Statistique Mathématique
Statistique Mathématique
F. Balabdaoui-Mohr et O. Wintenberger
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Nous tenons à remercier Paul Doukhan et Jean-Marc Bardet pour avoir mis
à disposition leurs notes de cours desquelles les chapitres 1, 7 et 8 du présent
polycopié sont en grande partie inspirés.
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Table des matières
I Fondements de la statistique mathématique 3
1 Rappels de probabilités 5
1.1 Rappels sur la théorie de la mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Mesures ............................. 5
1.1.2 Intégration de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Applications en probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 Espérance de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2 Fonction de répartition et quantiles d’une loi de probabilité . 16
1.2.3 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.4 Principales lois de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.5 Vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.6 Fonctions caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.7 Convergence de suites de variables aléatoires . . . . . . . . . 26
1.2.8 Espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Échantillonnage 29
2.1 L’échantillon aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1 Population de taille finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.2 Expériences renouvelables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.3 Modèle d’échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Cas de la population finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.1 La moyenne empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.2 Variance empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 Cas d’expériences renouvelables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.1 Moments empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.2 Processus empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.3 Quantiles empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Exhaustivité et information 47
3.1 Exhaustivité............................... 47
3.1.1 Statistique............................ 47
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