ESPACES PROBABILISES INFINIS Exercice 1 Exercice 2

ECS 1
IPECOM
Année 2015-2016
ESPACES PROBABILISES INFINIS
Exercice 1
Soit Ω = {a, b, c, d, e}. On pose ∆ = {∅, {b}, {c}, {b, c}, {a, d, e}, {a, b, d, e}, {a, c, d, e}, Ω}. Vérifier que ∆ est
une tribu sur Ω.
Exercice 2
On effectue une suite infinie de lancers d’un dé dont les six faces sont numérotées de 1 à 6. pour tout i ∈ N∗ ,
on considère l’événement Ai :" obtention de l’as au i-ème lancer."
1. Définir par une phrase ne comportant aucun vocabulaire mathématique les événements suivants ;
B=
+∞
∩
i=5
Ai ,
C=
4
(∩
)
Ai ∩
∩
(+∞
)
Ai ,
D=
i=5
i=1
+∞
∪
Ai .
i=5
2. Ecrire à l’aide des événements Ai l’événement En : " on obtient au moins une fois l’as au-delà du n-ème
lancer.
3. Montrer que la suite (En )n∈N∗ est une suite décroissante d’événements et caractériser par une phrase ne
+∞
∪
comportant aucun vocabulaire mathématique l’événement E =
Ei .
i=1
4. Ecrire à l’aide des Ai l’événement Fn : " on n’obtient plus que des as à partir du n-ème lancer et F : " on
n’obtient plus que des as à partir d’un certain lancer".
Exercice 3
Soit P une probabilité sur N.
1. Montrer que lim P ({n}) = 0.
n→+∞
2. Déterminer P si on suppose que la suite (P ({n})n∈N est
– Une suite arithmétique
– Une suite géométrique
3. On suppose qu’il existe un réel λ tel que pour tout entier naturel n, P ({n, n + 1, .....}) =
λ
. Déterminer λ.
n
Exercice 4
Soit (An )n∈N est une suite d’événements d’un espace probabilisé (Ω, A, P ).
1. Montrer que
+∞
n
∪
∪
– P(
Ak ))
An ) = lim P (
n=0
+∞
∩
– P(
n=0
n→+∞
k=0
n
∩
An ) = lim P (
n→+∞
Ak ))
k=0
2. (a) Montrer que pour tout entier naturel n, P (
n
∪
k=0
Ak )) ≤
n
∑
n
∩
P (Ak ) et P (
k=0
(b) Montrer que si la série de terme général P (An ) converge , P (
+∞
∪
n=0
Ak )) ≥ 1 −
k=0
+∞
∑
An ) ≤
n
∑
P (Ak ).
k=0
P (An )
n=0
3. Montrer que si (An )n∈N est une suite d’événements deux à deux incompatibles alors lim P (An ) = 0.
n→+∞
1
Exercice 5
On lance deux dés jusqu’à ce que’une somme de 5 ou 7 apparaisse.
1. Soit En l’événement : " une somme de 5 apparaît au n-ième double lancer et sur les n − 1 premiers doubles
lancers ni la somme de 5 ni celle de 7 n’apparaît ." Calculer P (En ).
2. Calculer la probabilité que l’on s’arrête sur une somme de 5.
3. Calculer la probabilité que l’on s’arrête sur une somme de 7.
4. Quelle est la probabilité que le jeu ne s’arrête jamais ?
Exercice 6
Des joueurs notés A1 , A2 , ... ( il y a une infinité de joueurs) s’affrontent à pile ou face, avec une pièce équilibrée,
de la façon suivante : A1 et A2 commencent, le perdant est éliminé et le gagnant rencontre A3 , le perdant est
éliminé et le gagnant rencontre A4 ,...Est déclaré vainqueur le joueur qui gagne trois parties consécutives et le jeu
s’arrête alors. Pour tout entier naturel n non nul , on note pn la probabilité que An gagne le tournoi et qn la
probabilité que An joue.
