Centre des classes préparatoires aux grandes écoles d’ingénieurs d’agadir (SPE... Devoir surveillé :1 (02/10/2010) Durée : (2h30)

Centre des classes préparatoires aux grandes écoles d’ingénieurs d’agadir (SPE 1)
Devoir surveillé :1 (02/10/2010) Durée : (2h30)
Exercice
Soit (E, ||.||)un espace vectoriel normé et dla distance associée à la norme ||.||
1. Soit Aune partie non vide de E
(a) Rappeler la définition de la distance d’un point xde Eà la partie A
$.La distance du point xà la partie Aest d(x, A) = inf {d(x, a)/ a ∈A}
(b) Montrer que
∀x∈E , d(x, A)=0⇔x∈A
$.(⇒)Soit x∈Atel que d(x, A)=0, D’après la caractérisation de la borne inférieure on a :
∀ε > 0,∃a∈A , 0≤d(x, a)≤ε
Ce qui est équivalent de dire que
∀ε > 0, B(x, ε)∩A6=φ
c’est à dire qie x∈A
(⇐)Supposons que x∈A, alors
∀ε > 0, B(x, ε)∩A6=φ
C’est à dire que
∀ε > 0,∃a∈A , d(x, a)< ε
ce qui prouve alors que inf {d(x, b)/ b ∈A}= 0 d’ou le résultat
(c) Montrer que l’application
dA:(E−→ R
x7−→ d(x, A)
Est lipschitziènne
$.Soit (x, y)∈E2et a∈Aon a d(x, A)≤d(x, a)≤d(x, y)+d(y, a)et par suite d(x, A)−d(x, y)≤d(y, a)ce qui veut dire
que d(x, A)−d(x, y)est un minorant de {d(x, b)/ b ∈A}, donc d(x, A)−d(x, y)≤d(y, A)donc d(x, A)−d(y, A)≤d(x, y)
et en pérmutant le rôle de xet y, on obtient alors
|d(x, A)−d(y, A)| ≤ d(x, y)
d’ou le résultat
2. Soient A,Bdeux fermés disjoints de Eet fl’application définie par :f:
E−→ R
x7−→ d(x, A)
d(x, A) + d(x, B)
(a) Montrer que fest bien définie et qu’elle est continue sur E
$.Soit x∈E, on a d(x, A) + d(x, B) = 0 ⇔d(x, A) = d(x, B) = 0 et d’après la question 1−bceci entrâine que
x∈A∩B=A∩Bet comme A∩B=φalors on a ∀x∈E , d(x, A) + d(x, B)6= 0 ce qui prouve alors que fest bien
définie
fest continue comme somme et rapport de fonction continue
(b) Montrer que f−1({0}) = A et f−1({1}) = B
$.Soit x∈E, on a
f(x) = 0 ⇔d(x, A)
d(x, A) + d(x, B)= 0 ⇔d(x, A)=0⇔x∈A=A
D’ou f−1({0}) = A
D’autre part on a
f(x)=1⇔d(x, A)
d(x, A) + d(x, B)= 1 ⇔d(x, A) = d(x, A) + d(x, B)⇔d(x, B)=0⇔x∈B=B
D’ou f−1({1}) = B
1

(c) En déduire l’existence de deux ouverts Uet Vde Edisjoints , tels que A⊂U et B ⊂V
$.Il suffit de choisir deux ouverts disjoints de Rtels que l’un contient 0et l’autre contient 1et de prendre ensuite
leur image réciproque par f, par exemple on prend les ouverts I=] −1
2,+∞[et J =] − ∞,−1 2[et on pose
U=f−1(I)et V =f−1(J), par continuité de fles parties Uet Vsont deux ouverts disjoints de Econtenant
respectivement Aet B
Problème
Dans ce problème net dsont deux entiers naturels non nuls ., on notera ||.||∞la norme infinie sur Rd, c’est à dire si
x= (x1, . . . , xd)∈Rd,||x||∞= max
1≤i≤d|xi|.Si aest un élément de Rdet r > 0, on note B∞(a, r), la boule ouverte de centre a
et de rayon rpour la norme ||.||∞
Si Aest une matrice d’ordre nà coefficients dans R, on dit qu’une matrice Rde Mn(R)est une racine carrée de Asi R2=A.On
note Rac(A), l’ensemble des racines carrés de A, c’est à dire :
Rac(A) = R∈ Mn(R), R2=A
L’objectif de ce problème est l’étude de quelques propriétés topologiques de Rac(A)
Pour X=
x1
x2
.
