) est un point de maximum relatif (ou
local) s’il est un maximum de la fonction restreinte à un petit intervalle
autour de x0 . De même, (x0 , f (x0 )) est un point de minimum relatif s’il
est un minimum de la fonction restreinte à un petit intervalle autour
de x0 .
La figure 4 montre une fonction ayant un maximum relatif et un
minimum relatif, mais qui ne possède pas de maximum et de minimum.
y
max. relatif
x1
x2
x3
x
min. relatif
Fig. 4. Fonction possèdant un maximun et un minimum
relatif, mais n’ayant aucun maximun et minimum absolus.
Exemple 3.14. Revenons à l’exemple de la figure 3. Cette fonction
possède un minimum relatif en x = −4. Ce minimum vaut −12 et il
correspond également à un minimum absolu. La fonction a aussi un
maximum relatif au point (0, 8). Lui aussi est un maximum absolu.
1.7. Les intervalles de croissance et de décroissance.
Définition 3.10. On dit qu’une fonction f (x) est strictement croissante
sur un intervalle [a, b] si ∀x1 < x2 ∈ [a, b], alors f (x1 ) < f (x2 ). D’une
48
3. ÉTUDE GRAPHIQUE DE FONCTIONS
manière similaire, on dit que f (x) est strictement décroissante sur l’intervalle [a, b] si ∀x1 < x2 ∈ [a, b], alors f (x1 ) > f (x2 ).
Ce que ces définitions signifient, c’est que la fonction est croissante
si la valeur de y augmente lorsque la valeur de x augmente et que la
fonction est décroissante si sa valeur diminue lorsque la valeur de x
augmente.
Exemple 3.15. Voici les intervalles de croissance et de décroissance pour la fonction présentée sur la figure 3. Cet exemple montre
également la notation.
f (x) % ∀x ∈ [−4, 0],
f (x) & ∀x ∈ [−5, −4] ∪ [0, 6].
La première ligne se lit :” f (x) est croissante pour tout x dans l’intervalle [−4, 0]”. La deuxième ligne se lit de la même façon. Il est à noter
que pour x > 6, la fonction n’est pas croissante ni décroissante. On dit
alors qu’elle est constante.
Tout comme pour les extremums, nous n,entrerons pas dans les
détails de la façon de les trouver algébriquement. Il faut savoir les
retrouver graphiquement.
1.8. L’axe de symétrie.
Définition 3.11. L’équation de l’axe de symétrie est une droite de
la forme x = a où a est une constante. Cette droite correspond à un
axe de réflexion qui réfléchit la fonction sur elle-même.
Pour bien comprendre, regardons quelques exemples.
y
x=a
Exemple 3.16. Ici, la fonction est symétrique par rapport à l’axe x = a. Cela signifie que si l’on effectue une réflexion par
rapport à cet axe, on obtient exactement le
même graphique.
a
x
2. OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS
49
y
x=a
Exemple 3.17. La fonction n’est pas symétrique, c’est-à-dire qu’il n’existe pas d’axe de
symétrie. La droite pointillée montre le résultat de la réflexion par rapport à l’axe x = a.
x
2. Opérations sur les fonctions
2.1. La composition de fonction.
Définition 3.12. Soient deux fonctions f (x) et g(x). La composition de f (x) et g(x) est notée f ◦ g(x) et vaut f (g(x)).
√
Exemple 3.18. Soient f (x) = 3x2 − 4 et g(x) = x + 1. Alors,
f ◦ g(x) = f (g(x))
3(g(x))2 − 4
√
3( x + 1)2 + 4
3(x + 1) − 4
3x − 1.
Il est à noter que que f ◦ g(x) 6= g ◦ f (x).
y en fonction de x
10
8
6
4
2
0
y
Exemple 3.19. Soit la
fonction f (x) représentée à
la figure ci-contre. Trouvons
f ◦ f (8). On a f ◦ f (8) =
f (f (8)) = f (−2) = −8.
−2
−4
−6
−8
−10
−12
−14
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
Il est important maintenant de savoir quel est le domaine d’une
fonction composée, c’est-à-dire une fonction h(x) = f ◦ g(x). Pour ce
faire, étudions un exemple.
10
50
3. ÉTUDE GRAPHIQUE DE FONCTIONS
√
Exemple 3.20. Soient f (x) = 3x2 − 4 et g(x) = x + 1. Posons
h(x) = f ◦ g(x) et cherchons le domaine de cette fonction.
Condition 1: Puisque la première étape est de calculer g(x), il
faut que cette fonction soit bien définie. Ainsi, x ∈ dom(g).
Dans notre cas ici, dom(g) = [−1, ∞[.
Condition 2: Il faut que les valeurs de g(x) soient dans le domaine de f (x). Ce qui revient à dire que l’on veut les x ∈
dom(g) tels que g(x) ∈ dom(f ). Dans l’exemple, puisque dom(f ) =
alors ça fonction pour tous les x dans le domaine de g(x).
R
En conclusion, dom(h) = {x|x ∈ dom(g) et g(x) ∈ dom(f )}.
Exemple 3.21. Trouvons
√ le domaine de h(x) = f ◦ g(x) et de
k(x) = g ◦ f (x), où f (x) = x + 1 et g(x) = x2 .
Pour h(x), on a que dom(h) = {x|x ∈ dom(g) et g(x) ∈ dom(f )}.
Puisque dom(f ) =] − 1, ∞[, dom(g) =
et ima(g) = [0, ∞[, on a
que dom(h) = . Cependant, dom(k) = [−1, ∞[, car la fonction f est
définie seulement pour ces valeurs et g(x) est toujours bien définie.
R
R
2.2. La réciproque.
Définition 3.13. Soit f : dom(f ) → ima(f ). On appelle réciproque
de f , notée f −1 (x) la relation f −1 : ima(f ) → dom(f ).
f
dom(f )
codom(f )
f −1
Pour trouver f −1 (x) à partir de f (x), on isole y dans l’expression
x = f (y). On a alors y = f −1 (x).
2. OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS
51
Exemple 3.22. Trouvons la réciproque de f (x) = 3x + 4. Pour ce
faire, isolons y dans l’équation x = f (y).
x =f (y)
x = 3y + 4
x−4
y=
= f −1 (x).
3
Graphiquement, la réciproque est obtenue par la réflextiondu graphique de f (x) par rapport à l’axe y = x.
Exemple 3.23. La figure montre la fonction réciproque de la fonction y = x2 . La droite en pointillés est y = x. On voit bien que f −1 (x)
9
8
7
y=x
6
5
y
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−3
−2
−1
0
1
2
3
x
4
5
6
7
8
9
n’est pas une fonction, car deux valeurs de y sont possibles pour une
seule valeur de x. On obtient le même résultat algébriquement.
x = f (y)
x = y2
√
y=± x
Exemple 3.24. Soit f (x) = x2 − x. Trouvez f −1 (6).
Ici, on pourrait trouver f −1 (x), mais ce serait une perte de temps, car
si x = f −1 (6), alors f (x) = 6. On n’a qu’à résoudre cette équation.
x2 − x = 6
x2 − x − 6 = 0
(x − 3)(x + 2) = 0
x = 3 ou x = −2
52
3. ÉTUDE GRAPHIQUE DE FONCTIONS
3. Rôle des paramètres a, b, h et k
Dans cette section, nous étudierons le rôle de certains paramètres
qui permettent de transformer une fonction déjà connue, nommée fonction de base.
Il y a quatre paramètres : a, b, h et k. Chacun joue un rôle distinct
dans la transformation d’une fonction. Supposons que nous ayons une
fonction de base f (x). Alors, sa transformation par les paramètres a,
b, h et k est une nouvelle fonction g(x) où
(1)
g(x) = af (b(x − h)) + k.
Regardons ce que fait chacun de ces paramètres.
3.1. Rôle de a. Comme on peut le voir dans l’équation de la
fonction transformée, a multiplie la fonction de base, c’est-à-dire y.
Cela a pour effet d’étirer verticalement la fonction de base lorsque
a > 1 et de la compresser si 0 < a < 1. Dans le cas où a est négatif,
il y aura une réflexion de la fonction de base par rapport à l’axe des x
suivi d’une contraction ou d’un étirement selon la grandeur de a.
Exemple 3.25. Cet exemple illustre bien l’effet de a sur la fonction
de base montrée au premier graphique.
a=2
32
14
28
12
24
10
20
f(x)
f(x)
fonction de base
16
8
16
6
12
4
8
2
0
−4
4
−3
−2
−1
0
x
1
2
3
0
−4
4
−3
−2
−1
16
14
12
12
8
10
4
8
6
2
3
4
1
2
3
4
0
−4
4
−8
2
−12
0
−4
1
a=−1
16
f(x)
f(x)
a=0.5
0
x
−3
−2
−1
0
x
1
2
3
4
−16
−4
−3
−2
−1
0
x
Fig. 5. Illustration du rôle de a. Ici, a = 2, a = 0.5 et
a = −1.
3. RÔLE DES PARAMÈTRES a, b, h ET k
53
Le deuxième graphique montre la fonction transformée avec a = 2.
La fonction de base est en pointillés. L’effet de a est apparent en regardant le point (2, 4) sur la fonction de base représenté par le cercle.
Le résultat de la transformation est le point (2, 8) (le carré), car on a
multiplié y par 2.
Dans le cas où a = 0.5, on contracte verticalement le graphique. Le
point (2, 4) devient alors (2, 2).
Finalement lorsque a est négatif, ici −1, il y a une réflexion de la
fonction de base par rapport à l’axe des x. Ainsi, le point (2, 4) devient
(2, −4).
3.2. Rôle de b. Puisque le paramètre b est à l’intérieur de la fonction, il agit sur la variable x. Un peu comme a, il sert à étirer, contracter
et réfléchir la fonction de base, mais à quelques différences près.
– Si b > 1, il y a contraction horizontale de la fonction de base.
– Si 0 < b < 1, il y a un étirement horizontal.
– Si b est négatif, il y a une réflexion par rapport à l’axe des y suivi
d’une contraction ou d’un étirement selon la grandeur de b.
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
−3
f(x)
−1
0
x
b=0.5
1
2
f(x)
f(x)
f(x)
fonction de base
8
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
−2
−2
−1
0
x
1
2
3
b=2
8
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
x
b=−1
8
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
−2
−1
0
1
2
x
Fig. 6. Illustration du rôle de b. Ici, b = 2, b = 0.5 et b = −1.
54
3. ÉTUDE GRAPHIQUE DE FONCTIONS
Exemple 3.26. Encore une fois, la fonction de base est dessinée
en pointillés. On voit bien l’effet des différentes valeurs de b, mais le
plus important est de porter notre attention sur les points en cercle et
en carré. Puisque le paramètre b influence x, on remarque que la valeur
de y ne change pas après la transformation par le parmètre b. Ainsi,
le point (1, 1) devient le point (0.5, 1) lorsque b = 2, ce même point
devient (2, 1) si b = 0.5. Lorsque b = −1, on voit que le point (1, 1) se
transforme en (−1, 1).
Il est à noter que l’on peut parfois confondre le rôle de b et de a. On
verra plus loin que dans certains cas, on peut fusionner a et b. Ainsi,
le changement d’échelle horizontale sera compris dans le changement
d’échelle verticale.
3.3. Rôle de h. Tout comme le paramètre b, h agit sur la variable
x. Il correspond à une translation horizontale de la fonction de base.
S’il est positif, la translation se fait vers la droite et s’il est négatif,
c’est vers la gauche.
important–important–important–important–important
Il est important de voir que la forme de la fonction transformée
c’est x − h qui apparaît et non pas x + h. Ainsi, si h est positif, on
soustrait quelque chose à x et on lui additionne une quantité si h
est négatif.
La figure 7 montre la translation de la fonction de base causée par le
paramètre h.
3.4. Rôle de k. Le paramètre k cause une translation verticale de
la fonction de base. S’il est positif, c’est vers le haut et vers le bas s’il
est négatif. Le tout est montré à la figure 8.
fonction de base
16
14
12
10
8
6
4
2
0
−4 −3 −2 −1 0 1 2
x
h=−1
25
55
h=1
25
20
f(x)
f(x)
3. RÔLE DES PARAMÈTRES a, b, h ET k
15
10
5
3
4
3
4
0
−4 −3 −2 −1
0
x
1
2
3
4
f(x)
20
15
10
5
0
−4 −3 −2 −1
0
x
1
2
f(x)
fonction de base
16
14
12
10
8
6
4
2
0
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3
x
h=−1
8
7
6
5
4
3
2
1
0
−1
−3 −2 −1
0
1
2
x
k=1
f(x)
f(x)
Fig. 7. Illustration du rôle de h. Ici, h = 1et h = −1.
4
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
−3
−2
−1
0
x
1
2
3
3
Fig. 8. Illustration du rôle de k. Ici, k = 1et k = −1.
56
3. ÉTUDE GRAPHIQUE DE FONCTIONS
3.5. Résumé. Ce que nous devons retenir au sujet des paramètres
a, b, h et k :
– a est un changement d’échelle verticale : étirement si a > 1,
contraction si 0 < a < 1 et réflexion par rapport à l’axe des x
suivi d’une contraction ou d’un étirement si a < 0.
– b est un changement d’échelle horizontale : étirement si 0 < b < 1,
contraction si b > 1 et réflexion par rapport à l’axe des y suivi
d’une contraction ou d’un étirement si b < 0.
– h est une translation horizontale de la fonction de base : vers la
droite si h > 0 et vers la gauche si h < 0.
– k est une translation verticale de la fonction de base : vers le haut
si k > 0 et vers le bas si k < 0.
Pour tracer une fonction transformée à partir du graphique de la fonction de base, il suffit d’appliquer ce qui suit. Un pint (x, y) de la fonction
de base devient le point ( xb + h, ay + k). On écrit

‹
x
(x, y) →
+ h, ay + k .
b
Exemple 3.27. Tracer la fonction obtenue par la transformation
de la fonction f (x) représentée à la figure 9 avec a = −3, b = 1, h = 2
et k = 4.
7
6
5
4
y
3
2
1
0
−1
−2
−5
−4
−3
−2
−1
0
x
1
2
Fig. 9. Graphique de f (x).
3
4
5
3. RÔLE DES PARAMÈTRES a, b, h ET k
57
Pour répondre à cette question, regardons ce qui arrive avec certains
points remarquables du graphique. Prenons les points (−5, −2), (−3, 0),
(−0.5, 6.25), (2, 0) et (5, 1). Ces points ont été choisis, car il sont les
points de changements brusques de la fonction. Effectuons la transformation sur chacun des points. Commençons par le point (−5, −2).
Puisque h > 0, il y aura une translation vers la droite de 2 de la fonction. Ainsi, la coordonnée x devient −3. Pour la composante y, on
doit la multiplier par −3 et lui ajouter 4, d’où le point transformé est
(−3, 10). On répète le processus pour les autres points. Par la suite, on
les relie en gardant la même allure de courbe entre chaque point. Cela
signifie que si entre deux points on avait une droite, la courbe reste
une droite, car la transformation ne change pas la nature de la courbe.
Nous avons donc la solution
16
15
13
11
9
7
5
y
3
1
−1
−3
−5
−7
−9
−11
−13
−15
−5
−4
−3
−2
−1
0
x
1
2
3
4
Fig. 10. Graphique de −3f (x − 2) + 4.
5
CHAPITRE 4
La droite
Dans ce chapitre, nous étudierons tous les dessous de la droite.
Celle-ci est très utile dans tous les domaines et elle permet de faire de
belles choses. De plus, elle est très simple à manipuler, ce qui en fait
un outil idéal dans plusieurs aspects des mathématiques.
1. La fonction constante
Définition 4.1. Une fonction constante est de la forme
où c ∈
R.
f (x) = c,
Le graphique de cette fonction est
y
c
x
Étudions cette fonction à l’aide des huits éléments d’étude :
Le domaine: dom(f ) =
L’image: ima(f ) = {c}
L’ordonnée à l’origine: f (0) = c
Les zéros: Deux cas :
– Si c 6= 0, il n’y a aucun zéro.
– Si c = 0, il y a une infinité de zéros et ce, ∀x ∈ dom(f ).
Le signe des images: Deux cas :
– Si c > 0, f (x) > 0 ∀x ∈ dom(f ).
– Si c < 0, f (x) < 0 ∀x ∈ dom(f ).
Extremums: max(f ) = min(f ) = c.
Croissance et décroissance: Aucune.
Équation de l’axe de symétrie: x = a et ce ∀a ∈ .
R
R
59
60
4. LA DROITE
2. La fonction linéaire
Définition 4.2. Une fonction linéaire est une fonction de la forme
f (x) = ax + b,
où a, b ∈
R et a 6= 0.
Pour tracer une fonction linéaire, il suffit de trouver deux points de
la fonction, ici (x1 , y1 ) et (x2 , y2), et de dessiner la droite qui passe par
ces deux points. Ainsi, l’allure générale d’un fonction linéaire est
(x2 , y2 )
y
∆y
(x1 , y1 )
∆x
(0, b)
x1
Étudions cette fonction :
Le domaine: dom(f ) =
L’image: ima(f ) =
R
x2
x
R
L’ordonnée à l’origine: f (0) = a · 0 + b = b. C’est pourquoi
on appelle b l’ordonnée à l’origine.
Les zéros: Deux cas : Cette fonction possède un seul zéro qui
est obtenu comme suit :
ax + b = 0
ax = −b
b
x=−
a
Le signe des images: Deux cas, selon la valeur de a :
– Si a > 0,
f (x) > 0,∀x[−b/a, +∞[ et
f (x) < 0,∀x] − ∞, −b/a].
2. LA FONCTION LINÉAIRE
61
– Si a < 0,
f (x) < 0,∀x[−b/a, +∞[ et
f (x) > 0,∀x] − ∞, −b/a].
Extremums: La fonction ne possède pas de minimum ni de
maximum.
Croissance et décroissance: Deux cas selon la valeur de a.
– Si a > 0, la fonction est croissante partout.
– Si a < 0, la fonction est décroissante partout.
Équation de l’axe de symétrie: La fonction ne possède pas
d’axe de symétrie.
