PGCD - PPCM 1 Plus grand diviseur commun de deux entiers 1.1 Dé…nition - Exemples Dé…nition 1 Soient a et b deux élément de Z. aZ + bZ est un sous-groupe de Z donc il existe 2 N tel que aZ + bZ = Z. On appelle le plus grand diviseur commun de a et b et on note = pgcd(a; b) ou = a ^ b. Exemple 2 On a vu dans le chapitre précédent pgcd(2; 3) = 1 et pgcd(10; 25) = 5. Pour tout a et b dans Z, pgcd(a; b) = pgcd(b; a) = pgcd(jaj ; jbj). Remarque 3 Soient a; b 2 N alors ajb () pgcd (a; b) = a Démonstration. Le premier point découle du fait que jaj = aZ. Montrons le second on a ajb () bZ aZ () aZ + bZ = aZ () pgcd (a; b) = a Proposition 4 Soient a et b deux entiers relatifs. Soit 2 N. Alors = pgcd(a; b) si et seulement si l’entier divise a et b si d est un diviseur de a et de b alors d divise Cela explique le nom de plus grand diviseur commun pour . Démonstration. Notons = pgcd(a; b). On a aZ Z donc ja, de même bZ Z donc jb. Donc est un diviseur commun à a et b. Soit d un diviseur de a et b, alors aZ dZ et bZ dZ donc aZ [ bZ dZ donc (par dé…nition de la somme de deux sous-groupes) aZ + bZ dZ donc Z dZ et donc dj . Réciproquement soit un entier positif véri…ant : l’entier divise a et b si d est un diviseur de a et de b alors d divise Il faut montrer que = pgcd(a; b). On a aZ Z et bZ Z donc aZ + bZ Z et aZ + bZ = pgcd(a; b) Z donc jpgcd(a; b). D’autre part pgcd(a; b) est un diviseur de a et de b donc par dé…nition de on a pgcd(a; b) j . On a pgcd(4; 6) = 2 ; pgcd(4; 7) = 1 Exemple 5 pgcd(5 7; 7 11) = 7 pgcd(312 ; 319 ) = 312 pgcd(215 38 52 ; 29 320 7) = 29 38 1 1.2 Méthode de calcul : Algorithme d’Euclide Lemme 6 Soit a et b deux entiers naturels non nuls. Soit r le reste de la division euclidienne de a par b. Alors pgcd(a; b) = pgcd(b; r). Démonstration. On va montrer que l’ensemble des diviseurs de a et b : Div (a) \ Div (b) et l’ensemble des diviseurs de b et r : Div (b) \ Div (r) sont égaux, ce qui donnera le résultat. Écrivons la division euclidienne de a par b, donc a = bq + r avec 0 r < b. Comme r=a bq si un nombre d divise a et b alors d divise r. Donc Div (a) \ Div (b) Div (b) \ Div (r). Réciproquement, si d divise b et r alors d divise a = bq + r donc Div (b) \ Div (r) Div (a) \ Div (b). Remarque 7 Si l’on a une expression du type A = B + C ou A + B + C = 0 entre trois entiers A; B et C. Alors tout nombre divisant deux de ces entiers divise automatiquement le troisième. Proposition 8 Algorithme d’Euclide. Soit a et b deux entiers naturels non nuls. On construit par récurrence une suite d’entiers naturels (rn )n2N de la façon suivante : r0 = a, r1 = b, r2 est le reste de la division euclidienne de r0 par r1 , et de proche en proche, tant que rn 6= 0, rn+1 est égal au reste de la division euclidienne de rn 1 par rn . Alors il existe un entier N tel que rN 6= 0 et rN +1 = 0. Alors pgcd(a; b) est égal au dernier reste non nul rN . Démonstration. Tant que les restes sont non nuls, on dé…nit une suite telle que 0 rn < rn 1 < < r2 < r1 . Il s’agit donc d’une suite d’entiers naturels strictement décroissante. Au bout d’un nombre …ni d’étapes on obtient alors un reste nul (on a N b). En utilisant le lemme précédent, on obtient pgcd(a; b) = pgcd(b; r2 ) = pgcd(r2 ; r3 ) = = pgcd(rN 1 ; rN ) = pgcd(rN ; 0) = rN Exemple 9 Soient a = 144 et b = 84. On calcule 144 = 1 84 + 60 r2 = 60 84 = 1 60 + 24 r3 = 24 60 = 2 24 + 12 r4 = 12 24 = 2 12 + 0 r5 = 0 On a donc pgcd(144; 84) = 12. 