.
.
xn
un élément de Mn1(R), on pose ||X||∞= max
1≤i≤n|xi|, il s’agit d’une norme sur Mn1(K), et il n’est pas
demandé de le démontrer
Pour A= (ai,j )1≤i,j≤ndans Mn(R)on pose
N(A) = max
1≤i,j≤n|ai,j |et N∞(A) = max 1≤i≤n
n
X
k=1
|aij |
Partie :I
1. Montrer que Net N∞sont des normes sur Mn(K)
$.Nest la norme 2associée à la base canonique de Mn(K)
$.N∞est la norme subordonnée à la norme ||.||∞de Kn
2. Soient Aet Bdeux matrices d’ordre nà coefficients dans R
(a) Montrer que ∀X∈ Mn1(R),||AX||∞≤N∞(A)||X||∞
$.Soit X=
x1
x2
...
xn
.On a AX =
n
X
j=1
a1,j xj
...
n
X
j=1
an,j xj
et par suite ||AX||∞= max
1≤i≤n
|
n
X
j=1
ai,j xj|
, il existe alors
i0∈[[1, n]] ,||AX||∞=|
n
X
j=1
ai0,j xj| ≤
n
X
j=1
|ai0,j ||xj| ≤
n
X
j=1
|ai0,j |||X||∞≤N∞(A)||X||∞
(b) Montrer que N∞(AB)≤N∞(A)N∞(B)
$. Les normes subordonnées sont des normes d’algèbre
(c) Cette inégalité est -elle valable avec la norme N(A justifier)
$. Cette inégalité n’est pas valable pour la norme Nen effet soit n≥2et si on pose J= (ai,j )i,j telle que
∀(i, j)∈[[1, n]]2, ai,j = 1, alors on a N(J) = 1 , N(J2) = N(nJ) = n, alors N(J.J)> N (J).N (J)
Partie :II
1. Soit Aune partie de Rd.
(a) Rappeler la définition d’un point intérieur à A
$.Soit a∈Rd.aest un point intérieur à Asi, et seulement si : ∃r > 0, B(a, r)⊂Asi, et seulement si Aest un
voisinage de adans Rd
2

(b) Montrer que l’intérieur de Aest le plus grand ouvert de Econtenu dans A
$. Soit aun point intérieur à A, alors il existe un réels strictement positif tel que B(a, r)⊂Ace qui etraine alors
que a∈Aet par suite l’intérieur de Aest une partie de A
$.Soit aun point intérieur à A, il existe alors r > 0tel que B(a, r)⊂A.Montrons que la boule B(a, r
2)est inclus
dans l’ensemble des points intérieur de A.Soit alors y∈Ba, r
2et x∈Ba, r 2, on a
d(a, x)≤d(x, y) + d(y, a)<r
2+r 2=r
Ce qui prouve alors que x∈B(a, r)et donc x∈Aet par suite By, r
2⊂Ac’est à dire yest un point intérieur à A
et donc Ba, r
2est inclus dans l’intérieure de A„ d’ou le résultat
2. Soit p∈N, on pose Sp=1 0
p−1
(a) Calculer S2
p
$.S2
p=I2
(b) Rac(I2)est -elle une partie bornée de (M2(R), N)
$. Si Rac(I2)était borné , alors
∃M∈R+
∗,∀p∈N,||Sp|| ≤ M
C’est à dire
∀p∈N, p ≤M
Ce qui contredit le fait que Nest non majoré
3. Rac(In)est -elle bornée de (Mn(R), N)pour n≥3
$.Soit Mpla matrice définie par bloc par :
Mp =Sp0
0In−p
.On a
M2
p=S2
p0
0In−2=In
et on a N(Mp)→+∞ce qui prouve alors que Rac(In)n’est pas borné
4. Pour cette question , n≥2.Montrer qu’il n’existe pas de norme ||.|| surmultiplicative sur GLn(R), vérifiant pour toutes
matrices Aet Bdans GLn(R),||AB|| ≥ ||A||.||B||
$.Supposons l’existence d’une norme surmultiplicative .On a
