Analyse Fonctionnelle Non Linéaire et applications en équations

Analyse Fonctionnelle Non Lin´eaire et applications en
´equations diff´erentielles
Mabel Cuesta
Master 2 Maths Pures. Cours 2009-2010. Semestre 4.
Table des mati`eres
1 Pr´eliminaires 4
1.1 Th´eor`eme du point fixe de Banach . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Th´eor`eme de la fonction r´eciproque . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Une extension du th´eor`eme de la fonction r´eciproque . . . . . 6
2 Le degr´e topologique de Brouwer 7
2.1 Le nombre alg´ebrique de z´eros d’une fonction r´eguli`ere . . . . 7
2.2 Extension de la d´efinition du nombre alg´ebrique de z´eros . . . 9
2.3 Propri´et´es principales du degr´e . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 D´efinition et propri´et´es de l’indice . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 D´efinition du degr´e de Brouwer dans un espace vectoriel de
dimensionfinie .......................... 18
3 Th´eor`emes de point fixe I 18
3.1 Th´eor`eme du point fixe de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Th´eor`eme de Borsuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Le degr´e de Leray-Schauder 23
4.1 Op´erateurs continus et op´erateurs compacts non lin´eaires . . . 23
4.2 D´efinition du degr´e de Leray-Schauder . . . . . . . . . . . . . 26
4.3 Propri´et´es principales du degr´e de Leray-Schauder . . . . . . . 29
4.4 Calcul du degr´e d’une perturbation lin´eaire compacte de l’identit´e 31
4.5 D´efinition et calcul de l’indice par lin´earisation . . . . . . . . . 33
5 Th´eor`emes du point fixe II 34
5.1 Th´eor`eme de Borsuk-Ulam en dimension infinie . . . . . . . . 34
5.2 Th´eor`eme du point fixe de Schauder . . . . . . . . . . . . . . 35
5.3 Th´eor`eme du point fixe de Schaeffer . . . . . . . . . . . . . . . 36
1

6 Equations diff´erentielles ordinaires 37
6.1 Th´eor`eme d’existence de Cauchy-Peano. . . . . . . . . . . . . 37
6.2 Solutions p´eriodiques d’´equations diff´erentielles non r´esonantes 38
6.3 Solutions p´eriodiques d’´equations diff´erentielles r´esonantes . . 40
6.4 Equations diff´erentielles du second ordre asymptotiquement lin´eaires
`al’infini .............................. 44
6.5 Le probl`eme de Dirichlet pour une classe d’´equations de second
ordre superlin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7 R´esultats de bifurcation 48
7.1 Calcul diff´erentiel dans les espaces de Banach . . . . . . . . . 49
7.2 R´esultats locaux de bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7.3 Un r´esultat global de bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.4 Application du th´eor`eme de Rabinowitz aux probl`emes de Di-
richlet non lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8 Annexe 57
8.1 Th´eor`eme d’Arzel`a-Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.2 Th´eor`eme de Tietze-Urysohn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.3 Un lemme de s´eparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8.4 La mesure superficielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8.5 La formule d’int´egration par parties. Formule de Stokes . . . . 60
8.6 Rappels sur la Th´eorie de Fredholm des op´erateurs lin´eaires
compacts.............................. 61
8.7 Probl`emes de Sturm-Liouville et fonctions de Green . . . . . . 62
R´ef´erences
[1] H. Amann, “Ordinary differential equations, An introduction to NonLi-
near Analysis”, de Gruyter Studies in Mathematics 13, Berlin (1990).
[2] A. Ambrosetti et G. Prodi, “A primer of NonLinear Analysis”, Cambridge
Studies in Advanced Mathematics 34, Cambridge University Press (...).
[3] R.F. Brown, “A topological Introduction to NonLinear Analysis”,
Birkhause, (1993).
[4] L. Nirenberg, “Topics in NonLinear Functional Analysis”, Courant
Lecture Notes in Mathematics 6, AMS (2000).
[5] M.A. Krasnosel’skii, “Topological methods in the theory of Non Integral
Equations”, Macmillan, New York, (1964).
2

[6] J. Mawhin, “Degr´e topologique et solutions p´eriodiques des syst`emes
diff´erentiels non lin´eaires”, Bulletin de la Soci´et´e Royale des Sciences de
Li`ege, 38`eme ann´ee, n. 7-8, 308-398, (1969).
[7] N.S. Papageorgiou et S.Th. Kyritsi-Yiallourou, “Handbook of Applied
Analysis”, Advances in Mechanics and Mathematics 19, Springer (2009).
[8] P.H. Rabinowitz, “A global theorem for nonlinear eigenvalue problems
and applications”, Contributions to Nonlinear Functional Analysis,
11-36, Academic, New York, (1971).
[9] P.H. Rabinowitz, “Th´eorie du degr´e topologique et application `a des
probl`emes aux limites non lin´eaires”, Notes de cours r´edig´ees par H.
Berestycki, LAN Paris 6, (1976).
[10] J.T. Schwartz, “Nonlinear Functional Analysis”, Gordon Breach, New
York (1953).
[11] K. Yosida, “Functional Analysis”, Classics in Mathematics, Springer
(1995).
3

