Theorème de la base finie de Hilbert

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Théorème de la base finie de Hilbert et bases de Gröbner.
Dans toute la suite Kdésigne un corps commutatif et ≤un ordre monomial.
Théorème 1. Théorème de la base finie de Hilbert
Toute base de Gröbner de l’idéal Ide K[X1, . . . , Xn]fournit un système générateur de cet idéal.
Pour démontrer ce résultat nous nous appuierons sur l’important lemme de Dickson dont l’intérêt
est de justifier l’existence d’une base de Gröbner pour tout idéal I.
Lemme 1. Lemme de Dickson
Tout idéal monomial sde Mn={Xα|α∈Nn}={Xi1
1. . . Xin
n|(i1, . . . , in)∈Nn}possède un
système fini de générateurs.
Démonstration. Nous allons montrer ce résultat par récurrence sur le nombre d’intérminées. Si
n= 1, on a : M1={Xi|i∈N}et {deg(P)|P∈s}est une partie non vide de N, donc admet
un plus petit élément que l’on note d. Alors, pour Xα∈s, on a :
Xα=Xα−dXd=⇒Xd|Xαet {Xd}est un système fini de générateurs de s.
On suppose que tout idéal de Mn−1admet un système fini de générateurs, montrons le résultat
au rang n. Soit sun idéal de Mnet on note
s0
∞={E0∈Mn−1| ∃k∈N, E0Xk n∈s}.
On vérifie facilement que s0
∞est un idéal de Mn−1. Il admet donc un système fini de générateurs :
b0
∞={B0
1, . . . , B0
r}
et pour tout i∈[[1, r]], il existe alors ki∈Ntel que B0
iXki
n∈s. On définit ensuite d= max
1≤i≤rki
et on a pour i∈[[1, r]] :
B0
iXd
n=B0 iXki n
| {z }
∈s
Xd−ki
n
| {z }
∈Mn
∈s.
Pour k∈[[0, d −1]], on introduit l’ensemble :
s0
k={E0∈Mn−1|E0Xk
n∈s} ⊂ s0 ∞
dont on montre facilement qu’il s’agit d’un idéal de Mn−1. Par hypothèse de récurrence à l’ordre
n−1, pour tout k∈[[0, d −1]],s0
kadmet un système fini de générateurs que l’on note b0 k.
Objectif 1. Montrons que b={B0Xd
n|B0∈b0 ∞} ∪
d−1
S
k=0
{B0Xk
n|B0∈b0
k}est un système fini de
générateurs de s.
Soit E∈s⊂Mns’écrivant sous la forme E=Xα1
1. . . Xαn−1 n−1Xk
non a :
•Si k≥d,E0=Xα1
1. . . Xαn−1 n−1∈s0
∞. Alors, il existe B0∈b0 ∞tel que B0|E0et donc comme
k≥d, on a B0Xd
n|E=E0Xk n.
•Si k≤d−1,E0=Xα1
1. . . Xαn−1 n−1∈s0
k. Alors, il existe B0∈b0 ktel que B0|E0et donc
B0Xk
n|E=E0Xk n.
Passons à la démonstration du théorème :
Démonstration. Si I ={0},∅est un système générateur de I. On suppose dans la suite que
I6={0}. Le lemme de Dickson garantit l’existence d’une base de Gröbner de I. En effet,
md(I) = {md(f)|f∈I\ {0}} est un idéal de Mnet admet donc un système fini de générateurs
noté {Xα1, . . . , Xαs}où α1, . . . , αs∈Nn, alors par définition de md(I), il existe (g1, . . . , gs)
dans I tels que md(gi) = Xαiet (g1, . . . , gs)est alors bien une base de Gröbner de I, puisque
(md(g1),...,md(gs)) est un système de générateurs de md(I).
Objectif 2. Montrons que I=< g1, . . . , gs>.
Soit f∈I, on note q1, . . . , qs, des quotients dans la division multivariée de fpar {g1, . . . , gs}et
run reste. On a f=q1g1+. . . +qsgs+r, alors, I étant un idéal et gi∈I pour tout i∈[[1, s]],
on a :
r=f−q1g1+. . . −qsgs∈I.

