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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 28 décembre 2016 Enoncés 1
Exercice 1 [ 02647 ] [Correction]
(a) Montrer l’existence et l’unicité des suites d’entiers (an)n∈Net (bn)n∈Nvérifiant
1+√2n=an+bn√2
(b) Calculer a2
n−2b2 n.
(c) Montrer que pour tout n∈N, il existe un unique p∈N∗tel que
1+√2n=√p+pp−1
Exercice 2 [ 02646 ] [Correction]
Si (x,y,z)∈R3vérifie
eix+eiy+eiz=0
montrer
e2ix+e2iy+e2iz=0
Exercice 3 [ 03880 ] [Correction]
Soient a,b,cdes réels strictement positifs.
À quelle condition existe-t-il des complexes t,u,vde somme nulle vérifiant
t¯ t=a2,u¯u=b2et v¯v=c2
Exercice 4 [ 02781 ] [Correction]
Étudier la convergence de la suite banc1/n, où a>0.
Exercice 5 [ 02783 ] [Correction]
Soit (xn)n∈N∗une suite de réels positifs. On pose, pour tout n>0,
yn=rx1+qx2+··· +√xn
(a) Ici xn=apour tout n, où a>0. Étudier la convergence de (yn).
(b) Même question dans le cas où xn=ab2npour tout n, avec b>0.
(c) Montrer que (yn) converge si, et seulement si, la suite (x2−n
n) est bornée.
Exercice 6 [ 02645 ] [Correction]
Calculer 4
X
k=1
cos2kπ
9
Exercice 7 [ 02814 ] [Correction]
Soient x1,...,x13 des réels. Montrer qu’il existe iet jdans {1,...,13}tels que i,jet
0≤xi−xj
1+xixj≤2−√3
Exercice 8 [ 00501 ] [Correction]
Soit fune fonction croissante de [0 ; 1] dans [0 ; 1].
(a) Montrer que s’il existe x∈[0 ; 1] et k∈N∗tels que fk(x)=xalors xest un point fixe
pour f.
(b) Montrer que fadmet un point fixe.
Exercice 9 [ 02820 ] [Correction]
Soient f:I→Rune fonction deux fois dérivable sur Iet a,b,ctrois points distincts de I.
Montrer
∃d∈I,f(a)
(a−b)(a−c)+f(b) (b−c)(b−a)+f(c) (c−a)(c−b)=1 2f00(d)
Exercice 10 [ 02821 ] [Correction]
Soit f:R+→Runiformément continue. Montrer qu’il existe des réels positifs aet btels
que
∀x≥0,f(x)≤ax +b
Exercice 11 [ 02785 ] [Correction]
Étudier les limites de Qn
k=11+k
n1/net de Qn
k=11+k
n21/n.
Exercice 12 [ 02786 ] [Correction]
Calculer les limites de
n
X
k=1
sin k
n!sin k
n2!et
n
X
k=1
sin21
√k+n
lorsque n→+∞.
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Exercice 13 [ 02787 ] [Correction]
Si n∈N∗et x∈R, soit fn(x)=Pn
k=1sin(kx)
k.
Soit xnle plus petit réel strictement positif en lequel fnatteint un maximum local.
Calculer lim fn(xn).
Exercice 14 [ 02816 ] [Correction]
Énoncer et établir la formule de Taylor avec reste intégrale.
Exercice 15 [ 02664 ] [Correction]
(a) Soit n∈N∗. Montrer que
X2n−1=(X2−1)
n−1
Y
k=1
(X2−2Xcos kπ
n
+1)
(b) Soit un réel a,±1 ; déduire de a) la valeur de
Zπ
0
ln(a2−2acos t+1) dt
Exercice 16 [ 02817 ] [Correction]
(a) Montrer, pour tout x∈]0 ; π/2[, l’existence de θx∈]0 ; 1[ tel que
sin x=x−x3
6cos(xθx)
(b) Étudier la limite de θxquand xtend vers 0 par valeur supérieure.
Exercice 17 [ 03198 ] [Correction]
Déterminer un équivalent quand n→+∞de
un=
n
X
k=1
1
(n+2k)3
Exercice 18 [ 01972 ] [Correction]
Soient (a,b)∈R2tel que a<b,f: [a;b]→Rcontinue et n∈Ntelle que
∀k∈{0,1, ..., n},Zb
a
tkf(t) dt=0
Montrer que la fonction fs’annule au moins n+1 fois sur [a;b].
Exercice 19 [ 02782 ] [Correction]
Soient des réels positifs aet b. Trouver la limite de
a1/n+b1/n
2!n
Exercice 20 [ 02788 ] [Correction]
Donner un développement asymptotique de 1
n!Pn
k=0k!n∈Nà la précision o(n−3).
Exercice 21 [ 02654 ] [Correction]
Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n+3.
