Similitudes planes - Nombres complexes et géométrie.

CAPES de Mathématiques 2003-2004,
Université Montpellier II et IUFM de Montpellier.
Similitudes planes - Nombres complexes et géométrie.
Similitudes planes
On note P le plan affine euclidien.
Exercice 1 : Généralités sur les similitudes planes.
1-) Montrer que toute similitude de rapport k différent de 1 se décompose de façon unique en un produit commutatif
d’une homothétie et d’une isométrie.
2-) En déduire la classification des similitudes planes et expliciter la loi de groupe de l’ensemble des similitudes
planes.
3-) Quelle est la forme complexe d’une similitude ?
Exercice 2 : Similitudes planes directes
1-) Soit A, B, A0 et B 0 quatre points distincts de P. Montrer qu’il existe une unique similitude directe f telle que
f (A) = A0 et f (B) = B 0 . Quand f est-elle une isométrie ? Quand possède-t-elle un unique point fixe ?
2-) On suppose que f est une similitude à centre et on note Ω son centre. Que peut-on dire du centre de la similitude
directe g telle que g(A) = B et g(A0 ) = B 0 .
3-) Donner une construction à la règle et au compas de Ω.
4-) En déduire l’existence du point de Miquel (exercice n◦ 8 de la feuille précédente).
Exercice 3 : Similitude indirecte.
1-) Soit A, B, A0 et B 0 quatre points distincts de P. Montrer qu’il existe une unique similitude indirecte f telle que
f (A) = A0 et f (B) = B 0 . Quand f est-elle une isométrie ? Quand possède-elle un unique point fixe ?
2-) Dans le cas où f est une similitude à centre donner une construction à la règle et au compas de son centre.
Exercice 4 : Similitudes de deux cercles.
Soit C1 et C2 deux cerlces de centres différents, O1 et O2 . Déterminer l’ensemble des points du plan qui sont centre
d’une similitude directe envoyant C1 sur C2 .
Exercice 5 : Rectangles de même format.
Soit ABCD un rectangle non carré.
1-) Déterminer les retangles CDEF directement semblable à ABCD tel que E et F appartiennent respectivement
à (AB) et (CD). Quels sont alors les centres de similitude ?
2-) Le format commercial des feuilles de papiers est tel que le point E soit le milieu de [AB]. Quel est alors le
rapport de similitude ?
3-) Un rectangle d’or est un rectangle tel que ABF E soit un carré. Quel est alors le rapport de similitude ?
Exercice 6 : Un classique.
Soit ABC un triangle de sens direct, et D un point à l’intérieur de ABC. On considère les point E et F tels que
les triangles BAE et ACF soient directement semblables à BCD. Montrer que AEDF est un parallélogramme.
Exercice 7 : Un peu d’analytique.
1-) Déterminer la nature des transformations du plan complexes définies
a) f (z) = 2iz + i − 2, b) g(z) = (2 + i)z + 1 − 3i.
2-) Déterminer la nature de l’application définie analytiquement par :

√
1
−x − 3y −
x

2
√
7−→  √
3
y
3x − y −
2
par :