2.1. Recherche de la règle d’une droite. La constante a dans
la règle de la fonction linéaire est ce que l’on nomme la pente ou le
taux de variation de la droite. On peut facilement retrouver ce taux de
variation à l’aide de la formule suivante :
∆y
y2 − y1
a=
=
,
∆x
x2 − x1
où (x1 , y1) et (x2 , y2) sont deux points de la droite. Le symbole ∆ signifie ”variation de”. Ainsi, ∆y = y2 − y1 signifie variation de y et dans
le cas d’une droite, le taux de variation est toujours le même.
La recherche de la règle d’une fonction linéaire est assez simple. Il
y a deux cas qui s’offrent à nous selon les informations connues.
2.1.1. Cas où l’on connaît la pente et un point de la droite. Supposns que l’on connaît la pente a et un point (x1 , y1 ) de la droite. Pour
écrire sa règle, il faut trouver la constante b en se servant les informations que l’on détient. Ici, on sait que la droite passe par le point
(x1 , y1 ), d’où l’équation à résoudre :
y1 = ax1 + b.
Ainsi, on peut trouver la valeur de b en l’isolant, ce qui nous donne
b = y1 − ax1 .
Exemple 4.1. Trouvons l’équation de la droite qui a une pente de
4 et qui passe par le point (1, 2).
Puisque la pente est de 4, alors on a que y = 4x + b. Ainsi,
D’où la réponse, y = 4x − 2.
2 =4 · 1 + b
b = − 2.
62
4. LA DROITE
2.1.2. Cas où l’on connaît deux points de la droite. Dans le cas où
l’on connaît deux points de la droite, (x1 , y1 ) et (x2 , y2 ), il suffit de
trouver la pente à l’aide de la formule
a=
∆y
y2 − y1
=
∆x
x2 − x1
et de faire les étapes du cas précédent en choisssant un des deux points.
Exemple 4.2. Trouvez l’équation de la droite qui passe par les
points (1, 8) et (2, 6).
Premièrement, calculons la pente
a=
∆y y2 − y1
=
∆x x2 − x1
6−8
=
2−1
=−2
Maintenant que nous avons la pente de la droite, il faut choisir un des
points afin de trouver b. Si l’on prend le point (1, 8), on obtient
8 =−2·1+b
b =10.
D’où l’équation de la droite : y = −2x + 10.
2.2. Taux de variation moyen. Regardons ici la notion de taux
de variation moyen. Celle-ci est à la base du calcul différentiel qui sera
abordé dans les cours de mathématiques plus avancés.
Définition 4.3. Soit une fonction f (x). Le taux de variation moyen
de f (x) sur l’intervalle [a, b] est donné par
T V M[a,b] f (x) =
f (b) − f (a)
.
b−a
Exemple 4.3. Trouvons le T V M de f (x) = x2 sur l’intervalle
[1, 2].
T V M[1,2] f (x) =
22 − 12
f (2) − f (1)
=
=3
2−1
1
Géométriquement, le T V M[a,b] f (x) correspond à la pentre de la
droite sécante à f (x) qui passe par les points (a, f (a)) et (b, f (b)).
3. RELATIONS ENTRE DEUX DROITES
63
y
f (b)
f (a)
droite sécante
a
b
x
Exemple 4.4. Trouvez l’équation de la droite sécante à la fonction
f (x) = x2 qui passe par (1, f (1)) et par (2, f (2)).
On sait que la pente de la droite sécante est donnée par le T V M[1,2] f (x).
Ce dernier vaut 3, on l’a calculé dans le dernier exemple. Ainsi, on a
la pente de la droite et on sait que celle-ci passe par (1, 1). D’où,
1 =3 · 1 + b
b = − 2.
Ainsi, l’équation de la droite sécante est y = 3x − 2.
3. Relations entre deux droites
Avant de décrire les relations entre deux droites dans le plan, regardons quelques définitions.
Définition 4.4. Voici quelques termes utilisés pour parler d’une
droite :
– y = ax + b est la forme canonique d’une droite oblique.
– y = b est la forme canonique d’une droite horizontale.
– x = c est la forme canonique d’une droite verticale.
– Ax + By + c = 0 est la forme générale d’une droite.
On peut maintenant aborder le sujet de la relation entre deux
droites du plan. Considérons les droites D1 et d2 écrites sous leurs
formes canoniques :
D1 : y = a1 x + b1 ,
D2 : y = a2 x + b2 .
Il y a quatre relations possibles pour ces deux droites selon les valeurs
de leurs pentes et de leurs ordonnées à l’origine. On verra des exemples
de ces droites dans les sections à venir.
64
4. LA DROITE
D1 et D2
D1
D2
D1 et D2 sont parallèles si
D1 et D2 sont paa1 = a2 et b1 6= b2 .
rallèles confondues si
a1 = a2 et b1 = b2 .
D1
D1
D2
D2
D
et
D
sont
perpenD1 et D2 sont sécantes ou
1
2
diculaires si a1 · a2 =
concourantes si a1 6= a2 .
−1.
3.1. Systèmes de deux équations linéaires à deux variables.
Un système de deux équations linéaires à deux variables consiste à
étudier la relation entre deux droites. La forme générale de ce système
S est
¨
S=
Ax + By + C = 0
Dx + Ey + F = 0,
avec A, B, C, D, E et F des constantes.
Le but avec ce système est de le résoudre. Cela consiste à trouver les
valeurs de x et de y qui font que les équations sont vraies en même
temps. Géométriquement, cela revient à trouver les points du plan où
se croisent les deux droites. L’ensemble des points d’intersection des
3. RELATIONS ENTRE DEUX DROITES
65
droites est l’ensemble solution du système d’équations et il est noté
ES. Il y a trois possibilités pour l’ensemble solution :
Cas 1, aucune solution: C’est le cas où les deux droites sont
parallèles, c’est-à-dire qu’elles ne se croisent jamais. Alors, on
écrit ES = ∅.
Exemple 4.5. Soit le système
¨
2x + y − 8 = 0
2x + y + 4 = 0
S=
Ici, on peut le réécrire
¨
S=
y = −2x + 8
y = −2x − 4
et on remarque que les deux droites sont parallèles, car elles
ont la même pente. Ainsi, ES = ∅.
Cas 2, une seule solution: Ici, ES possède un seul élément
qui est un points (x0 , y0 ). Ce cas survient lorsque les deux
droites sont sécantes ou perpendiculaires. Nous verrons comment trouver ce points un peu plus loin.
Cas 3, une infinité de solutions: Ce cas arrive lorsque les deux
droites sont des droites parallèles confondues. À ce moment,
ES est l’ensemble de tous les points sur la droite. On n’entrera
pas dans les détails de ce cas. Ceux-ci seront vus dans un cours
d’algèbre linéaire plus avancé.
Exemple 4.6. Soit le système
¨
S=
2x + y + 4 = 0
4x + 2y + 8 = 0.
On peut réécrire le système comme suit :
¨
S=
y = −2x − 4
y = −2x − 4.
On a donc deux fois la même droite. Ainsi, ES est l’ensemble
des points sur la droite y = −2x − 4.
Dans deux des trois cas, il suffit de manipuler légèrement le système
afin d’arriver à l’ensemble solution. Cependant, dans le cas où non
possédons une seule solution, il faut travailler un peu plus. Il existe
trois méthodes pour y parvenir.
66
4. LA DROITE
3.1.1. Méthode de réduction ou d’addition. Explicitons cette méthode par un exemple.
Exemple 4.7. Trouvons l’ES du système
¨
2y + 3x = 10
y + 5 = x.
La première étape consiste à placer toutes les variables à gauche de
l’égalité et les termes constants à droite.
¨
3x + 2y = 10
−x + y = −5.
Il est à noter que l’on met les variables l’une vis-à-vis l’autre. Pour la
deuxième étape, on multiplie la deuxième équation afin que le coefficient
devant le x soit le même que celui de la première équation, mais de signe
opposé. Dans cet exemple, on multiplie la deuxième équation par 3 afin
d’obtenir −3 devant le x. Ainsi,
¨
3x + 2y = 10
−3x + 3y = −15.
Il est à noter que cette opération ne change pas l’ensemble solution.
Finalement, on additionne les deux lignes.
3x + 2y = 10
+ −3x + 3y = −15
5y = −5
Ainsi, on trouve que y = −1. Il faut maintenant trouver la valeur de
x. On prend la première équation, on remplace y par sa valeur et on
isole x.
3x + 2y = 10
3x + 2 · −1 = 10
x=4
D’où, ES = {(4, 1)}.
3.1.2. Méthode de substitution. La méthode de substitution consiste
à isoler une variable de l’une des équations et à la remplacer dans l’autre
équation afin de trouver la valeur de l’autre variable. L’exemple suivant
montre bien la méthode.
Exemple 4.8. Trouvons la solution du même système qu’à l’exemple
précédent :
¨
2y + 3x = 10
y + 5 = x.
3. RELATIONS ENTRE DEUX DROITES
67
Ici, x est déjà isolé dans la deuxième équation. On va donc remplacer
x par y + 5 dans la première équation et isoler y :
2y + 3(y + 5) = 10
5y + 15 = 10
5y = −5
y = −1
On reprend la deuxième équation pour trouver x,
x = y + 5 = −1 + 5 = 4.
L’ensemble solution est donc {(4, −1)}.
3.1.3. Méthode de comparaison. L’idée de cette méthode est d’isoler
la même variable dans chacune des équations. Ensuite, on égalise les
deux équations et on isole la deuxième variable.
Exemple 4.9. Trouvons l’ensemble solution du système
¨
2y + 3x = 10
y + 5 = x.
Isolons x dans les deux équations.
2y + 3x = 10
x =y+5
10 − 2y
x =
3
Maintenant, on égalise les deux équations
10 − 2y
=y+5
3
10 − 2y = 3y + 15
−5 = 5y
y = −1
On peut retrouver la valeur de x avec l’une des équations,
x = y + 5 = −1 + 5 = 4.
Ainsi, ES = {(4, −1)}.
3.2. Exercices sur la section 3.
(1) Trouvez l’ensemble solution des sytèmes suivants :
¨
a)
x=y
b)
y = x + 1.
¨
x + y = 10
c)
x − y = 4.
¨
x − 3 = 4y
3x − 12y = 9.
68
4. LA DROITE
4. Modélisation
Les systèmes d’équations linéaires nous permettent de résoudre des
problèmes de la vie de tous les jours. Dans le chapitre 2, nous avons vu
les étapes pour résoudre une situation lorsque celle-ci pouvait être décrite par une équation linéaire. Ici, nous verrons comment résoudre ces
problèmes avec un système d’équations. Cela simplifiera énormément
la procédure.
Exemple 4.10. Deux F18 de l’armé sont en plein vol. Il reste le
tiers de carburant pour le premier F18 et 120L pour le second. Un
avion ravitailleur vient remplir leur réservoir. Il prend 5 minutes pour
remplir le premier et 6 minutes pour le second. Si le débit de transfert
d’essence est le même pour les deux F18,
a) écrivez une équation qui permet de trouver ce débit (identifier bien
la variable),
b) trouvez le débit du transfert d’essence (en L/min),
c) quelle quantité d’essence peut contenir le réservoir d’un F18 ?
Pour répondre à cette question, on doit tout d’abord identifier les variables :
x : quantité d’essence d’un F18 (en litre)
y : taux d’arrivée du carburant (en litre par minute).
On trouve maintenant le système d’équations.
Pour le premier F18 :
x = 13 x + 5y. Ceci provient du fait que ce F18 avait le tiers de sa capacité d’essence et on lui ajoute de l’essence à un débit y pendant 5
minutes.
Pour le deuxième F18 :
x = 120 + 6y, car il lui restait 120 litres d’essence et on lui en ajoute
pendant 6 minutes.
On a maintenant deux équations et deux variables. Pour résoudre ce
système, isolons x dans les deux équations.
1
x = x + 5y et x = 120 + 6y
3
15
x= y
2
5. LES DISTANCES
69
Maintenant, on peut résoudre
15
y =120 + 6y
2
15y =240 + 12y
3y =240 ⇒ y = 80
⇒ x =120 + 6 · 80 = 600.
Ainsi, les réponses sont :
a) déjà répondu
b) le débit est y et il vaut 80L/min.
c) c’est la valeur de x et elle vaut 600L.
Exemple 4.11. Pour construire un garage, on a utilisé 2500 planches
de bois de deux essences différentes. Les planches de la première essence
valent 2$ l’unité et celles de la deuxième 3$ l’unité. Si la facture s’élève
à 6500 $, combien de planches de chaque essence a-t-on achetées ?
Posons x le nombre de planches de la première essence et y le nombre
de planches de la deuxième. Nous obtenons alors le système
x + y = 2500
2x + 3y = 6500
La solution de ce système est x = 1000 et y = 1500. Ainsi, il faut 1000
planches de la première essence et 1500 de la deuxième.
5. Les distances
Dans cette section, nous étudierons la distance entre différents objets mathématiques. Avant d’entrer dans les détails, rappelons un théorème bien connu, celui de Pythagore.
Théorème 4.1 (Pythagore). Soit un triangle rectangle ayant une
hypothénuse de longueur c et des cathètes de longueur a et b. Alors,
c2 = a2 + b2 .
Démonstration. Pour démontrer ce théorème, nous devons construire
la figure suivante :
70
4. LA DROITE
c
c
a
b
c
c
La procédure à suivre est de calculer l’aire du grand carré, notée A,
de deux manières différentes.
Méthode 1: A = c2 , car le grand carré a des côtés de longueur
c.
Méthode 2: Le grand carré est constitué de quatre triangles
rectangles et d’un carré de côtés b − a. Ainsi,
ab
+ (b − a)2 = 2ab + b2 − 2ab + a2
A=4·
2
= a2 + b2
Ainsi, nous avons calculé la même aire de deux manières, d’où c2 =
a2 + b2 .
5.1. Distance entre deux points.
Définition 4.5. Soient P1 : (x1 , y1 ) et P2 : (x2 , y2), deux points
dans le plan. La distance entre ces deux points, notée d (P1 , P2 ), est la
longueur du segment de droite qui relie ces points. Grâce au théorème
de Pythagore, on a que
d (P1 , P2 ) =
È
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 .
P2
y2
y1
P1
x2 − x1
x1
y2 − y1
x2
5. LES DISTANCES
71
Exemple 4.12. Trouvons la distance entre les points P1 : (2, −3)
et P2 : (−5, −4).
Pour ce faire, utilisons la formule
d (P1 , P2 ) =
=
È
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
È
(−5 − 2)2 + (−4 − −3)2
È
(−7)2 + (−1)2
√
√
= 49 + 1 = 5 2.
=
5.2. Point milieu.
Définition 4.6. Le point milieu est le point qui est à égale distance
entre deux points.
Pour trouver les coordonnées du point milieu PM entre P1 : (x1 , y1)
et P2 : (x2 , y2 ) sont données par la formule

x1 + x2 y1 + y2 ‹
,
.
PM =
2
2
Il est très simple de démontrer cette formule. Il suffit de construire deux
triangles rectangles comme le montre la figure suivante :
P2
On se retrouve avec deux triangles qui
sont congrus par ACA. Ainsi, les cathètes des triangles doivent avoir la
même longueur, ce qui correspond à la
moitié de x2 − x1 et de y2 − y1 . D’où,
on obtient la formule.
PM
P1
Exemple 4.13. Trouvons le point milieu entre les points A : (5, −2)
et B : (5, 11).

x1 + x2 y1 + y2 ‹
,
2
2 5 + 5 −2 + 11
,
=
2
2
9
= 5,
.
2
PM =
5.3. Distance entre un point et une droite.
Définition 4.7. La distance entre une droite d et un point P correspond à la plus courte distance entre les points de la droite et P .
72
4. LA DROITE
Pour trouver cette distance, on doit suivre les étapes suivantes :
Étape 1: On trouve l’équation de la droite d0 qui est perpendiculaire à la droite d et qui passe par P .
Étape 2: On trouve le point P 0 qui est le point d’intersection
de d et d0 .
Étape 3: On calcule la distance entre P et P 0 . Cette distance
correspond à la distance entre le point et la droite.
La figure suivante illustre la méthode.
d0
d
P
P0
Exemple 4.14. Trouvons la distance entre le point (1, 5) et la droite
y = 3/4x − 2.
Étape 1: On cherche la droite y = ax+b qui est perpendiculaire
à y = 3/4x − 2 et qui passe par (1, 5). On sait que si deux
droites sont perpendiculaires, alors le produit de leurs pentes
est −1. Ainsi,
3
4
a · = −1 ⇒ a = − .
4
3
Maintenant, on a
4
4
y =− x+b⇒5=− +b
3
3
19
⇒b= .
3
0
D’où la droite d est y = −4/3x + 19/3.
Étape 2: Il faut maintenant déterminer le point d’intersection
entre d et d0 .
19
3
4
= x−2
y =− x+
3
3
4
25x = 100
x=4
y = 3/4 · 4 − 2 = 3 − 2 = 1. Donc, P 0 : (4, 1).
5. LES DISTANCES
Étape 3: Calculons d(P, P 0).
d (P, P 0) =
=
=
=
La distance est donc de 25.
È
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
È
(4 − 1)2 + (1 − 5)2
È
√
(3)2 + (−4)2
25 = 5.
73
CHAPITRE 5
La parabole
La parabole est une fonction très importante en mathématique. Elle
est présente dans plusieurs modélisations : la trajectoire d’un projectile,
miroir de télescope etc... Son étude est primordiale et tous les aspects
étudiés ici seront d’un grand secours en ingénierie, physique, biologie....
1. La parabole de base
Définition 5.1. L’équation de la parabole de base est f (x) = x2 et
son graphique est
26
24
22
20
18
16
y
14
12
10
8
6
4
2
0
−2
−5
−4
−3
−2
−1
Analysons cette fonction.
Le domaine: dom(f ) =
0
x
1
2
3
4
5
R.
L’image: ima(f ) = [0, +∞[.
L’ordonnée à l’origine: f (0) = 0.
Les zéros: Un seul zéro en x = 0.
