Compétences exigibles FRACTIONS ET ECRITURES FRACTIONNAIRES Commentaires A l'école élémentaire l'écriture fractionnaire a été Quotient de deux nombres entiers. introduite à partir de situations de partage. Ecriture fractionnaire. Placer le quotient de deux entiers sur une Les activités poursuivies en sixième s'appuient sur deux idées: droite graduée dans des cas simples. a - le quotient est un nombre, b Savoir utiliser un quotient de deux entiers a dans un calcul sans effectuer la division. - le produit de par b est égal à a. b 4 3 comme quatre fois un tiers, le tiers de quatre ou encore le nombre dont le produit par trois est égal à quatre. Dans des situations de proportionnalité, le quotient de deux nombres est utilisé comme un opérateur. On visera aussi à lui faire acquérir le statut de nombre au travers de multiples activités: repérage (placement sur une droite graduée), mesure, calcul (possibilité d'utiliser un quotient b/a dans un calcul, sans effectuer nécessairement la division de a par b). Ceci permet de considérer un nombre tel que On dégagera et on utilisera le fait qu'un quotient ne change pas quand on multiplie son numérateur et son Reconnaître, dans des cas simples, que deux dénominateur par un même nombre. A l’occasion de écritures fractionnaires différentes sont celles simplifications, on pourra faire intervenir des critères d'un même nombre. de divisibilité, sans nécessairement les justifier. Extension aux nombres décimaux. Nombres décimaux en écritures décimales et fractionnaires. • Pour les nombres décimaux courants, passer d’une écriture décimale à une écriture fractionnaire et vice-versa. • Ranger des nombres donnés en écriture décimale. • Sur une droite graduée : – lire l’abscisse d’un point ou en donner un encadrement, – situer un point d’abscisse donnée. On étendra le travail fait sur des entiers à des égalités 5,24 524 telles que = par exemple en utilisant la 2,1 210 calculatrice ou en ayant recours à des changements d'unités. Cette extension permettra d'élargir la division à des cas où le diviseur est décimal. Aucune compétence n'est exigible à ce sujet. Il s’agit de pouvoir utiliser différentes écritures fractionnaires d’un même nombre décimal. Les écritures fractionnaires et décimales pourront être utilisées comme des moyens de contrôle mutuel des opérations sur des nombres décimaux. C’est dans ce seul cas que seront rencontrées les opérations (+, –, x) en écriture fractionnaire telles que : 32 7 327 + = 10 100 100 FRACTIONS ET ECRITURES FRACTIONNAIRES Activité 1 page 70 I) ECRITURE FRACTIONNAIRE 1) Représentation géométrique k Le rectangle est partagé en 8 morceaux égaux. Les morceaux coloriés représentent les 3 du rectangle. 8 2) Vocabulaire numérateur 3 8 est l’écriture d’une fraction. Cela se lit « trois huitièmes » ou « trois sur huit » dénominateur remarque : Lorsque le numérateur ou le dénominateur sont des nombres décimaux, on parle d’écriture fractionnaire. 3,5 3,5 3 ; ; sont des écritures fractionnaires 4 4,2 4,5 Exercices 1,2,3 page 76 3) Exemples dans la vie courante En cuisine : un tiers de litre de lait peut s’écrire ( Heure : 2 heures et quart, trois quarts d’heure. Peuvent s’écrirent 2h 1 3 , d’heure 4 4 1 L de lait) 3 FRACTIONS ET ECRITURES FRACTIONNAIRES Activité 2 page 70 II) ECRITURE FRACTIONNAIRE D’UN QUOTIENT : 1) Définition : Tout quotient de nombres entiers s’écrit sous forme d’une fraction : a : b = a Le quotient b multiplié par b donne a 2) Exemples : 3 a) x4 = 3 4 b) a b a ×b = a b 5 x9 = 5 9 c) 2 x 11 = 2 11 3) Remarques : 48 = 48 : 6 = 8 6 7 = 7 : 2 = 3,5 2 7 = 7 : 3 ≈ 2,333.... 