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Théorème de la base finie de Hilbert et bases de Gröbner.
Dans toute la suite Kdésigne un corps commutatif et ≤un ordre monomial.
Théorème 1. Théorème de la base finie de Hilbert
Toute base de Gröbner de l’idéal Ide K[X1, . . . , Xn]fournit un système générateur de cet idéal.
Pour démontrer ce résultat nous nous appuierons sur l’important lemme de Dickson dont l’intérêt
est de justifier l’existence d’une base de Gröbner pour tout idéal I.
Lemme 1. Lemme de Dickson
Tout idéal monomial sde Mn={Xα|α∈Nn}={Xi1
1. . . Xin
n|(i1, . . . , in)∈Nn}possède un
système fini de générateurs.
Démonstration. Nous allons montrer ce résultat par récurrence sur le nombre d’intérminées. Si
n= 1, on a : M1={Xi|i∈N}et {deg(P)|P∈s}est une partie non vide de N, donc admet
un plus petit élément que l’on note d. Alors, pour Xα∈s, on a :
Xα=Xα−dXd=⇒Xd|Xαet {Xd}est un système fini de générateurs de s.
On suppose que tout idéal de Mn−1admet un système fini de générateurs, montrons le résultat
au rang n. Soit sun idéal de Mnet on note
s0
∞={E0∈Mn−1| ∃k∈N, E0Xk
n∈s}.
On vérifie facilement que s0
∞est un idéal de Mn−1. Il admet donc un système fini de générateurs :
b0
∞={B0
1, . . . , B0
r}
et pour tout i∈[[1, r]], il existe alors ki∈Ntel que B0
iXki
n∈s. On définit ensuite d= max
1≤i≤rki
et on a pour i∈[[1, r]] :
B0
iXd
n=B0
iXki
n
| {z }
∈s
Xd−ki
n
| {z }
∈Mn
∈s.
Pour k∈[[0, d −1]], on introduit l’ensemble :
s0
k={E0∈Mn−1|E0Xk
n∈s} ⊂ s0
∞
dont on montre facilement qu’il s’agit d’un idéal de Mn−1. Par hypothèse de récurrence à l’ordre
n−1, pour tout k∈[[0, d −1]],s0
kadmet un système fini de générateurs que l’on note b0
k.
Objectif 1. Montrons que b={B0Xd
n|B0∈b0
∞} ∪
d−1
S
k=0
{B0Xk
n|B0∈b0
k}est un système fini de
générateurs de s.
Soit E∈s⊂Mns’écrivant sous la forme E=Xα1
1. . . Xαn−1
n−1Xk
non a :
•Si k≥d,E0=Xα1
1. . . Xαn−1
n−1∈s0
∞. Alors, il existe B0∈b0
∞tel que B0|E0et donc comme
k≥d, on a B0Xd
n|E=E0Xk
n.
•Si k≤d−1,E0=Xα1
1. . . Xαn−1
n−1∈s0
k. Alors, il existe B0∈b0
ktel que B0|E0et donc
B0Xk
n|E=E0Xk
n.
Passons à la démonstration du théorème :
Démonstration. Si I ={0},∅est un système générateur de I. On suppose dans la suite que
I6={0}. Le lemme de Dickson garantit l’existence d’une base de Gröbner de I. En effet,
md(I) = {md(f)|f∈I\ {0}} est un idéal de Mnet admet donc un système fini de générateurs
noté {Xα1, . . . , Xαs}où α1, . . . , αs∈Nn, alors par définition de md(I), il existe (g1, . . . , gs)
dans I tels que md(gi) = Xαiet (g1, . . . , gs)est alors bien une base de Gröbner de I, puisque
(md(g1),...,md(gs)) est un système de générateurs de md(I).
Objectif 2. Montrons que I=< g1, . . . , gs>.
Soit f∈I, on note q1, . . . , qs, des quotients dans la division multivariée de fpar {g1, . . . , gs}et
run reste. On a f=q1g1+. . . +qsgs+r, alors, I étant un idéal et gi∈I pour tout i∈[[1, s]],
on a :
r=f−q1g1+. . . −qsgs∈I.