Le signe des images: f (x) ≥ 0 ∀x ∈ dom(f ).
Extremums: aucun maximum et un minimum au point (0, 0).
75
76
5. LA PARABOLE
Croissance et décroissance:
f (x) % ∀x ∈ [0, +∞[
f (x) & ∀x ∈] − ∞, 0].
Équation de l’axe de symétrie: x = 0.
2. La fonction transformée
Nous allons ici transformer la fonction de base grâce aux paramètres
a, b, h et k. Rappellons le rôle que chacun joue dans la transformation.
– a est un changement d’échelle verticale : étirement si a > 1,
contraction si 0 < a < 1 et réflexion par rapport à l’axe des x
suivi d’une contraction ou d’un étirement si a < 0.
– b est un changement d’échelle horizontale : étirement si 0 < b < 1,
contraction si b > 1 et réflexion par rapport à l’axe des y suivi
d’une contraction ou d’un étirement si b < 0.
– h est une translation horizontale de la fonction de base : vers la
droite si h > 0 et vers la gauche si h < 0.
– k est une translation verticale de la fonction de base : vers le haut
si k > 0 et vers le bas si k < 0.
L’équation de la fonction transformée est donnée par la transformation
g(x) = af (b(x − h)) + k. Dans notre cas, nous obtenons que
y = a(b(x − h))2 + k.
On peut simplifier cette équation :
y = a(b(x − h))2 + k
= ab2 (x − h)2 + k
= ã(x − h)2 + k
Ici, ã = ab2 . On a donc la forme transformée de la parabole
y = a(x − h)2 + k.
On remarque que la parabole transformée dépend uniquement de a, h
et k. Le paramètre b est fusionné dans le paramètre a. Cette forme est
dite la forme canonique de la parabole. Il existe aussi la forme générale
de la parabole qui est y = ax2 + bx + c.
important–important–important–important–important
Ici, le b de la forme générale n’est pas le paramètre b, mais seulement
une constante.
2. LA FONCTION TRANSFORMÉE
77
2.1. Comment passer de la forme canonique à la forme
générale ? Pour passer de la forme canonique à la forme générale, il
suffit de développer le carré.
y = a(x − h)2 + k
= a(x2 − 2hx + h2 ) + k
= ax2 − 2ahx + (k + ah2 )
Ainsi, le b de la forme générale vaut −2ah et le c vaut k + ah2 . Pour
ce qui est du a, c’est le même dans les deux formes.
Exemple 5.1. Soit y = 2(x + 3)2 + 1. Trouver la forme générale de
cette parabole.
y = 2(x + 3)2 + 1
= 2(x2 + 6x + 9) + 1
= 2x2 + 12x + 19
2.2. Comment passer de la forme générale à la forme canonique ? Il existe deux façons de passer de la forme générale à la forme
canonique. La première façon consiste à utiliser le résultat obtenu précédemment. On sait que
y = ax2 + bx + c = a(x − h)2 + k
= ax2 − 2ahx + (k + ah2 ).
On est à la recherche de a, h et k. Puisque l’on connaît la forme générale,
on connaît a, b et c. On a donc deux équations
b = −2ah
c = k + ah2 .
−b
Ainsi, en isolant h de la première équation, on a h =
. Pour ce qui
2a
est de k, voici comment le trouver :
c = k + ah2
k = c − ah2
‚
−b
k =c−a
2a
2
b
k =c−
4a
4ac − b2
.
k=
4a
Œ2
78
5. LA PARABOLE
Maintenant, nous avons des formules pour trouver h et k en fonction
de a, b et c.
Exemple 5.2. Écrivons, sous sa forme canonique, la parabole y =
2x + 12x + 19.
2
b
12
=−
= −3
2a
2·2
−b2 + 4ac
−122 + 4 · 2 · 19
k=
=
=1
4a
4·2
h=−
Ainsi, y = a(x − h)2 + k = 2(x + 3)2 + 1.
L’autre façon d’y parvenir est à l’aide de la complétion de carré.
Pour utiliser cette méthode, nous devons nous rappeler de la notion
de carré parfait. Celle-ci nous dit que si nous sommes en présence d’un
polynôme de la forme x2 ±2dx+d2 , on a sa factorisation qui est (x±d)2 .
C’est ce principe que nous tentons d’utiliser.
Exemple 5.3. Trouvons la forme canonique de y = 2x2 + 12x + 19
avec la complétion de carré.
La première étape est de mettre en évidence le a, c’est-à-dire le coefficient devant x2 . On obtient alors
y = 2 x2 + 6x +
19
.
2
On veut maintenant que le polynôme à l’intérieur de la parenthèse soit
un carré parfait. Pour cela, il faut que son terme constant soit le carré
de la moitié du coefficient de x. Ici, ce terme est (6/2)2 = 9. On va
ajouter et enlever cette quantité au polynôme, ce qui ne change pas le
polynôme, car on lui ajoute 0.
y = 2 x2 + 6x +
„
=2
19
2
Ž
19
x2 + 6x + |9 −
9+
{z }
2
=0
On peut maintenant réécrire y
19
(en réécrivant l’équation)
y = 2 x + 6x + 9 + 2 −9 +
2
= 2(x + 3)2 + 1 (car le polynôme est un carré parfait).
€
2
Š
2. LA FONCTION TRANSFORMÉE
79
2.3. Étude de la fonction transformée. Étudions maintenant
les caractéristiques de la parabole transformée. Pour ce faire, esquissons son graphique d’une manière générale. Puisque nous savons qu’un
point (x, y) de la fonction de base devient le point (x + h, ay + k).
Ainsi, on obtient les graphiques suivants selon le signe du paramètre a.
Maintenant, nous sommes en mesure d’étudier la fonction.
y
a>0
k
h
x
Fig. 1. a > 0
y
a<0
k
h
Fig. 2. a < 0
x
80
5. LA PARABOLE
Le domaine: dom(f ) =
R.
L’image: Deux cas :
– Si a > 0, ima(f ) = [k, +∞[.
– Si a < 0, ima(f ) =] − ∞, k].
L’ordonnée à l’origine: f (0) = a(−h)2 + k = ah2 + k ou
f (0) = c, selon la forme de la règle.
Les zéros: Pour trouver les zéros, il faut résoudre l’équation
y = 0. Servons-nous de la forme canonique pour résoudre cette
équation.
a(x − h)2 + k = 0
(x − h)2 = −
k
a
À partir d’ici, il y a trois possibilités
k
< 0, c’est impossible, car l’expression à gauche,
a
(x − h)2 , est toujours positif. Donc, il n’y a aucun zéro.
(1) Si −
k
= 0, il y a un seul zéro en x = h. Pour trouver
a
cette réponse, on résout (x − h)2 = 0.
(2) Si −
(3) Si −
k
> 0, on a
a
k
a
Ê
(x − h)2 = −
k
a
Ê
(x − h) = ± −
x=h±
k
− .
a
Il y a donc deux zéros qui sont obtenus plus haut.
Il est
√
important de noter que si x2 = a, alors x = ± a.
Lorsque l’on est en présence de la forme générale, il est un peu
plus complexe de déterminer les zéros. En réalité, il faut trouver la forme canonique et utiliser la démarche précédente. Ceb
−b2 + 4ac
pendant, puisque nous savons que h = − et k =
,
2a
4a
on peut trouver une formule. On a vu que ce qui influençait
k
le nombre de racines est le signe de − . Si l’on écrit en terme
a
2. LA FONCTION TRANSFORMÉE
81
de a, b et c, il devient
k
−b2 + 4ac 1
=−
·
a
4a
a
b2 − 4ac
=
4a2
Puisque le dénominateur est toujours positif, on a que le nombre
de zéros est déterminé par b2 −4ac. Cette expression se nomme
discriminant et on le note ∆. Ainsi, les trois cas peuvent se réécrire
−
(1) Si ∆ < 0, il n’y a aucun zéro.
(2) Si ∆ = 0, il y a un seul zéro en x = h = −
b
.
2a
(3) Si ∆ > 0, il y a deux zéros, notés x1 et x2 .
Ê
x=h±
k
a
s
−
b2 − 4ac
b
±
2a
4a2
√
−b ± b2 − 4ac
=
√2a
−b ± ∆
=
.
2a
L’allure de chacun de ces cas est montrée dans la figure suivante :
=−
aucun zéro,
a>0
aucun zéro
a<0
1 zéro
a>0
1 zéro
a<0
2 zéros
a>0
2 zéros
a<0
82
5. LA PARABOLE
Le signe des images: Quatre cas :
(1) Si a > 0 et ∆ ≤ 0, alors
f (x) ≥ 0, ∀x ∈ dom(f )
(2) Si a > 0 et ∆ > 0, alors
f (x) ≥ 0, ∀x ∈] − ∞, x1 ] ∪ [x2 , +∞[
f (x) ≤ 0, ∀x ∈ [x1 , x2 ]
(3) Si a < 0 et ∆ ≤ 0, alors
f (x) ≤ 0, ∀x ∈ dom(f )
(4) Si a < 0 et ∆ > 0, alors
f (x) ≤ 0, ∀x ∈] − ∞, x1 ] ∪ [x2 , +∞[
f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [x1 , x2 ]
Extremums: Deux cas :
– Si a > 0, aucun maximum et un minimum au point
(h, k).
– Si a < 0, un maximum au point (h, k) et aucun maximum.
Croissance et décroissance: Deux cas :
– Si a > 0,
f (x) % ∀x ∈ [h, +∞[
– Si a < 0,
f (x) & ∀x ∈] − ∞, h].
f (x) % ∀x ∈] − ∞, h]
f (x) & ∀x ∈ [h, +∞[.
Équation de l’axe de symétrie: x = h.
Exemple 5.4. Analysez la fonction f (x) = x2 − 4x − 5.
Le domaine: dom(f ) =
R.
L’image: Ici, il faut mettre la parabole sous sa forme canonique.
Pour ce faire, effectuons une complétion de carré.
f (x) = x2 − 4x − 5
= x2 − 4x + 4 − 4 − 5
= (x − 2)2 − 9.
Ainsi, puisque a > 0, on a ima(f ) = [−9, +∞[.
3. RECHERCHE DE LA RÈGLE
83
L’ordonnée à l’origine: f (0) = 02 − 4 · 0 − 5 = −5.
Les zéros: Pour les trouver, on utilise la formule
√
−b ± b2 − 4ac
x1,2 =
2a
È
4 ± (−4)2 − 4 · −5
=
√ 2·1
4±6
4 ± 36
=
=
2
2
x1 = −1 et x2 = 5.
Le signe des images: Puisque a > 0, on a que
f (x) ≤ 0, ∀x ∈ [−1, 5]
f (x) ≥ 0, ∀x ∈] − ∞, −1] ∪ [5, +∞[.
Extremums: aucun maximum et un minimum au point (2, −9).
Croissance et décroissance:
f (x) % ∀x ∈ [2, +∞[
f (x) & ∀x ∈] − ∞, 2].
Équation de l’axe de symétrie: x = 2.
3. Recherche de la règle
Afin de retrouver l’équation d’une parabole, il faut habituellement
trois points. Par contre, il arrive que deux points suffisent. Dans ce
cours, nous étudierons deux cas.
3.1. On connaît le sommet et un point de la parabole. Si
l’on connaît le sommet et un point de la parabole, on peut retrouver
sa règle. Pour ce faire, on utilise la forme canonique de la parabole :
y = a(x − h)2 + k.
Ici, h et k sont connus, car le sommet d’une parabole est au point (h, k).
Il reste à déterminer la valeur de a en utilisant l’autre point.
Exemple 5.5. Trouvons l’équation de la parabole dont le sommet
est au point (−2, 1) et qui passe par le point (1, 2).
84
5. LA PARABOLE
On sait que
y = a(x − h)2 + k
= a(x − −2)2 + 1
= a(x + 2)2 + 1.
Puisque la parabole passe par le point (1, 2), on a
2 = a(1 + 2)2 + 1
1 = 9a
1
a= .
9
1
Ainsi, y = (x + 2)2 + 1.
9
3.2. On connaît les deux zéros et un point de la parabole.
Dans le cas où l’on connaît les deux zéros et un point de la parabole,
il faut utiliser le principe du produit nul pour obtenir la règle. Ainsi,
si les deux zéros sont x1 et x2 et que le point connu est (x0 , y0 ), on a
qu’à isoler a dans la formule
y0 = a(x0 − x1 )(x0 − x2 ).
Exemple 5.6. Trouvons la règle de la parabole qui passe par (−2, 4)
et dont les zéros sont 1 et 3.
On a
y0 = a(x0 − x1 )(x0 − x2 )
4 = a(−2 − 1)(−2 − 3)
4 = a(−3)(−5)
4
a=
15
Ainsi, la règle est
4
(x − 1)(x − 3)
15
Š
4 € 2
=
x − 4x + 3
15
16
4
4
= x2 − x +
15
15
5
y=
4. RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS AYANT UNE FONCTION DU SECOND DEGRÉ
85
4. Résolution d’équations ayant une fonction du second
degré
Résoudre de telles équations nécessite de connaître la formule des
zéros, c’est-à-dire
√
−b ± b2 − 4ac
x1,2 =
.
2a
Regardons quelques exemples pour expliciter la méthode.
Exemple 5.7. Trouvons l’ensemble solution de l’équation
1
4
+
= 1.
2x + 4 x − 1
Les étapes à suivre sont les mêmes que lors de la résolution d’équations
linéaires.
Étape 1: On trouve le domaine de l’équation. Ici, on ne veut
pas qu’il y ait de division par zéro, d’où dom = \ {−2, 1}.
Étape 2: On résout l’équation. Premièrement, on additionne les
deux fractions
(x − 1) + (8x + 16)
= 1.
(2x + 1)(x − 1)
On multiplie les deux côtés de l’équation par le dénominateur.
R
9x + 15 = 2x2 + 2x − 4.
On met tous les termes du même côté.
2x2 − 7x − 19 = 0.
On utilise la formule des zéros pour obtenir les solutions de
l’équation précédente.
√
−b ± b2 − 4ac
x1,2 =
√ 2a
7 ± 49 + 152
=
4
x1 ≈ −1.7944 ou x2 ≈ 5.2944
Étape 3: On vérifie si les solutions sont dans le domaine. Ici,
c’est le cas. Ainsi,
ES = {−1.7944, 5.2944}.
Exemple 5.8. Trouvez l’ensemble solution de l’équation
x2 − 4
= 3x − 2.
x−2
86
5. LA PARABOLE
Étape 1: dom =
Étape 2:
R \ {2}.
x2 − 4
= 3x − 2
x−2
x2 − 4 = (3x − 2)(x − 2)
0 = 2x2 − 8x + 8
= 2(x2 − 4x + 2)
= 2(x − 2)2
⇒x = 2
Étape 3: Puisque 2 6∈ dom, alors
ES = ∅.
5. Modélisation
Exemple 5.9. Trouvez deux nombres entiers positifs consécutifs
dont la somme des carrés est 85.
Posons x le premier nomtre et x+ 1 le deuxième. Ainsi, on a l’équation
x2 + (x + 1)2 = 85
2x2 + 2x − 84 = 0.
En utilisant la formule des zéros, on obtient les deux zéros −7 et 6.
Puisque l’on cherche deux entiers positifs, alors la valeur à retenir est
6. Ainsi, 6 et 7 sont les réponses à la question.
Exemple 5.10. Une salle de cinéma compte 768 sièges. Si chaque
rangée compte 8 sièges de plus que le nombre de rangées, trouver le
nombre de rangées et le nombre de sièges dans une rangée.
Posons x le nombre de rangées. On a donc que le nombre total de siège
est donné par x(x + 8). Ainsi, il faut résoudre
x(x + 8) =768
x2 + 8x − 768 =0
À la de la formule des zéros, on obtient −32 et 24. Puisqu’un nombre
de rangées ne peut pas être négatif, on retient que x = 24. Ainsi, il y a
24 rangées de 32 sièges dans ce cinéma.
6. RÉSOLUTION D’INÉQUATIONS AYANT UNE PARABOLE
87
6. Résolution d’inéquations ayant une parabole
Regardons la technique afin de résoudre une inéquation contenant
une parabole.
Exemple 5.11. Trouvons l’ensemble solution de l’inéquation 2x2 −
5x < 3.
Étape 1: Comme dans toutes résolutions d’équations ou d’inéquations, on trouve le domaine. Ici, dom = .
R
Étape 2: On met un côté de l’inéquation à zéro en envoyant
tous les termes du même côté. Ici, on obtient
2x2 − 5x − 3 < 0.
Étape 3: On cherche les zéros de la parabole à l’aide de la formule quadratique.
√
−b ± b2 − 4ac
x1,2 =
√ 2a
5 ± 25 − 4 · 2 · −3
=
2·2
5±7
=
4
x1 = −0.5 et x2 = 3.
Étape 4: On esquisse le graphique de la parabole. Ici, il y a deux
zéros et l paramètre a est positif. Ainsi, l’allure générale de la
parabole sera
−0.5
3
Étape 5: On identifie les valeurs de x où la parabole est positive
ou négative selon le signe. Ici, la parabole est positive pour
x ∈] − ∞, −0.5[∪]3, +∞[.
88
5. LA PARABOLE
Étape 6: On trouve l’ensemble solution en enlevant les valeurs
de x qui ne sont pas dans le domaine. Ici, on a donc que
ES =] − ∞, −0.5[∪]3, +∞[.
Une des utilisés des inéquations est de déerminer le domaine d’une
fonction. Regardons un exemple.
Exemple 5.12. Trouvons le domaine de la fonction
√
9 − x2
f (x) = 2
.
x −1
On se souvient que pour déterminer le domaine d’une fonction, il faut
partir de l’idée que le domaine est . Par la suite, on enlève les valeurs
de x qui rendent le dénominateur nul et qui font que la valeur sous les
racines paires est négative. Ainsi, ici, on a
R
x2 − 1 6= 0
De plus, il faut que
(x − 1)(x + 1) 6= 0
⇒ x 6= −1 et x 6= 1.
9 − x2 ≥ 0.
