Exemples d`encadrement d`une intégrale au moyen d`un

DOSSIER N◦77
Question :
Pr´esenter un choix d’exercices sur le th`eme suivant :
Exemples d’encadrement d’une int´egrale au moyen d’un encadrement de la
fonction `a int´egrer ; exemples d’applications `a l’obtention d’encadrements d’une
fonction.
Pour au moins l’un de ces exercices, la r´esolution doit faire appel `a l’utilisation
d’une calculatrice.
Consignes de l’´epreuve :
Pendant votre pr´eparation (deux heures), vous devez r´ediger sur les fiches
mises `a votre disposition, un r´esum´e des commentaires que vous d´evelopperez
dans votre expos´e et les ´enonc´es de vos exercices. La qualit´e de ces fiches inter-
viendra dans l’appr´eciation de votre ´epreuve. Le terme “ exercice ” est `a pren-
dre au sens large ; il peut s’agir d’applications directes du cours, d’exemples ou
contre-exemples venant ´eclairer une m´ethode, de situations plus globales ou plus
complexes utilisant ´eventuellement des notions prises dans d’autres disciplines.
Vous expliquerez dans votre expos´e (25 minutes maximum) la fa¸con dont vous
avez compris le sujet et les objectifs recherch´es dans les exercices pr´esent´es : acqui-
sition de connaissances, de m´ethodes, de techniques, ´evaluation. Vous analyserez
la pertinence des diff´erents outils mis en jeu.
Cet expos´e est suivi d’un entretien (20 minutes minimum).
Annexes :
Vous trouverez page suivante, en annexe, quelques r´ef´erences aux programmes
ainsi qu’une documentation conseill´ee.
Ces indications ne sont ni exhaustives, ni imp´eratives ; en particulier, les r´ef´erences
au programme ne constituent pas le plan de l’expos´e.
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ANNEXE DU DOSSIER N◦77
R´ef´erences aux programmes :
Extraits de programmes de Terminales S :
Int´egration
Pour une fonction fpositive sur
[a, b], introduction de la notation
Zb
a
f(x)dx comme aire sous la
courbe. (...)
On indiquera que l’aire sous
la courbe peut ˆetre ap-
proch´ee en l’encadrant par
deux suites adjacentes en
quadrillant le plan de plus
en plus finement. (...)
(...)
Lin´earit´e, positivit´e, ordre, rela-
tion de Chasles.
In´egalit´e de la moyenne.
On interpr´etera ces pro-
pri´et´es en terme d’aire ou
en terme de valeur moyenne
pour les rendre conformes `a
l’intuition.
Les propri´et´es g´en´erales
de l’int´egrale seront rapi-
dement comment´ees et
admises; les ´el`eves s’en
serviront comme r`egles
op´eratoires.
Int´egration et d´erivation.
Notion de primitive.
Th´eor`eme : “si fest continue
sur un intervalle I, la fonction
Ftelle que F(x) = Zx
a
f(t)dt
est l’unique primitive de fsur I
s’annulant en a.”
On d´emontera que Fest
une primitive de fdans le
cas o`u fest continue et
croissante, et on admettra le
cas g´en´eral.
Emploi des calculatrices programmables : l’emploi des calculatrices programmables (...) en
Math´ematiques a pour objectif, non seulement d’effectuer des calculs, mais aussi de controler des
r´esulats, d’alimenter le travail de recherche et de favoriser une bonne approche de l’informatique.
Les ´el`eves doivent savoir utiliser leur mat´eriel personnel (...). Les capacit´es suivantes (...) seules
sont exigibles :
•Savoir effectuer les op´erations arithm´etiques sur les nombre et savoir comparer des nombres ;
•Savoir utiliser les commandes des fonctions qui figurent au programme de la classe consid´er´ee et
savoir faire effectuer le calcul des valeurs d’une fonction d’une variable permis par ces commandes ;
•Savoir afficher `a l’´ecran la courbe repr´esentative d’une fonction ;
•Savoir programmer une instruction s´equentielle ou conditionnelle et, en classe, de Terminale, une
instruction it´erative, comportant ´eventuellement un test d’arrˆet.