Notations
– Soit N∈N∗et ||·|| la norme euclidienne de RN. Si x0∈RNet r∈R+
on note Br(x0) := {x∈RN,||x−x0|| < r}et <·,·>le produit
scalaire usuel de RN.
– Soit k∈N∪{∞} et Ω un ouvert born´e de RN. On pose Ck(Ω,RN) l’es-
pace des fonctions `a valeurs dans RN,kfois continˆument diff´erentiables
dans Ω, qui sont continues sur Ω et dont toutes les d´eriv´ees jusqu’`a
l’ordre ksont des restrictions d’applications continues sur Ω. Cet es-
pace sera muni de sa topologie usuelle.
– Pour tout ϕ∈C1(Ω,RN) on pose Jϕ(x) :=d´eterminant de ϕ0(x).
– Pour tout a∈R∗on pose Sgn(a) = 1 si a > 0, Sgn(a) = −1 si a < 0.
– Si A⊂RNon note λ∗
N(A) la “mesure ext´erieure de Lebesgue” de RN.
Lorsque Aest mesurable Lebesgue on note λN(A) sa mesure de Le-
besgue.
– Soit Ω un ouvert de RNet fune application de Ω dans RNdiff´erentiable.
Rappelons qu’un point x∈Ω est dit “r´egulier” si Jf(x)6= 0. On dit
que y∈RNest une “valeur r´eguli`ere” de fsi tous les points x∈f−1(y)
sont r´eguliers.
– Soit Ω un ouvert de RNet fune application de Ω dans Rm,m∈N.
Alors suppf := {x∈Ω, f(x)6= 0}.
– Soit Ω un ouvert de RNet f= (f1,···, fN)∈C(RN,RN) poss´edant
des d´eriv´ees partielles en tout point. On d´efinit div f := PN
i=1
∂fi
∂xi.
– Soit Aune matrice N×N. Les valeurs caract´eristiques de Asont les
inverses des valeurs propres (avec la convention 1/0 = ∞). Si λest une
valeur propre, nous noterons la multiplicit´e alg´ebrique de λpar m(λ),
c.-`a-d., m(λ) = dim ∪∞
n=1 Ker (A−λId)n.On note σ(A) l’ensembles
des valeurs propres (r´eelles ou pas).
1 Pr´eliminaires
Nous rappelons ici le th´eor`eme de la fonction r´eciproque pour des fonc-
tions d´efinies dans un ouvert de RN. Nous donnerons dans la section ?? la
g´en´eralisation de ce th´eor`eme aux fonctions d´efinies dans des espaces de Ba-
4

nach. La preuve du th´eor`eme de la fonction r´eciproque d´epend du th´eor`eme
du point fixe de Banach que nous rappelons ´egalement.
1.1 Th´eor`eme du point fixe de Banach
Proposition 1.1. Soit (X, d)un espace m´etrique complet et f:X7→ Xune
application α-contractante , c.-`a-d., il existe 0< α < 1tel que d(f(x), f(y)) ≤
αd(x, y)pour tout x, y ∈X. Alors fposs`ede un unique point fixe.
D´emonstration. On choisit un point x0∈Xquelconque et on d´efinit la suite
xn:= f(xn−1). On montre par r´ecurrence que d(xn, xn+1)≤αnd(x0, x1) pour
tout n∈N. Si on note f(n)=f◦f◦ ··· ◦ falors on a
d(f(n)(x0), f(m)(x0)) ≤αn
1−αd(x0, x1)
et donc d(xn, xm) = d(f(n)(x0), f(m)(x0)) →0 lorsque n→ ∞. Comme Xest
un espace complet et la suite xnest de Cauchy, il existe x∈Xtel que xn→x.
Par continuit´e, xn+1 =f(xn)→f(x), d’o`u f(x) = x. L’unicit´e du point fixe x
est une cons´equence imm´ediate de l’α-contractivit´e.
1.2 Th´eor`eme de la fonction r´eciproque
Nous omettons la preuve du r´esultat suivant.
Th´eor`eme 1.2. Th´eor`eme de la fonction r´eciproque. Soient Ω⊂RNun ou-
vert, x0∈Ω,y0∈RNet f∈C1(Ω,RN), tels que f0(x0)∈ L(RN,RN)est un
isomorphisme et f(x0) = y0. Alors il existe un voisinage ouvert Vde x0et un
voisinage ouvert Wde y0tels que f|Vest un diff´eomorphisme de classe C1de
Vsur W; c.-`a-d., il existe une fonction g∈C1(W, V )tel que f◦g=IdWet
g◦f=IdV. En particulier
Sgn Jf(x) = Sgn Jf(x0)pour tout x∈V.
Un corollaire imm´ediat du th´eor`eme de la fonction r´eciproque est le sui-
vant
Corollaire 1.3. Soient Ω⊂RNun ouvert born´e, y0∈RN,f∈C1(Ω,RN),
tels que f0(x)∈ L(RN,RN)est un isomorphisme pour tout x∈f−1(y0). Alors
f−1(y0)ne contient qu’un nombre fini de points.
La preuve de ce r´esultat est laiss´ee comme exercice.
Exercice 1. Soit (X, d)un espace m´etrique complet et f:X7→ Xune
application telle que f(n):= f◦f◦ ··· ◦ fest α-contractante pour un n∈N∗.
Montrer que fposs`ede un unique point fixe.
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