Exercice 22 [ 02656 ] [Correction]
Soient des entiers a>1 et n>0.
Montrer que si an+1 est premier alors nest une puissance de 2.
Exercice 23 [ 02657 ] [Correction]
Soit, pour n∈N,Fn=22n+1.
(a) Montrer, si (n,m)∈N2avec n,m, que Fn∧Fm=1.
(b) Retrouver à l’aide du a) le fait que l’ensemble des nombres premiers est infini.
Exercice 24 [ 02653 ] [Correction]
Soit pun nombre premier, p≥5. Montrer que p2−1 est divisible par 24.
Exercice 25 [ 02674 ] [Correction]
Trouver les P∈R[X] tels que P(X2)=(X2+1)P(X).
Exercice 26 [ 02669 ] [Correction]
(a) Si P∈R[X] est scindé sur R, montrer que P0est scindé ou constant sur R.
(b) Si (a,b,c)∈R3, montrer que X10 +aX9+bX8+cX7+X+1 n’est pas scindé sur R.
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Exercice 27 [ 02668 ] [Correction]
Déterminer les Pde R[X] tels que
(X+4)P(X)=XP(X+1)
Exercice 28 [ 02670 ] [Correction]
Soit n∈N. Montrer qu’il existe un unique polynôme P∈C[X] tel que P(cos θ)=cos nθ
pour tout θréel. On le note Tn.
(a) Lier Tn−1,Tnet Tn+1.
(b) Donner une équation différentielle vérifiée par Tn.
(c) Calculer T(k)
n(1) et T(k) n(−1).
Exercice 29 [ 02673 ] [Correction]
On cherche les polynômes Pnon nuls tels que
P(X2)=P(X−1)P(X)
(a) Montrer que toute racine d’un tel Pest de module 1.
(b) Déterminer les polynômes P.
Exercice 30 [ 02671 ] [Correction]
Quels sont les couples (P,Q)∈R[X]2vérifiant P2+(1 −X2)Q2=1 ?
Exercice 31 [ 02672 ] [Correction]
Déterminer les polynômes Pde R[X]\{0}vérifiant
P(X2)=P(X−1)P(X)
Exercice 32 [ 02663 ] [Correction]
(a) Montrer que a=cos(π/9) est racine d’un polynôme de degré trois à coefficients dans
Z.
(b) Justifier que le nombre aest irrationnel.
Exercice 33 [ 02676 ] [Correction]
Décomposer en éléments simples dans C(X) la fraction rationnelle
Xn−1
Xn−1
Exercice 34 [ 02665 ] [Correction]
Montrer, pour tout n∈N, qu’il existe un unique Pn∈Rn+1[X] tel que Pn(0) =0 et
Pn(X+1) −Pn(X)=Xn.
Exercice 35 [ 02682 ] [Correction]
Soient f,g∈ L(E) où Eest un espace vectoriel sur Kde dimension finie. Montrer
rg( f)−rg(g)≤rg( f+g)≤rg( f)+rg(g)
Exercice 36 [ 02685 ] [Correction]
Soient a0,a1,...,andes réels non nuls deux à deux distincts.
On note Fjl’application de Rn[X] dans Rdéfinie par
Fj(P)=Zaj
0
P
Montrer que (F0,F1,...,Fn) est une base de (Rn[X])∗.
Exercice 37 [ 02242 ] [Correction]
Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels de dimensions finies respectives net pavec
n>p.
On considère u∈ L(E,F) et v∈ L(F,E) vérifiant
u◦v=IdF
(a) Montrer que v◦uest un projecteur.
(b) Déterminer son rang, son image et son noyau.
Exercice 38 [ 03286 ] [Correction]
Caractériser les sous-espaces Fd’un espace vectoriel Etels que
h−1(h(F)) =h(h−1(F))
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Exercice 39 [ 02684 ] [Correction]
Soit Eet Fdes espaces vectoriels sur K, de dimensions finies ou non. Montrer que
(E×F)∗et E∗×F∗sont isomorphes.
Exercice 40 [ 02680 ] [Correction]
Soit Eet Fdes K-espaces vectoriels. On se donne f∈ L(E,F), une famille (Ei)1≤i≤nde
sous-espaces vectoriels de Eet une famille (Fj)1≤j≤pde sous-espaces vectoriels de F.
(a) Montrer
f(
n
X
i=1
Ei)=
n
X
i=1
f(Ei)
(b) Montrer que si fest injective et si la somme des Eiest directe alors la somme des
f(Ei) est directe.
(c) Montrer
f−1(
p
X
j=1
Fj)⊃
p
X
j=1
f−1(Fj)
Montrer que cette inclusion peut être stricte. Donner une condition suffisante pour
qu’il y ait égalité.
Exercice 41 [ 02689 ] [Correction]
Soient n∈N∗,α1, . . . , αndes complexes distincts, A=diag(α1, . . . , αn) et
C(A)={M∈ Mn(C),AM =MA}
Montrer que (Ak)0≤k≤n−1est une base de C(A).
