Similitudes planes - Nombres complexes et géométrie.

CAPES de Math´ematiques 2003-2004,
Universit´e Montpellier II et IUFM de Montpellier.
Similitudes planes - Nombres complexes et g´eom´etrie.
Similitudes planes
On note Ple plan affine euclidien.
Exercice 1 : G´en´eralit´es sur les similitudes planes.
1-) Montrer que toute similitude de rapport kdiff´erent de 1 se d´ecompose de fa¸con unique en un produit commutatif
d’une homoth´etie et d’une isom´etrie.
2-) En d´eduire la classification des similitudes planes et expliciter la loi de groupe de l’ensemble des similitudes
planes.
3-) Quelle est la forme complexe d’une similitude ?
Exercice 2 : Similitudes planes directes
1-) Soit A,B,A0et B0quatre points distincts de P. Montrer qu’il existe une unique similitude directe ftelle que
f(A) = A0et f(B) = B0. Quand fest-elle une isom´etrie ? Quand poss`ede-t-elle un unique point fixe ?
2-) On suppose que fest une similitude `a centre et on note Ω son centre. Que peut-on dire du centre de la similitude
directe gtelle que g(A) = Bet g(A0) = B0.
3-) Donner une construction `a la r`egle et au compas de Ω.
4-) En d´eduire l’existence du point de Miquel (exercice n◦8 de la feuille pr´ec´edente).
Exercice 3 : Similitude indirecte.
1-) Soit A,B,A0et B0quatre points distincts de P. Montrer qu’il existe une unique similitude indirecte ftelle que
f(A) = A0et f(B) = B0. Quand fest-elle une isom´etrie ? Quand poss`ede-elle un unique point fixe ?
2-) Dans le cas o`u fest une similitude `a centre donner une construction `a la r`egle et au compas de son centre.
Exercice 4 : Similitudes de deux cercles.
Soit C1et C2deux cerlces de centres diff´erents, O1et O2. D´eterminer l’ensemble des points du plan qui sont centre
d’une similitude directe envoyant C1sur C2.
Exercice 5 : Rectangles de mˆeme format.
Soit ABCD un rectangle non carr´e.
1-) D´eterminer les retangles CDEF directement semblable `a ABCD tel que Eet Fappartiennent respectivement
`a (AB) et (CD). Quels sont alors les centres de similitude ?
2-) Le format commercial des feuilles de papiers est tel que le point Esoit le milieu de [AB]. Quel est alors le
rapport de similitude ?
3-) Un rectangle d’or est un rectangle tel que ABF E soit un carr´e. Quel est alors le rapport de similitude ?
Exercice 6 : Un classique.
Soit ABC un triangle de sens direct, et Dun point `a l’int´erieur de ABC. On consid`ere les point Eet Ftels que
les triangles BAE et ACF soient directement semblables `a BCD. Montrer que AEDF est un parall´elogramme.
Exercice 7 : Un peu d’analytique.
1-) D´eterminer la nature des transformations du plan complexes d´efinies par :
a) f(z) = 2iz+i−2, b) g(z) = (2 + i)z+ 1 −3i.
2-) D´eterminer la nature de l’application d´efinie analytiquement par :
x
y7−→ 
−x−√3y−1
2
√3x−y−√3
2
Emploi des nombres complexes en g´ eom´ etrie.
Exercice 8 : Formes complexes des ´equations de droites.
1-) Montrer que toute droite poss`ede une ´equation de la forme : az −az +c= 0, o`u cest un nombre r´eel et aun
nombre complexe non nul.
2-) R´eciproquement, montrer qu’une telle ´equation d´etermine une droite du plan complexe.
3-) Soit a,bet ctrois nombres complexes. D´eterminer, en fonction de a,bet c, la nature de l’ensemble des points
du plan complexe dont l’affixe v´erifie l’´equation : az +bz +c= 0
1