∀p∈N∗, Mp∈ Gln(R)
On a alors ||In|| =||M2
p|| ≥ ||Mp||2le membre de droite tend vers +∞et celui de gauche est constant ce qui est absurde
Partie :III
Zéros de fonctions polynomiales .Application à la détermination de l’intérieur de Rac(A)
On munit Rdde la norme infinie ||.||∞.On rappelle qu’une application Pde Rddans Rest une fonction polynomiale de Rdsi ,
il existe un entier naturel Net une famille de réels (ai1,...,id)1≤i1,...,id≤Ntels que :
∀(x1, . . . , xd)∈Rd, P (x1, . . . , xd) = X
1≤i1,...,id≤N
ai1,...,idxi1
1. . . xid
d
On appelle zéro de Ptout élément (x1, . . . , xd)∈Rdtel que P(x1, . . . , xd) = 0, l’ensemble des zéros de Pest noté Z(P).
On rappelle aussi que toute fonction polynomiale de Rdest continue sur Rd
1. Question préliminaire
3

(a) Montrer que l’application :
f:((Mn(R), N)−→ (Mn(R), N)
R7−→ R2
est continue
$.L’espace Mn(R)est muni de la norme Net l’espace Rn2est muni de sa norme infinie .L’application qui à chaque
matrice M= (mi,j )i,j associe le n2-uplet (m1,1, . . . , mn,n)est une application lipschitzienne donc continue . Soit
A= (ai,j )i,j une matrice carrée d’ordre n, on a A2= n
X
k=1
ai,kak,j !i,j et l’application gdéfinie sur Rn2,||.||∞à
valeurs dans Rn2,||.||∞par :
g: (a1,1, a1,2, . . . , an,n)7−→ n
X
k=1
a1,kak,1,
n
X
k=1
a2,ka1,2,...,
n
X
k=1
an,kak,n!
est continue car ses composantes relativement à la base canonique de Rn2sont des fonctions polynomiales donc
continues .Par composition l’application fest continue
(b) En déduire que Rac(A)est une partie fermée de (Mn(R), N)
$.On a Rac(A) = f−1({A})et {A}est un fermé de Mn(R)donc Rac(A)est un fermé
(c) Soit a= (a1, . . . , ad)∈Rdet r > 0.Montrer que B∞(a, r)peut s’écrire comme produit de dintervalle ouverts de R
$.On vérifie facilement que B∞(a, r) =
d
Y
k=1
]ak−r, ak+r[
(d) Soient Fet Gdeux parties de Rd.On suppose que Fet Gsont d’intérieur vide .Montrer que F∩Gest encore
d’intérieur vide
$.Supposons que F∩Gest d’intérieur non vide et soit xun point intérieur à F∩G, alors il existe r > 0tel que
B(x, r)⊂F∩Gce qui entrâine alors que B(x, r)⊂F et B(x, r)⊂Gce qui veut dire que xest un point intérieur à
Fce qui est absurde donc l’intérieur de F∩Gest vide
2. Exemples d’ensembles des zéros de fonctions polynomiale
(a) Dans cette question on prend d= 1 .Soit Pune fonction polynomiale sur R.Dans quel cas Z(P)est infini ? Justifier
votre réponse
$.Le seul polynôme à coefficients réels admettant une infinité de racines est le polynôme nul c’est une conséquence
du théorème de D’Alembert -Gauss
(b) Dans cette question d= 2.On considère P(x1, x2)=2x1−x2−1et Q(x1, x2) = x2
1−x2.
