(a) Montrer que l’application :
f:((Mn(R), N)−→ (Mn(R), N)
R7−→ R2
est continue
$.L’espace Mn(R)est muni de la norme Net l’espace Rn2est muni de sa norme infinie .L’application qui à chaque
matrice M= (mi,j )i,j associe le n2-uplet (m1,1, . . . , mn,n)est une application lipschitzienne donc continue . Soit
A= (ai,j )i,j une matrice carrée d’ordre n, on a A2= n
X
k=1
ai,kak,j !i,j
et l’application gdéfinie sur Rn2,||.||∞à
valeurs dans Rn2,||.||∞par :
g: (a1,1, a1,2, . . . , an,n)7−→ n
X
k=1
a1,kak,1,
n
X
k=1
a2,ka1,2,...,
n
X
k=1
an,kak,n!
est continue car ses composantes relativement à la base canonique de Rn2sont des fonctions polynomiales donc
continues .Par composition l’application fest continue
(b) En déduire que Rac(A)est une partie fermée de (Mn(R), N)
$.On a Rac(A) = f−1({A})et {A}est un fermé de Mn(R)donc Rac(A)est un fermé
(c) Soit a= (a1, . . . , ad)∈Rdet r > 0.Montrer que B∞(a, r)peut s’écrire comme produit de dintervalle ouverts de R
$.On vérifie facilement que B∞(a, r) =
d
Y
k=1
]ak−r, ak+r[
(d) Soient Fet Gdeux parties de Rd.On suppose que Fet Gsont d’intérieur vide .Montrer que F∩Gest encore
d’intérieur vide
$.Supposons que F∩Gest d’intérieur non vide et soit xun point intérieur à F∩G, alors il existe r > 0tel que
B(x, r)⊂F∩Gce qui entrâine alors que B(x, r)⊂F et B(x, r)⊂Gce qui veut dire que xest un point intérieur à
Fce qui est absurde donc l’intérieur de F∩Gest vide
2. Exemples d’ensembles des zéros de fonctions polynomiale
(a) Dans cette question on prend d= 1 .Soit Pune fonction polynomiale sur R.Dans quel cas Z(P)est infini ? Justifier
votre réponse
$.Le seul polynôme à coefficients réels admettant une infinité de racines est le polynôme nul c’est une conséquence
du théorème de D’Alembert -Gauss
(b) Dans cette question d= 2.On considère P(x1, x2)=2x1−x2−1et Q(x1, x2) = x2
1−x2.
i. Représenter graphiquement dans le plan R2les ensembles Z(P)et Z(Q)
$. On a Z(P)est la droite d’équation 2x−y−1 = 0 et Z(Q)est la parabole d’équation y=x2
ii. Z(P)et Z(Q)sont-ils infinis ?
$. Il est clair que Z(P)et Z(Q)sont infinis
3. L’intérieur de l’ensemble des zéros d’une fonction polynomiale.Soit Pune fonction polynomiale sur Rd
(a) Soent (Ik)1≤k≤dune famille de parties infinies de R.Montrer par récurrence que si la fonction polynomiale Ps’annule
sur I1×I1×. . . ×Id, alors Pest la fonction nulle
$.Le résultat pour d= 1 a été justifié en question 2.a.
Supposons le résultat vrai jusqu’à un rang d≥1. Soient alors Pune fonction polynomiale qui s’annule sur I1×· · ·×Id+1
où chaque Ikest une partie infinie de R. En ordonnant les puissances de xd+1, on peut écrire
P(x1, . . . , xd+1) =
N
X
i=0
Pi(x1, . . . , xd)xi
d+1
où chaque Piest une fonction polynomiale sur Rd.
Fixons x1, . . . , xpavec xi∈Iiet considérons l’expression précédente comme fonction de xd+1. C’est une fonction
polynomiale qui s’annule en une infinité de points. D’après l’initialisation, c’est le polynôme nul. On a donc
∀i∈ {1, .., N},∀(x1, . . . , xd)∈I1× · · · × Id, Pi(x1, . . . , xd) = 0
L’hypothèse de récurrence donne la nullité des Piet donc celle de P. On a ainsi prouvé le résultat au rang d+ 1 et
complété la récurrence.
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