Centre des classes préparatoires aux grandes écoles d’ingénieurs d’agadir (SPE... Devoir surveillé :1 (02/10/2010) Durée : (2h30)

Centre des classes préparatoires aux grandes écoles d’ingénieurs d’agadir (SPE 1)
Devoir surveillé :1 (02/10/2010) Durée : (2h30)
Exercice
Soit (E, ||.||)un espace vectoriel normé et dla distance associée à la norme ||.||
1. Soit Aune partie non vide de E
(a) Rappeler la définition de la distance d’un point xde Eà la partie A
$.La distance du point xà la partie Aest d(x, A) = inf {d(x, a)/ a A}
(b) Montrer que
xE , d(x, A)=0xA
$.()Soit xAtel que d(x, A)=0, D’après la caractérisation de la borne inférieure on a :
ε > 0,aA , 0d(x, a)ε
Ce qui est équivalent de dire que
ε > 0, B(x, ε)A6=φ
c’est à dire qie xA
()Supposons que xA, alors
ε > 0, B(x, ε)A6=φ
C’est à dire que
ε > 0,aA , d(x, a)< ε
ce qui prouve alors que inf {d(x, b)/ b A}= 0 d’ou le résultat
(c) Montrer que l’application
dA:(ER
x7−d(x, A)
Est lipschitziènne
$.Soit (x, y)E2et aAon a d(x, A)d(x, a)d(x, y)+d(y, a)et par suite d(x, A)d(x, y)d(y, a)ce qui veut dire
que d(x, A)d(x, y)est un minorant de {d(x, b)/ b A}, donc d(x, A)d(x, y)d(y, A)donc d(x, A)d(y, A)d(x, y)
et en pérmutant le rôle de xet y, on obtient alors
|d(x, A)d(y, A)| ≤ d(x, y)
d’ou le résultat
2. Soient A,Bdeux fermés disjoints de Eet fl’application définie par :f:
ER
x7−d(x, A)
d(x, A) + d(x, B)
(a) Montrer que fest bien définie et qu’elle est continue sur E
$.Soit xE, on a d(x, A) + d(x, B) = 0 d(x, A) = d(x, B) = 0 et d’après la question 1bceci entrâine que
xAB=ABet comme AB=φalors on a xE , d(x, A) + d(x, B)6= 0 ce qui prouve alors que fest bien
définie
fest continue comme somme et rapport de fonction continue
(b) Montrer que f1({0}) = A et f1({1}) = B
$.Soit xE, on a
f(x) = 0 d(x, A)
d(x, A) + d(x, B)= 0 d(x, A)=0xA=A
D’ou f1({0}) = A
D’autre part on a
f(x)=1d(x, A)
d(x, A) + d(x, B)= 1 d(x, A) = d(x, A) + d(x, B)d(x, B)=0xB=B
D’ou f1({1}) = B
1
(c) En déduire l’existence de deux ouverts Uet Vde Edisjoints , tels que AU et B V
$.Il suffit de choisir deux ouverts disjoints de Rtels que l’un contient 0et l’autre contient 1et de prendre ensuite
leur image réciproque par f, par exemple on prend les ouverts I=] 1
2,+[et J =] − ∞,1
2[et on pose
U=f1(I)et V =f1(J), par continuité de fles parties Uet Vsont deux ouverts disjoints de Econtenant
respectivement Aet B
Problème
Dans ce problème net dsont deux entiers naturels non nuls ., on notera ||.||la norme infinie sur Rd, c’est à dire si
x= (x1, . . . , xd)Rd,||x||= max
1id|xi|.Si aest un élément de Rdet r > 0, on note B(a, r), la boule ouverte de centre a
et de rayon rpour la norme ||.||
Si Aest une matrice d’ordre nà coefficients dans R, on dit qu’une matrice Rde Mn(R)est une racine carrée de Asi R2=A.On
note Rac(A), l’ensemble des racines carrés de A, c’est à dire :
Rac(A) = R∈ Mn(R), R2=A
L’objectif de ce problème est l’étude de quelques propriétés topologiques de Rac(A)
Pour X=
x1
x2
.
.
.
xn
un élément de Mn1(R), on pose ||X||= max
1in|xi|, il s’agit d’une norme sur Mn1(K), et il n’est pas
demandé de le démontrer
Pour A= (ai,j )1i,jndans Mn(R)on pose
N(A) = max
1i,jn|ai,j |et N(A) = max
1in
n
X
k=1
|aij |
Partie :I
1. Montrer que Net Nsont des normes sur Mn(K)
$.Nest la norme 2associée à la base canonique de Mn(K)
$.Nest la norme subordonnée à la norme ||.||de Kn
2. Soient Aet Bdeux matrices d’ordre nà coefficients dans R
(a) Montrer que X∈ Mn1(R),||AX||N(A)||X||
$.Soit X=
x1
x2
...