1
1. Montrer que pn = qn .
8
2. Calculer qn pou n ≤ 4. Montrer que pour n ≥ 5, qn = 12 qn−1 + 14 qn−2 .
3. En déduire qn puis pn en fonction de n.
Exercice 7
On effectue une infinité de lancers d’une pièce pour laquelle la probabilité d’obtenir face est p ∈]0, 1[.
1. Soit An :" au cours des n premiers lancers, face n’est jamais suivi de pile" , pour n ≥ 2. Montrer que
 n+1
− (1 − p)n+1

p
si p ̸= 1/2
2p − 1
P (An ) =

n + 1
sip = 1/2 .
2
2. Est-il possible que face ne soit jamais suivi de pile ?
Exercice 8
Un athlète fait du saut en hauteur. On numérote les différentes hauteurs dans l’ordre 1, 2, ..., n, ... . On supppose
que les sauts sont indépendants entre eux et que la probabilité de réussir le saut numéro n est de 1/n. L’athlète
effectue les sauts dans l’ordre et s’arrête au premier échec.
1. Quelle est la probabilité pn qu’il s’arrête exactement après le n-ème saut ?
2. Montrer que la série de terme général pn converge et calculer sa somme . Interpréter ce résultat.
3. Quelle est la probabilité qu’il n’ait pas le droit de tenter le n-ème saut ?
Exercice 9
On lance une pièce équilibrée n fois ( n ≥ 2). Pour tout k ∈ {1, ..., n} Ak désigne l’événement : " on obtient
pile au k-ème lancer". Soit Bn+1 l’événement : le nombre de piles obtenus au cours des premiers lancers est pair ".
1. Calculer P (Bn+1 ).
2. Calculer P (A1 ∩ .... ∩ An ∩ Bn+1 ).
3. En déduire que les événements A1 , ..., An , Bn+1 ne sont pas mutuellement indépendants.
4. Montrer que toute sous-famille de n événements choisis parmi A1 , ..., An , Bn+1 est formée d’événements
mutuellement indépendants.
2
Exercice 10
On considère une suite de lancers indépendants d’une pièce truquée pour laquelle la probabilité d’obtenir "
pile" est p et la probabilité d’obtenir "face" est q = 1 − p (p ∈]0, 1[). " pile" ( resp. "face") sera noté en abrégé P
( resp. F ).
1. Soit n ≥ 1. On considère l’événement An : " la séquence P F apparaît pour la première fois aux lancers (n−1)
et n . Calculer P (An ).
2. Quelle est la probabilité de l’événement A : " la séquence P F apparît au moins une fois.
3. Soit B : l’événement : " La séquence P P apparaît sans qu’il n’y ait eu de séquence P F au paravant."".
Calculmer P (B).
Exercice 11
On lance une pièce de monnaie autant de fois que nécessaire pour obtenir au total cinq fois pile.
1. Quelle est la probabilité pour qu’on ait besoin de faire au minimum n lancers ?
2. Quelle est la probabilité pour qu’on n’y arrive jamais ? Interpréter.
Exercice 12
Deux personnes écrivent au hasard et indépendamment l’une de l’autre un nombre de deux chiffres ( entre 10
et 99). Si le numéro est le même, elles s’arrêtent, sinon elles recommencent. On suppose que les expériences sont
indépendantes.
1. Quelle est la probabilité qn qu’elles écrivent le même numéro au n−ème essai ?
2. Quelle est la probabilité qu’elles n’écrivent jamais le même numéro ? Interpréter ce résultat.
Exercice 13
Soit p ∈]0, 1[. Deux adversaires ( A et B) joent au tennis. Ils sont à égalité 7 points à 7 dans le jeu décisif d’un
set. Le joueur A a la probabilité p de gagner chacun des points suivants ( et le joueur B a la probabilité 1 − p).
On suppose que le résultat de chaque point est indépendant des points précédents. le joueur gagnant est celui qui
mène au score par deux points d’écart pour la première fois.
