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Théorème de la base finie de Hilbert et bases de Gröbner.
Dans toute la suite Kdésigne un corps commutatif et un ordre monomial.
Théorème 1. Théorème de la base finie de Hilbert
Toute base de Gröbner de l’idéal Ide K[X1, . . . , Xn]fournit un système générateur de cet idéal.
Pour démontrer ce résultat nous nous appuierons sur l’important lemme de Dickson dont l’intérêt
est de justifier l’existence d’une base de Gröbner pour tout idéal I.
Lemme 1. Lemme de Dickson
Tout idéal monomial sde Mn={Xα|αNn}={Xi1
1. . . Xin
n|(i1, . . . , in)Nn}possède un
système fini de générateurs.
Démonstration. Nous allons montrer ce résultat par récurrence sur le nombre d’intérminées. Si
n= 1, on a : M1={Xi|iN}et {deg(P)|Ps}est une partie non vide de N, donc admet
un plus petit élément que l’on note d. Alors, pour Xαs, on a :
Xα=XαdXd=Xd|Xαet {Xd}est un système fini de générateurs de s.
On suppose que tout idéal de Mn1admet un système fini de générateurs, montrons le résultat
au rang n. Soit sun idéal de Mnet on note
s0
={E0Mn1| ∃kN, E0Xk
ns}.
On vérifie facilement que s0
est un idéal de Mn1. Il admet donc un système fini de générateurs :
b0
={B0
1, . . . , B0
r}
et pour tout i[[1, r]], il existe alors kiNtel que B0
iXki
ns. On définit ensuite d= max
1irki
et on a pour i[[1, r]] :
B0
iXd
n=B0
iXki
n
| {z }
s
Xdki
n
| {z }
Mn
s.
Pour k[[0, d 1]], on introduit l’ensemble :
s0
k={E0Mn1|E0Xk
ns} ⊂ s0
dont on montre facilement qu’il s’agit d’un idéal de Mn1. Par hypothèse de récurrence à l’ordre
n1, pour tout k[[0, d 1]],s0
kadmet un système fini de générateurs que l’on note b0
k.
Objectif 1. Montrons que b={B0Xd
n|B0b0
} ∪
d1
S
k=0
{B0Xk
n|B0b0
k}est un système fini de
générateurs de s.
Soit EsMns’écrivant sous la forme E=Xα1
1. . . Xαn1
n1Xk
non a :
Si kd,E0=Xα1
1. . . Xαn1
n1s0
. Alors, il existe B0b0
tel que B0|E0et donc comme
kd, on a B0Xd
n|E=E0Xk
n.
Si kd1,E0=Xα1
1. . . Xαn1
n1s0
k. Alors, il existe B0b0
ktel que B0|E0et donc
B0Xk
n|E=E0Xk
n.
Passons à la démonstration du théorème :
Démonstration. Si I ={0},est un système générateur de I. On suppose dans la suite que
I6={0}. Le lemme de Dickson garantit l’existence d’une base de Gröbner de I. En effet,
md(I) = {md(f)|fI\ {0}} est un idéal de Mnet admet donc un système fini de générateurs
noté {Xα1, . . . , Xαs}α1, . . . , αsNn, alors par définition de md(I), il existe (g1, . . . , gs)
dans I tels que md(gi) = Xαiet (g1, . . . , gs)est alors bien une base de Gröbner de I, puisque
(md(g1),...,md(gs)) est un système de générateurs de md(I).
Objectif 2. Montrons que I=< g1, . . . , gs>.
Soit fI, on note q1, . . . , qs, des quotients dans la division multivariée de fpar {g1, . . . , gs}et
run reste. On a f=q1g1+. . . +qsgs+r, alors, I étant un idéal et giI pour tout i[[1, s]],
on a :
r=fq1g1+. . . qsgsI.
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Si r6= 0, alors md(r)est dans md(I)et donc par définition d’une base de Gröbner est divisible
par l’un des md(gi)pour i[[1, s]]. Ceci est exclu par construction du reste dans la division
multivariée. D’où r= 0 et :
f=q1g1+. . . +qsgsI
D’où {g1, . . . , gs}engendre I.
Application 1. Test d’appartenance à un idéal de K[X1, . . . , Xn].
