DM2

PCSI DM n°2 À remettre le mercredi 2 octobre 2013
Problème :Construction d'un pentagone régulier à la règle et au compas.
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (
O
,
⃗
u
,
⃗
v
).
On pose :
w
=
e
i2π
5
. Soient :
α
=
w
+
w
4
et
β=
w
2
+
w
3
1-a- Exprimer en fonction de
w
, les racines 5
ième
de l'unité.
2-a- Calculer :
S
=α+β et
P
=αβ .
2-b- En déduire les 2 valeurs possibles de
α
et β.
3- Quelle est la nature du polygone dont les sommets sont les points A, B, C, D et E d'affixes
respectives
1,
w
,
w
2
,
w
3
,
et
w
4
.
4-a- Démontrer que
w
4
=
̄
w
et en déduire que : w+w
4
=2cos
(
2π
5
)
.
4-b- Démontrer de même que :
w
3
=
̄
w
2
et que : w
2
+w
3
=2cos
(
4π
5
)
4-c- En remarquant que cos
(
2π
5
)
>0, démontrer que :
cos
(
2π
5
)
=1+
√
5
4 et cos
(
4π
5
)
=1
√
5
4.
5-a- Soit
P
le point d'affixe
i
, et
Ω
le point d'affixe –
1
2. Le cercle de centre
Ω
,
passant par
P
rencontre l'axe des réels en
M
et
N
, d'affixes respectives
x
M
et
x
N
(
x
N
<
x
M
). Calculer
x
M
et
x
N
.
5-b- En déduire une construction à la règle et au compas du pentagone régulier.
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Polygones réguliers constructibles à la règle et au compas
...Euclide (-270?) montra qu'il était possible de construire de cette façon les polygones réguliers à
3,4,5 et 15 côtés, ainsi que ceux dérivés par bissections répétées de leurs côtés. En revanche, les
Grecs ne savaient pas construire, à la règle et au compas, les polygones réguliers de 7,9,11, 13 et 17
côtés, par exemple. Pendant les 2 000 ans qui suivirent, personne ne sembla suspecter qu'il était
possible de construire certains de ces polygones. La réussite de Gauss fut de trouver une
construction du polygone régulier à 17 côtés, qu'il inscrivit dans un cercle donné, n'utilisant que
règle et compas. Bien mieux, il précisa quels polygones pouvaient être construits de la sorte : il était
nécessaire et suffisant que le nombre de leurs côtés soit une puissance quelconque de 2
( 2
n
)
ou
le produit d'une telle puissance par un ou plusieurs nombres premiers de Fermat. Un nombre
premier de Fermat (1601 ou 1607-1665) est un nombre premier de la forme
2
2
n
+
1
. Les seuls
nombres premiers de Fermat « connus » sont 3,5,17, 257, 65537. De sorte que nous avons le
remarquable résultat suivant : bien que le polygone régulier à 17 côtés soit constructible, ceux à
7,9,11 et 13 côtés ne le sont pas.
Gauss(1777-1855) démontra ce théorème (à 18 ans) en combinant des arguments algébriques et
géométriques. Il montra que construire un polygone à 17 côtés équivalait à résoudre x
17
1=0
(dans le plan complexe, les sommets d'un polygone régulier à n côtés correspondent aux racines
n
ième
de 1), qui a pour solution
x
=
1
et les solutions de l'équation : x
16
+ x
15
+ ... + x + 1 = 0......
Cette démonstration est importante, car elle décida Gauss à choisir la carrière de mathématicien ; en
outre, elle est l'exemple d'une technique parmi les plus fructueuses en mathématiques : déplacer un
problème d'un domaine (ici la géométrie) à un autre (l'algèbre) où l'on sait le résoudre.
D'après « Les Mathématiciens, de l'antiquité au 21
ième
siècle », édition Belin, pour la Science
Exercice 1
Résoudre dans
ℂ
les équations suivantes :
a- (3+i)z
2
(8+6i)z+25+5i=0
b- z
6
2cos (θ) z
3
+ 1 = 0 (θ∈ℝ)
c- e
z
+e
z
=2i
d-
(
z2i
z+2i
)
3
+
(
z2i
z+2i
)
2
+
(
z2i
z+2i
)
+1=0
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La trigonométrie : née dans les étoiles.
Du grec « trigônos », triangle et « metron », mesure, la trigonométrie doit son nom au fait, qu'à
l'origine cette science traitait des relations entre les angles et les côtés d'un triangle.
Fondée pour les besoins de l'astronomie, la trigonométrie est apparue très tôt dans l'histoire des
mathématiques. Les premiers éléments furent développés dans des traités d'astronomie dont le plus
marquant est « L'Almageste » du grec Ptolémée (90-168). Cet ouvrage contient une théorie du
mouvement des astres qui fera loi jusqu'à Copernic (1473-1543), pendant 14 siècles, ainsi qu'un
exposé complet de trigonométrie rectiligne et sphérique qui ne sera pas amélioré avant la fin du
Moyen-âge.
Johann Muller (1436-1476), plus connu sous le nom de Regiomontanus, nom latin de sa ville
natale, libéra la trigonométrie de la tutelle de l'astronomie et en fit une discipline majeure et
indépendante, en développant dans son ouvrage « de triangulis omnimodis » (au sujet des triangles),
un exposé systématique des méthodes de résolution des triangles.
Et c'est le suisse Léonhard Euler (1707-1783), le plus remarquable mathématicien du 18
ième
siècle,
qui lui donna sa forme moderne en définissant et en étudiant les fonctions trigonométriques par des
méthodes d'analyse.
D'après « Mathématiques 1ère S », Hachette, 1982
Exercice 2
Établir des formules transformant en produit les expressions suivantes :
a-
sin
(
x
)+
cos
(
y
)
b-
sin
(
x
)
cos
(
y
)
Exercice 3
Soient
( x , α)∈ℝ
2
, et
n
∈ℕ
,
n
≥
1
a- Calculer la somme : A=∑
k
=
0
n
cos(kx+α)
b- Calculer la somme : A'=∑
k
=
0
n
kcos(kx+α)
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Exercice 4
Si
A
,
B
, et
C
désignent les 3 angles d'un triangle, démontrer que :
sin(A)+sin(B)+sin(C)=4cos
(
A
2
)
cos
(
B
2
)
cos
(
C
2
)
Exercice 5
Calculer :
S
1
=∑
1
≤
i
,
j
≤
n
(i+j)
2
S
2
=
∑
1≤i , j≤n
max(i, j)
S
3
=
∑
1≤i<j≤n
ij
Exercice 6
a- Démontrer que :
∀n∈ℕ ,n≥1 : ∏
k=0
n
(
n
k
)
=n!
n1
(
∏
k=1
n
k!
)
2
b- Démontrer que : ∀n∈ℕ ,et p∈ℕ ,0≤p≤n:
(
n+1
p
)
=∑
k=0
p
(
nk
pk
)
*** Fin du devoir ***
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