devoir de mathematiques

DEVOIR DE MATHEMATIQUES
EXERCICE 1
Dans cet exercice, tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
Partie A
On dispose d’un dé cubique A parfaitement équilibré possédant une face verte, deux faces noires et
trois faces rouges. Un jeu consiste à lancer deux fois de suite et de manière indépendante ce dé.
On note à chaque lancer la couleur obtenue.
1) Calculer la probabilité pour qu’à l’issue d’un jeu, les deux faces obtenues soient noires.
Appelons N1 et N2 les évènements qui consistent à tirer une boule noire lors du 1er et du
2ème lancer. La probabilité demandée est P(N1 N2). Comme les lancers sont indépendants
on sait que P(N1 N2) = P(N1) × P(N2). Le dé ayant 2 faces noires sur 6, on a
2 1
1 1 1
P(N1)=P(N2) = = et P(N1 N2) = × = .
6 3
3 3 9
2) Soit l’événement C : « à l’issue d’un jeu, les deux faces obtenues sont de la même couleur ».
7
Démontrer que la probabilité de l’événement C est égale à
.
18
Les deux faces sont de même couleur si elles sont toutes deux noires ou rouges ou vertes, ces
3 éventualités étant distinctes. En reprenant les notations et le raisonnement de la question 1
on a P(C) = P(N1 N2) + P(V1 V2) +P(R1 R2), donc
1 1 1 1 1 1 1 1 1
7
P(C) = × × × = = .
3 3 2 2 6 6 9 4 36 18
3) Calculer la probabilité pour qu’à l’issue d’un jeu, les deux faces obtenues soient de couleurs
différentes.
L'évènement « les deux faces sont de couleurs différentes » est le contraire de « les deux
boules sont de même couleur », la probabilité demandée est donc :
7 11
P( C ) = 1 - P(C) = 1 = .
18 18
4) A l’issue d’un jeu, sachant que les deux faces obtenues sont de la même couleur, quelle est la
probabilité pour que les deux faces obtenues soient vertes ?
P V1 V 2C
Il faut calculer P C V1V 2 =
. Or V1 V2 C = V1 V2 , donc
P C
1 1 1
P( V1 V2 C) = P(V1 V2) = × = . On en déduit que :
6 6 36
1
36 1
P C V1V 2 = = .
7 14
18
Partie B
On dispose d’un second dé cubique B équilibré, présentant quatre faces vertes et deux faces noires.
Le nouveau jeu se déroule de la manière suivante : on lance le dé B ;
- Si la face obtenue est verte, on lance à nouveau le dé B et on note la couleur de la face
obtenue ;
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- Si la face obtenue est noire, on lance le dé A et on note la couleur de la face obtenue .
1) a) Construire un arbre de probabilités traduisant cette situation.
b) Quelle est la probabilité d’obtenir une face verte au deuxième lancer, sachant que l’on a
obtenu une face verte au premier lancer ?
a)
V2
2/3
V1
1/3
2/3
N2
V2
1/6
1/3
N1
1/3
1/2
N2
R2
b) Si on obtient une face verte au premier lancer on relance le dé B, la probabilité d'obtenir
2
une nouvelle fois une face verte est donc .
3
4
2) Démontrer que la probabilité d’obtenir deux faces vertes est égale à .
9
La probabilité d'obtenir deux faces vertes est P(V1 V2) = P(V1) × PV1(V2), soit
2 2 4
P(V1 V2) = × = .
3 3 9
3) Quelle est la probabilité d’obtenir une face verte au deuxième lancer ?
L'évènement « obtenir une face verte au deuxième lancer » est l'évènement V2.
D'après la formule des probabilités totales appliquée à V2 avec la partition (V1, N1), on a
2 2 1 1 4 1 9 1
P(V2) = P(V1) × PV1(V2) + P(N1) × PN1(V2) = × × = = = .
3 3 3 6 9 18 18 2
EXERCICE 2
1) On considère la fonction h définie sur par h(x) = xex .
e x 1
a) Calculer h'(x), puis montrer que h'(x) =
.
ex
La dérivée de e x est e x ×1=ex . On a donc h'(x) = 1ex .
1
1 e x 1
x
e
=
Comme
, h'(x) = 1 x = x .
ex
e
e
b) Etudier le signe de h'(x) et en déduire les variations de h.
Comme ex est positif, h'(x) a le même signe que ex – 1. Or ex – 1 s'annule pour x = 0 (en effet
e0 = 1) et la fonction ex est croissante. On en déduit le tableau suivant :
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x
0
-
+
ex-1
–
0
+
h'(x)
–
0
+
h(x)
1
2) La loi de Gumbel est une loi de probabilité qui permet de modéliser des valeurs extrêmes de
phénomènes naturels comme les crus. Pour la définir on utilise la fonction f définie sur par
f x =eh x .
