cours sysdyn

Systèmes dynamiques élémentaires
Yves Benoist Frédéric Paulin
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1 Introduction
Ces notes correspondent à un cours à l’Ecole Normale Supérieure du premier auteur
les années 2000-2001 et 2001-2002 et du second auteur en 2002-2003.
Nous renvoyons par exemple à l’article [Yoc] ou au livre encyclopédique [KH] pour
donner une petite idée de tout ce dont nous ne traiterons pas dans le domaine des systèmes
dynamiques. Nous renvoyons à [Sin2, Lect. 1] pour les grands types de problèmes qui se
posent dans la théorie des systèmes dynamiques.
En mécanique classique, on étudie l’évolution au cours du temps de certains systèmes
physiques comme une toupie, un gaz, une étoile et ses planètes ... Si, au temps initial t= 0,
le système est représenté par un point xde l’espace des phases X, alors au temps t, ce
système est représenté par un point ft(x).
Lorsque les équations différentielles qui régissent ce mouvement sont indépendantes du
temps, on a l’égalité ft+t′=ft◦ft′pour tous t, t′. On dit que fest un groupe à un
paramètre de transformations de X.
Lorsque l’on ne dispose pas de formule explicite pour ft, on cherche à comprendre le
comportement de ft(x)pour tgrand. Une telle étude qualitative a été initiée par Poincaré.
Dans les exemples issus de la mécanique céleste, il arrive souvent, à cause de la conser-
vation de l’énergie, que l’espace des phases soit compact et qu’il existe sur Xune mesure
finie invariante par ft.
Pour clarifier les phénomènes, certains mathématiciens sont sortis du cadre des équa-
tions différentielles, en ne gardant que l’espace Xet le groupe à un paramètre de trans-
formations (ft)t∈R[ système dynamique continu ] ou encore, que l’espace Xet une trans-
formation f(par toujours inversible) de l’espace X[ système dynamique discret ]. Dans
ce dernier cas, on s’intéresse au comportement asymptotique des itérations fnde f. Pour
mener l’étude qualitative du comportement de ft(x)pour tgrand, deux cadres s’avèrent
particulièrement bien adaptés : celui de la topologie [ système dynamique topologique ] et
celui de la théorie de la mesure [ théorie ergodique ].
Nous étudierons ces deux points de vue et leurs interactions. Bien plus que de clarifier
les idées de ce sujet, ces cadres plus larges et plus naturels ont permis leur application à
d’autres domaines des mathématiques (théorie des nombres, théorie des groupes). Nous en
verrons quelques-unes.
Remerciements : Nous remercions C. Wormser pour ses nombreuses corrections sur une
première version de ce texte.
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Table des matières
1 Introduction 2
2 Exemples fondamentaux 6
2.1 Systèmes dynamiques topologiques et mesurables . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Systèmes de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Systèmes symboliques ou de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Mesures de Liouville et systèmes hamiltoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 Billards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.7 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Récurrence 18
3.1 Récurrence et minimalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Récurrence multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Le théorème de récurrence de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Ergodicité 27
4.1 Transformations ergodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Le théorème ergodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3 Mesures invariantes et mesures ergodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.5 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5 Unique ergodicité 38
5.1 Unique ergodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2 Unique ergodicité des translations sur le tore . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.3 Equirépartition modulo 1de la suite P(n). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.4 Appendice : critère de Weyl et lemme de van der Corput . . . . . . . . . . . 41
5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.6 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6 Mélange 45
6.1 Transformations mélangeantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.2 Transformations linéaires du tore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.3 Fractions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.3.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.3.2 Ergodicité de la transformation de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.3.3 Taux de croissance du développement en fractions continues . . . . . 51
6.3.4 Mélange de la transformation de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.4 Mélange des systèmes symboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.6 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3

7 Stabilité structurelle 61
7.1 Le théorème du point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.2 Automorphismes linéaires hyperboliques de RN. . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.3 Le théorème de Grobman-Hartman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.4 Quelques lemmes de relèvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.5 Stabilité structurelle des automorphismes hyperboliques du tore. . . . . . . 68
7.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.7 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8 Représentations unitaires 71
8.1 Sur SLN(R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.2 Représentations unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.3 Ergodicité des quotients de SL2(R)par un réseau . . . . . . . . . . . . . . . 74
8.4 Décroissance des coefficients et mélange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.5 Une construction de réseaux uniformes de SL2(R). . . . . . . . . . . . . . . 78
8.6 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
9 Entropie métrique 84
9.1 Information et entropie d’une partition : définitions . . . . . . . . . . . . . . 84
9.2 Information et entropie d’une partition : propriétés . . . . . . . . . . . . . . 86
9.3 Entropie d’un système dynamique mesurable : définitions . . . . . . . . . . 89
9.4 Entropie d’un système dynamique mesuré : propriétés . . . . . . . . . . . . 90
9.5 L’entropie comme fonction de la mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.7 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
10 Entropie topologique 95
10.1 Recouvrements ouverts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
10.2 Entropie topologique : définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
10.3 Entropie topologique : propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
10.4 Le principe variationnel : première inégalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
10.5 Le principe variationnel : seconde inégalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
10.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
10.7 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
11 Sous-décalages de type fini 106
11.1 Systèmes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
11.2 Chaînes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
11.3 Mesure de Parry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
11.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
11.5 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
12 Codage 130
12.1 Variétés stables, lemme de pistage et lemme de fermeture . . . . . . . . . . 130
12.2 Partition de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
12.3 Un codage sur le tore T2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
12.4 Constructions de partitions de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
12.5 Entropie des automorphismes hyperboliques du tore . . . . . . . . . . . . . 140
4

12.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
12.7 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Index 143
Bibliographie 147
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