M Frikha 3

Mme Frikha
3ème math
Arithmétique
Exercice 1 : 1) Démontrez que, pour tout entier naturel n: 23n-1 est un multiple de 7.
Déduisez-en que 23n+1-2 est un multiple de 7 et que 23n+2-4 est un multiple de 7.
2) Déterminez les restes de la division par 7 des puissances de 2.
3) Le nombre p étant un entier naturel, on considère le nombre entier: Ap = 2p + 22p + 23p.
a) Si p = 3n, quel est le reste de la division de Ap par 7?
b) Démontrez que si p = 3n + 1 , alors Ap est divisible par 7.
c) Etudiez le cas où p = 3n + 2.
Exercice 2 : 1) Montrez que pour tout entier n > 1 , 3.52n-1 + 23n-2 est divisible par 17 en effectuant un
raisonnement par récurrence
2) Montrez que pour tout entier n, 3n+3 - 44n+2 est divisible par 11.
Exercice 3 : Soit E l’ensemble des couples (n, m) tels que n et m sont entiers naturels vérifiant :
11(n  11) = 24( m  5 )
1. a) Déterminer l’ensemble E
b) Montrer que (m,n)  E ⇔ 11n  24 m = 1
2. Montrer par récurrence sur k que pour tous entiers naturels non nuls a et k on a :
ak  1  (a  1)(1  a  a 2  .........  a k 1 )
3. Déduire que : a) 9 divise 1011 1 et 10 24 1
b) 1011 1 divise 1011n 1 où n  IN *
4. a) Montrer que si (n, m) est un élément de ( E ) alors (1011n  1) 10(1024 m 1)  9
b) Déduire qu’ils existent deux entiers naturels N et M tels que
(1011  1) N  (1024  1)M  9
c) Déterminer alors en justifiant le PGCD de 1011  1 et 1024 -1 .
Exercice 4 : Trouver les couples (a , b) d'entiers naturels tels que 0 < a < b dont le PGCD d et le
PPCM m vérifient :
2m + 3d = 78 et tels que a ne soit pas un diviseur de b.
Exercice 5 : Déterminer les paires d'entiers naturels {a,b} vérifiant: m - 18d = 791
où m est le PPCM et d le PGCD des nombres a et b.
Exercice 6 : Trouver les couples d'entiers naturels (a,b) vérifiant le système:
a + b = 651
PPCM(a,b) = 108.PGCD(a,b)
Exercice 7 : Déterminer tous les couples d'entiers naturels (a,b) tels que
PGCD(a,b) = 10 et PPCM(a,b) = 100
Exercice 8 : n est un entier naturel supérieur ou égal à 2.
1. Montrer que n et 2n + 1 sont premiers entre eux.
2. On pose α = n + 3 et β = 2n + 1 et on note δ le PGCD de α et β .
(a) Calculer 2α - β et en déduire les valeurs possibles de δ.
(b) Démontrer que α et β sont multiples de 5 si et seulement si (n - 2) est multiple de 5.
3. On considère les nombres a et b définis par :
a = n3 + 2n² - 3n
b = 2n² - n - 1
Montrer, après factorisation, que a et b sont des entiers naturels divisibles par (n - 1).
4. (a) On note d le PGCD de n(n + 3) et de (2n + 1). Montrer que δ divise d, puis que δ = d.
(b) En déduire le PGCD, Δ, de a et b en fonction de n.
(c) Application :
Déterminer Δ pour n = 2001;
Déterminer Δ pour n = 2002.
Exercice 9 : On considère deux entiers naturels, non nuls, x et y premiers entre eux.
On pose S = x + y et P = xy.
1. (a) Démontrer que x et S sont premiers entre eux, de même que y et S.
(b) En déduire que S = x + y et P =xy sont premiers entre eux.
(c) Démontrer que les nombres S et P sont de parité différentes (l'un pair, l'autre impair).
2. Déterminer les diviseurs positifs de 84 et les ranger par ordre croissant.
3. Trouver les nombres premiers entre eux x et y tels que SP = 84.
4. Déterminer les deux entiers naturels a et b vérifiant les conditions suivantes :
a + b = 84
ab = d3
avec d = PGCD(a ; b)
(On pourra poser a = dx et b = dy avec x et y premiers entre eux)
Exercice 10 :
1. (a) Montrer que, pour tout entier naturel n, 3n3 - 11n + 48 est divisible par n + 3.
(b) Montrer que, pour tout entier naturel n, 3n² - 9n + 16 est un entier naturel non nul.
2. Montrer que, pour tous les entiers naturels non nuls a, b et c, l'égalité suivante est vraie :
PGCD(a ; b) = PGCD(bc - a ; b).
3. Montrer que, pour tout entier naturel n, supérieur ou égal à 2, l'égalité suivante est vraie :
PGCD(3n3 - 11n ; n +3) = PGCD(48 ; n+3).
4. (a) Déterminer l'ensemble des diviseurs entiers naturels de 48.
(b) En déduire l'ensemble des entiers naturels n tels que (3n3 - 11n)/(n+3).