1. Justifier que le nombre de points qui restent à jouer est pair.
2. Quelle est la probabilité que le jeu dure encore 2n points ?
3. Quelle est la probabilité que le joueur A gagne ?
4. Quelle est la probabilité que le joueur B gagne ?
5. En déduire la probabilité que le jeu dure indéfiniment.
Exercice 14
Soit p ∈]0, 1[.On pose q = 1 − p.
1. En utilisant la formule de Taylor, montrer que la série de terme général
+∞ k
∑
q
k=1
k
qn
converge et que
n
= − ln(1 − q).
2. On dispose d’une urne contenant initialement une boule blanche, et d’une pièce de monnaie bien équilibrée.
a chaque fois que l’on obtient face, on ajoute une boule noire dans l’urne , et la première fois que l’on obtient
pile, on tire au hasard une boule de l’urne ( si on n’obtient jamais pile, on se fait donner une boule blanche).
Expliquer pourquoi cette expérience se termine presque sûrement au bout d’un n ombre fini de lancers. Quelle
est la probabilité d’avoir une boule blanche ?
3
Exercice 15
Une boite A contient deux jetons portant le numéro 0 et une boite B contient deux jetons portant le numéro
1. On tire au hasard un jeton dans chaque boite et on les échange. On recommence cette opération n fois. On
s’intéresse à la somme des jetons contenus dans l’urne A à l’instant t = n. Pour cela, on introduit les évènements :
Pn : " la somme des jetons contenus dans l’urne A à l’instant t = n vaut 0 "
Qn : " la somme des jetons contenus dans l’urne A à l’instant t = n vaut 1 "
Rn : " la somme des jetons contenus dans l’urne A à l’instant t = n vaut 2 "
On pose également pn = P (Pn ), qn = P (Qn ) et rn = P (Rn ).
1. Calculer p0 , q0 , r0 , p1 , q1 , r1 .
2. Exprimer pn+1 (resp. qn+1 , resp. rn+1 ) en fonction de pn , qn , rn
1
1
3. Montrer que ∀n > 0, qn+2 = qn+1 + qn .
2
2
4. En déduire l’expression de qn en fonction de n puis celle de pn et de qn .
5. Déterminer les limites des trois suites. Interprétation.
Exercice 16
Deux joueurs A et B , de fortunes initiales respectives ( en euros) , nA et nB = N − nA décident de s’affronter
en une suite de parties indépendantes. A chaque partie, le joueur A peut gagner avec la probabilité a , sinon c’est
B qui gagne avec la probabilité b = 1 − a, le perdant donnant 1 euro au gagnant.Le match ne s’arrête qu’avec la
ruine d’un des deux joueurs. La fortune de chaque joueur varie donc au cours du match ; on note αn la probabilité
que A gagne par ruine de B quand on se place à une étape du match où la fortune de A s’élève à n euros.
1. Trouver une relation de récurrence linéaire d’ordre 2 que vérifie la suite (αn ).
2. En déduire que , si a ̸= b , ∀n ∈ {1, ..., N } ,αn =
1 − ( ab )n
1 − ( ab )N
.
3. Que vaut αn si a = b?
Exercice 17
On considère une urne contenant au départ une boule blanche. On tire à pile ou face autant de fois que
nécessaire. Tant qu’on obtient face , on ajoute une boule noire dans l’urne. La première fois qu’on obtient pile , on
tire une boule de l’urne et l’expérience s’arrête. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit blanche ?
Exercice 18
On note N l’ensemble des entiers naturels. Soit a et b deux réels tels que 0 < a < 1 et 0 < b < 1.
On effectue une suite d’expériences aléatoires consistant à jeter simultanément deux pièces de monnaie notées
A et B. On suppose que ces expériences sont indépendantes et qu’à chaque expérience les résultats des deux pièces
sont indépendants. On suppose que, lors d’une expérience, la probabilité que la pièce A donne pile est a, et que la
probabilité que la pièce B donne pile est b.