2
Exercice 9 : Soit ϕun endomorphisme R-lin´eaire de C. Montrer qu’il existe deux nombres complexes uet vtels
que pour tout nombre complexe z,ϕ(z) = uz +vz. Montrer que ϕsont est de rang 1 si et seulement si uet vsont
de mˆeme module.
Exercice 10 : D´eterminer l’ensemble des points du plan complexes d’affixe ztelle que (z−1)2/(z−i)2soit
imaginaire.
Exercice 11 : Triangles ´equilat´eraux en complexes.
Soient A, B et Ctrois points deux `a deux distincts de Pd’affixes respectifs a, b et c.
Montrer que le triangle ABC est ´equilat´eral si et seulement si on a l’une des conditions suivantes :
(i)a2+b2+c2=bc +ca +ab,
(ii)1
b−c+1 c−a+1 c−b= 0,
(iii)jou j2est racine de az2+bz +c= 0.
Exercice 12 : Droite de Simson en complexes.
On consid`ere un triangle ABC non aplati inscrit dans le cercle trigonom´etrique que noterons C. Nous d´esignerons
par a,b,cles affixes respectives de A,Bet C.
Soit Mun point d’affixe mdu plan. On consid`ere HA,HB,HCles projet´es orthogonaux respectifs du point Msur
(BC), (AC) et (BC). On d´esigne par ha,hb,hcleurs affixes respectives.
1-) Montrer qu’un point d’affixe zappartient `a la droite (AB) si et seulement si : (a−b)z−(a−b)z+ab −ba = 0.
2-) Montrer qu’un point d’affixe zappartient `a la perpendiculaire `a (AB) men´ee en Msi et seulement si : (a−
b)z+ (a−b)z−m(a−b)−m(a−b) = 0.
3-) Montrer que l’affixe de HCest : hc=1
2(m−mab +a+b). En d´eduire les affixes de hbet hc.
4-) En d´eduire que HA,HBet HCsont align´es si et seulement si Mappartient au cercle circonscrit du triangle
ABC.
Pour tout point Mdu cercle circonscrit de ABC, on appellera droite de Simson associ´ee au point Mla droite
joignant ses projet´es HA,HBet HC. Soit Hl’orthocentre du triangle ABC. On note hsont affixe. On consid`erere
le cercle Γ image de Cpar l’homoth´etie de centre Het de rapport 1
2.
5-) Montrer que : h=a+b+c. Quel est l’affixe ωdu centre Ω de Γ ?
6-) Montrer que Γ passe par les pieds des hauteurs et les milieux des cot´es du triangle ABC.
7-) Soit Mun point de C. Montrer que le milieu Ndu segment [HM ] est un point d’intersection de Γ avec la droite
de Simson associ´ee `a M.
Exercice 13 : Capes 1997.
Un triangle est dit inscrit dans une courbe si ses trois sommets appartiennent `a la courbe. Dans cette partie, H
d´esigne une hyperbole ´equilat`ere ayant les axes de coordonn´ees pour asymptotes.
1-) Soit Ω un point de Hd’affixe ω=a+ib et soit Sle cercle centr´e en Ω et passant par le point Ω’ sym´etrique de
Ω par rapport `a O.
a) Montrer que Hest l’ensemble des points dont l’affixe z=x+iy est tel que z2−ω2soit r´eel.
b) Montrer que les affixes des points de l’intersection de Het de Ssont les racines de l’´equation : (z+ω)[(z−
ω)3−8ωω2] = 0.
c) En d´eduire qu’en g´en´eral le cercle Scoupe l’hyperbole Hen quatre points distincts A, B, C et Ω0et que
les trois premiers points forment un triangle ´equilat´eral. Quand ce r´esultat est-il en d´efaut ? D´ecrire alors la
configuration.
2-) Soit ABC un triangle ´equilat´eral inscrit dans Het soit Ω le centre du cercle circonscrit `a ce triangle. On note
α, β, γ et ωles affixes respectifs des points A, B, C et Ω.
a) Montrer qu’il existe un nombre complexe ρtel que α, β et γsoient les racines de l’´equation : (z−ω)3=ρ3.
En d´eduire la relation : α2+β2+γ2= 3ω2.
b) Montrer que le centre du cercle circonscrit au triangle ABC appartient `a l’hyperbole H.
c) D´eterminer une ´equation du troisi`eme degr´e ayant les nombres α2−ω2, β2−ω2et γ2−ω2pour racines. En
d´eduire que les nombres ωρ3et (8ω3+ρ3)ρ3sont r´eels.
d) Montrer la relation ρ3= 8ωω2.En d´eduire que le cercle circonscrit au triangle ABC passe par le sym´etrique
du point Ω par rapport `a l’origine.

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voir aussi Capes externe 98