Pour résoudre ceci, il faut trouver les zéros de 9 − x2 . Ceux-ci sont
−3 et 3. Puisque, le paramètre a est négatif (il vaut −1), on a que la
parabole est ouverte vers le bas. Ainsi, 9 − x2 ≥ 0 si x ∈ [−3, 3]. D’où
dom(f ) = [−3, 3] \ {−1, 1}.
7. Exercices sur la section 6
(1) Trouver l’ensemble solution des inéquations suivantes :
a) x2 + 1 > 5
b) √
− 2x2 + x + 6 < 0
c) x(3x − 3) ≤ 2x(x − 3) d) x2 − 2x + 1 > 1
(2) Trouvez le domaine des fonctions suivantes :
√
√
−x2 + 81
12x − 6
b) g(x) = √
a) f (x) = 2
x − 4x + 4
−6x2 + 5x + 4
√
√
156
2
2
81 − x
c) h(x) = x − 8x + 20 +
CHAPITRE 6
Fonctions particulières
Dans ce chapitre, on étudiera plusieurs fonctions qui sont très utiles
dans la vie de tous les jours. Celles-ci sont les fonctions rationnelles,
racines carrées, définies par parties et valeurs absolues.
1. Fonction rationnelle
1.1. Fonction de base.
Définition 6.1. La fonction rationnelle ou fonction inverse de base
est de la forme
1
f (x) = .
x
Le graphique de cette fonction est
Analysons cette fonction.
Le domaine: dom(f ) =
par 0.
R \ {0}, car on ne veut pas de division
R
L’image: ima(f ) = \ {0}. Ici, la fonction se rapproche de 0
sans jamais lui toucher.
L’ordonnée à l’origine: f (0) n’existe pas, car 0 6∈ dom(f ).
89
90
6. FONCTIONS PARTICULIÈRES
Les zéros: Aucun zéro.
Le signe des images: Ici,
f (x) < 0∀x ∈] − ∞, 0[
f (x) > 0∀x ∈]0, +∞[
Extremums: aucun maximum et aucun minimum.
Croissance et décroissance:
f (x) & ∀x ∈ dom(f ).
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
On ajoutera un autre point d’étude de la fonction. Cette caractéristique
se nomme les asymptotes d’une fonction.
Définition 6.2. Une asymptote horizontale est une droite horizontale telle que sa distance avec la fonction diminue toujours sans jamais
atteindre 0.
Une asymptote verticale est une droite verticale telle que sa distance
avec la fonction diminue toujours sans jamais atteindre 0.
Ainsi, f (x) possède une asympote horizontale en y = 0 et une
asyptote verticale en x = 0. La convention veut que l’on trace les
asymptotes en pointillés.
1.2. La fonction rationnelle transformée. Lorsque l’on applique les paramètres a, b, h et k sur la fonction de base, on obtient
f (x) =
a
+ k.
b(x − h)
Encore une fois, on peut fusionner a et b, d’où la forme canonique de
la fonction rationnelle
f (x) =
a
+ k.
x−h
L’allure de cette fonction dépend du signe de a.
1. FONCTION RATIONNELLE
91
a<0
a>0
h
h
k
k
Ces graphiques s’expliquent facilement en appliquant a, h et k à différents points (x, y). Étudions la fonction transformée.
Le domaine: dom(f ) =
par 0.
R \ {h}, car on ne veut pas de division
R
L’image: ima(f ) = \ {k}. On obtient ce résultat en transformant y = 0 à l’aide des paramètres.
a
L’ordonnée à l’origine: f (0) = − + k si h 6= 0.
h
Les zéros: Un seul zéro
a
+k =0
x−h
a
= −k
x−h
a = −k(x − h)
a
− + h = x si k 6= 0.
k
Le signe des images: Il y a quatre cas :
(1) a > 0 et k > 0
f (x) < 0∀x ∈]h − a/k, h[
f (x) > 0∀x ∈] − ∞, h − a/k[∪]h, +∞[
(2) a > 0 et k < 0
f (x) < 0∀x ∈] − ∞, h[∪]h − a/k, +∞[
f (x) > 0∀x ∈]h, h − a/k[
92
6. FONCTIONS PARTICULIÈRES
(3) a < 0 et k > 0
f (x) < 0∀x ∈]h, h − a/k[
f (x) > 0∀x ∈] − ∞, h[∪]h − a/k, +∞[
(4) a < 0 et k < 0
f (x) < 0∀x ∈] − ∞, h − a/k[∪]h, +∞[
f (x) > 0∀x ∈]h − a/k, h[
Extremums: aucun maximum et aucun minimum.
Croissance et décroissance: Deux cas,
Si a > 0, f (x) & ∀x ∈ dom(f ).
Si a < 0, f (x) % ∀x ∈ dom(f ).
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
Asymptotes: En x = h et y = k.
x−5
Exemple 6.1. Étudions la fonction f (x) =
.
x−4
La première étape consiste écrire la fonction sous sa forme canonique
afin que l’on puisse identifier a, h et k. Pour ce faire, on fait une
division à l’aide du crochet. On obtient alors
−1
f (x) =
+ 1.
x−4
Ainsi, a = −1, h = 4 et k = 1. Par la suite, on esquisse le graphique
de la fonction afin de nous aider à l’analyser. On trace d’abord les
asymptotes en x = h = 4 et en y = k = 1. Par la suite, on examine le
signe de a. Il est négatif donc la fonction sera dans le 2e et 4e quadrant.
1
4
2. FONCTION RACINE CARRÉE
93
Nous sommes maintenant en mesure de faire l’analyse de la fonction.
Le domaine: dom(f ) =
par 0.
L’image: ima(f ) =
R \ {4}, car on ne veut pas de division
R \ {1}.
L’ordonnée à l’origine: f (0) = −
Les zéros: Un seul zéro
−
1
+ 1 = 5/4.
0−4
1
+1=0
x−4
1
=1
x−4
1 = (x − 4)
x = 5.
Le signe des images:
f (x) < 0∀x ∈]4, 5[
f (x) > 0∀x ∈] − ∞, 4[∪]5, +∞[
Extremums: aucun maximum et aucun minimum.
Croissance et décroissance:
f (x) % ∀x ∈ dom(f ).
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
Asymptotes: En x = 4 et y = 1.
2. Fonction racine carrée
Étudions la fonction racine carrée.
2.1. La fonction de base.
Définition 6.3. La fonction racine carrée de base est de la forme
√
f (x) = x.
Son graphique est
94
6. FONCTIONS PARTICULIÈRES
f (x)
x
Analysons cette fonction.
Le domaine: dom(f ) = [0, +∞[, car on ne veut pas qe ce qui
se trouve sous une racine paire soit négatif.
L’image: ima(f ) = [0, +∞[, car la racine carrée d’un nombre
est toujours positive. ÉOn peut facilement identifier l’image à
l’aide de son graphique.
√
L’ordonnée à l’origine: f (0) = 0 = 0.
Les zéros: Cette fonction a un seul zéro en x = 0.
Le signe des images: Ici,
f (x) ≥ 0∀x ∈ dom(f )
Extremums: aucun maximum et un minimum au point (0, 0).
Croissance et décroissance:
f (x) % ∀x ∈ dom(f ).
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
Asymptotes: Aucune.
2.2. La fonction transformée. Encore une fois, appliquons
les
√
paramètres a, b, h et k à la fonction de base, ici f (x) = x. Ainsi, si
g(x) = af (b(x − h)) + k, on obtient
È
g(x) = a b(x − h) + k.
Malheureusement, on ne peut pas fusionner les paramètres a et b. Il
faudra donc prendre en considération quatre paramètres pour dessiner et analyser la fonction racine carrée. Pour esquisser cette fonction,
2. FONCTION RACINE CARRÉE
95
nousdevons connaître son point de départ. Dans la fonction de base,
c’est le point (0, 0). En appliquant les paramètres sur ce point, il devient le point (h, k). Ainsi, le point de départ de la fonction transformée
est le point (h, k). Pour déterminer la direction dans laquelle on trace
la fonction, il faut regarder le signe de a et de b. La figure suivante
montre l’allure de chacun des cas.
h
h
y
y
a>0
b<0
a>0
b>0
k
k
x
x
a<0
b<0
a<0
b>0
k
y
y
k
h
h
x
x
L’analyse de la fonction transformée est un peu lourde lorsque l’on
regarde tous les cas, c’est-à-dire selon si les paramètres sont positifs ou
négatifs. C’est pourquoi nous étudierons seulement le cas où a > 0 et
b > 0. Les autres cas demandent les mêmes techniques È
que l’on applique
sur un graphique différent. Analysons donc f (x) = a b(x − h) + k si
a et b sont positifs.
Le domaine: On veut que b(x − h) ≥ 0. Puisque b > 0, il faut
que x − h ≥ 0. Ainsi, x ≥ h. D’où, dom(f ) = [h, +∞[.
L’image: À l’aide du graphique, on s’apperçoit que la fonction
débute en y = k et qu’elle augmente toujours, car a > 0. Ainsi,
ima(f ) = [k, +∞[.
È
√
L’ordonnée à l’origine: f (0) = a b(0 − h) + k = a −bh + k.
Ceci est vrai seulement si h ≤ 0. Sinon, 0 6∈ dom(f ), donc
l’ordonnée à l’origine n’existe pas.
96
6. FONCTIONS PARTICULIÈRES
Les zéros: Pour les trouver, on effectue les étapes suivantes :
È
0 = a (b(x − h) + k
k È
− = (b(x − h)
a
Ici, il y a deux cas :
k
Si k > 0: Il n’y a pas de zéro, car a > 0 et − < 0 ce qui
a
ne peut être égale à une racine carrée puisque celle-ci est
toujours positive.
Si k < 0: Il n’y a pas de problème, on continu à isoler x.
k È
− = (b(x − h)
a
‚
Œ2
k
= b(x − h)
−
a
‚ Œ
1 k 2
+h=x
b a
Le signe des images: Ici,
"
1
f (x) ≥ 0∀x ∈
b
‚
k
a
"
Œ2
+ h, +∞
Extremums: aucun maximum et un minimum au point (h, k).
Croissance et décroissance:
f (x) % ∀x ∈ dom(f ).
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
Asymptotes: Aucune.
√
Exemple 6.2. Analysons la fonction f (x) = −2 3x − 9 + 8. La
première étape est de réécrire cette fonction sous sa forme canonique,
c’est-à-dire sous la forme
È
f (x) = a b(x − h) + k.
Pour ce faire, nous effectuons une mise en évidence simple sous la
racine. Ainsi, on obtient
È
f (x) = −2 3(x − 3) + 8.
On trouve que a = −2, b = 3, h = 3 et k = 8. Ainsi, le point de départ
de cette fonction est le point (3, 8). De plus, le graphique se dirige vers
la droite et vers le bas, car b > 0 et a < 0. Ainsi, l’esquisse de f est
2. FONCTION RACINE CARRÉE
97
y
8
x
3
On peut maintenant étudier f .
Le domaine: On veut que 3(x − 3) ≥ 0. Ainsi,
3(x − 3) ≥ 0
x−3≥0
x≥3
D’où dom(f ) = [3, +∞[.
L’image: ima(f ) =] − ∞, 8]
L’ordonnée à l’origine: Il n’y a pas d’ordonnée à l’origine, car
0 6∈ dom(f ).
Les zéros:
È
0 = −2 (3(x − 3) + 8
4=
È
(3(x − 3)
16 = 3(x − 3)
16
+ 3.
x=
3
Le signe des images:
16
+3 ,
3
16
f (x) ≤ 0∀x ∈
+ 3, +∞ .
3
f (x) ≥ 0∀x ∈ 3,
Extremums: aucun minimum et un maximum au point (3, 8).
98
6. FONCTIONS PARTICULIÈRES
Croissance et décroissance:
f (x) & ∀x ∈ dom(f ).
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
Asymptotes: Aucune.
2.2.1. Domaine de fonction ayant une racine. Comme nous l’avons
vu depuis le début, lorsqu’une fonction possède une racine carrée (plus
généralement une racine paire), ce qui apparaît sous celle-ci doit être
négatif. Nous avons déjà étudié les techniques qui permettent de résoudre ces problèmes.
√
Exemple 6.3. Trouvons le domaine de f (x) = 11 − 7x.
Il faut que 11 − 7x ≥ 0. Ainsi,
11 − 7x ≥ 0
11 ≥ 7x
11
≥x
7
11
.
7
Exemple 6.4. Trouvons le domaine de la fonction
Donc, dom(f ) = −∞,
s
3−x
.
− 5)
Le domaine icic est l’ensemble des valeurs de x qui satisfont l’inégalité
suivante :
3−x
≥ 0.
2
x (x − 5)
Pour résoudre cette inéquation, on doit utiliser un tableau de signes. La
première étape consiste à trouver les valeurs critiques de x, c’est-à-dire
les valeurs de x qui annulent le dénominateur et le numérateur. Ces
valeurs sont x = 0, x = 3 et x = 5. Par la suite, on fait le tableau de
signes.
f (x) =
x
3−x
x2
x−5
3−x
2
x (x − 5)
x2 (x
0
3
5
+ + + 0 − − −
+ 0 + + + + +
− − − − − 0 +
− @ −
0
+ @ −
2. FONCTION RACINE CARRÉE
99
Il faut maintenant prendre les valeurs de x où la dernière ligne du
tableau est plus grande ou égale à zéro. Cela correspond au domaine de
f (x). D’où, dom(f ) = [3, 5[.
Le dernier exemple en est un déjà vu.
Exemple 6.5. Trouvons le domaine de f (x) =
sait que
√
x2 + 5x + 6. On
x2 + 5x + 6 ≥ 0.
Il faut d’abord trouver les zéros de cette parabole. On utilise la formule
quadratique et on obtient −3 et −2. Puisque que a > 0, la parabole est
ouverte vers le haut. Ainsi, cette parabole est positive si x ≤ −3 ou
x ≥ −2. Pour s’en convaincre, on a qu’à esquisser la parabole. Ainsi,
dom(f ) =] − ∞, −3] ∪ [−2, +∞[.
2.2.2. Équation ayant une racine. Afin de résoudre une équation
contenant une ou plusieurs racines, il faut toujours revenir au principe
de base qui est d’isoler une racine et d’élever les deux côtés au carré.
Il faut également trouver le domaine de l’équation avant d’effectuer la
résolution. Les exemples suivants vont bien montrer la méthode.
Exemple 6.6. Trouvons l’ensemble solution de l’équation
√
2x − 4 + 1 = 3.
Étape 1: Trouvons le domaine.
2x − 4 ≥ 0
2x ≥ 4
x≥2
Donc, le domaine de l’équation est [2, +∞[.
Étape 2: On résout
√
2x√− 4 + 1 = 3
2x − 4 = 2
2x − 4 = 4
x =4
l’équation.
On isole la racine.
On élève au carré des deux côtés.
On isole x.
Étape 3: On vérifie si la solution est acceptable, c’est-à-dire si
elle est dans le domaine. Puisque 4 ∈ [2, +∞[, l’ensemble solution de l’équation est
ES = {4}.
100
6. FONCTIONS PARTICULIÈRES
Il arrive que l’équation possède deux racines. Voici comment la résoudre.
Exemple 6.7. Trouvons l’ensemble solution de l’équation
√
√
x − x − 9 = 1.
Étape 1: Déterminons le domaine de l’équation. Il y a deux
conditions à respecter.
x ≥ 0 et
x−9 ≥0⇒ x≥9
Ainsi, dom = [9, +∞[.
Étape 2: On résout.
√
√
x − √x − 9 = √
1
x−1 = x−9
√
2
x − 1) = x − 9
( √
x−2 x+
√1 = x − 9
−2√x = −10
x =5
x = 25
On
On
On
On
isole une racine.
élève au carré les deux côtés.
développe.
isole une racine.
On élève au carré les deux côtés.
Étape 3: On vérifie si la réponse est dans le domaine et, ici,
25 ∈ dom. Ainsi,
ES = {25}.
2.2.3. Rationalisation du dénominateur. Rationaliser le dénominateur d’une fraction consiste à réécrire la fraction sous une forme équivalente sans qu’il y ait une racine au dénominateur.
1
Exemple 6.8. √ . Pour enlever la racine au dénominateur, il suf2
√
2
fit de multiplier cette fraction par √ = 1. Ainsi,
2
√
√
√
1 2
1· 2
1
2
√ =√ √ =√ √ =
.
2
2
2 2
2· 2
Cette technique était très utile à l’époque
√ où les calculatrices n’existaient pas. En effet, les radicaux√comme 2 ≈ 1.4142 étaient tabulés
et pour trouver la valeur de 1/ 2, il était beaucoup plus simple de
diviser 1.4142 par 2 que 1 par 1.4142.
Maintenant, rationaliser le dénominateur ne sert plus. Par contre, on
l’enseigne encore puisque son petit frère le conjugué est très utilisé
3. FONCTIONS DÉFINIES PAR PARTIES
101
dans des cours plus avancés. Pour décrire cette méthode, regardons un
exemple.
Exemple 6.9. On veut rationaliser le dénominateur de
2
√ .
√
3+ 7
L’astuce est de multiplier cette fraction
√ (en
√ haut et en bas) par le conjugué du dénominateur. Celui-ci est 3− 7. Il s’agit en fait de la même
expression, mais où l’on a changé le signe au centre. Ainsi,
√
√
3− 7
2
2
√
√ =√
√ ·√
√
3+ 7
3+ 7
3− 7
√
√
2( 3 − 7)
√ √
√
= √
( 3 + 7)( 3 − 7)
|
{z
}
différence de carrés
√
√
2( 3 − 7)
=
3−7
√
√
2( 3 − 7)
=
−4
√
√
−( 3 − 7)
.
=
2
3. Fonctions définies par parties
Les fonctions définies par parties sont importantes lorsque l’on décrit un phénomène dont la relation de dépendance varie selon la variable
indépendante. Pour comprendre, regardons quelques exemples.
Exemple 6.10. Soit la fonction
¨
−1 si x < 0,
f (x) =
1 si x ≥ 0.