Emploi des nombres complexes en géométrie.
Exercice 8 : Formes complexes des équations de droites.
1-) Montrer que toute droite possède une équation de la forme : az − az + c = 0, où c est un nombre réel et a un
nombre complexe non nul.
2-) Réciproquement, montrer qu’une telle équation détermine une droite du plan complexe.
3-) Soit a, b et c trois nombres complexes. Déterminer, en fonction de a, b et c, la nature de l’ensemble des points
du plan complexe dont l’affixe vérifie l’équation : az + bz + c = 0
2
Exercice 9 : Soit ϕ un endomorphisme R-linéaire de C. Montrer qu’il existe deux nombres complexes u et v tels
que pour tout nombre complexe z, ϕ(z) = uz + vz. Montrer que ϕ sont est de rang 1 si et seulement si u et v sont
de même module.
Exercice 10 : Déterminer l’ensemble des points du plan complexes d’affixe z telle que (z − 1)2 /(z − i)2 soit
imaginaire.
Exercice 11 : Triangles équilatéraux en complexes.
Soient A, B et C trois points deux à deux distincts de P d’affixes respectifs a, b et c.
Montrer que le triangle ABC est équilatéral si et seulement si on a l’une des conditions suivantes :
a2 + b2 + c2 = bc + ca + ab,
1
1
1
(ii)
+
+
= 0,
b−c c−a c−b
2
(iii) j ou j est racine de az 2 + bz + c = 0.
(i)
Exercice 12 : Droite de Simson en complexes.
On considère un triangle ABC non aplati inscrit dans le cercle trigonométrique que noterons C. Nous désignerons
par a, b, c les affixes respectives de A, B et C.
Soit M un point d’affixe m du plan. On considère HA , HB , HC les projetés orthogonaux respectifs du point M sur
(BC), (AC) et (BC). On désigne par ha , hb , hc leurs affixes respectives.
1-) Montrer qu’un point d’affixe z appartient à la droite (AB) si et seulement si : (a − b)z − (a − b)z + ab − ba = 0.
2-) Montrer qu’un point d’affixe z appartient à la perpendiculaire à (AB) menée en M si et seulement si : (a −
b)z + (a − b)z − m(a − b) − m(a − b) = 0.
3-) Montrer que l’affixe de HC est : hc = 1
2 (m − mab + a + b). En déduire les affixes de hb et hc .
4-) En déduire que HA , HB et HC sont alignés si et seulement si M appartient au cercle circonscrit du triangle
ABC.
Pour tout point M du cercle circonscrit de ABC, on appellera droite de Simson associée au point M la droite
joignant ses projetés HA , HB et HC . Soit H l’orthocentre du triangle ABC. On note h sont affixe. On considèrere
le cercle Γ image de C par l’homothétie de centre H et de rapport 21 .
5-) Montrer que : h = a + b + c. Quel est l’affixe ω du centre Ω de Γ ?
6-) Montrer que Γ passe par les pieds des hauteurs et les milieux des cotés du triangle ABC.
7-) Soit M un point de C. Montrer que le milieu N du segment [HM ] est un point d’intersection de Γ avec la droite
de Simson associée à M .
Exercice 13 : Capes 1997.
Un triangle est dit inscrit dans une courbe si ses trois sommets appartiennent à la courbe. Dans cette partie, H
désigne une hyperbole équilatère ayant les axes de coordonnées pour asymptotes.
1-) Soit Ω un point de H d’affixe ω = a + ib et soit S le cercle centré en Ω et passant par le point Ω’ symétrique de
Ω par rapport à O.
a) Montrer que H est l’ensemble des points dont l’affixe z = x + iy est tel que z 2 − ω 2 soit réel.
b) Montrer que les affixes des points de l’intersection de H et de S sont les racines de l’équation : (z + ω)[(z −
ω)3 − 8ωω 2 ] = 0.
c) En déduire qu’en général le cercle S coupe l’hyperbole H en quatre points distincts A, B, C et Ω0 et que
les trois premiers points forment un triangle équilatéral. Quand ce résultat est-il en défaut ? Décrire alors la
configuration.
2-) Soit ABC un triangle équilatéral inscrit dans H et soit Ω le centre du cercle circonscrit à ce triangle. On note
α, β, γ et ω les affixes respectifs des points A, B, C et Ω.
a) Montrer qu’il existe un nombre complexe ρ tel que α, β et γ soient les racines de l’équation : (z − ω)3 = ρ3 .
En déduire la relation : α2 + β 2 + γ 2 = 3ω 2 .
b) Montrer que le centre du cercle circonscrit au triangle ABC appartient à l’hyperbole H.
c) Déterminer une équation du troisième degré ayant les nombres α2 − ω 2 , β 2 − ω 2 et γ 2 − ω 2 pour racines. En
déduire que les nombres ωρ3 et (8ω 3 + ρ3 )ρ3 sont réels.
d) Montrer la relation ρ3 = 8ωω 2 . En déduire que le cercle circonscrit au triangle ABC passe par le symétrique
du point Ω par rapport à l’origine.
3
voir aussi Capes externe 98