Theorème de la base finie de Hilbert

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Théorème de la base finie de Hilbert et bases de Gröbner.
Dans toute la suite K désigne un corps commutatif et ≤ un ordre monomial.
Théorème 1. Théorème de la base finie de Hilbert
Toute base de Gröbner de l’idéal I de K[X1 , . . . , Xn ] fournit un système générateur de cet idéal.
Pour démontrer ce résultat nous nous appuierons sur l’important lemme de Dickson dont l’intérêt
est de justifier l’existence d’une base de Gröbner pour tout idéal I.
Lemme 1. Lemme de Dickson
Tout idéal monomial s de Mn = {X α | α ∈ Nn } = {X1i1 . . . Xnin | (i1 , . . . , in ) ∈ Nn } possède un
système fini de générateurs.
Démonstration. Nous allons montrer ce résultat par récurrence sur le nombre d’intérminées. Si
n = 1, on a : M1 = {X i | i ∈ N} et {deg(P ) | P ∈ s} est une partie non vide de N, donc admet
un plus petit élément que l’on note d. Alors, pour X α ∈ s, on a :
X α = X α−d X d =⇒ X d | X α et {X d } est un système fini de générateurs de s.
On suppose que tout idéal de Mn−1 admet un système fini de générateurs, montrons le résultat
au rang n. Soit s un idéal de Mn et on note
s0∞ = {E 0 ∈ Mn−1 | ∃k ∈ N, E 0 Xnk ∈ s}.
On vérifie facilement que s0∞ est un idéal de Mn−1 . Il admet donc un système fini de générateurs :
b0∞ = {B10 , . . . , Br0 }
et pour tout i ∈ [[1, r]], il existe alors ki ∈ N tel que Bi0 Xnki ∈ s. On définit ensuite d = max ki
1≤i≤r
et on a pour i ∈ [[1, r]] :
Bi0 Xnd = Bi0 Xnki Xnd−ki ∈ s.
| {z } | {z }
∈s
∈Mn
Pour k ∈ [[0, d − 1]], on introduit l’ensemble :
s0k = {E 0 ∈ Mn−1 | E 0 Xnk ∈ s} ⊂ s0∞
dont on montre facilement qu’il s’agit d’un idéal de Mn−1 . Par hypothèse de récurrence à l’ordre
n − 1, pour tout k ∈ [[0, d − 1]], s0k admet un système fini de générateurs que l’on note b0k .
Objectif 1. Montrons que b = {B 0 Xnd | B 0 ∈ b0∞ } ∪
d−1
S
{B 0 Xnk | B 0 ∈ b0k } est un système fini de
k=0
générateurs de s.
α
n−1
Soit E ∈ s ⊂ Mn s’écrivant sous la forme E = X1α1 . . . Xn−1
Xnk on a :
αn−1
α1
0
0
0
• Si k ≥ d, E = X1 . . . Xn−1 ∈ s∞ . Alors, il existe B ∈ b0∞ tel que B 0 | E 0 et donc comme
k ≥ d, on a B 0 Xnd | E = E 0 Xnk .
αn−1
• Si k ≤ d − 1, E 0 = X1α1 . . . Xn−1
∈ s0k . Alors, il existe B 0 ∈ b0k tel que B 0 | E 0 et donc
0 k
0 k
B Xn | E = E Xn .
Passons à la démonstration du théorème :
Démonstration. Si I = {0}, ∅ est un système générateur de I. On suppose dans la suite que
I 6= {0}. Le lemme de Dickson garantit l’existence d’une base de Gröbner de I. En effet,
md(I) = {md(f ) | f ∈ I \ {0}} est un idéal de Mn et admet donc un système fini de générateurs
noté {X α1 , . . . , X αs } où α1 , . . . , αs ∈ Nn , alors par définition de md(I), il existe (g1 , . . . , gs )
dans I tels que md(gi ) = X αi et (g1 , . . . , gs ) est alors bien une base de Gröbner de I, puisque
(md(g1 ), . . . , md(gs )) est un système de générateurs de md(I).
Objectif 2. Montrons que I =< g1 , . . . , gs >.
Soit f ∈ I, on note q1 , . . . , qs , des quotients dans la division multivariée de f par {g1 , . . . , gs } et
r un reste. On a f = q1 g1 + . . . + qs gs + r, alors, I étant un idéal et gi ∈ I pour tout i ∈ [[1, s]],
on a :
r = f − q1 g1 + . . . − qs gs ∈ I.
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Si r 6= 0, alors md(r) est dans md(I) et donc par définition d’une base de Gröbner est divisible
par l’un des md(gi ) pour i ∈ [[1, s]]. Ceci est exclu par construction du reste dans la division
multivariée. D’où r = 0 et :
f = q1 g1 + . . . + qs gs ∈ I
D’où {g1 , . . . , gs } engendre I.
Application 1. Test d’appartenance à un idéal de K[X1 , . . . , Xn ].