1.3 Relation de Bézout Théorème 10 Relation de Bézout. Soient a et b deux entiers relatifs. Alors il existe des entiers relatifs u et v tels que pgcd(a; b) = au + bv Démonstration. Notons = pgcd(a; b) on a y 2 bZ, donc il existe u et v tels que = au + bv. 2 2 Z = aZ + bZ donc = x + y où x 2 aZ et Remarque 11 Soit 2 N. Nous venons de montrer que si = pgcd(a; b) alors il existe un couple d’entiers (u; v) tel que = au + bv. La réciproque est fausse dans le cas général. Par exemple, pour a = 4, b = 2 et = 6, on a 6 = 4 1 + 2 1 et 6 6= pgcd(4; 2) = 2. Plus généralement, s’il existe un couple d’entiers (u; v) tel que d = au + bv alors pgcd(a; b) divise d. Exemple 12 Soient a = 63 et b = 37. On calcule 63 = 37 37 = 26 26 = 11 11 = 4 4=3 1 + 26 r2 = 26 1 + 11 r3 = 11 2 + 4 r4 = 4 2+3 r5 = 3 1+1 r6 = 1 On part de la dernière relation et on remplace les restes en utilisant les formules de bas en haut de la façon suivante : 1=4 3 1 1= 4 (11 4 2) = 11 + 4 3 1 = 11 + (26 11 2) 3 = 7 11 + 26 3 1 = 7 (37 26 1) + 26 3 = 7 37 + 26 10 1 = 7 37 + (63 37 1) 10 = 17 37 + 10 63 Départ On a remplacé On a remplacé On a remplacé On a remplacé r5 r4 r3 r2 Finalement la relation de Bézout est : 10 63 17 37 = 1 = pgcd(63; 37) Proposition 13 Soient a et b deux entiers relatifs. Alors pour tout k 2 N, pgcd(ka; kb) = k pgcd(a; b). Démonstration. Si k = 0 l’égalité est véri…ée. Supposons k 6= 0. Soit D = pgcd(ka; kb) et = pgcd(a; b). Comme divise a et b, k divise ka et kb donc k divise D. Par ailleurs, k divise ka et kb donc k divise D. Il existe q 2 Z tel que D = kq. Comme kq divise ka et kb, q divise a et b donc q divise . On en déduit que D divise k . Finalement on a donc k = D. Exemple 14 pgcd(42; 56) = 7 2 pgcd(6; 8) = 7 2 = 14. Éléments premiers entre eux Dé…nition 15 On dit que les entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si pgcd(a; b) = 1 (noté aussi a ^ b = 1). Proposition 16 Soient a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls. Soit un diviseur positif de a et de b. Il existe a0 2 Z tel que a = a0 et il existe b0 2 Z tel que b = b0 . Alors est le pgcd de a et b si et seulement si a0 et b0 sont premiers entre eux. Démonstration. Le diviseur est nécessairement non nul. Comme a = a0 et b = b0 , pgcd(a; b) = pgcd( a0 ; b0 ) = Par conséquent, pgcd(a; b) = pgcd(a0 ; b0 ) () pgcd(a0 ; b0 ) = 1. Théorème 17 Théorème de Bézout. Les entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement s’il existe deux entiers relatifs u et v tels que 1 = au + bv. 3 Démonstration. Si pgcd(a; b) = 1 alors il