Calculer f '(x) et étudier le sens de variation de f.
f x =eh x donc f est du type eu avec u(x) = - h(x). Comme (eu)' = eu × u', on a
h x
h x
.
f ' x =e
×h' x=h ' x e
Une exponentielle étant toujours positive, f '(x) a le même signe que – h'(x), c'est à dire
l'opposé du signe de h'(x) trouvé dans la question précédente.
On a donc le tableau de variation suivant :
x
0
-
+
h'(x)
–
0
+
f '(x)
+
0
–
e-1
f(x)
EXERCICE 3
Partie A
Soit f la fonction définie sur par f (x) = e x . On appelle Cf sa courbe représentative dans un
repère orthonormal O , i , j .
1) a) Déterminer l’équation de la tangente T2 à Cf au point M2 d’abscisse 2.
b) Démontrer que la tangente T2 coupe l’axe (Ox) au point P2 d’abscisse 1. Tracer T2 sur le
graphique n°1
a) L'équation de la tangente en un réel a est : y = f '(a)(x – a) + f(a).
Ici a = 2 et f(x)= e x , donc f '(x)= e x . L'équation de T2 est y = e2(x – 2) + e2.
b) Comme P2 est sur l'axe (Ox), son ordonnée est égale à 0. Comme P2 est sur T2 son abscisse
est solution de 0 = e2(x – 2) + e2. Ce qui donne x = 1. On a donc P2(1, 0).
2) Soit N2 le projeté orthogonal de M2 sur (Ox), démontrer que N 2 P 2=i .
N2 étant le projeté orthogonal de M2 sur (Ox), ses coordonnées sont (2, 0). On en déduit que
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les coordonnées de N 2 P 2 sont xP2 – xN2 = 1 – 2 = -1 et yP2 – yN2 = 1 – 2 = -1, ce qui montre
que N 2 P 2=i .
3) Soit M (a ; e a ) un point quelconque de Cf .
a) Démontrer que la tangente Ta à Cf au point M coupe l’axe (Ox) au point P d’abscisse a – 1 .
b) Soit N le projeté orthogonal de M sur (Ox), démontrer que NP=i
a
a
a) L'équation de Ta est y = e (x – a) + e . Comme P est sur l'axe des abscisses, yP = 0. Comme
P est sur Ta, xP est solution de 0 = ea(x – a) + ea, donc xP = a – 1.
b) Comme N le projeté orthogonal de M sur (Ox), N a pour coordonnées (a, 0). Les
coordonnées de NP sont xP – xN = a – 1 – a = -1 et yP – yN = 0 – 0 = 0, ce qui montre que
NP=i .
Graphique n°1 (partie A)
Graphique n°2 (partie B)
8
M2
6
M
4
2
o
-4
o
N
P
4
Partie B
Soit g une fonction dérivable sur telle que g' (x) ≠ 0 pour tout x de .
Soit Cg sa courbe représentative dans un repère orthonormal O , i , j .
Pour a un nombre réel, on considère :
- M le point de Cg d’abscisse a. (on rappelle que M(a ; g(a))
- N le projeté orthogonal de M sur (Ox)
- P le point d’intersection de la tangente Ta en M à Cg et de l’axe des abscisses
Le graphique n°2 ci-dessus illustre la situation de cette partie B.
1) a) Déterminer l’équation de la tangente Ta .
g a
;0 .
b) Démontrer que P a pour coordonnées a
g ' a
a) L'équation de Ta est y = g'(a)(x – a) + g(a).
b) P est sur l'axe (Ox) donc yP = 0.
P est sur Ta donc xP est solution de 0 = g'(a)(x – a) + g(a), ce qui donne x P=a
2) a) Déterminer les solutions de l’équation différentielle :
g a .
g ' a
'= y
{ yy 0=2
b) Existe-t-il une fonction g vérifiant g(0) = 2 et NP=i ?
a) Les solutions de l'équation différentielle y' = y sont les fonctions f de la forme f(x) = Ce-x.
Comme y(0) = 2, on a f(0) = 2, donc Ce0 = 2 et C = 2. Le système proposé n'a donc qu'une
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seule solution qui est la fonction f(x) = 2e-x.
g a
; 0 et N a pour coordonnées (a ; 0), les
g ' a
g a
g a
; 0 . Pour que =1 ,
coordonnées de NP sont
NP=i , il faut et il suffit que
g ' a g ' a
y '= y
soit g'(a) = –g(a). Comme g(0) = 2, cela montre que g doit être solution de
et donc
y 0=2
que g(x) = 2e-x.
b) Comme P a pour coordonnées a
{
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