PGCD " PPCM

PGCD - PPCM
1 Plus grand diviseur commun de deux entiers
1.1 Dé…nition - Exemples
Dé…nition 1 Soient aet bdeux élément de Z.aZ+bZest un sous-groupe de Zdonc il existe 2N
tel que aZ+bZ=Z. On appelle le plus grand diviseur commun de aet bet on note =pgcd(a; b)
ou =a^b.
Exemple 2 On a vu dans le chapitre précédent pgcd(2;3) = 1 et pgcd(10;25) = 5.
Remarque 3 Pour tout aet bdans Z, pgcd(a; b) = pgcd(b; a) = pgcd(jaj;jbj).
Soient a; b 2Nalors
ajb() pgcd (a; b) = a
Démonstration. Le premier point découle du fait que jaj=aZ. Montrons le second on a
ajb() bZaZ() aZ+bZ=aZ() pgcd (a; b) = a
Proposition 4 Soient aet bdeux entiers relatifs. Soit 2N. Alors =pgcd(a; b)si et seulement
si l’entier divise aet b
si dest un diviseur de aet de balors ddivise 
Cela explique le nom de plus grand diviseur commun pour .
Démonstration. Notons =pgcd(a; b). On a aZZdonc ja, de même bZZdonc jb.
Donc est un diviseur commun à aet b.
Soit dun diviseur de aet b, alors aZdZet bZdZdonc aZ[bZdZdonc (par dé…nition
de la somme de deux sous-groupes) aZ+bZdZdonc ZdZet donc dj.
Réciproquement soit un entier positif véri…ant :
l’entier divise aet b
si dest un diviseur de aet de balors ddivise 
Il faut montrer que =pgcd(a; b).
On a aZZet bZZdonc aZ+bZZet aZ+bZ=pgcd(a; b)Zdonc jpgcd(a; b).
D’autre part pgcd(a; b)est un diviseur de aet de bdonc par dé…nition de on a pgcd(a; b)j.
Exemple 5 On a pgcd(4;6) = 2 ; pgcd(4;7) = 1
pgcd(5 7;711) = 7
pgcd(312;319) = 312
pgcd(215 3852;29320 7) = 2938
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1.2 Méthode de calcul : Algorithme d’Euclide
Lemme 6 Soit aet bdeux entiers naturels non nuls. Soit rle reste de la division euclidienne de a
par b. Alors pgcd(a; b) = pgcd(b; r).
Démonstration. On va montrer que l’ensemble des diviseurs de aet b:Div (a)\Div (b)et
l’ensemble des diviseurs de bet r:Div (b)\Div (r)sont égaux, ce qui donnera le résultat.
Écrivons la division euclidienne de apar b, donc a=bq +ravec 0r < b. Comme
r=abq
si un nombre ddivise aet balors ddivise r. Donc Div (a)\Div (b)Div (b)\Div (r).
Réciproquement, si ddivise bet ralors ddivise a=bq +rdonc Div (b)\Div (r)Div (a)\
Div (b).
Remarque 7 Si l’on a une expression du type A=B+Cou A+B+C= 0 entre trois entiers
A; B et C. Alors tout nombre divisant deux de ces entiers divise automatiquement le troisième.
Proposition 8 Algorithme d’Euclide. Soit aet bdeux entiers naturels non nuls. On construit
par récurrence une suite d’entiers naturels (rn)n2Nde la façon suivante : r0=a,r1=b,r2est le
reste de la division euclidienne de r0par r1, et de proche en proche, tant que rn6= 0,rn+1 est égal
au reste de la division euclidienne de rn1par rn. Alors il existe un entier Ntel que rN6= 0 et
rN+1 = 0. Alors pgcd(a; b)est égal au dernier reste non nul rN.
Démonstration. Tant que les restes sont non nuls, on dé…nit une suite telle que 0rn< rn1<
   < r2< r1. Il s’agit donc d’une suite d’entiers naturels strictement décroissante. Au bout d’un
nombre …ni d’étapes on obtient alors un reste nul (on a Nb). En utilisant le lemme précédent, on
obtient
pgcd(a; b) = pgcd(b; r2) = pgcd(r2; r3) =    =pgcd(rN1; rN) = pgcd(rN;0) = rN
Exemple 9 Soient a= 144 et b= 84. On calcule
144 = 1 84 + 60 r2= 60
84 = 1 60 + 24 r3= 24
60 = 2 24 + 12 r4= 12
24 = 2 12 + 0 r5= 0
On a donc pgcd(144;84) = 12.