existe un couple d’entiers (u; v) tel que 1 = au + bv (relation de Bézout). Réciproquement, supposons qu’il existe deux entiers u et v tels que 1 = au+bv. Soit d un diviseur de a et de b. Alors d divise 1 donc jdj = 1. D’où pgcd(a; b) = 1. Proposition 18 Soit n 2 N, n 2. Soit a1 ; : : : ; an des entiers relatifs. Si a est premier avec chacun des ai (i = 1 : : : n) alors a est premier avec leur produit. Démonstration. Comme pgcd(a; a1 ) = 1, il existe des entiers u1 et v1 tels que 1 = au1 + a1 v1 . De même, il existe u2 et v2 tels que 1 = au2 + a2 v2 . En multipliant ces deux termes, on obtient 1 = a (au1 u2 + u1 a2 v2 + a1 v1 u2 ) + a1 a2 (v1 v2 ). D’où pgcd(a; a1 a2 ) = 1. La propriété est donc vraie pour n = 2. Supposons la propriété vraie à l’ordre n. Soit a1 ; : : : ; an+1 n + 1 entiers premiers séparément avec a. En utilisant l’hypothèse de récurrence avec a1 ; : : : ; an , on obtient que a est premier avec le produit a1 an . On conclut en utilisant la propriété avec les deux entiers a1 an et an+1 . Exemple 19 Comme pgcd(3; 5) = 1 et pgcd(3; 8) = 1, on a pgcd(3; 40) = 1. Corollaire 20 Soient a et b deux entiers relatifs. Si a et b sont premiers entre eux alors pour tout n 2 N et p 2 N , an et bp sont premiers entre eux. Théorème 21 Théorème de Gauss. Soit a, b et c trois entiers relatifs. Si a divise bc et si a et b sont premiers entre eux alors a divise c. Démonstration. Comme pgcd(a; b) = 1, il existe un couple d’entiers (u; v) tels que 1 = au + bv. En multipliant cette égalité par c, on obtient c = a(cu) + (bc)v. Comme a divise bc, a divise c. Proposition 22 Soit n 2 N, n 2. Soit a1 ; : : : ; an des entiers relatifs premiers entre eux deux à deux. Si a est divisible par chacun des ai (i = 1 : : : n) alors a est divisible par leur produit. Démonstration. La démonstration se fait par récurrence sur n. Pour n = 2, il existe deux entiers q1 et q2 tels que a = a1 q1 = a2 q2 . Donc a2 divise a1 q1 . Mais comme pgcd(a2 ; a1 ) = 1, on obtient que a2 divise q1 . Il existe donc q3 2 Z tel que q1 = a2 q3 . Par conséquent, a = a1 a2 q3 et a1 a2 divise a. La …n de la démonstration se fait sans di¢ culté. Exemple 23 L’entier 90 est divisible par 3 et par 5 qui sont premiers entre eux donc est divisible par 15. Mais bien que 20 soit divisible par 4 et par 10 il n’est pas divisible par 40 (car 4 et 10 ne sont pas premiers entre eux). Proposition 24 Soit x_ 2 Z=nZ on a x_ inversible () x ^ n = 1 Démonstration. x_ est inversible ssi 9y_ tel que x_ _ y_ = 1_ ssi 9y; k tels que x 9y; k tels que xy kn = 1 ssi x ^ n = 1: Proposition 25 Soit la fonction indicatrice d’Euler, positifs inférieurs à n et premiers avec n. En particulier si p est un nombre premier (p) = p 4 y = 1 + kn ssi (n) est égal au nombre de nombres entiers 1. 