xn
.On a AX =
n
X
j=1
a1,j xj
...
n
X
j=1
an,j xj
et par suite ||AX||= max
1in
|
n
X
j=1
ai,j xj|
, il existe alors
i0[[1, n]] ,||AX||=|
n
X
j=1
ai0,j xj| ≤
n
X
j=1
|ai0,j ||xj| ≤
n
X
j=1
|ai0,j |||X||N(A)||X||
(b) Montrer que N(AB)N(A)N(B)
$. Les normes subordonnées sont des normes d’algèbre
(c) Cette inégalité est -elle valable avec la norme N(A justifier)
$. Cette inégalité n’est pas valable pour la norme Nen effet soit n2et si on pose J= (ai,j )i,j telle que
(i, j)[[1, n]]2, ai,j = 1, alors on a N(J) = 1 , N(J2) = N(nJ) = n, alors N(J.J)> N (J).N (J)
Partie :II
1. Soit Aune partie de Rd.
(a) Rappeler la définition d’un point intérieur à A
$.Soit aRd.aest un point intérieur à Asi, et seulement si : r > 0, B(a, r)Asi, et seulement si Aest un
voisinage de adans Rd
2
(b) Montrer que l’intérieur de Aest le plus grand ouvert de Econtenu dans A
$. Soit aun point intérieur à A, alors il existe un réels strictement positif tel que B(a, r)Ace qui etraine alors
que aAet par suite l’intérieur de Aest une partie de A
$.Soit aun point intérieur à A, il existe alors r > 0tel que B(a, r)A.Montrons que la boule B(a, r
2)est inclus
dans l’ensemble des points intérieur de A.Soit alors yBa, r
2et xBa, r
2, on a
d(a, x)d(x, y) + d(y, a)<r
2+r
2=r
Ce qui prouve alors que xB(a, r)et donc xAet par suite By, r
2Ac’est à dire yest un point intérieur à A
et donc Ba, r
2est inclus dans l’intérieure de A d’ou le résultat
2. Soit pN, on pose Sp=1 0
p1
(a) Calculer S2
p
$.S2
p=I2
(b) Rac(I2)est -elle une partie bornée de (M2(R), N)
$. Si Rac(I2)était borné , alors
MR+
,pN,||Sp|| ≤ M
C’est à dire
pN, p M
Ce qui contredit le fait que Nest non majoré
3. Rac(In)est -elle bornée de (Mn(R), N)pour n3
$.Soit Mpla matrice définie par bloc par :
Mp =Sp0
0Inp
.On a
M2
p=S2
p0
0In2=In
et on a N(Mp)+ce qui prouve alors que Rac(In)n’est pas borné
4. Pour cette question , n2.Montrer qu’il n’existe pas de norme ||.|| surmultiplicative sur GLn(R), vérifiant pour toutes
matrices Aet Bdans GLn(R),||AB|| ≥ ||A||.||B||
$.Supposons l’existence d’une norme surmultiplicative .On a
pN, Mp∈ Gln(R)
On a alors ||In|| =||M2
p|| ≥ ||Mp||2le membre de droite tend vers +et celui de gauche est constant ce qui est absurde
Partie :III
Zéros de fonctions polynomiales .Application à la détermination de l’intérieur de Rac(A)
On munit Rdde la norme infinie ||.||.On rappelle qu’une application Pde Rddans Rest une fonction polynomiale de Rdsi ,
il existe un entier naturel Net une famille de réels (ai1,...,id)1i1,...,idNtels que :
(x1, . . . , xd)Rd, P (x1, . . . , xd) = X
1i1,...,idN
ai1,...,idxi1
1. . . xid
d
On appelle zéro de Ptout élément (x1, . . . , xd)Rdtel que P(x1, . . . , xd) = 0, l’ensemble des zéros de Pest noté Z(P).
On rappelle aussi que toute fonction polynomiale de Rdest continue sur Rd
1. Question préliminaire
3
(a) Montrer que l’application :
f:((Mn(R), N)(Mn(R), N)
R7−R2
est continue
$.L’espace Mn(R)est muni de la norme Net l’espace Rn2est muni de sa norme infinie .L’application qui à chaque
matrice M= (mi,j )i,j associe le n2-uplet (m1,1, . . . , mn,n)est une application lipschitzienne donc continue . Soit
A= (ai,j )i,j une matrice carrée d’ordre n, on a A2= n
X
k=1
ai,kak,j !i,j
et l’application gdéfinie sur Rn2,||.||à
valeurs dans Rn2,||.||par :
g: (a1,1, a1,2, . . . , an,n)7− n
X
k=1
a1,kak,1,
n
X
k=1
a2,ka1,2,...,
n
X
k=1
an,kak,n!