Le graphique de cette fonction est
1
−1
102
6. FONCTIONS PARTICULIÈRES
Ainsi, si x < 0, la fonction vaut −1 et elle vaut 1 sinon. Il est à noter
que la valeur de f lorsque x = 0, c’est-à-dire f (0), est 1. D’où, le
cercler plein et le cercle vide en x = 0.
Les fonctions définies par parties peuvent être plus complexes.
Définition 6.4. Dessinons la fonction
8
<
f (x) = :
0.25x2
3
x
si x < −2,
si −2 ≤ x < 1,
si x ≥ 1.
Cette façon de définir la fonction indique que f (x) est une parabole
d’équation x2 si x < −2, f (x) = 3 si −2 ≤ x < 1 et f (x) = x si x ≥ 1.
Ainsi, le graphique de cette fonction est
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Regardons un dernier exemple.
Exemple 6.11. Tracons
¨
f (x) =
si x < 0,
si x ≥ 0,
−x
x
Le graphique de cette fonction est
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
−1
−10
−5
0
5
10
Nous reviendrons, dans la prochaine section, à cette fonction particulière. Elle porte le nom de fonction valeur absolue et on la note
f (x) =| x |.
4. FONCTION VALEUR ABSOLUE
103
4. Fonction valeur absolue
4.1. La fonction de base. Comme nous venons de le voir, la
fonction valeur absolue est une fonction définie par partie.
Définition 6.5. La fonction valeur absolue de base, notée | x |, est
donnée par
¨
f (x) =
si x < 0,
si x ≥ 0,
−x
x
La façon rapide d’évaluer la valeur absolue d’un nombre est d’enlever le signe négatif de ce nombre s’il est négatif ou de le laisser comme
il est s’il est positif.
Exemple 6.12.
| − 4| = 4
|4| = 4
|π| = π
Le graphique de f (x) = |x| est constitué de deux demi-droites respectivement d’équation y = −x et y = x, selon la valeur de x. Ainsi,
son allure est
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
−1
−10
−5
0
5
10
Étudions les caractéristiques de cette fonction de base.
Le domaine: dom(f ) =
R.
L’image: ima(f ) = [0, +∞[.
L’ordonnée à l’origine: f (0) = |0| = 0.
Les zéros: Un seul en x = 0.
Le signe des images:
f (x) ≥ 0∀x ∈ [0, +∞[
Extremums: aucun maximum et un minimum en (0, 0).
104
6. FONCTIONS PARTICULIÈRES
Croissance et décroissance:
f (x) & ∀x ∈] − ∞, 0],
f (x) % ∀x ∈ [0, +∞[.
Équation de l’axe de symétrie: En x = 0.
Asymptote: Aucune.
4.2. La fonction transformée. La fonction valeur absolue transformée ressemble beaucoup à la fonction quadratique. En appliquant
les paramètres a, b, h et k, on obtient
f (x) = a|b(x − h)| + k.
Puisque |b(x − h)| = |b| · |x − h|, on peut sortir le |b| et l’incorporer
dans le paramètre a. Ainsi, la forme canonique est
f (x) = a|x − h| + k.
Tout comme la parabole, le sommet de la valeur absolue se retrouve au
point (h, k). De même, si a > 0, la valeur absolue est ouverte vers le
haut et si a < 0, la fonction est ouverte vers le bas.
k
k
h
h
a>0
a<0
Étudions la fonction transformée.
Le domaine: dom(f ) =
L’image: Deux cas :
R.
Si a > 0, ima(f ) = [k, +∞[,
Si a < 0, ima(f ) =] − ∞, k].
L’ordonnée à l’origine: f (0) = a|0 − h| + k = a|h| + k.
4. FONCTION VALEUR ABSOLUE
105
Les zéros: On résout l’équation f (x) = 0.
a|x − h| + k = 0
|x − h| = −
k
a
Il y a trois cas :
k
Si − < 0: Il n’y a aucun zéro, car la valeur absolue d’un
a
nombre est toujours positive.
k
Si − = 0: Il y a un seul zéro.
a
|x − h| = 0 ⇒ x = h.
Si −
k
> 0: Il y a deux zéros.
a
.
|x − h| = −
k
x−h =−
a
k
x =h−
a
k
a
&
k
a
k
x =h+
a
x−h =
Le signe des images: Le signe des images dépend du signe de
a et du nombre de zéros.
Extremums: Deux cas :
Si a > 0: aucun maximum et un minimum en (h, k).
Si a < 0: un maximum en (h, k) et aucun minimum.
Croissance et décroissance: Deux cas :
Si a > 0:
f (x) & ∀x ∈] − ∞, h],
f (x) % ∀x ∈ [h, +∞[.
Si a < 0:
f (x) % ∀x ∈] − ∞, h],
f (x) & ∀x ∈ [h, +∞[.
Équation de l’axe de symétrie: En x = h.
Asymptote: Aucune.
106
6. FONCTIONS PARTICULIÈRES
Exemple 6.13. Étudions la fonction f (x) = −2|4 − 0.5x| + 1. Pur
ce faire, il faut remettre cette équation sous sa forme canonique. Ainsi,
f (x) = −2|4 − 0.5x| + 1
= −2| − 0.5(x − 8)| + 1
= −2 · 0.5|x − 8| + 1
= −|x − 8| + 1.
D’où a = −1, h = 8 et k = 1. Cela correspond à une valeur absolue
ouverte vers le bas.
Le domaine: dom(f ) =
R.
L’image: ima(f ) =] − ∞, 1].
L’ordonnée à l’origine: f (0) = −|0 − 8| + 1 = −8 + 1 = −7.
Les zéros:
x−8 = 1
x =9
−|x − 8| + 1 = 0
|x − 8| = 1
x − 8 = −1
x =7
Le signe des images:
f (x) ≥ 0∀x ∈ [7, 9]
f (x) ≤ 0∀x ∈] − ∞, 7] ∪ [9, +∞[
Extremums: un maximum en (8, 1) et aucun minimum.
Croissance et décroissance:
f (x) % ∀x ∈] − ∞, 8],
f (x) & ∀x ∈ [8, +∞[.
Équation de l’axe de symétrie: En x = 8.
Asymptote: Aucune.
Le graphique est
4. FONCTION VALEUR ABSOLUE
107
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−2
0
2
4
6
8
10
12
4.3. Résolution d’équations. Nous avons déjà abordé le sujet de
la résolution d’équations ayant une valeur absolue lorsque nous étudions
les zéros de cette fonction puisqu’il s’agissait de résoudre f (x) = 0. Cela
nous permet donc de conclure qu’il y a trois possibilités d’ensemble solution pour une équation contenant une valeur absolue. L’accent est
mis sur le une, car s’il y a plus qu’une seule valeur absolue, le résultat n’est plus valide. Ainsi, l’ensemble solution peut contenir aucun,
un ou deux éléments. Nous verrons chacun de ces cas, mais, avant,
comprenons bien ce qu’est une valeur absolue.
Exemple 6.14. On veut résoudre l’équation |x| = 4. Cela revient à
trouver les valeurs de x qui rendent l’équation vraie.
On sait que si x = 4, alors |x| = 4 par définition de la valeur absolue.
De même, si x = −4, alors |x| = 4 toujours par définition. Ainsi, cette
équation possède deux solutions, d’oè
ES = {−4, 4}.
Ce résultat nous amène le théorème suivant :
Théorème 6.1. Soit c ≥ 0. Si |x| = c, alors x = c ou x = −c.
Démonstration. La preuve est laissée en exercices.
Exemple 6.15. Trouvons la solution de |2x − 2| + 8 = 16.
|2x − 2| + 8 = 16
|2x − 2| = 8
2x − 2 = 8
ou
2x − 2 = −8
x =5
ou
x = −3
108
6. FONCTIONS PARTICULIÈRES
Exemple 6.16. Trouver l’ensemble solution de l’équation |x − 4| +
8=2
|x − 4| + 8 = 2
|x − 4| = −6.
Puisque la valeur absolue d’une quantité ne peut être négative, il n’existe
donc pas de solution à cette équation. Ainsi, ES = ∅.
Le problème est un peu plus complexe lorsque la valeur absolue est
égale à terme qui dépend de x. L’exemple suivant montre comment
faire.
Exemple 6.17. Trouvons l’ensemble solution de l’équation |x+4|−
4 = 3x + 2.
La première étape consiste à isoler la valeur absolue :
|x + 4| = 3x + 6.
Pour utiliser le théorème précédent, il faut que 3x + 6 ≥ 0, c’est-à-dire
x ≥ −2. Si tel est le cas, on a
|x + 4| = 3x + 6
x + 4 = 3x + 6
ou
x + 4 = −(3x + 6)
−2x = 2
ou
4x = −10
5
x = −1
ou
x =− .
2
5
Puisque − < −2, cette solution est rejetée et
2
ES = {−1}.
4.4. Résolution d’inéquations. Un peu comme pour la résolution d’équations, nous aurons besoin d’un théorème pour être en mesure de résoudre une inéquation. Afin de bien comprendre le théorème,
regardons deux exemples.
Exemple 6.18. On veut résoudre |x| < 6. Il est facile de voir que x
doit être plus petit que 6. C’est notre première condition et elle s’écrire
x < 6. Par contre, ce n’est pas tout, il y a une deuxième condition. Il
faut également que x > −6 sinon, le nombre en valeur absolue ne sera
pas plus petit que 6. Ainsi, on a deux conditions à respecter pour x :
x > −6 et x < 6. Lorsqu’il y a un et, on prend l’intersection des deux
conditions. D’où, ES =] − 6, 6[.
4. FONCTION VALEUR ABSOLUE
109
Exemple 6.19. Trouvons l’ensemble solution de l’inéquation |x| >
6. Ici, soit que x est plus grand que 6, i.e. x ∈]6, ∞[ ou que x est
plus petit que −6, i.e. x ∈] − ∞, −6[. Le ou signifie union des deux
conditions. Ainsi, ES =] − ∞, −6[∪]6, ∞[.
Voici le théorème qui nous servira dans cette partie.
Théorème 6.2. Soit un nombre c. Deux cas :
– si |x| < c, alors x > −c ET x < c,
– si |x| > c, alors x < −c OU x > c.
On voit ces relations sur les deux graphiques suivants :
0000000
1111111
11111111
00000000
0000
1111
0000c
−c1111
Fig. 1. Solution de |x| < c.
1111
0000
0000
1111
−c
1111
0000
c
Fig. 2. Solution de |x| > c.
Le même principe intervient si |x| ≤ c et |x| ≥ c, la seule différence
étant que e point est fermé. Regardons quelques exemples.
Exemple 6.20. Trouvez l’ensemble solution de l’inéquation 2|3x −
4| − 3 < 1.
La première étape consiste à isoler la valeur absolue. Ainsi,
|3x − 4| < 2.
Puisque la valeur absolue est plus petite, on a
3x − 4 < 2
3x < 6
x<2
D’où, ES =
—
|3x − 4| < 2
ET
3x − 4 > −2
ET
3x > 2
ET
x > 32
0000000
1111111
11111111
00000000
0000
1111
00002
1111
2
,2
3
”
2
3
.
110
6. FONCTIONS PARTICULIÈRES
Exemple 6.21. Trouvons l’ensemble solution de l’inéquation −2|x+
4| + 4 < 2.
On isole la valeur absolue :
−2|x + 4| + 4 < 2
−2|x + 4| < −2
|x + 4| > 1
Maintenant, on a
x+4>1
x > −3
|x + 4| > 1
OU
x + 4 < −1
OU
x < −5
1111
0000
0000
1111
−5
Ainsi, ES =] − ∞, −5[∪] − 3, ∞[.
1111
0000
−3
Le prochain exemple est un peu plus complexe.
Exemple 6.22. Trouvons l’ensemble solution de l’inéquation
|2x + 1| ≥ 3x − 5.
Le même principe est utilisé.
|2x + 1| ≥ 3x − 5
2x + 1 ≥ 3x − 5
OU
2x + 1 ≤ −(3x − 5)
6≥x
OU
2x + 1 ≤ −3x + 5
6≥x
OU
5x ≤ 4
6≥x
OU
x ≤ 54
Puisque x ≤ 6 ou x ≤ 45 , alors
ES =] − ∞, 6].
Voici un dernier exemple.
Exemple 6.23. Trouvons l’ES de l’inéquation |x + 2| < −1.
Il y a deux façons de résoudre ce problème. La première est simplement
de se dire que la valeur absolue est toujours positive et donc jamais
plus petite que −1. Ainsi, ES = ∅.
4. FONCTION VALEUR ABSOLUE
111
La deuxième façon est d’y aller algébriquement avec la méthode des
exemples précédents.
x + 2 < −1
x < −3
|x + 2| < −1
ET
x+2>1
ET
x > −1
À bien voir, l’intersection de ces deux ensembles est l’ensemble vide,
car x ne peut être à la fois plus petit que −3 et plus grand que −1.
Ainsi,
ES = ∅.
CHAPITRE 7
Les fonctions exponentielles et logarithmiques
1. Les exponentielles
Avant de débuter notre étude de la fonction exponentielle, revenons
sur les lois des exposants, car elles seront au coeur de ce chapitre.
Proposition 7.1 (Lois des exposants). Soit n, m ∈
a les égalités suivantes :
N. Alors, on
(1) am × an = am+n ,
1
(2) a−n = n si a 6= 0,
a
am
(3) n = am × a−n = am−n ,
a
(4) (am )n = anm ,
(5) (ab)m = am bm ,
 ‹n
a
an
(6)
= n , avec b 6= 0,
b
b
√
1
(7) a n = n a,
√
√ √
(8) n ab = n a n b,
√ m √
m
(9) a n = ( n a) = n am ,
(10) a0 = 1 si a 6= 0.
On est maintenant prêt à étudier la fonction exponentielle.
1.1. La fonction de base.
Définition 7.1. La fonction exponentielle de base est de la forme
f (x) = cx ,
où c > 0 et c 6= 1. Cette constante se nomme la base de l’exponentielle.
Il y a donc plusieurs fonctions de base selon la valeur de la constante.
L’effet de cette constante n’est toutefois pas négligeable. Le graphique
suivant montre son influence. On expliquera la raison de son influence
par la suite.
113
114
7. LES FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMIQUES
c=5
c = 0.25
c=3
c = 0.5
c=2
0
On remarque que plus c est grand, plus la fonction croît rapidement.
Lorsque 0 < c < 1, la fonction décroît. Pour bien comprendre ceci,
il suffit de faire une table de valeurs. Ainsi, nous venons de voir une
famille de fonction de base. Passons maintenant à l’analyse de cette
fonction.
Le domaine: dom(f ) =
R
L’image: ima(f ) =]0, +∞[.
L’ordonnée à l’origine: f (0) = c0 = 1.
Les zéros: Aucun zéro.
Le signe des images:
f (x) > 0∀x ∈
R
Extremums: aucun maximum et aucun minimum.
Croissance et décroissance: Deux cas :
– Si 0 < c < 1,
f (x) & ∀x ∈ dom(f ).
– Si c > 1,
f (x) % ∀x ∈ dom(f ).
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
Asymptote: y = 0
1. LES EXPONENTIELLES
115
1.2. La fonction transformée. Appliquons maintenant la transformation des paramètres a, b, h et k sur la fonction de base. On obtient
que
g(x) = af (b(x − h)) + k
= a · cb(x−h) + k
= a · cb(x−h) + k
€
= a · cb
= a · c̃
Šx−h
x−h
+k
+k
−h x
= a · c̃ c̃ + k
= ã · c̃x + k.
Ainsi, la forme canonique de la fonction exponentielle est
f (x) = a · cx + k.
On remarque que cette fonction dépend seulement de deux paramètres.
Par contre, il faut tenir compte de la constante c. Étudions cette fonction transformée. Tout d’abord, il faut esquisser son graphique. Puisque
l’asymptote de la fonction de base est en y = 0, après la transformation elle se retrouvera en y = k. De plus, le point (0, 1) devient le point
(0, a + k). Ainsi, selon le signe de a et la valeur de c, on obtient l’un
des quatre graphiques suivants :
Si a > 0 et c > 1
Si a > 0 et 0 < c < 1
k
k
116
7. LES FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMIQUES
Si a < 0 et c > 1
Si a < 0 et 0 < c < 1
k
k
L’étude de cette fonction est un peu longue à cause de tous les cas
différents. Pour cette raison, nous regarderons quelques exemples sans
entrer dans la généralité. Celle-ci se fait facilement par la suite.
Exemple 7.1. Faisons l’étude de la fonction f (x) = 23x−9 + 1.
Tout d’abord, il faut mettre cette fonction sous sa forme canonique.
f (x) = 23x−9 + 1
= 23(x−3) + 1
€
Šx−3
= 23
+1
= 8x − 3 + 1
= 8x · 8−3 + 1
1 x
8 + 1.
=
512
Ainsi, a =
1
,
512
c = 8 et k = 1.
Le domaine: dom(f ) =
R.
L’image: Puisque c > 1 et que a > 0, alors la fonction est
croissante. Ainsi, ima(f ) =]1, +∞[. Pour s’en convaincre, il
suffit d’esquisser le graphique.
L’ordonnée à l’origine: f (0) =
1 0
8
512
+1=
513
.
512
Les zéros: Aucun zéro, car 0 n’est pas dans l’image.
Le signe des images:
f (x) > 0∀x ∈
R
Extremums: aucun maximum et aucun minimum.
Croissance et décroissance:
f (x) % ∀x ∈ dom(f ).
1. LES EXPONENTIELLES
117
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
Asymptote: y = 1
Exemple 7.2. Étudions la fonction f (x) = −2 · 31−x + 4.
Plaçons cette fonction sous sa forme canonique.
f (x) = −2 · 31−x + 4
= −2 · 3−(x−1) + 4
€
= −2 · 3−1
x
Šx−1
1
1
·
3
3
x
1
= −6
+4
3
= −2
Ainsi, a = −6, c =
1
3
+4
−1
+4
et k = 4. Le graphique de cette fonction est
6
4
2
0
y
−2
−4
−6
−8
−10
−12
−14
−1
0
1
2
x
3
4
5
Nous pouvons maintenant passer à son analyse.
Le domaine: dom(f ) =
R.