Soit {g1, . . . , gs}une base de Gröbner d’un idéal Ide K[X1, . . . , Xn]et fun polynôme de
K[X1, . . . , Xn]. Alors, il y a unicité du reste rdans la division multivariée de fpar {g1, . . . , gs}
et fIr= 0.
Démonstration. Montrons pour commencer l’unicité du reste dans la division multivariée d’un
élément fpar une base de Gröbner (g1, . . . , gs). Supposons qu’il existe r1, r2deux restes et deux
s-uplets de polynômes de K[X1, . . . , Xn],(q1, . . . , qs)et (q0
1, . . . , q0
s)tels que :
f=q1g1+. . . +qsgs+r1et f=q0
1g1+. . . +q0
sgs+r2
Alors,
fr1I et fr2I=r1r2= (fr2)(fr1)I
Si r1r26= 0 alors md(r1r2)md(I) = {md(f)|fI\ {0}}. Remarquons aussi que le
monôme dominant de r1r2, md(r1r2)est un des monômes de r1ou de r2. Ainsi, par définition
d’une base de Gröbner, comme md(r1r2)md(I), il vient que md(r1r2)est divisible par
l’un des md(gi)pour i[[1, s]], absurde. En effet, par division multivariée aucun monôme de r1,
ni aucun monôme de r2n’est divisible par l’un des md(gi),i[[1, s]]. Par division multivariée,
on a finalement :
f=q1g1+. . . +qsgs+r
où le reste rest unique, (par contre il n’y a pas nécessairement unicité des quotients qi) puis :
fIr= 0.
Définition 1. On note Mnle monoïde libre de l’ensemble des monômes de K[X1, . . . , Xn], soit
Mn={Xα|αNn}. On dit qu’une partie sde Mnest un idéal si pour tout Eset tout
monôme MMnon a ES s. Une partie bde sest un système générateur de ssi :
Es, Bb, B |E.
Rappel 1. Ordre monomial.
Un ordre total sur le monoïde Mnest un ordre monomial si et seulement si :
Xα|Xβ=XαXβ,ie est compatibilité avec |
XαXβ=Xα+γXβ+γ. pour tout α, β, γ Nn.
Exemple 1.
Ordre lexicographique :
Xα< Xβ⇒ ∃r[[1, n]], αi=βipour ir1et αr< βr.
Ordre gradué lexicographique :
Xα< Xβ⇒ |α|<|β|ou |α|=|β|et αi< βipour le plus petit itel que αi6=βi.
Rappel 2. Soit P=P
αNn
cαXαet un ordre monomial. On définit alors :
Le monôme dominant md(f)comme le plus grand élément pour l’ordre monomial des
monômes Xαfigurant dans f(ie tel que cα6= 0).
Le coefficient dominant lc(f)comme étant le coefficient cαdevant le monôme dominant
Xα=md(f).
Le terme dominant lt(f)comme le terme lc(f)md(f).
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Définition 2. Bases de Gröbner
Soit Iun idéal de K[X1, . . . , Xn]et un ordre monomial. L’ensemble des mônomes dominants
d’éléments non nuls de Iest noté md(I), c’est-à-dire md(I) = {md(f)|fI\{0}} et est un idéal
de Mn. Un sous-ensemble fini {g1, . . . , gs}d’éléments non nuls de Iest une base de Gröbner
de l’idéal Ipour l’ordre lorsque :
{md(g1),...,md(gs)}est un système de générateur de md(I)
ce qui est équivalent au fait que pour tout fI\{0}, il existe i[[1, s]] tel que md(gi)|md(f).
Rappel 3. Algortithme de division sur K[X1, . . . , Xn]
Soit un ordre monomial. Soit (f1, . . . , fs)un s-uplet de polynômes non nuls de K[X1, . . . , Xn].
Alors, tout polynôme fpeut s’écrire :
f=q1f1+. . . +qsfs+r
qiK[X1, . . . , Xn]pour tout i
rK[X1, . . . , Xn]et aucun des monômes de rn’est divisible par l’un des md(fi).
md(fiqi)md(f)pour tout i[[1, s]].
Références
[1] Philippe Saux-Picart. Eric Rannou Cours de Calcul formel. Corps finis. Systèmes Polyno-
miaux. Applications.
[2] Un cours de calcul formel de Michel Cretin.
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