1.3 Relation de Bézout
Théorème 10 Relation de Bézout.
Soient aet bdeux entiers relatifs. Alors il existe des entiers relatifs uet vtels que
pgcd(a; b) = au +bv
Démonstration. Notons =pgcd(a; b)on a 2Z=aZ+bZdonc =x+yoù x2aZet
y2bZ, donc il existe uet vtels que =au +bv.
2

Remarque 11 Soit 2N. Nous venons de montrer que si =pgcd(a; b)alors il existe un couple
d’entiers (u; v)tel que =au +bv. La réciproque est fausse dans le cas général. Par exemple, pour
a= 4,b= 2 et = 6, on a 6 = 4 1+21et 66=pgcd(4;2) = 2. Plus généralement, s’il existe un
couple d’entiers (u; v)tel que d=au +bv alors pgcd(a; b)divise d.
Exemple 12 Soient a= 63 et b= 37. On calcule
63 = 37 1 + 26 r2= 26
37 = 26 1 + 11 r3= 11
26 = 11 2+4 r4= 4
11 = 4 2+3 r5= 3
4 = 3 1+1 r6= 1
On part de la dernière relation et on remplace les restes en utilisant les formules de bas en haut de
la façon suivante :
1 = 4 31Départ
1= 4(11 42) = 11 + 4 3On a remplacé r5
1 = 11 + (26 11 2) 3 = 711 + 26 3On a remplacé r4
1 = 7(37 26 1) + 26 3 = 737 + 26 10 On a remplacé r3
1 = 737 + (63 37 1) 10 = 17 37 + 10 63 On a remplacé r2
Finalement la relation de Bézout est :
10 63 17 37 = 1 = pgcd(63;37)
Proposition 13 Soient aet bdeux entiers relatifs. Alors pour tout k2N, pgcd(ka; kb) = kpgcd(a; b).
Démonstration. Si k= 0 l’égalité est véri…ée. Supposons k6= 0. Soit D=pgcd(ka; kb)et =
pgcd(a; b). Comme divise aet b,k divise ka et kb donc k divise D.
Par ailleurs, kdivise ka et kb donc kdivise D. Il existe q2Ztel que D=kq. Comme kq divise
ka et kb,qdivise aet bdonc qdivise . On en déduit que Ddivise k.
Finalement on a donc k =D.
Exemple 14 pgcd(42;56) = 7pgcd(6;8) = 7 2 = 14.
2 Éléments premiers entre eux
Dé…nition 15 On dit que les entiers aet bsont premiers entre eux si et seulement si pgcd(a; b) = 1
(noté aussi a^b= 1).
Proposition 16 Soient aet bdeux entiers relatifs non tous les deux nuls. Soit un diviseur positif
de aet de b. Il existe a02Ztel que a=a0et il existe b02Ztel que b=b0. Alors est le pgcd de
aet bsi et seulement si a0et b0sont premiers entre eux.
Démonstration. Le diviseur est nécessairement non nul. Comme a=a0et b=b0,
pgcd(a; b) = pgcd(a0; b0) = pgcd(a0; b0)
Par conséquent, pgcd(a; b) = () pgcd(a0; b0) = 1.
Théorème 17 Théorème de Bézout. Les entiers aet bsont premiers entre eux si et seulement
s’il existe deux entiers relatifs uet vtels que 1 = au +bv.
3

Démonstration. Si pgcd(a; b)=1alors il existe un couple d’entiers (u; v)tel que 1 = au +bv
(relation de Bézout). Réciproquement, supposons qu’il existe deux entiers uet vtels que 1 = au+bv.
Soit dun diviseur de aet de b. Alors ddivise 1donc jdj= 1. D’où pgcd(a; b) = 1.
Proposition 18 Soit n2N,n2. Soit a1; : : : ; andes entiers relatifs. Si aest premier avec chacun
des ai(i= 1 : : : n)alors aest premier avec leur produit.
Démonstration. Comme pgcd(a; a1)=1, il existe des entiers u1et v1tels que 1 = au1+a1v1.
De même, il existe u2et v2tels que 1 = au2+a2v2. En multipliant ces deux termes, on obtient
1 = a(au1u2+u1a2v2+a1v1u2) + a1a2(v1v2). D’où pgcd(a; a1a2) = 1. La propriété est donc
vraie pour n= 2.
