UMBB STH Faculté des sciences

UMBB
Faculté des sciences
Département de Physique
STH
2012/2013
ETLD Physique2
Exercice 1 : (7,5 points)
Quatre charges ponctuelles  q sont placées symétriquement sur un cercle de rayon R
et de centre O (Figure 1).
Y
I. a – Montrer sans faire de calcul, que le champ E en un
point M de l’axe OY est porté par cet axe.
b – Déterminer le champ et le potentiel au point M de
l’axe OY tel que : OM  y 0 .
c – Retrouver l’expression de E au point M à partir du
potentiel (question b).
d – Pour quelle valeur de y, le champ est-il maximum ?
M
q
j
O
q
R
q
II. a – Quelle est l’expression du champ précédent au point M
tel que OM  y  R .
b – On place au point M, un dipôle électrique de moment
q
Figure 1
Y

dipolaire P , dans le plan (OXY), tel que P fait un angle 
avec l’axe OY (Figure 2).
– Quelle est l’énergie potentielle de ce dipôle ? Pour
quelle valeur de  est-elle minimale ou maximale ?
– A quoi correspondent ces positions ?
P
M
X
q
q
q
Figure 2
q
Exercice 2 : (7,5 points)
On considère une sphère creuse de rayons intérieur R1 et extérieur R2, chargée en
volume avec une densité non uniforme  ( r )  A r ; A  Cste 0 .
1. Déterminer la charge totale Q de cette répartition.
R1
2. Déterminer le champ électrique E ( r ) de cette distribution de charge
en tout point de l’espace.
3. Déterminer la différence de potentiel entre les deux surfaces de
rayons R1 et R2.
4. On place une charge ponctuelle q ( q 0) à une distance r du centre
de la sphère chargée ( r
R2 ). Déterminer l’expression de la force
qui s’exerce sur la charge q ainsi que son énergie potentielle.
X
R2
Figure 3
X
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A
Exercice 3 : (05 points)
On considère le circuit électrique de la figure 4.
R1
E1
E2
r1
r2
R
On donne: E1=E2=12V,
r1= r2=1Ω,
B
R=10Ω, R1=9Ω, R2=4Ω.
E
C
D
R2
F
Figure 4
1. Calculer l’intensité des courants qui circulent dans chaque branche et préciser leurs
sens.
2. Quelle est la puissance dissipée par effet joule dans la résistance R.
3. Calculer le rendement de chaque générateur.
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Corrigé ETLD Physique2
Exercice 1: (7,5 points)
0.5
I.
a/ E au point M est porté par l’axe OY.
 Soit on dit : OY est un axe de symétrie de la distribution de charge, alors en
tout point de l’axe OY, le champ est porté par cet axe.
 Soit on dit : si on prend le premier couple de charge situé sur l’axe OX ;
E1 X  E2 X  0 
Y
 E  EY j
E1Y  E2Y  EY 
E
Idem pour les 2 autres charges E  EY j
b/ Champ et le potentiel au point M :
Kq
E1Y  2 cos 
0.5
r
E
2
E
2X
y 2  R 2 et cos  =
y
y 2  R2
E
V
y
y 2  R2
j
4 Kqy
j
( y  R 2 )3 2
O
q
0.5
4 Kq
C
( y  R 2 )1 2
0.5
2
c – Expression de E au point M à partir du potentiel :

E   grad V

E
 E
dV
j
dY
4 Kqy
j
( y  R 2 )3 2
2
0.25
0.5
d – Pour quelle valeur de y, le champ est-il maximum :
E  E( y) 
0.25
1
dE 4 Kq( R 2  2 y 2 )

dy
( y 2  R 2 )5 2
0.5
dE
2
 0 pour y=  R
dy
2
Pour y
0 y=R
2
2
1X
j
0.5
2
E
q
;
q
4 Kq
E 2
( y  R2 )
1

r
Et sachamp que r 
E
0.5
R
q
X
a – Expression du champ au point M tel que OM  y  R :
II.
E
Kq 2
j
R2
0.5
b – Energie potentielle du dipôle :
EP   E.P  
Kq 2
j
R2
Y
( P sin  i  P cos  j )

0.5
M
KPq 2
E
cos 
2
R
KPq 2
P

pour   0 M
2
R
X
EP  
0.5
EP min
0.5
E
EP max  
0.5
KPq 2
R2
pour   
M
P
 EP min (  0), position d'equilibre stable.

 EP max (   ), position d'equilibre instable.
0.5
Exercice 2 : (7,5 points)
1. charge totale Q de la distribution de charge  ( r )  A.r :
R2
Q    ( r )dV    ( r )4 r 2dr
R1
V
R2
R2
R1
R1
Q   ( A.r )4 r 2dr   4 Ar 3dr
0. 5
Q  A ( R24  R14 )
0. 5
2. Champ électrique de E ( r ) en tout point de l’espace.
Q
0. 25
   E.dS  int er
0
Pour r
  E.dS E ( r ) dS  E ( r )4 r 2



R1 : 
0. 5
Qint  0
 E (r )  0
2
P
0. 5
Pour R1
r
  E.dS E ( r ) dS  E ( r )4 r 2



R2 : 
Qint  A ( r 4  R14 )
 E ( r) 
A 2 R14
(r  2 )
4 0
r
0. 5
0. 5
  E.dS E ( r ) dS  E ( r )4 r 2



R2 : 
Qint  A ( R24  R14 )  Q
Pour r
 E (r ) 
0. 5
A
1 Q
( R24  R14 ) 2  2
4 0
r
r
0. 5
3. La différence de potentiel entre les deux surfaces de rayons R1 et R2:

E   grad V

V ( r )    E ( r )dr  C
0.25
A 2 R14
V ( r )    E ( r )dr  C   
( r  2 )dr  C
4 0
r
Pour R1  r  R2 :
V ( R2 )  V ( R1 )  
A  R23
R 4 
 R13 ( 1  ) 

4 0  3
R2 3 
0.5
0. 5
4. Expression de la force qui s’exerce sur la charge q :
R2 : F  q.E
Pour r
Avec : E ( r ) 
D ' où : F 
0.25
A
1 Q
( R24  R14 ) 2  2
4 0
r
r
qA 4
1
 qQ
( R2  R14 ) 2 U r  2 U r
4 0
r
r
0.5
Expression de l’energie potentielle :
Pour r
0.5
A
Q

4
4 1
 E ( r )  4 ( R2  R1 ) r 2  r 2
0
R2 : 
V ( r )   E ( r )dr  C


V (r) 
A
1
( R24  R14 )  C , pour r   C=0
4 0
r
V (r) 
A
1
( R24  R14 )
4 0
r
EP 
3
qA 4
1
( R2  R14 )
4 0
r
0.25
0.5
Exercice 3 : (05 points)
1. Calcul de l’intensité des courants qui circulent dans chaque branche.
Noeud C
i1  i2  i  0

( r1  R1 ) i1  0i2  R i  E1 Maille ACDBA
0i  ( r  R ) i  Ri  E Maille CDFEC
2
2 2
2
 1
0.25
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.25
i1  0,3 A
i1 dirigé de A vers C
i2  0,6 A
i2 dirigé de E vers C
i3  0,9 A
i3 dirigé de C vers D
0.25
1
0.25
2. La puissance dissipée par effet joule dans la résistance R.
P= Ri 2
WJ  8,1 W
0.5
0.25
0.25
3. Le rendement de chaque générateur.
E  ri
E ri
E1  1 1 1  0,97 , e  2 2 2  0,95
E1
E2
4
0.5