i. Représenter graphiquement dans le plan R2les ensembles Z(P)et Z(Q)
$. On a Z(P)est la droite d’équation 2x−y−1 = 0 et Z(Q)est la parabole d’équation y=x2
ii. Z(P)et Z(Q)sont-ils infinis ?
$. Il est clair que Z(P)et Z(Q)sont infinis
3. L’intérieur de l’ensemble des zéros d’une fonction polynomiale.Soit Pune fonction polynomiale sur Rd
(a) Soent (Ik)1≤k≤dune famille de parties infinies de R.Montrer par récurrence que si la fonction polynomiale Ps’annule
sur I1×I1×. . . ×Id, alors Pest la fonction nulle
$.Le résultat pour d= 1 a été justifié en question 2.a.
Supposons le résultat vrai jusqu’à un rang d≥1. Soient alors Pune fonction polynomiale qui s’annule sur I1×· · ·×Id+1
où chaque Ikest une partie infinie de R. En ordonnant les puissances de xd+1, on peut écrire
P(x1, . . . , xd+1) =
N
X
i=0
Pi(x1, . . . , xd)xi
d+1
où chaque Piest une fonction polynomiale sur Rd.
Fixons x1, . . . , xpavec xi∈Iiet considérons l’expression précédente comme fonction de xd+1. C’est une fonction
polynomiale qui s’annule en une infinité de points. D’après l’initialisation, c’est le polynôme nul. On a donc
∀i∈ {1, .., N},∀(x1, . . . , xd)∈I1× · · · × Id, Pi(x1, . . . , xd) = 0
L’hypothèse de récurrence donne la nullité des Piet donc celle de P. On a ainsi prouvé le résultat au rang d+ 1 et
complété la récurrence.
4

(b) En déduire que si Ps’annule sur une partie de Rdd’intérieur non vide , alors Pest la fonction nulle
$.D’après la question 1.c, toute partie d’intérieur non vide contient une sous-partie YIkoù chaque Ikest infini
(intervalle de longueur 2r > 0). Si Ps’annule sur une partie d’intérieur non vide, Pest alors nul avec la question
précédente.
(c) Si l’on suppose que Pn’est pas la fonction nulle que vaut Z(P)?
$. En contraposant le résultat de la question précédente, si P6= 0 alors Z(P)est d’intérieur vide.
4. Application à l’étude de l’intérieure de Rac(A)
Dans cette question , on confondra les espaces vectoriels Mn(R)et Rn2.Soit Aune matrice de Mn(R)
(a) Ecrire Rac(A)sous forme d’un sous ensemble de Rn2
$.Posons A= (ai,j )i,j et soit R= (ri,j )i,j un élément de Rac(A).R2est une matrice dont le coefficient générique
est n
X
k=1
ri,krk,j
Considérons alors
Qi,j = n
X
k=1
xi,kxk,j !−ai,j
cette matrice matrice s’identifie à une fonction polynomiale de Rn2et par définition de Rac(A), on a
Rac(A) = \
1≤i,j≤n
Z(Qi,j )
ce qui fait apparaître Rac(A)comme sous-ensemble de Rn2.
(b) Montrer qu’il existe n2fonctions polynomiales P1, . . . , Pn2sur Rn2, tels que
Rac(A) =
n2
\
k=1
Z(Pi)
(c) Déterminer l’intérieur de Rac(A)
$.Comme intersection de parties d’intérieur vide, Rac(A)est d’intérieur vide avec la question 13.b.
5