L’image: Puisque 0 < c < 1 et que a < 0, alors la fonction
est croissante et ne dépasse pas l’asymptote. Ainsi, ima(f ) =
] − ∞, 4[.
0
L’ordonnée à l’origine: f (0) = −6 31 + 4 = −2.
Les zéros: Il y a un seul zéro. Sa valeur est obtenue en résolvant
l’équation
1x
+ 4 = 0.
3
On verra comment faire un peu plus loin. Pour l’instant, on
se contente de dire qu’il y a un zéro. On le note x∗ .
−6
118
7. LES FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMIQUES
Le signe des images:
f (x) ≥ 0∀x ∈ [x∗ , +∞[,
f (x) ≤ 0∀x ∈] − ∞, x∗ ].
Extremums: aucun maximum et aucun minimum.
Croissance et décroissance:
f (x) % ∀x ∈ dom(f ).
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
Asymptote: y = 4
1.3. Le nombre e. Un des nombres des plus important en mathématique est le nombre e, appelé nombre d’Euler. Ce nombre est présent
dans tous les domaines des mathémamiques et même plus encore. Une
des façons d’évaluer ce nombre est d’étudier une situation concrète.
Exemple 7.3. On place un montant C à la banque à un taux d’intérêt annuel i. Soit n, le nombre de fois durant l’année où l’intérêt est
cummulé. Alors, le montant V obtenu à la fin de l’année est donné par
la formule
i n
V =C 1+
.
n
On est intéressé par le montant maximal que l’on peut obtenir à la fin
d’une année si l’on place 1$ à un taux d’intérêt de 100%. Pour ce faire,
on étudie l’influence de n.
échéance de cummulation valeur de n
annuel
n=1
biannuel
n=2
trimestriel
n=4
mensuel
n = 12
hebdomadaire
n = 52
quotidien
n = 365
toutes les heures
n = 8760
valeur de V
V = (1 + 1)1 = 2
V = (1 + 0.5)2 = 2.25
V = (1 + 0.25)4 = 2.44140625
V = (1 + 1/12)12 = 2.61303529022468
V = (1 + 1/52)52 = 2.69259695443717
V = (1 + 1/365)365 = 2.71456748202197
V = (1 + 1/8760)8760 = 2.71812669161791
On remarque que la valeur de V augmente, mais de moins en moins
rapidement. Même qu’à un certain moment la valeur des premières
décimales ne change plus. Ainsi, il y a une valeur maximale et celle-ci
est le nombre e.
Cet exemple nous donne la définition du nombre e.
1. LES EXPONENTIELLES
119
Définition 7.2. Le nombre e est
e = lim
n→∞
1+
1
n
n
.
La valeur de e est approximativement 2.71828182845905. Il s’agit d’un
nombre irrationnel.
Il existe une autre définition pour le nombre e. Elle est un peu
plus complexe, mais on peut montrer l’équivalence avec la première
définition.
Définition 7.3. Le nombre e peut être défini par la somme infinie
∞
X
1
k=0 k!
1
1
1
1
1
= + + + + + ...
0! 1! 2! 3! 4!
1 1
1
1
1
= + +
+
+
+ ...
1 1 2·1 3·2·1 4·3·2·1
e=
On retrouvera ce nombre dans le futur. Tout ce que l’on doit savoir
sur ce nombre est sa valeur.
1.4. Résolution d’équations. Regardons maintenant comment
résoudre des équations contenant des exponentielles. Pour ce faire, nous
devrons utiliser la proposition suivante :
Proposition 7.2. Soit b > 0 et b 6= 1. Alors,
bu = bv ⇐⇒ u = v.
Regardons comment utiliser cette proposition.
Exemple 7.4. Trouvons l’ensemble solution de l’équation
€
Š
(4x ) 8x+1 = 16.
La première chose à faire est de trouver le domaine de l’équation. Ici,
dom = . Par la suite, il faut exprimer toutes les expressions à l’aide
de la même base afin d’utiliser la proposition. Ceci n’est pas toujours
possible, mais pour les problèmes de cette section, on pourra le faire.
R
Puisque 4, 8 et 16 sont des puissances de 2, on utilisera 2 comme base.
120
7. LES FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMIQUES
Ainsi,
€
Š
(4x ) 8x+1 = 16
€
22
Šx €
23
Šx+1
= 24
22x 23(x+1) = 24
22x+3x+3 = 24
25x+3 = 24
⇐⇒ 5x + 3 = 4
1
x= .
5
1
Ainsi, ES =
.
5
Exemple 7.5. Trouvons l’ensemble solution de l’équation
3
√
x−1
= 27.
Premièrement, identifions le domaine. Ici, il y a une racine paire :
x−1≥0
x ≥ 1.
dom = [1, +∞[. Par la suite, trouvons la base commune à 3 et à 27.
3
√
x−1
= 27
√
3 x−1 = 33
√
⇐⇒ x − 1 = 3
x−1= 9
x = 10.
Puisque 10 est dans le domaine, alors ES = {10}.
Le prochain exemple demande un peu de créativité.
Exemple 7.6. Trouvons l’ensemble solution de
49x − 2 · 7x = −1.
On peut réécrire ’équation comme suit :
72x − 2 · 7x = −1.
Par contre, nous ne pouvons rien simplifier, car aucune loi des exposants indique ce que devient la somme de deux exponentielles. Par
contre, on peut réécrire l’équation
(7x )2 − 2 · 7x = −1.
1. LES EXPONENTIELLES
121
En posant y = 7x , on obtient une équation assez connue :
y 2 − 2y = −1.
On peut facilement résoudre cette équation
y 2 − 2y = −1
y 2 − 2y + 1 = 0
(y − 1)2 = 0.
Ainsi, y = 1. On peut maintenant retrouver la valeur de x.
y = 7x = 1
D’où ES = {0}.
7x = 70
⇐⇒ x = 0.
1.5. Résolution d’inéquations. Pour résoudre une inéquation
qui contient une exponentielle, il faut savoir résoudre une équation.
Les exemples suivants montrent comment résoudre des inéquations.
Exemple 7.7. Trouvons les valeurs de x qui satisfont
32x−1 > 1.
Pour répondre à cette question, créons la fonction f (x) = 32x−1 − 1.
Ainsi, le problème revient à déterminer les valeurs de x qui rendent la
fonction positive. Écrivons la fonction sous sa forme canonique.
f (x) = 32x−1 − 1
= 32x 3−1 − 1
1
= · 9x − 1.
3
Puisque a > 0 et c > 1, alors la fonction sera strictement croissante
et, donc, f (x) est positive du zéro de la fonction jusqu’à l’infini. Il ne
reste plus qu’à trouver ce zéro.
1 x
·9 −1=0
3
9x = 3
32x = 3
⇐⇒ 2x = 1
1
x= .
2
122
7. LES FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMIQUES
1
, +∞ .
2
C’est toujours le même principe pour résoudre une inégalité. Il suffit de déterminer la fonction exponentielle dont le signe correspond à
l’ensemble solution. Par la suite, on trouve son zéro et le tour est joué.
D’où, ES =
2. Les logarithmes
2.1. Introduction. Dans la dernière section, nous avons vu comment résoudre une équation contenant une exponentielle. Par contre, il
n’est pas toujours possible d’utiliser la proposition afin de déterminer
l’ensemble solution.
Exemple 7.8. Trouvons l’ensemble solution de l’équation
2x = 3.
C’est pourtant une équation très simple, mais puisque 3 n’est pas
une puissance de 2, il est impossible de la résoudre avec ce que nous
connaissons actuellement. Nous aurons donc besoin d’une nouvelle méthode. Celle-ci se nomme les logarithmes.
Définition 7.4. Soit l’équation y = cx avec c > 0. Une forme
équivalente à cette équation est
x = logc y.
Cette formulation se lit : "x est l’exposant qu’il faut donner à c pour
obtenir y".
Exemple 7.9. Soit 2x = 8. Sa forme équivalente est x = log2 8.
On sait que x = 3 puisque 23 = 8. Cela ne nous fournit cependant pas
de façon de résoudre n’importe quelle équation. Il faudra élaborer une
théorie.
NOTATION
On note log10 c par seulement log c et loge c par ln c.
Ces deux touches sont sur la calculatrice.
Exemple 7.10. Résolvons l’équation ex = 8. Pour ce faire, on peut
réécrire cette équation sous sa forme logarithme.
ex = 8 ⇔ x = ln 8.
On trouve à l’aide de la calculatrice que x ≈ 2.0794.
Malheureusement, la calculatrice possède seulement les logarithmes
en base e et en base 10. Que faisons-nous dans les autres cas ? Pour
répondre à cette question, il faut étudier quelques propriétés qui sont
présentées sous forme de propositions.
2. LES LOGARITHMES
123
Proposition 7.3. Soit b > 0. Alors
logb bu = u
Démonstration. Posons x = logb bu . Cette forme est équivalente
à bu = bx d’après la définition du logarithme. Ainsi, x = b.
Proposition 7.4. Soit b > 0. Alors
blogb u = u.
Démonstration. Posons x = logb u. Cette forme est équivalente
à bx = u d’après la définition du logarithme. Ainsi, bx = blogb u = u. Exemple 7.11. eln 4 = 4
Proposition 7.5.
logb uv = logb u + logb v.
Démonstration. Posons x = logb u et y = logb v. Nous avons
donc que u = bx et v = by . Ainsi,
uv = bx+y ⇔ x + y = logb uv.
Et puisque x = logb u et y = logb v, alors logb u + logb v = logb uv.
Proposition 7.6.
logb
u
= logb u − logb v.
v
Démonstration. La preuve est similaire à celle du logarithme
d’un produit.
Proposition 7.7.
logb ua = a logb u.
Démonstration. La preuve est laissée en exercices.
Proposition 7.8.
logb 1 = 0.
Démonstration. Par définition.
Proposition 7.9 (Changement de base).
logb x =
loga x
.
loga b
124
7. LES FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMIQUES
Démonstration. Posons y = logb x. Alors, by = x. Prenons le
logarithme en base a des deux côtés.
by = x
loga by = loga x
y loga b = loga x
loga x
y=
.
loga b
Ce sont les propriétés des logarithmes, un peu comme les exposants possèdent les tiens. Étudions maintenant comment simplifier des
expressions contenant des logarithmes et comment résoudre certaines
équations.
2.2. Résolution d’équations. Afin de bien saisir les différentes
propriétés, regardons quelques exemples.
Exemple 7.12. Simplifions l’expression
loga (x − 1) + loga (x + 1) − loga (x2 + 1).
En utilisant la propriété du logarithme d’un produit et d’un quotient,
on obtient
loga (x − 1) + loga (x + 1) − loga (x2 + 1) = loga (x − 1)(x + 1) − loga (x2 + 1)
(x − 1)(x + 1)
(x2 + 1)
x2 − 1
= loga 2
.
x +1
Exemple 7.13. Trouvons l’ensemble solution de l’équation
= loga
3x = 2.
Pour ce faire, on réécrit l’expression à l’aide des logarithmes.
x = log3 2.
Afin d’évaluer la valeur de x, utilisons la propriété du changement de
base pour utiliser la calculatrice.
ln 2
x=
≈ 0.6309.
ln 3
Avant d’entreprendre la résolution d’équations plus complexes, il
faut revenir sur les critères à vérifier pour déterminer le domaine. Il
faut en ajouter un qui est que l’argument d’un logarithme doit être
positif. Ainsi, les critères à vérifier sont :
2. LES LOGARITHMES
125
Critères 1: Le contexte.
Critères 2: On ne veut pas de division par zéro.
Critères 3: Ce qui se trouve sous une racine paire doit être
positif (≥ 0).
Critères 4: L’argument d’un logarithme doit être plus grand
que zéro (> 0).
Cette nouvelle condition provient de la définition même du logarithme.
On sait que
y = logc x ⇔ x = cy .
Puisque cy est toujours plus grand que zéro, alors x > 0. D’où la
condition sur l’argument du logarithme.
Exemple 7.14. Trouvons le domaine de la fonction
√
f (x) = log(3x − 1) + log(4x) + x2 − 1.
Il y a trois conditions à respecter :
Condition 1 : 3x − 1 > 0
Condition 2 : 4x > 0
Condition 3 : x2 − 1 ≥ 0
Regardons chacune de ces conditions. Pour la condition 1, on a
3x − 1 > 0
1
x>
3
La condition 2 :
4x > 0
x>0
Pour la condition 3, il suffit d’esquisser la parabole et de voir que
x ∈] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[.
Ainsi, le bilan total indique que x ≥ 1. D’où, dom(f ) = [1, +∞[.
Regardons comment résoudre des équations contenant des logarithmes.
Exemple 7.15. Trouvons l’ensemble solution de l’équation
log3 (x + 2) = 4.
126
7. LES FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMIQUES
La première étape est de déterminer le domaine de cette équation. La
seule condition ici est que x + 2 > 0. Ainsi, x > −2. Nous sommes
maintenant en mesure de résoudre cette équation.
log3 (x + 2)
⇔x+2
x+2
x
=4
= 34 Par définition du log
= 81
= 79
Puisque 79 est dans le domaine, on a donc que
ES = {79}.
Regardons quelques exemples plus complexes.
Exemple 7.16. Trouvons l’ensemble solution de l’équation
logx (x − 1) + logx 2x = 2.
Trouvons le domaine de cette équation. Nous avons trois conditions :
x − 1 > 0 car argument du log doit être positif
2x > 0 car argument du log doit être positif
x 6= 1 car base du log doit ne doit pas être égal à 1
Ainsi, dom =]1, +∞[. Passons à la résolution de cette équation. Pour
ce faire, on doit toujours ramener l’équation à une équation contenant
un seul logarithme afin d’utiliser sa définir pour passer en forme exponentielle.
logx (x − 1) + logx 2x = 2
logx 2x(x − 1) = 2
Propriété du log d’un produit
2
⇔ 2x(x − 1) = x
Par définition du log
x2 − 2x = 0
Par manipulations algébriques
x(x − 2) = 0
x = 0 ou x = 2
Puisque 0 6∈ dom et 2 ∈ dom, alors
ES = {2}.
Exemple 7.17. Trouver l’ensemble solution de l’équation
logb (x2 + 1) − logb x = logb (x + 2).
Les conditions sur le domaine sont :
x2 + 1 > 0 car argument du log doit être positif
x > 0 car argument du log doit être positif
x + 2 > 0 car argument du log doit être positif
2. LES LOGARITHMES
127
La première condition est toujours vraie, ainsi le bilan nous donne que
dom =]0, +∞[.
Regroupons tous les logarithmes du même côté et résolvons l’équation.
logb (x2 + 1) − logb x
logb (x2 + 1) − logb x − logb (x + 2)
x2 + 1
logb
x(x + 2)
x2 + 1
x(x + 2)
x2 + 1
x(x + 2)
x2 + 1
x2 + 1
1
= logb (x + 2)
=0
Par manipulations algébriques
=0
Propriété du log d’un produit
= b0
Par définition du log
=1
= x(x + 2)
= x2 + 2x
= 2x
1
x =
2
Par manipulations algébriques
Par manipulations algébriques
Puisque 1/2 est dans le domaine, alors
ES = {1/2}.
2.3. La fonction logarithme de base.
Définition 7.5. La fonction logarithme de base est une fonction
de la forme
y = logc x,
où est une constante strictement positive différente de 1.
Afin de comprendre comment esquisser cette fonction, nous devons
utiliser la fonction exponentielle. Tout d’abord, écrivons le logarithme
sous sa forme exponentielle.
y = logc x ⇔ x = cy .
On remarque que la fonction y = logc x est la fonction réciproque de
la fonction y = cx . Ainsi, pour tracer la fonction y = logc x, il faut
tracer la fonction y = cx et faire une réflexion de cette fonction par
rapport à l’axe y = x. Tout ceci est expliqué dans le chapitre 3. Ainsi,
le graphique de la fonction logarithme de base dépend de la valeur de
c tout comme pour la fonction exponentielle.
128
7. LES FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMIQUES
Si c > 1:
Si 0 < c < 1:
y = cx
y =x
y=x
y = log c x
y = cx
y = log c x
Analysons cette fonction.
Le domaine: dom(f ) =]0, +∞[, car l’argument d’un logarithme
doit être strictement positif.
L’image: ima(f ) =
R.
L’ordonnée à l’origine: N’existe pas, car 0 6∈ dom(f ).
Les zéros: On résout f (x) = 0. Ainsi,
logc x = 0
x = c0
x = 1.
Ainsi, la fonction possède un seul zéro en x = 1.
Le signe des images: Le signe dépend de la valeur de c.
– Si 0 < c < 1,
f (x) ≥ 0∀x ∈]0, 1],
– Si c > 1,
f (x) ≤ 0∀x ∈ [1, +∞[.
f (x) ≤ 0∀x ∈]0, 1],
f (x) ≥ 0∀x ∈ [1, +∞[.
Extremums: aucun maximum et aucun minimum.
Croissance et décroissance: Deux cas :
– Si 0 < c < 1,
f (x) & ∀x ∈ dom(f ).
2. LES LOGARITHMES
129
– Si c > 1,
f (x) % ∀x ∈ dom(f ).
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
Asymptote: x = 0
2.4. La fonction transformée. Comme dans le cas des autres
fonctions, étudions la fonction logarithme transformée. La forme de
départ est
f (x) = a logc (b(x − h)) + k.
Évidemment, l’étude des cinq paramètres peut s’avérer fastidieuse. On
va donc essayer de diminuer le nombre de paramètres. Cette étape
n’est pas facile si l’on laisse la fonction sous sa forme logarithmique.
Par contre, en l’écrivant sous sa forme exponentielle, la simplification
devient plus simple. Regardons la façon générale de le faire et on fera
un exemple par la suite.
y
y−k
ay−k
c a
1 y−k
c a +h
b
= a logc (b(x − h)) + k Fonction transformée de départ
= logc (b(x − h))
= b(x − h)
=x
Manipulations algébriques
Définition du log
Manipulations algébriques
Nos nous retrouvons avec x en fonction de y qui est une fonction exponentielle. On sait déjà comment simplifier cette fonction. Ainsi, on
obtient que x prend la forme de
x = b̃c̃y + h.