1. Pour tout entier naturel n, calculer la probabilité µn , que la pièce A donne n fois pile et, à la (n + 1)ième
expérience, face pour la première fois. Calculer de même la probabilité νn que la pièce B donne n piles et, à
la (n + i)ième expérience, face pour la première fois.
2. Montrer que les suites (µn )n∈N et (νn )n∈N définissent des lois de probabilité sur N.
Exercice 19
Dans chacune des expériences qui suivent, reconnaître la loi de X.
1. On range au hasard 20 objets dans trois tiroirs. X représente le nombre d’objets dans le premier tiroir.
2. Un enclos contient 15 lamas , 15 dromadaires et 15 chameaux. On sort un animal au hasard de cet enclos.
X représente le nombre de bosses.
4
3. Une urne contient 6 boules vertes , 3 boules rouges et 5 boules bleues. On tire successivement et avec remise
10 boules de l’urne. X représente le nombre de boules vertes tirées.
4. Chaque jour le cours d’une action monte avec probabilité 1/3. X représente le nombre de jours consécutifs
avant d’observer la première baisse.
Exercice 20
Une machine-outil produit à la chaîne des objets manufacturés et l’on sait qu’en période de marche normale la
probabilité pour qu’un objet soit défectueux (resp. non défectueux) est p (resp. q = 1 − p). On se propose de vérifier
la machine. A cet effet, on observe la variable aléatoire Tr égale au nombre minimum de prélévements successifs
qu’il faut effectuer pour obtenir r objets défectueux.
1. Calculer la loi de T1 .
2. A l’aide d’un système complet bien choisi ,déterminer la loi de T2 .
3. Déterminer la loi de Tr .
Exercice 21
On considère une urne contenant des boules jaunes, noires et bleues en proportions p, q et r respectivement.
On effectue dans cette urne des tirages successifs d’une boule avec remise jusqu’à obtention pour la deuxième fois
d’une boule bleue. On note X le nombre de tirages effectués et Y le nombre de boules jaunes obtenues lors de cette
série de tirages.
1. Montrer que la probabilité de n’obtenir qu’au plus une boule bleue au cours d’une infinité de tirages est
nulle. Qu’en déduit-on ?
2. Donner la loi de X.
2. Montrer que pour tout entier naturel n et tout réel a vérifiant |a| < 1,
∞ (
)
∑
1
k+n k
n a = (1 − a)n+1 .
k=0
N (
)
∑
k+n+1 k
(On pourra être amené à calculer lim (1 − a)
n+1 a .)
3. Vérifier que
+∞
∑
N →∞
k=0
P (X = n) = 1.
n=1
Exercice 22
On lance inéfiniment un dé équilibré. On nomme pour tout i ∈ {1, .., 6}, Ti le temps d’attente de la sortie du
numéro i.
1. Donner pour chacun des i ∈ {1, .., 6}, la loi de Ti , et
2. Etudier pour i ̸= j la loi du couple (Ti , Tj ).
Exercice 23
Un péage comporte m guichets numérotés de 1 à m. Soit N la variable aléatoire égale au nombre de voitures
arrivant au péage en 1 heure. On suppose que N suit une loi de Poisson de paramètre λ > 0. On suppose de plus
que les conducteurs choisissent leur file au hasard et que ces choix sont indépendants. Soit X la variable aléatoire
égale au nombre de voitures se présentant au guichet n1.
1. Calculer P(N =n) (X = k) , 0 6 k 6 n.
2. Justifier que P (X = k) =
+∞
∑
P(N =n) (X = k) P (N = n)
n=k
( (
))n
∑ 1
1 k λk +∞
1
3. Montrer que P (X = k) =
)
λ 1−
.
m k! n=0 n!
m
4. En déduire la loi de probabilité de X (on retrouvera une loi usuelle)
e−λ (
5