Exercice 42 [ 02687 ] [Correction]
Soient A,B∈ Mn(R) où Best nilpotente et commute avec A. Montrer que Aet A+Bsont
simultanément inversibles.
Exercice 43 [ 02679 ] [Correction]
Soient f,g∈ L(R2) tel que f2=g2=0 et f◦g=g◦f. Calculer f◦g.
Exercice 44 [ 02688 ] [Correction]
Soit ωune racine primitive n-ième de 1. On pose
Fω(P)=1
√n
n−1
X
k=0
P(ωk)Xk
pour tout P∈Cn−1[X].
Montrer que Fωest un automorphisme de Cn−1[X] et exprimer son inverse.
Exercice 45 [ 03976 ] [Correction]
Soit A∈GLn(R) vérifiant
A+A−1=In
Pour k∈N, calculer Ak+A−k.
Exercice 46 [ 00734 ] [Correction]
Soient Eun espace vectoriel de dimension finie et Gun sous-groupe de GL(E) de cardinal
fini n. Montrer
dim\
g∈G
ker(g−IdE)=1
nX
g∈G
tr g
Exercice 47 [ 02651 ] [Correction]
(a) Soit Gun sous-groupe fini de GLn(R) tel que Pg∈Gtr g=0. Montrer que Pg∈Gg=0.
(b) Soit Gun sous-groupe fini de GLn(R), Vun sous-espace vectoriel de Rnstable par
les éléments de G. Montrer qu’il existe un supplémentaire de Vdans Rnstable par
tous les éléments de G.
Exercice 48 [ 02686 ] [Correction]
(a) Soit fune forme linéaire sur Mn(R) vérifiant
∀A,B∈ Mn(R),f(AB)=f(BA)
montrer que fest proportionnelle à la trace.
(b) Soit gun endomorphisme de l’espace vectoriel Mn(R) vérifiant
g(AB)=g(BA)
pour toutes A,B∈ Mn(R) et g(In)=In. Montrer que gconserve la trace.
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Exercice 49 [ 02693 ] [Correction]
Calculer le déterminant 
a1+x(x)
...
(x)an+x
où x,a1,...,anréels.
Exercice 50 [ 02694 ] [Correction]
Soient A,B,C,D∈ Mn(K) avec AC =CA. Montrer que
det A C
B D!=det(DA −BC)
Exercice 51 [ 02659 ] [Correction]
Soient des matrices A,B∈ Mn(Z) telles que det Aet det Bsont premiers entre eux.
Montrer l’existence de U,V∈ Mn(Z) telles que
UA +V B =In
Exercice 52 [ 02695 ] [Correction]
Soit A∈ Mn(C) (avec n≥2) vérifiant pour tout X∈ Mn(C),
det(A+X)=det A+det X
Montrer que det A=0 puis A=0.
Exercice 53 [ 03288 ] [Correction]
Soient A,B,C,Ddes matrices carrées d’ordre n, réelles et commutant deux à deux.
Montrer que la matrice
M= A B
C D!
est inversible si, et seulement si, AD −BC l’est.
Exercice 54 [ 02734 ] [Correction]
Calculer le minimum de
Z1
0
(t3−at2−bt −c)2dt
pour a,b,cparcourant R.
Exercice 55 [ 02736 ] [Correction]
On munit Mn(R) du produit scalaire rendant orthonormée la base canonique, dont on note
kk la norme associée. Soit Jla matrice de Mn(R) dont tous les coefficients sont égaux à 1.
Si M∈ Mn(R), calculer inf(a,b)∈R2kM−aIn−bJk.
Exercice 56 [ 03764 ] [Correction]
Soit A=(ai,j)1≤i,j≤n∈ Mn(R). Calculer
inf
M∈Sn(R)
X
1≤i,j≤nai,j−mi,j2
Exercice 57 [ 02743 ] [Correction]
Soit A=(ai,j)1≤i,j≤nune matrice réelle orthogonale. Montrer que
X
1≤i,j≤n
ai,j≤n
Exercice 58 [ 02733 ] [Correction]
Soient c∈R, (E,h., .i) un espace euclidien de dimension n≥2, v1,...,vndes vecteurs
unitaires de Edeux à deux distincts tels que :
∀(i,j)∈{1,...,n}2,i,j=⇒Dvi,vjE=c
Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur cpour que (v1,...,vn) soit
nécessairement liée.
Exercice 59 [ 02745 ] [Correction]
Soient (a,b,c)∈R3,σ=ab +bc +ca,S=a+b+cet la matrice
M=
a b c
c a b
bca
(a) Montrer
M∈ O3(R)⇐⇒ σ=0 et S∈{−1,1}
(b) Montrer
M∈SO3(R)⇐⇒ σ=0 et S=1
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