Ainsi, en replaçant cette équation sous sa forme logarithmique, on obtient
y = logc̃ B(x − h).
D’où, la forme canonique de la fonction logarithme est
y = logc b(x − h).
Nous aurons que les paramètre b, c et h qui influenceront le graphique
de la fonction.
Exemple 7.18. Trouvons la forme canonique de la fonction
f (x) = −2 log4 (2x − 4) + 4.
130
7. LES FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMIQUES
Ce que l’on doit faire est d’effectuer les étapes de la recette précédente,
c’est-à-dire trouver la forme canonique de la fonction mise sous sa
forme exponentielle et de revenir sous sa forme logarithmique.
y
y−2
−
2y−2
4− 2
y−2
1
2
y −2
1
1
2
2 y
1
4
2 y
1
2
y
= −2 log4 (2x − 4) + 4
= log4 (2x − 4)
Manipulations algébriques
= 2x − 4
Par définition du log
= 2(x − 2)
Loi des exposants
= 2(x − 2)
Loi des exposants
= 2(x − 2)
Loi des exposants
= 12 (x − 2)
Manipulations algébriques
= log 1 21 (x − 2)
2
Par définition du log
Ainsi, b = 0.5, c = 0.5 et h = 2.
Nous voulons maintenant esquisser la fonction logarithme transformée. Tout d’abord, regardons où se retrouve l’asymptote. Puisque nous
avions une asymptote en x = 0 dans la fonction de base, celle-ci se retrouve en x = h. Pour démontrer cette affirmation, il suffit d’appliquer
la transformation aux points (0, y). Par la suite, on peut savoir si la
fonction est à gauche ou à droite de cette asymptote selon le signe de
b. Si b < 0, la courbe se retrouvera à gauche de l’asymptote et à droite
si b > 0. Finalement, on dessine la courbe selon la valeur de c.
b>0
0<c<1
h
b>0
c>1
h
b<0
0<c<1
h
b<0
c>1
h
Effectuons l’analyse de cette fonction à l’aide d’exemple, le cas général
étant un peu trop long.
2. LES LOGARITHMES
131
Exemple 7.19. Analysons la fonction
f (x) = −2 ln(x + 4) − 1.
Premièrement, plaçons cette fonction sous sa forme canonique.
y
y+1
− y+1
2
y+1
e− 2
y+1
√1
e
y
√1
√1
e
e
y
√1
e
= −2 ln(x + 4) − 1
= −2 loge (x + 4)
= loge (x + 4)
= (x + 4)
Lois des exposants
=x+4
=x+4
√
= e(x + 4)
√
y = log √1 ( e(x + 4)) .
e
Ainsi, b =
√
e, c =
√1
e
et h = −4. L’esquisse de cette fonction est
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
On est maintenant en mesure d’analyser cette fonction.
Le domaine: L’argument du lg doit être positif. Ainsi,
x+4 >0
x > −4.
D’où, dom(f ) =] − 4, +∞[.
L’image: ima(f ) =
R.
L’ordonnée à l’origine: f (0) = −2 ln(4) − 1 ≈ −3.7726.
132
7. LES FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMIQUES
Les zéros: On résout f (x) = 0. Ainsi,
−2 ln(x + 4) − 1 = 0
ln(x + 4) = −1/2
x + 4 = e−1/2
x = e−1/2 − 4
x ≈ −3.3935.
Ainsi, la fonction possède un seul zéro en x ≈ −3.3935.
Le signe des images: Le signe dépend de la valeur de c.
f (x) ≥ 0∀x ∈] − 4, −3.3935],
f (x) ≤ 0∀x ∈ [−3.3935, +∞[.
Extremums: aucun maximum et aucun minimum.
Croissance et décroissance:
f (x) & ∀x ∈ dom(f ).
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
Asymptote: x = −4
CHAPITRE 8
Les fonctions trigonométriques
Les fonctions trigonométriques sont très importantes dans divers
domaines. Entre autres, elles servent à décrire des mouvements oscillatoires comme le mouvement d’un ressort ou des ondes sonores. Plusieurs autres phénomènes peuvent être également décrits grâce à ces
fonctions.
1. Le cercle trigonométrique
1.1. Introduction.
Définition 8.1. Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon
1 placé dans un plan cartésien dont le centre est au point (0, 0).
y
1
P
1
x
Fig. 1. Cercle trigonométrique.
On peut facilement montrer, à l’aide du théorème de Pythagore,
que si les coordonnées du point P sont (x, y), alors
x2 + y 2 = 1.
C’est ce que l’on appelle l’équation du cercle de rayon 1 centré à l’origine.
133
134
8. LES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
1.2. Mesures d’angles.
Définition 8.2. Un angle au centre est un angle dont le sommet
est au centre du cercle.
B
O
A
Fig. 2. Angle au centre.
On note l’angle de la figure 2 par ∠AOB.
Définition 8.3. L’arc d’un cercle est une portion de la circonférence de ce cercle. Si l’arc est défini par un angle ∠AOB, alors on le
ø
note AB.
B
A
Fig. 3. Arc de cercle.
On se rappelle que la circonférence totale d’un cercle de rayon r est
donnée par la formule
C = 2πr.
Dans un cercle trigonométrique, on calcul toujours l’angle dans le sens
anti-horaire à partir de l’axe des x. Si l’angle est négatif, cela signifie qu’il est mesuré dans le sens horaire. Cette mesure d’angle peut se
faire de deux façons. La première, la plus connue, est celle des degrés.
On divise le cercle en 360 pointes de mêmes dimensions. Ainsi, l’angle
correspond au nombre de pointes comprises dans une section du cercle.
Ainsi, si un angle prend 43 pointes, on dit qu’il fait 43◦ . Le symbole ◦
se lit degré.
La deuxième manière est un peu plus complexe, mais beaucoup plus
utile en mathématique. C’est le radian. Voici sa définition.
1. LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE
135
Fig. 4. Mesure d’angle.
Définition 8.4. Un radian correspond à l’angle nécessaire entre
deux rayons d’un cercle afin que l’arc engendré par ces rayons soit de
la même longueur que le rayon du cercle.
r
θ
r
Fig. 5. Définition d’un radian. Ici, l’angle θ = 1 rad.
NOTATION
Habituellement, on omet de mettre rad. Ainsi, si un angle θ mesure
3 radian, on écriera θ = 3.
Un peu comme pour les degrés, on peut savoir combien il y a de radians
dans un cercle. Il suffit de déterminer le nombre de fois qu’entre le rayon
dans la circonférence d’un cercle. Puisque
C = 2πr,
on voit bien que r entre 2π fois dans la circonférence d’où le fait qu’il
y a 2π radians dans un cercle.
Cette information nous permet de convertir des degrés en radians et
des radians en degrés. Il suffit de faire une règle de trois.
Exemple 8.1. Combien fait 45◦ en radian ?
136
8. LES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
On sait qu’il y a 360◦ dans un cercle et également 2π rad. Ainsi,
45◦
?
=
.
360◦
2π
π
45 · 2π
= .
La réponse est donc
360
4
Le même principe est utilisé pour convertir des radians en degrés.
1.3. Angles remarquables. Avant d’aller plus loin, effectuons un
léger rappel de la définition géométrique du cosinus et du sinus d’un
angle.
Définition 8.5. Soit le triangle rectangle suivant :
c
b
θ
a
On appelle le côté c l’hypothénuse du triangle, a le côté adjacent à
l’angle θ et b son côté opposé. On définit alors le cosinus, le sinus et la
tangente de l’angle θ comme suit :
a
cos θ = ,
c
b
sin θ = ,
c
b
tan θ = .
a
Regardons maintenant la fonction P (θ) qui associe un point du
cercle trigonométrique selon l’angle que fait le rayon passant par le
point P avec l’axe des x positifs. Pour déterminer ce point, il faut faire
un peu de trigonométrie.
P (θ)
θ
On forme un triangle rectangle où l’hypoténuse correspond au rayon
du cercle et vaut 1. Ainsi, on s’apperçoit que la coordonnée x du point
1. LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE
137
P (θ) correspond à la longueur du côté adjacent à l’angle θ. D’où
x
x
cos θ =
⇒ cos θ = .
Hyp
1
D’une manière similaire, on obtient que y = sin θ. Ainsi,
P (θ) = (cos θ, sin θ).
Il est important de noter que
Z
P (θ) = P (θ + 2πk), où k ∈ .
Cette propriété provient du fait que si l’on ajoute un multiple de 2π à
un angle, cela revient à faire des tours supplémentaires du cercle, car
ce dernier possède 2π radians. Par exemple,
P (π/2) = P (5π/2) = P (9π/2) = ...
Nous sommes maintenant en mesure d’étudier certains angles remarquables du cercle trigonométrique. Cela nous permettra d’évaluer rapidement le cosinus et le sinus de certains angles. Ceux-ci sont montrés
à la figure 6.
€
P ( 2π
) = − 21 ,
3
€
)= −
P ( 3π
4
€
)= −
P ( 5π
6
√ Š
3
2
P ( π2 ) = (0, 1)
P ( π3 ) =
√ Š
2
2
,
2
2
√
√
3 1
,2
2
€
√ Š
1
, 23
2
P ( π4 ) =
Š
€
√
€
3
, − 21
2
P ( 5π
)= −
4
√ Š
2
, 22
2
P ( π6 ) =
€√
3 1
,2
2
Š
P (0) = (1, 0)
P (π) = (−1, 0)
P ( 7π
)= −
6
€√
Š
P ( 11π
)=
6
√ Š
2
, − 22
2
P ( 7π
)=
4
√
€
) = − 21 , −
P ( 4π
3
√ Š
3
2
)=
P ( 5π
3
P ( 3π
) = (0, −1)
2
Fig. 6. Cercle trigonométrique
€
€√
€√
3
, − 21
2
√ Š
2
, − 22
2
√ Š
1
, − 23
2
Š
138
8. LES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
Regardons d’où proviennent ces résultats. Pour ce faire, étudions seulement les points qui sont dans le premier quadrant. Les coordonnées des
autres points sont obtenues par déduction en s’assurant d’avoir le bon
signe.
Pour P ( π4 )
Débutons par P ( π4 ). On sait que π4 radians correspond à 45◦ . Ainsi, le
triangle rectangle en est un isocèle.
1
y
45◦
x
Trouvons la valeur de x et de y. Il est à noter que ces valeurs doivent
être négatives puisqu’elles représentent des longueurs.
x2 + y 2
x2 + x2
2x2
x2
x
x
=1
=1
=1
1
=È
2
= √ 12
= 22
Par Pythagore
Triangle isocèle, x = y
On prend la racine positive
En rationalisant le dénominateur
Ainsi,
√
√ !
2 2
,
.
2 2

π‹
P
=
4
Pour les angles de 3π/4, 5π/4 et 7π/4, il suffit de raisonner de la même
manière, mais en s’assurant d’avoir le bon signe pour les coordonnées.
Pour P ( π6 )
Pour le point P ( π6 ), il faut se rappeler d’un théorème important, celui
de l’angle de 30◦ . Ce dernier dit que si un triangle rectangle possède
un angle de 30◦ , alors le côté opposé de l’angle de 30◦ faut la moitié de
la longueur de l’hypoténuse.
Puisque π/6 = 30◦ , alors ce théorème nous sera très utile. Nous avons
donc à trouver la valeur de x et de y dans le triangle suivant :
1
y
30
◦
x
1. LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE
139
Par le théorème de l’angle de 30◦ , nous avons que y = 12 . Il suffit de
trouver x à l’aide de Pythagore.
x2 + y 2 = 1
1
x +
2
2
2
=1
x2 =
x=
3
4√
3
.
2
Ainsi,
√

π‹
=
P
3
!
3 1
,
.
2 2
Le même principe est utilisé pour déterminer les coordonnées de 5π/6,
7π/6 et de 11π/6.
Pour P ( π3 )
On sait que π3 = 60◦ , ce qui signifie que le triangle rectangle possède
un angle de 30◦ . Par contre, cette
fois c’est x qui est le côté opposé à
√
3
1
cet angle. Donc x = 2 et y = 2 .
1
y
t
x
1.4. Résolution d’équations trigonométriques. Avant de passer à la résolution d’équations trigonométriques, définissons trois autres
fonctions trigonométriques.
Définition 8.6. Soit le triangle rectangle suivant :
c
b
θ
a
140
8. LES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
On définit la sécante, la cosécante et la cotangente de l’angle θ par
1
c
= ,
cos θ
a
1
c
csc θ =
= ,
sin θ
b
a
1
= .
cot θ =
tan θ
b
Passons maintenant à la résolution d’équations contenant des fonctions trigonométriques. Commençons par un exemple assez simple pur
montrer la méthode.
sec θ =
Exemple 8.2. Trouvons l’ensemble solution de l’équation
2 sin θ − 1 = 0.
La première manipulation à faire est d’isoler la fonction trigonométrique, sinus dans cet exemple. Ainsi,
1
sin θ = .
2
Pour déterminer quelles sont les valeurs de θ qui satisfont cette équation, il faut utiliser le cercle trigonométrique. Puisque y = sin θ, on
recherche qu’elles sont les valeurs de θ qui rendent y = 12 . Nous avons
donc que
5π
π
ou θ =
.
6
6
Par contre, ce ne sont pas les seules valeurs. Comme nous l’avons mentionné,
θ=
Z
P (θ) = P (θ + 2πk), où k ∈ .
Ainsi, l’ensemble solution est
ES =
5π
π
+ 2πk,
+ 2πk k ∈
6
6
Z
.
Définition 8.7. Les solutions principales d’une équation contenant une fonction trigonométrique sont les solutions de l’équation contenues dans l’intervalle [0, 2π[.
Cela signifie que dans l’exemple précédent, les solutions principales
sont
5π
π
.
θ = et θ =
6
6
1. LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE
141
Exemple 8.3. Trouvons les solutions principales de l’équation
tan θ = 2 sin θ.
Pour résoudre, il est plus simple de réécrire tan θ à l’aide du cos θ et
de sin θ. Ainsi,
sin θ
= 2 sin θ.
cos θ
Il faut d’abord déterminer le domaine de cette équation. Puisque l’on
cherche les solutions principales, il faut restreindre le domaine à [0, 2π[.
De plus, il faut que cos θ 6= 0. Ce qui signifie que θ 6= π/2 et θ 6= 3π/2.
Ainsi,
π 3π
dom = [0, 2π[\{ , }.
2 2
Il ne reste plus qu’à manipuler l’équation.
sin θ
= 2 sin θ
cos θ
sin θ = 2 sin θ cos θ
sin θ − 2 sin θ cos θ = 0
sin θ(1 − 2 cos θ) = 0
Ici, il y a deux possibilités : sin θ = 0 ou 1 − 2 cos θ = 0. Ainsi,
sin θ = 0 ⇒ θ = 0 ou θ = π.
Ces valeurs sont déterminées à l’aide du cercle trigonométrique. Pour
l’autre possibilité, nous obtenons
1
π
5π
cos θ = ⇒ θ = ou θ =
.
2
3
3
Le prochain exemple nécessite une petite astuce, la même que nous
avons utilisée plus tôt pour résoudre des équations exponentielles.
Exemple 8.4. Résoudre l’équation
1
1
cos2 θ − cos θ = .
2
2
NOTATION
On note [cos θ]2 par cos2 θ. On fait de même pour les autres fonctions trigonométriques.
Plaçons l’équation égale à zéro et voyons ce qui apparaît.
1
1
cos2 θ − cos θ − = 0.
2
2
142
8. LES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
Si l’on pose u = cos θ, on obtient une équation du second degré à résoudre.
1
1
u2 − u − = 0.
2
2
En utilisant la formule quadratique, on trouve que u = 1 ou u = − 12 .
Ainsi, on peut déterminer les solutions principales :
cos θ = 1 ⇒ θ = 0
et
1
2π
4π
cos θ = − ⇒ θ =
ou θ =
2
3
3
Ainsi,
ES =
2πk,
4π
2π
+ 2πk,
+ 2πk k ∈
3
3
Z
Jusqu’ici, nous nous sommes retrouvés en présence d’angles remarquable. Mais qu’arrive-t-il lorsque ce n’est pas le cas ? Par exemple,
quel est l’ensemble solution de l’équation cos θ = 0.2 ? Pour être en
mesure de répondre à cette question, nous devrons définir de nouvelles
fonctions.
Définition 8.8. Soit l’équation y = cos x. On réécrire l’équation
comme suit :
x = arccos y.
Cette fonction se trouve sur la calculatrice et sa touche est cos−1 .
C’est le même principe pour le sinus et la tangente.
Exemple 8.5. Trouvons l’ensemble solution de l’équation cos θ =
0.2. Utilisons la fonction arccos.
cos θ = 0.2
θ = arccos 0.2
θ ≈ 1.37
Comme on le voit, la fonction arccos nous donne seulement un angle
principal. On sait qu’il y en a deux.
2. LA FONCTION SINUS
143
θ
−θ
Comme le montre la figure, les solutions principales seront donc
1.37 et −1.37. Cependant, les solutions principales doivent se trouver
entre 0 et 2π. Il faut donc réécrire −1.37. Cet angle vaut également
2π − 1.37 ≈ 4.91. Ainsi,
Z
ES = { 1, 37 + 2πk, 4.91 + 2πk| k ∈ } .
Le même phénomène se produit lorsque nous devons résoudre une
équation de la forme
sin θ = c ⇒ θ = arcsin c.
À ce moment, les solutions principales sont obtenues en esquissant le
graphique suivant :
π−θ
θ
Exemple 8.6. Trovons les solutions principales de
sin x = 0.3.
On calcul
x = arcsin 0.3 ≈ 0.304
Ainsi, les solutions principales sont 0.304 et π − 0.304 ≈ 2.836.
2. La fonction sinus
2.1. La fonction de base.
Définition 8.9. La fonction sinus de base est une fonction de la
forme
f (x) = sin x.