Soit {g1 , . . . , gs } une base de Gröbner d’un idéal I de K[X1 , . . . , Xn ] et f un polynôme de
K[X1 , . . . , Xn ]. Alors, il y a unicité du reste r dans la division multivariée de f par {g1 , . . . , gs }
et f ∈ I ⇐⇒ r = 0.
Démonstration. Montrons pour commencer l’unicité du reste dans la division multivariée d’un
élément f par une base de Gröbner (g1 , . . . , gs ). Supposons qu’il existe r1 , r2 deux restes et deux
s-uplets de polynômes de K[X1 , . . . , Xn ], (q1 , . . . , qs ) et (q10 , . . . , qs0 ) tels que :
f = q1 g1 + . . . + qs gs + r1 et f = q10 g1 + . . . + qs0 gs + r2
Alors,
f − r1 ∈ I et f − r2 ∈ I =⇒ r1 − r2 = (f − r2 ) − (f − r1 ) ∈ I
Si r1 − r2 6= 0 alors md(r1 − r2 ) ∈ md(I) = {md(f ) | f ∈ I \ {0}}. Remarquons aussi que le
monôme dominant de r1 −r2 , md(r1 −r2 ) est un des monômes de r1 ou de r2 . Ainsi, par définition
d’une base de Gröbner, comme md(r1 − r2 ) ∈ md(I), il vient que md(r1 − r2 ) est divisible par
l’un des md(gi ) pour i ∈ [[1, s]], absurde. En effet, par division multivariée aucun monôme de r1 ,
ni aucun monôme de r2 n’est divisible par l’un des md(gi ), i ∈ [[1, s]]. Par division multivariée,
on a finalement :
f = q1 g1 + . . . + qs gs + r
où le reste r est unique, (par contre il n’y a pas nécessairement unicité des quotients qi ) puis :
f ∈ I ⇐⇒ r = 0.
Définition 1. On note Mn le monoïde libre de l’ensemble des monômes de K[X1 , . . . , Xn ], soit
Mn = {X α | α ∈ Nn }. On dit qu’une partie s de Mn est un idéal si pour tout E ∈ s et tout
monôme M ∈ Mn on a ES ∈ s. Une partie b de s est un système générateur de s si :
∀E ∈ s, ∃B ∈ b, B | E.
Rappel 1. Ordre monomial.
Un ordre total ≤ sur le monoïde Mn est un ordre monomial si et seulement si :
• X α | X β =⇒ X α ≤ X β , ie ≤ est compatibilité avec |
• X α ≤ X β =⇒ X α+γ ≤ X β+γ . pour tout α, β, γ ∈ Nn .
Exemple 1.
• Ordre lexicographique :
X α < X β ⇐⇒ ∃r ∈ [[1, n]], αi = βi pour i ≤ r − 1 et αr < βr .
• Ordre gradué lexicographique :
X α < X β ⇐⇒ |α| < |β| ou |α| = |β| et αi < βi pour le plus petit i tel que αi 6= βi .
P
Rappel 2. Soit P =
cα X α et ≤ un ordre monomial. On définit alors :
α∈Nn
• Le monôme dominant md(f ) comme le plus grand élément pour l’ordre monomial ≤ des
monômes X α figurant dans f (ie tel que cα 6= 0).
• Le coefficient dominant lc(f ) comme étant le coefficient cα devant le monôme dominant
X α = md(f ).
• Le terme dominant lt(f ) comme le terme lc(f )md(f ).
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Définition 2. Bases de Gröbner
Soit I un idéal de K[X1 , . . . , Xn ] et ≤ un ordre monomial. L’ensemble des mônomes dominants
d’éléments non nuls de I est noté md(I), c’est-à-dire md(I) = {md(f ) | f ∈ I\{0}} et est un idéal
de Mn . Un sous-ensemble fini {g1 , . . . , gs } d’éléments non nuls de I est une base de Gröbner
de l’idéal I pour l’ordre ≤ lorsque :
{md(g1 ), . . . , md(gs )} est un système de générateur de md(I)
ce qui est équivalent au fait que pour tout f ∈ I\{0}, il existe i ∈ [[1, s]] tel que md(gi ) | md(f ).
Rappel 3. Algortithme de division sur K[X1 , . . . , Xn ]
Soit ≤ un ordre monomial. Soit (f1 , . . . , fs ) un s-uplet de polynômes non nuls de K[X1 , . . . , Xn ].
Alors, tout polynôme f peut s’écrire :
f = q1 f1 + . . . + qs fs + r
où
• qi ∈ K[X1 , . . . , Xn ] pour tout i
• r ∈ K[X1 , . . . , Xn ] et aucun des monômes de r n’est divisible par l’un des md(fi ).
• md(fi qi ) ≤ md(f ) pour tout i ∈ [[1, s]].
Références
[1] Philippe Saux-Picart. Eric Rannou Cours de Calcul formel. Corps finis. Systèmes Polynomiaux. Applications.
[2] Un cours de calcul formel de Michel Cretin.