est continue car ses composantes relativement à la base canonique de Rn2sont des fonctions polynomiales donc
continues .Par composition l’application fest continue
(b) En déduire que Rac(A)est une partie fermée de (Mn(R), N)
$.On a Rac(A) = f1({A})et {A}est un fermé de Mn(R)donc Rac(A)est un fermé
(c) Soit a= (a1, . . . , ad)Rdet r > 0.Montrer que B(a, r)peut s’écrire comme produit de dintervalle ouverts de R
$.On vérifie facilement que B(a, r) =
d
Y
k=1
]akr, ak+r[
(d) Soient Fet Gdeux parties de Rd.On suppose que Fet Gsont d’intérieur vide .Montrer que FGest encore
d’intérieur vide
$.Supposons que FGest d’intérieur non vide et soit xun point intérieur à FG, alors il existe r > 0tel que
B(x, r)FGce qui entrâine alors que B(x, r)F et B(x, r)Gce qui veut dire que xest un point intérieur à
Fce qui est absurde donc l’intérieur de FGest vide
2. Exemples d’ensembles des zéros de fonctions polynomiale
(a) Dans cette question on prend d= 1 .Soit Pune fonction polynomiale sur R.Dans quel cas Z(P)est infini ? Justifier
votre réponse
$.Le seul polynôme à coefficients réels admettant une infinité de racines est le polynôme nul c’est une conséquence
du théorème de D’Alembert -Gauss
(b) Dans cette question d= 2.On considère P(x1, x2)=2x1x21et Q(x1, x2) = x2
1x2.
i. Représenter graphiquement dans le plan R2les ensembles Z(P)et Z(Q)
$. On a Z(P)est la droite d’équation 2xy1 = 0 et Z(Q)est la parabole d’équation y=x2
ii. Z(P)et Z(Q)sont-ils infinis ?
$. Il est clair que Z(P)et Z(Q)sont infinis
3. L’intérieur de l’ensemble des zéros d’une fonction polynomiale.Soit Pune fonction polynomiale sur Rd
(a) Soent (Ik)1kdune famille de parties infinies de R.Montrer par récurrence que si la fonction polynomiale Ps’annule
sur I1×I1×. . . ×Id, alors Pest la fonction nulle
$.Le résultat pour d= 1 a été justifié en question 2.a.
Supposons le résultat vrai jusqu’à un rang d1. Soient alors Pune fonction polynomiale qui s’annule sur I1×· · ·×Id+1
où chaque Ikest une partie infinie de R. En ordonnant les puissances de xd+1, on peut écrire
P(x1, . . . , xd+1) =
N
X
i=0
Pi(x1, . . . , xd)xi
d+1
où chaque Piest une fonction polynomiale sur Rd.
Fixons x1, . . . , xpavec xiIiet considérons l’expression précédente comme fonction de xd+1. C’est une fonction
polynomiale qui s’annule en une infinité de points. D’après l’initialisation, c’est le polynôme nul. On a donc
i∈ {1, .., N},(x1, . . . , xd)I1× · · · × Id, Pi(x1, . . . , xd) = 0
L’hypothèse de récurrence donne la nullité des Piet donc celle de P. On a ainsi prouvé le résultat au rang d+ 1 et
complété la récurrence.
4
(b) En déduire que si Ps’annule sur une partie de Rdd’intérieur non vide , alors Pest la fonction nulle
$.D’après la question 1.c, toute partie d’intérieur non vide contient une sous-partie YIkoù chaque Ikest infini
(intervalle de longueur 2r > 0). Si Ps’annule sur une partie d’intérieur non vide, Pest alors nul avec la question
précédente.
(c) Si l’on suppose que Pn’est pas la fonction nulle que vaut Z(P)?
$. En contraposant le résultat de la question précédente, si P6= 0 alors Z(P)est d’intérieur vide.
4. Application à l’étude de l’intérieure de Rac(A)
Dans cette question , on confondra les espaces vectoriels Mn(R)et Rn2.Soit Aune matrice de Mn(R)
(a) Ecrire Rac(A)sous forme d’un sous ensemble de Rn2
$.Posons A= (ai,j )i,j et soit R= (ri,j )i,j un élément de Rac(A).R2est une matrice dont le coefficient générique
est n
X
k=1
ri,krk,j
Considérons alors
Qi,j = n
X
k=1
xi,kxk,j !ai,j
cette matrice matrice s’identifie à une fonction polynomiale de Rn2et par définition de Rac(A), on a
Rac(A) = \
1i,jn
Z(Qi,j )
ce qui fait apparaître Rac(A)comme sous-ensemble de Rn2.
(b) Montrer qu’il existe n2fonctions polynomiales P1, . . . , Pn2sur Rn2, tels que
Rac(A) =
n2
\
k=1
Z(Pi)
(c) Déterminer l’intérieur de Rac(A)
$.Comme intersection de parties d’intérieur vide, Rac(A)est d’intérieur vide avec la question 13.b.
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