144
8. LES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
Son graphique est une courbe qui oscille autour d’un axe porteur (ici,
y = 0) :
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−5pi
−4pi
−3pi
−2pi
−pi
0
pi
2pi
3pi
4pi
5pi
Pour comprendre d’où provient ce graphique, il faut étudier la valeur de la coordonnée y sur le cercle trigonométrique. On a que le
maximum de cette coordonnée est 1 et que son minimum est −1. Ainsi,
f (x) = sin x sera au maximum égale à 1 et au minimum à −1. Par la
suite, si x = 0 (ce qui signifie que l’angle dans le cercle trigonométrique
est nul), alors sin x = 0. C’est également le cas pour tous les multiples
π. Étudions cette fonction plus en détail.
Le domaine: dom(f ) =
R
L’image: ima(f ) = [−1, 1].
L’ordonnée à l’origine: f (0) = sin 0 = 0.
Les zéros: On doit résoudre f (x) = 0.
sin x = 0 ⇒ x = 0 ou x = π.
Z
Ainsi, sinx = 0 si x ∈ {0 + 2πk, π + 2πk|k ∈ }. Cet ensemble
peut se réécrire comme étant l’ensemble de tous les multiples
de π. Ainsi, l’ensemble des zéros est
Z
{πk|k ∈ }.
Le signe des images:
f (x) ≥ 0∀x ∈ [2πk, π + 2πk], où k ∈
Z
f (x) ≤ 0∀x ∈ [π + 2πk, 2π(k + 1)], où k ∈
Z
2. LA FONCTION SINUS
145
Extremums: max(f ) = 1 et min(f ) = −1. La fonction est
maximale lorsque
Z
x ∈ {π/2 + 2πk|k ∈ }
et est minimale lorsque
Z
x ∈ {3π/2 + 2πk|k ∈ }.
Ces points correspondent aux sommets de la fonction.
Croissance et décroissance:
f (x) % ∀x ∈ [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk], où k ∈
Z
Z
f (x) & ∀x ∈ [3π/2 + 2πk, π/2 + 2π(k + 1)], où k ∈ .
Équation de l’axe de symétrie: À tous les sommets.
Asymptote: Aucune.
Il y a deux nouvelles quantités qui caractérisent les fonctions trigonométriques : l’amplitude et la période. Voici leur définition :
Définition 8.10. L’amplitude d’une fonction trigonométrique, que
l’on note A, est donnée par la formule suivante :
A=
max(f ) − min(f )
.
2
Celle-ci correspond à la distance parcourue verticalement par rapport à
l’axe porteur de la fonction trigonométrique.
Définition 8.11. La période d’une fonction trigonométrique est
la longueur que prend cette fonction avant de se répéter. On note la
période par ω. On a également la fréquence de la fonction. Celle-ci se
note f et se calcule comme suit :
f=
1
.
ω
Ces quantités sont très importantes dans les applications physiques
des fonctions sinusoïdales. Elles nous aideront également pour esquisser
les graphiques.
146
8. LES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
1.5
ω
1
A
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
0
2
4
6
8
Dans le cas de la fonction f (x) = sin x, l’amplitude est de 1 et
la période est de 2π, car la même valeur de y revient après 2π. Nous
aurons aussi que la fréquence est
f=
1
.
2π
2.2. La fonction sinus transformée.
Définition 8.12. La forme canonique de la fonction sinus transformée est
f (x) = a sin(b(x − h)) + k.
Le rôle de ces paramètres reste le même que pour les autres fonctions. Regardons néanmoins l’impact précis de certains paramètres,
surtout a et b.
2.2.1. Rôle de a et de k. Le paramètre a affecte l’amplitude de la
fonction. Puisque le sinus est toujours compris entre −1 et 1, alors
a sin(b(x − h)) sera dans l’intervalle [−|a|, |a|]. Par la suite, on additionne k qui aura pour effet de déplacer verticalement la fonction. L’axe
porteur de la fonction se retrouvera donc en y = k et la fonction oscillera autour de cet axe. On obtiendra que
max(f ) = |a| + k et min(f ) = −|a| + k,
d’où une amplitude de a. Lorsque a est négatif, il y aura réflexion par
rapport à l’axe des x. La figure suivante montre ce qui se produit. La
fonction de base est en pointillés.
2. LA FONCTION SINUS
147
a>0
k+a
1
0
−1
−5pi
k−a
−4pi
−3pi
−2pi
−pi
0
pi
2pi
3pi
4pi
5pi
2
a = −1
1
0
−1
−2
−5pi
−4pi
−3pi
−2pi
−pi
0
pi
2pi
3pi
4pi
5pi
2.2.2. Rôle de b et de h. Dans cette fonction, le rôle du paramètre
b est très évident et très important. Il affectera la période de la fonction. Oublions les trois autres paramètres pour se concentrer dessus.
Le graphique suivant explique bien son influence.
b=2
1
0
−1
−2pi
−pi
0
pi
2pi
b = 0.5
1
0
−1
−5pi
−4pi
−3pi
−2pi
−pi
0
pi
2pi
3pi
4pi
5pi
On remarque que si b = 2, la fonction oscille plus rapidement. Afin de
faire un cycle, elle prend la moitié moins de temps. De plus, si b = 12 ,
elle oscille plus lentement, deux fois moins vite pour être précis. On
a donc que b affecte directement la période ω de la fonction. On aura
alors que la période est donnée par la formule suivante :
2π
ω=
.
|b|
Lorsque b est négatif, il y a une réflexion par rapport à l’axe de y, ce
qui revient à changer le signe de a. Pour h, il il effectue une translation
148
8. LES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
horizontale.
Voici la recette pour tracer une fonction sinus.
Étape 1: Écrire la fonction sous sa forme canonique, c’est-à-dire
f (x) = a sin(b(x − h)) + k.
Étape 2: Déterminer la période ω, l’amplitude A et l’équation
de l’axe porteur à l’aide des relations suivantes :
2π
ω=
,
|b|
A = |a| et
y = k (l’axe porteur).
Étape 3: Dessiner l’axe porteur et mettre le point (h, k) qui
correspond au point de départ de ma fonction sinus. Ajouter
les axes y = |a| + k et y = k − |a| qui correspondent au
maximum et au minimum de la fonction.
Étape 4: Dessiner un point sur l’axe y = k à chaque intervalle
de ω/2 à partir du point (h, k). Ce sont les endroits où la
fonction croise l’axe porteur.
Étape 5: On détermine dans quelle direction on trace la fonction en partant du point (h, k). Cette direction est déterminée
par le signe de a et de b. Le tableau suivant montre ces directions :
b>0
b<0
a>0 a<0
%
&
.
Étape 6: On esquisse la fonction en partant du point (h, k) selon
la direction en s’assurant de passer par les points et les axes
tracés.
Regardons un exemple.
Exemple 8.7. Soit la fonction
y = −2 sin(πx − π) + 1.
Essquissez cette fonction et analysez-la.
Étape 1: On trouve la forme canonique de cette fonction. Ainsi,
y = −2 sin(πx − π) + 1
= −2 sin(π(x − 1)) + 1.
2. LA FONCTION SINUS
149
Ainsi, a = −2, b = π, h = 1 et k = 1.
Étape 2:
2π
2π
=
= 2,
|b|
π
A = |a| = 2,
ω=
y = k = 1 (l’axe porteur).
Étape 3: Le point de départ est (h, k) = (1, 1) et les axes de
maximum et minimum sont y = 3 et −1. Ainsi,
5
4
ymax
3
2
1
0
−1
−4
ymin
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
Étape 4: Ici, ω/2 = 1. On place donc des points à intervalle de
1 sur l’axe porteur.
5
4
ymax
3
2
1
0
−1
−4
ymin
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
Étape 5: Puisque a < 0 et b >, on dessinera la courbe vers la
droite et vers le bas en partant de (1, 1).
150
8. LES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
5
4
ymax
3
2
1
0
−1
−4
ymin
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
Étape 6: On trace le graphique en partant dans la bonne direction.
5
4
ymax
3
2
1
0
−1
−4
ymin
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
3. La fonction cosinus
4. La fonction tangente
4.1. La fonction de base.
Définition 8.13. La fonction tangente de base est de la forme
f (x) = tan x.
Afin de tracer cette fonction, on utilise le graphique de la fonction
sinus et cosinus. On sait que
tan x =
sin x
.
cos x
Ainsi, la fonction f (x) n’est pas définie lorsque le cosinus sera zéro. Il
y aura alors des asymptotes à ces valeurs de x. De plus, la fonction est
nulle lorsque le sinus est nul. La figure suivante montre le graphique
de la fonction tangente. Nous avons également placé les fonctions et
cosinus afin de visualiser ce qui se produit.
4. LA FONCTION TANGENTE
151
y=sin x
1
0
−1
−3π/2
−π
−π/2
π/2
π
3π/2
y=cos x
1
0
−1
−3π/2
−π
−π/2
0
y=tan x
π/2
π
3π/2
−3π/2
−π
−π/2
0
π/2
π
3π/2
10
0
−10
On remarque que la fonction est périodique et celle-ci est de π. Analysons cette fonction.
§
ª
π
Le domaine: dom(f ) = \
+ πk . Les valeurs exclues cor2
respondent aux endroits où le dénominateur (la fonction cos x)
s’annule.
R
L’image: ima(f ) =
R.
L’ordonnée à l’origine: f (0) = tan 0 = 0.
Les zéros: On doit résoudre f (x) = 0. Ainsi,
tan x = 0
sin x
=0
cos x
sin x = 0
Ainsi, trouver les zéros de la fonction tangente revient à trouver ceux de la fonction sin x.
sin x = 0 ⇒ x = 0 ou x = π.
Z
Ainsi, sin x = 0 si x ∈ {0 + 2πk, π + 2πk|k ∈ }. Cet ensemble
peut se réécrire comme étant l’ensemble de tous les multiples
de π. Ainsi, l’ensemble des zéros est
Z
{πk|k ∈ }.
152
8. LES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
Le signe des images:
f (x) ≥ 0∀x ∈ [πk, π/2 + πk[, où k ∈
Z
f (x) ≤ 0∀x ∈] − π/2 + πk, πk], où k ∈
Z
Extremums: Aucun
Croissance et décroissance:
f (x) % ∀x ∈ dom(f ).
Équation de l’axe de symétrie: Aucune axe de symétrie.
Asymptote: En x = π/2 + πk.
Comme on peut le remarquer, la fonction tangente est assez différente
des autres fonctions trigonométriques que nous avons vues. Par contre,
elle possède certains points en commun comme la périodicité.
4.2. La fonction transformée. La forme canonique de la fonction tangente est
f (x) = a tan(b(x − h)) + k.
La manière d’obtenir le graphique est assez simple. Voici, les étapes :
Étape 1: Écrire la fonction sous sa forme canonique.
Étape 2: Trouver la période ω et les asymptotes. ATTENTION :
ici, on calcule la période par la formule
π
ω= .
|b|
Les asymptotes sont obtenues en résolvant l’équation
π
b(x − h) = + nπ.
2
Étape 3: On trace les asymptotes et le point de départ qui est
(h, k). Ce point se nomme point d’inflecxion.
Étape 4: En partant du point (h, k), on dessine la moitié de la
fonction selon le signe de a et de b. La direction est donnée
dans le tableau suivant :
b>0
b<0
a>0 a<0
%
&
.
Étape 5: On complète la fonction sur la période et on reproduit
le motif à chaque période.
4. LA FONCTION TANGENTE
153
Exemple 8.8. Esquisser et analyser la fonction
π
f (x) = − tan(2(x − )) + 1.
4
Calculons d’abord la période et les asymptotes.
π
π
ω=
= .
|b|
2
Pour trouver l’équation des asymptotes, on résout
π
2(x − ) = π/2 + nπ, n ∈ .
4
Z
Ainsi,
π
π
) = + nπ
4
2
π
π
π
x− = +n
4
4
2
π
x = (n + 1)
2
2(x −
D’où une asymptote à tous les multiples de π/2. On indique maintenant
le point d’inflexion (h, k) = (π/4, 1) et les asymptotes. Par la suite, on
trace la fonction en partant du point d’inflexion en se dirigeant vers
le bas et la droite. On complète la fonction et on remplit les autres
périodes.
10
8
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
−10
0
π/2
L’analyse de cette fonction se fait relativement bien. Le seul point difficile est de déterminer les zéros de cette fonction. Voici comment on
154
8. LES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
procède.
π
)) + 1 = 0
4
π
tan(2(x − )) = 1
4
− tan(2(x −
Puisque
sin θ
,
cos θ
alors si tan θ = 1, c’est que sin θ = cos θ. Cela se produit si θ = π/4.
Ainsi,
π
π
2(x − ) =
4
4
3π
x=
8
Puisque la période de π/2, alors les zéros sont
tan θ =
Z
3π π
+ k, où k ∈ .
8
2
Il est à noter que pour trouver les zéros d’une fonction tangente, il n’est
pas toujours possible d’obtenir des angles remarquables comme ce fût
le cas. Il faut alors utiliser la fonction arctan qui correspond à la touche
tan−1 sur la calculatrice.
5. Les fonctions sécante, cosécante et cotangente
Dans cette partie, nous étudierons les fonctions sécante, cosécante
et cotangente. Puisque ce sont des fonctions qui sont l’inverse des fonctions cosinus, sinus et tangente, on peut facilement les esquisser en
suivant la procédure suivante :
Étape 1: On trace la fonction inverse de celle que l’on veut esquisser.
Étape 2: Sur le graphique de la fonction à esquisser, à chaque
fois que la fonction inverse est nulle, on met une asymptote
verticale.
Étape 3: À chaque fois que la fonction inverse possède une asymptote, la fonction à esquisser est nulle. C’est le cas pour la fonction cot.
Étape 4: Trouver un point remarquable. Pour les fonctions sécante et cosécante, on cherche en quels points elles valent −1
et 1.
6. IDENTITÉS TRIGONOMÉTRIQUES
155
Étape 5: On complète le dessin à l’aide des asymptotes et des
points remarquables.
Exemple 8.9. Esquissons la fonction y = sec x.
Pour ce faire, on doit tracer la fonction y cos x. Les endroits où cette
fonction est nulle correspondent à des asymptotes de la fonction y sec x.
Il faut maintenant trouver les points remarquables. Puisque
1
sec x =
,
cos x
alors sec x = 1 lorsque cos x = 1 et sec x = −1 lorsque cos x = −1. Il
ne reste plus qu’à tracer la fonction.
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5−2π
−3π/2
−π/2
π/2
0
π/2
π
3π/2
2π
−3π/2
−π/2
π/2
0
π/2
π
3π/2
2π
10
5
0
−5
−10−2π
Les deux autres fonctions se tracent de la même façon.
6. Identités trigonométriques
Les identités trigonométriques sont très importantes afin de simplifier certaines expressions. En réalité, il n’y en a qu’une à connaître.
C’est la suivante :
sin2 A + cos2 A = 1.
Cette égalité provient directement du cercle trigonométrique et du théorème de Pythagore. Supposons que nous avons un angle de mesure A.
Alors, P (A) = (cos A, sin A). Nous savons que l’équation du cercle trigonométrique est
x2 + y 2 = 1.
156
8. LES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
Ainsi, puisque x = cos A et y = sin A, on obtient l’identité.
Deux identités découlent de celle-ci. La première consiste à diviser
l’identité par cos2 A. Ainsi,
1
sin2 A + cos2 A
=
cos2 A
cos2 A
2
tan A + 1 = sec2 A.
Au lieu de diviser par cos2 A, on peut diviser par sin2 A ce qui nous
donne la troisième identité :
sin2 A + cos2 A
1
=
2
sin A
sin2 A
1 + cot2 A = csc2 A.
On est maintenant en mesure de démontrer des identités trigonométriques. Regardons quelques exemples.
Exemple 8.10. Démontrons que
tan2 x cos2 x + cos2 x = 1.
Il est plus simple de travailler en termes de sinus et de cosinus. Ainsi,
la première étape consiste toujours à réécrire l’équation avec des sinus
et des cosinus. Ici, nous avons
sin2 x
cos2 x + cos2 x
cos2 x
= sin2 x + cos2 x
=1
tan2 x cos2 x + cos2 x =
Exemple 8.11. Démontrons que
sec2 x cot x
= tan x.
csc2 x
6. IDENTITÉS TRIGONOMÉTRIQUES
157
1
cos x
·
sec x cot x
2
= cos x sin x
2
1
csc x
sin2 x
1
= sin x cos x
1
sin2 x
sin2 x
=
sin x cos x
sin x
=
cos x
= tan x.
2
Les identités nous permettent également de résoudre certaines équations qui contiennent plusieurs fonctions trigonométriques.
Exemple 8.12. Trouvons l’ensemble solution de l’équation
3 − 4 sin2 x = 2 cos2 x.
Pour résoudre une équation contenant des fonctions trigonométriques,
il faut la simplifier afin d’obtenir une équation de la forme
fonction trigonométrique = constante.
3 − 4 sin2 x = 2 cos2 x
3 − 4 sin2 x = 2(1 − sin2 x)
3 − 4 sin2 x = 2 − 2 sin2 x
1 = 2 sin2 x
1
sin2 x =
2Ê
1
sin x = ±
√2
2
sin x = ±
2
√
. Si sin x =
Si√sin x = 22 , alors les solutions principales sont π4 et 3π
4
2
5π
7π
− 2 , alors les solutions principales sont 4 et 4 . Ainsi, l’ensemble
solution est
3π
5π
7π
π
+ 2πk,
+ 2πk,
+ 2πk,
+ 2πk k ∈
.
ES =
4
4
4
4
Z
158
8. LES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
Exemple 8.13. Trouvons l’ensemble solution de l’équation
tan t + cot t = 5 csc t.
Simplifions d’abord l’équation
tan t + cot t = 5 csc t
sin t cos t
5
+
=
cos t sin t
sin t
5 cos t
sin t sin t + cos t cos t
=
sin t cos t
sin t cos t
sin2 t + cos2 t = 5 cos t
1 = 5 cos t
1
= cos t
5
1
t = arccos
5
Ainsi,
D’où,
t ≈ 1.37
t ≈ −1.37 = 2π − 1.37 ≈ 4.9132.
Z
ES = { 1.37 + 2πk, 4.9132 + 2πk| k ∈ } .