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Si r6= 0, alors md(r)est dans md(I)et donc par définition d’une base de Gröbner est divisible
par l’un des md(gi)pour i∈[[1, s]]. Ceci est exclu par construction du reste dans la division
multivariée. D’où r= 0 et :
f=q1g1+. . . +qsgs∈I
D’où {g1, . . . , gs}engendre I.
Application 1. Test d’appartenance à un idéal de K[X1, . . . , Xn].
Soit {g1, . . . , gs}une base de Gröbner d’un idéal Ide K[X1, . . . , Xn]et fun polynôme de
K[X1, . . . , Xn]. Alors, il y a unicité du reste rdans la division multivariée de fpar {g1, . . . , gs}
et f∈I⇐⇒ r= 0.
Démonstration. Montrons pour commencer l’unicité du reste dans la division multivariée d’un
élément fpar une base de Gröbner (g1, . . . , gs). Supposons qu’il existe r1, r2deux restes et deux
s-uplets de polynômes de K[X1, . . . , Xn],(q1, . . . , qs)et (q0
1, . . . , q0
s)tels que :
f=q1g1+. . . +qsgs+r1et f=q0
1g1+. . . +q0
sgs+r2
Alors,
f−r1∈I et f−r2∈I=⇒r1−r2= (f−r2)−(f−r1)∈I
Si r1−r26= 0 alors md(r1−r2)∈md(I) = {md(f)|f∈I\ {0}}. Remarquons aussi que le
monôme dominant de r1−r2, md(r1−r2)est un des monômes de r1ou de r2. Ainsi, par définition
d’une base de Gröbner, comme md(r1−r2)∈md(I), il vient que md(r1−r2)est divisible par
l’un des md(gi)pour i∈[[1, s]], absurde. En effet, par division multivariée aucun monôme de r1,
ni aucun monôme de r2n’est divisible par l’un des md(gi),i∈[[1, s]]. Par division multivariée,
on a finalement :
f=q1g1+. . . +qsgs+r
où le reste rest unique, (par contre il n’y a pas nécessairement unicité des quotients qi) puis :
f∈I⇐⇒ r= 0.
Définition 1. On note Mnle monoïde libre de l’ensemble des monômes de K[X1, . . . , Xn], soit
Mn={Xα|α∈Nn}. On dit qu’une partie sde Mnest un idéal si pour tout E∈set tout
monôme M∈Mnon a ES ∈s. Une partie bde sest un système générateur de ssi :
∀E∈s, ∃B∈b, B |E.
Rappel 1. Ordre monomial.
Un ordre total ≤sur le monoïde Mnest un ordre monomial si et seulement si :
•Xα|Xβ=⇒Xα≤Xβ,ie ≤est compatibilité avec |
•Xα≤Xβ=⇒Xα+γ≤Xβ+γ. pour tout α, β, γ ∈Nn.
Exemple 1.
•Ordre lexicographique :
Xα< Xβ⇐⇒ ∃r∈[[1, n]], αi=βipour i≤r−1et αr< βr.
•Ordre gradué lexicographique :
Xα< Xβ⇐⇒ |α|<|β|ou |α|=|β|et αi< βipour le plus petit itel que αi6=βi.
Rappel 2. Soit P=P
α∈Nn
cαXαet ≤un ordre monomial. On définit alors :
•Le monôme dominant md(f)comme le plus grand élément pour l’ordre monomial ≤des
monômes Xαfigurant dans f(ie tel que cα6= 0).
•Le coefficient dominant lc(f)comme étant le coefficient cαdevant le monôme dominant
Xα=md(f).
•Le terme dominant lt(f)comme le terme lc(f)md(f).

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Définition 2. Bases de Gröbner
Soit Iun idéal de K[X1, . . . , Xn]et ≤un ordre monomial. L’ensemble des mônomes dominants
d’éléments non nuls de Iest noté md(I), c’est-à-dire md(I) = {md(f)|f∈I\{0}} et est un idéal
de Mn. Un sous-ensemble fini {g1, . . . , gs}d’éléments non nuls de Iest une base de Gröbner
de l’idéal Ipour l’ordre ≤lorsque :
{md(g1),...,md(gs)}est un système de générateur de md(I)
ce qui est équivalent au fait que pour tout f∈I\{0}, il existe i∈[[1, s]] tel que md(gi)|md(f).
Rappel 3. Algortithme de division sur K[X1, . . . , Xn]
Soit ≤un ordre monomial. Soit (f1, . . . , fs)un s-uplet de polynômes non nuls de K[X1, . . . , Xn].
Alors, tout polynôme fpeut s’écrire :
f=q1f1+. . . +qsfs+r
où
•qi∈K[X1, . . . , Xn]pour tout i
•r∈K[X1, . . . , Xn]et aucun des monômes de rn’est divisible par l’un des md(fi).
•md(fiqi)≤md(f)pour tout i∈[[1, s]].
Références
[1] Philippe Saux-Picart. Eric Rannou Cours de Calcul formel. Corps finis. Systèmes Polyno-
miaux. Applications.
[2] Un cours de calcul formel de Michel Cretin.