3 Plus petit multiple commun de deux entiers Dé…nition 26 Soient a et b 2 Z, il existe 2 N tel que aZ \ bZ = Z. est appelé le plus petit multiple commun de a; b, noté ppcm(a; b) (ou a _ b). Exemple 27 On a vu dans le chapitre précédent ppcm(2; 3) = 6 et ppcm(10; 25) = 50. ppcm(0; 0) = 0. Remarque 28 Pour tout a 2 Z, on a ppcm(a; 0) = 0 Pour tout a et b dans Z, ppcm(a; b) = ppcm(b; a) = ppcm(jaj ; jbj). Soient a; b 2 N alors a j b () ppcm (a; b) = b Démonstration. On montre le dernier point. On a a j b () bZ aZ () aZ \ bZ = bZ () ppcm (a; b) = b Proposition 29 Soient a et b deux entiers relatifs. Soit 2 N. Alors = ppcm(a; b) si et seulement si l’entier est un multiple de a et b si m est un multiple de a et de b alors divise m Cela explique le nom de plus petit multiple commun pour . Démonstration. Notons = ppcm(a; b). On a Z aZ donc aj , de même Z bZ donc bj . Donc est un multiple de a et b. Soit m un multiple de a et b, alors mZ aZ et mZ bZ donc mZ aZ \ bZ donc mZ Z donc jm. Réciproquement soit un entier positif véri…ant : l’entier est un multiple de a et b si m est un multiple de a et de b alors divise m Il faut montrer que = ppcm(a; b). On a Z aZ et Z bZ donc Z aZ \ bZ = ppcm(a; b) Z donc ppcm(a; b) j . D’autre part ppcm(a; b) est un multiple de a et de b donc par dé…nition de on a j ppcm(a; b). On a ppcm(4; 6) = 12 ; ppcm(4; 7) = 28 Exemple 30 ppcm(5 7; 7 11) = 5 7 11 pgcd(312 ; 319 ) = 319 pgcd(215 38 52 ; 29 320 7) = 215 320 52 7 Proposition 31 Soient a et b deux entiers naturels, on a la relation : pgcd(a; b) ppcm(a; b) = ab 5 Démonstration. Notons = ppcm(a; b) et = pgcd(a; b). Il existe a0 et b0 tel que a = a0 et b = b0 On va montrer que = a0 b0 le résultat en découle immédiatement en multipliant par : a0 b0 est un multiple de a et de b donc par dé…nition divise a0 b0 . Réciproquement notons u et v les entiers tels que = au = bv donc = a0 u = b 0 v et donc a0 u = b 0 v donc b0 divise a0 u or a0 et b0 sont premiers entre eux donc d’après le théorème de Gauss b0 divise u donc il existe q tel que u = b0 q et donc en remplaçant ci dessus = a0 b 0 q et donc divise a0 b0 . Exemple 32 Pour a = 4 et b = 6 ppcm(4; 6) = 12. Par ailleurs, pgcd(4; 6) = 2. On a bien pgcd(4; 6) ppcm(4; 6) = 24. Corollaire 33 Soit a et b deux entiers relatifs. ppcm(a; b). Alors pour tout k 2 N, ppcm(ka; kb) = k Démonstration. la formule précédente donne pgcd(ka; kb) ppcm(ka; kb) = ka:kb comme pgcd(ka; kb) = k pgcd(a; b) on obtient ppcm(ka; kb) = 4 kab =k pgcd(a; b) ppcm(a; b) Plus grand diviseur commun et plus petit multiple commun de n entiers Dé…nition 34 Soit n 2 N, n 3. On dé…nit le plus grand diviseur commun de a1 ; : : : ; an par récurrence sur n grâce à la formule suivante : pgcd (a1 ; : : : ; an ) = pgcd (pgcd (a1 ; : : : ; an 1 ) ; an )) Dé…nition 35 Soit n 2 N, n 3. On dé…nit le plus petit multiple commun de a1 ; : : : ; an par récurrence sur n grâce à la formule suivante : ppcm (a1 ; : : : ; an ) = ppcm (ppcm (a1 ; : : : ; an 1 ) ; an )) Exemple 36 pgcd(30; 15; 12) = 3; pgcd(300; 10; 60; 3) = 1 ppcm(30; 15; 12) = 60; ppcm(300; 10; 60; 3) = 300 Remarque 37 pour calculer le pgcd ou le ppcm de plusieurs nombres, on peut les prendre dans l’ordre que l’on veut. 6