
Or,
(car la fonction inverse est strictement décroissante sur
)
car la fonction racine carrée est strictement croissante sur .
Ainsi convient.
Exercice 3 :
1) Pour tout ,
Ainsi, on a bien, pour tout ,
2) a)
Or,
, donc par passage à l’inverse,
.
Par différence, on obtient donc :
b) Notons la droite d’équation .
Pour tout ,
.
D’après les calculs de la question précédente,
Par conséquent, la droite est asymptote à au voisinage de .
c) Pour tout ,
.
Et pour tout , , donc .
Sur , est au-dessus de .
3) a) Il y a deux limites à étudier :
et
.
• Pour tout ,
. Donc,
.
• De la même façon, on obtient :
.
b) En prenant
, on obtient :
En prenant
, est donc continue en 1.
Exercice 4 :
Partie A
1) Comme est une suite croissante, pour tout ,
, donc .
2) D’après la question précédente, tout intervalle sur type contient tous les termes de la suite à partir
d’un certain rang.
diverge donc vers .
3) Toute suite croissante non majorée diverge vers .
Partie B
a) « Si une suite n’est pas majorée, alors elle tend vers ». Faux.
La suite définie pour tout entier naturel par n’est pas majorée, mais ne diverge pas vers
, car cette suite n’admet pas de limite.
b) « Si une suite est croissante, alors elle tend vers ». Faux.
La suite définie pour tout entier naturel , par
est strictement croissante (relativement
simple à montrer en étudiant le signe de , par exemple), mais converge vers 2.
c) « Si une suite tend , alors n’est pas majorée ». Vrai.