Supposons la propriété vraie à l’ordre n. Soit a1; : : : ; an+1 n+ 1 entiers premiers séparément avec
a. En utilisant l’hypothèse de récurrence avec a1; : : : ; an, on obtient que aest premier avec le produit
a1   an. On conclut en utilisant la propriété avec les deux entiers a1   anet an+1.
Exemple 19 Comme pgcd(3;5) = 1 et pgcd(3;8) = 1, on a pgcd(3;40) = 1.
Corollaire 20 Soient aet bdeux entiers relatifs. Si aet bsont premiers entre eux alors pour tout
n2Net p2N,anet bpsont premiers entre eux.
Théorème 21 Théorème de Gauss. Soit a,bet ctrois entiers relatifs. Si adivise bc et si aet b
sont premiers entre eux alors adivise c.
Démonstration. Comme pgcd(a; b) = 1, il existe un couple d’entiers (u; v)tels que 1 = au +bv.
En multipliant cette égalité par c, on obtient c=a(cu)+(bc)v. Comme adivise bc,adivise c.
Proposition 22 Soit n2N,n2. Soit a1; : : : ; andes entiers relatifs premiers entre eux deux à
deux. Si aest divisible par chacun des ai(i= 1 : : : n)alors aest divisible par leur produit.
Démonstration. La démonstration se fait par récurrence sur n. Pour n= 2, il existe deux
entiers q1et q2tels que a=a1q1=a2q2. Donc a2divise a1q1. Mais comme pgcd(a2; a1) = 1, on
obtient que a2divise q1. Il existe donc q32Ztel que q1=a2q3. Par conséquent, a=a1a2q3et a1a2
divise a. La …n de la démonstration se fait sans di¢ culté.
Exemple 23 L’entier 90 est divisible par 3et par 5qui sont premiers entre eux donc est divisible
par 15.
Mais bien que 20 soit divisible par 4et par 10 il n’est pas divisible par 40 (car 4et 10 ne sont pas
premiers entre eux).
Proposition 24 Soit _x2Z=nZon a
_xinversible () x^n= 1
Démonstration. _xest inversible ssi 9_ytel que _x_ _y=_ 1ssi 9y; k tels que xy= 1 + kn ssi
9y; k tels que xy kn = 1 ssi x^n= 1:
Proposition 25 Soit la fonction indicatrice d’Euler, (n)est égal au nombre de nombres entiers
positifs inférieurs à net premiers avec n.
En particulier si pest un nombre premier (p) = p1.
4

3 Plus petit multiple commun de deux entiers
Dé…nition 26 Soient aet b2Z, il existe 2Ntel que aZ\bZ=Z.
est appelé le plus petit multiple commun de a; b, noté ppcm(a; b)(ou a_b).
Exemple 27 On a vu dans le chapitre précédent ppcm(2;3) = 6 et ppcm(10;25) = 50.
Remarque 28 ppcm(0;0) = 0.
Pour tout a2Z, on a ppcm(a; 0) = 0
Pour tout aet bdans Z, ppcm(a; b) = ppcm(b; a) = ppcm(jaj;jbj).
Soient a; b 2Nalors
ajb() ppcm (a; b) = b
Démonstration. On montre le dernier point. On a
ajb() bZaZ() aZ\bZ=bZ() ppcm (a; b) = b
Proposition 29 Soient aet bdeux entiers relatifs. Soit 2N. Alors =ppcm(a; b)si et seulement
si l’entier est un multiple de aet b
si mest un multiple de aet de balors divise m
Cela explique le nom de plus petit multiple commun pour .
Démonstration. Notons =ppcm(a; b). On a ZaZdonc aj, de même ZbZdonc bj.
Donc est un multiple de aet b.
Soit mun multiple de aet b, alors mZaZet mZbZdonc mZaZ\bZdonc mZZ
donc jm.
Réciproquement soit un entier positif véri…ant :
l’entier est un multiple de aet b
si mest un multiple de aet de balors divise m
Il faut montrer que =ppcm(a; b).
On a ZaZet ZbZdonc ZaZ\bZ=ppcm(a; b)Zdonc ppcm(a; b)j.
D’autre part ppcm(a; b)est un multiple de aet de bdonc par dé…nition de on a jppcm(a; b).
Exemple 30 On a ppcm(4;6) = 12 ; ppcm(4;7) = 28
ppcm(5 7;711) = 5 711
pgcd(312;319) = 319
pgcd(215 3852;29320 7) = 215 320 527
Proposition 31 Soient aet bdeux entiers naturels, on a la relation :
pgcd(a; b)ppcm(a; b) = ab
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