3 c’est un nombre entier c’est un nombre décimal ce n’est pa un nombre décimal On donnera donc qu’une valeur approchée du résultat. Le quotient par excés au dixième de 7 par trois est 2,3 Le quotient par défaut au centième de 7 par trois est 2,33 Exercices 10, 11, 12 page 77 Activité (voir transparent) III) FRACTIONS D’ UNE DEMI-DROITE GRADUEE 4 Pour placer la fraction : on partage le segment unité en neuf morceaux. On place la fraction à 9 la quatrième graduation : 0 1 9 4 9 1 Exemple les 3 de ce segment : 5 Exercices 19, 20 page 78 FRACTIONS ET ECRITURES FRACTIONNAIRES Activité 3 page 71 IV) FRACTIONS EQUIVALENTES ET QUOTIENTS EGAUX 1) Propriété On ne change pas la valeur d'un quotient si l'on multiplie (ou si l'on divise) le dividende et le diviseur par un même nombre. ÷3 : ×3 Il y a 3 morceaux sur 12, donc 3 12 Il y a 1 morceau sur 4, donc 1 4 Dans le deuxième cas, il y a trois fois moins de morceaux, mais ils sont trois fois plus grands. 2) Règle de transformation des fractions La valeur d'une fraction ne change pas lorsque l'on multiplie (ou l'on divise) le numérateur et le dénominateur par un même nombre 3) Exemples : • 2 4 6 8 10 12 = = = = = 3 6 9 12 15 18 • 16 8 4 2 = = = 24 12 6 3 4) Fractions irréductibles : Une fraction que l'on ne peut pas ou plus simplifier est dite "irréductible". Exemples : 3 2 et sont deux fractions irréductibles 4 3 Exercices 40, 42 page 80 Activité 4 page 71 V) MULTIPLIER Un NOMBRE PAR UNE FRACTION 1) Définition : Prendre une fraction d’un nombre, c’est multiplier cette fraction par ce nombre. Ainsi prendre les 3 3 de 15, c’est multiplier par15. 5 5 Multiplier par 3 15 × 3 5 Diviser par 5 45 Diviser par 5 3 9 Multiplier par 3 FRACTIONS ET ECRITURES FRACTIONNAIRES Fractions inférieures à l’unité 3 sur un axe gradué, il faut partager le segment limité par les deux valeurs 7 (abscisses) 0 et 1 en 7 parties. Chaque morceau limité par deux graduations correspond à un septième. 2 1 La première graduation correspond donc à , la deuxième graduation a pour abscisse , et la troisième 7 7 3 graduation a pour abscisse 7 5 6 1 2 3 4 0 1 7 7 7 7 7 7 Pour placer une fraction comme D’autres exemples : Pour placer la fraction 5 : on partage le segment unité en huit morceaux. On place la fraction à la cinquième 8 graduation : 0 1 8 5 8 1 Fractions supérieurs à l’unité Pour placer une fraction supérieure à l’unité, on commence par exprimer cette fraction comme la somme d’une partie entière et d’une partie fractionnaire. 13 13 1 Par exemple, si on veut placer la fraction . On décompose : =2+ . 6 6 6 Cette fraction va donc se placer entre les deux valeurs entières 2 et 3. On dit que 2 et 3 encadrent la fraction. Et c’est le segment compris entre 2 et 3 que l’on partage en 6. La fraction se trouvant à la première graduation. 13 0 1 2 3 6 FRACTIONS ET ECRITURES FRACTIONNAIRES Représenter en couleur 1°) les 3 de ce segment 5 2°) les 5 de ce rectangle 12 3°) les 3 de ce segment 7 4°) les 3 de ce rectangle 4 5°) les 5 de ce segment 8 6°) les 4 de ce rectangle 15 7°) les 3 de ce disque 4 8°) les 5 de ce segment 3 9°) les 11 de ce rectangle 6 FRACTIONS ET ECRITURES FRACTIONNAIRES Exercice 1 Compléter les égalités suivantes : 24 264 = = 5 10 7 14 = = 2 30 126 14 70 = = 63 20 1 = = 60 27 25 24 = 3 = 12 84 = = 52 13 39 55 5 105 = = 88 8= = 76 2 = = 190 75 5 4 29 290 = = 10 40 = 12 = 36 54 =K = 27 2 Exercice 2 Les fractions suivantes sont-elles égales? 1 3 et 2 6 12 4 et 15 5 4 16 et 13 51 4 20 et 5 35 15 3 ; et 45 9 13 52 ; et 5 20 ; Exercice 3 Donner l'écriture en fraction irréductible des fractions suivantes : 25 ; 50 16 ; 12 14 ; 21 54 ; 45 46 ; 23 121 ; 33 75 ; 125 52 ; 65 480 ; 120 140 ; 105 51 ; 68