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Il ne s’agit en aucun cas d’une correction,
mais seulement de mon point de vue sur le sujet.
Il s’agit dans ce dossier de pr´esenter des activit´es portant sur la relation entre
in´egalit´es et calcul int´egral. Cette relation est particuli`erement f´econde, puisqu’elle
permet entre autre, d’obtenir des approximations de π, le comportement au voisi-
nage de z´ero des fonctions trigonom´etriques et bien d’autre choses. Cette f´econdit´e
tient `a deux choses :
1-) la profondeur de la notion d’int´egrale qui interagit avec tous les objets de
l’analyse : nombres, suites, fonctions ;
2-) l’importance de l’obtention d’in´egalit´es en analyse ; l’objet de l’analyse est en
effet, dans une grande mesure, l’´etude de comportements locaux ou asymptotiques,
et ces ´etudes passent souvent par des comparaisons.
Je me propose, dans ce qui suit de revenir sur la notion d’int´egrale dans le sec-
ondaire, sur sa relation avec les in´egalit´es et sur l’utilit´e de l’obtention d’in´egalit´es
en analyse.
I. Calcul int´egral et in´egalit´es en Terminale.
La d´efinition d’une int´egrale en Terminale repose sur le calcul d’aire. L’int´egration
des in´egalit´es est donc une cons´equance directe de la positivit´e de l’aire et de la
lin´earit´e. Aucune difficult´e sur la notion d’aire n’est abord´ee : elle demeure intu-
itive.
La relation avec le calcul diff´erentielle est abord´ee par la suite ; c’est elle qui
permettra de faire des calculs :
Th´eor`eme : Soit fune fonction continue sur un intervalle I. Alors la
fonction Ftelle que F(x) = Zx
a
f(t)dt est l’unique primitive de fsur I
s’annulant en a.
L’int´egration des in´egalit´es est alors une g´en´eralisation du th´eor`eme reliant varia-
tions et signe de la d´eriv´ee. On peut mˆeme y voir une justification.
II. Encadrements et in´egalit´es.
Les propri´et´es de la relation d’ordre de Rsont d’une importance fondamentale
et d’une certaine fa¸con, elle caract´erise le corps des r´eels. Rien d’´etonnant donc `a
ce que l’obtention d’in´egalit´es joue un rˆole primordial en analyse r´eelle. Elles vont
servir `a comparer des objets d’´etude, nombres, suites, fonctions, `a des objets de
r´ef´erences que l’on sait mieux appr´ehender.

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Pour l’´etude d’un nombre, les nombres d´ecimaux, rationnels, quadratiques ou
alg´ebriques pourront ˆetre nos r´ef´erences. Pour l’´etude d’une suite, ce seront, par
exemple, les suites (nα)n∈N∗. Pour l’´etude d’une fonction, les fonctions affines,
polynomiales ou les fonctions usuelles.
Dans ces diff´erents contextes, l’obtention d’in´egalit´es ou d’encadrements nous
permettra d’aboutir `a :
•des approximations d’un nombre – tout encadrement donne une approximation ;
ce seront alors des approximations d´ecimales, rationnels ...
•des r´esultats de convergence d’une suite et des informations sur la rapidit´e de
convergence ;
•des comportements asymptotiques ou locaux d’une fonction – calcul de limite,
d´erivabilit´e, branche asymptotique ...
J’ai choisi d’organiser mes exercices en fonctions des diverses applications que
l’on peut faire des in´egalit´es et encadrements que l’on va obtenir.
Dans le cadre de notre dossier, nous allons donc pouvoir, `a l’aide de l’int´egration
d’in´egalit´es, obtenir des valeurs approch´ees d’une int´egrale. Lorsque on connaitra
la valeur de cette int´egrale, nous aurons obtenu des approximations de ce nombre.
Si la valeur de notre int´egrale n’est pas connue, il conviendra de faire remarquer
que la primitive d’une fonction, mˆeme ´el´ementaire, n’est pas toujours exprimable
`a l’aide des fonctions usuelles ; calculer des valeurs approch´ees de son int´egrale
sur un intervalle sera alors crucial.
Pour ce qui est de l’obtention d’encadrements de fonctions, ce seront n´ecessaire-
ment des encadrements de primitives de fonctions que l’on a pu encadrer. On
pourra alors, comme pr´ec´edemment, obtenir des approximations des valeurs prises
par notre primitive. On pourra ´egalement utiliser ces encadrements pour ´etudier
des probl`emes de limites ou de d´erivabilit´e.

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EXERCICES :
Exercice 1 : In´egalit´e de la moyenne et m´ethode des rectangles.
Terracher 98 TS, pages 240 &241 et n◦126 page 253.
1-) Soit aet bdeux r´eels avec a < b et fune fonction continue croissante de
[a, b] dans R. Pour tout entier strictement positif n, on consid`ere la subdivision
[xi, xi+1] de l’intervalle [a, b] en nintervalles de mˆeme longueur (b−a)/n : pour
tout entier icompris entre 0 et n−1,
xi=a+ib−a
n.
On d´efinit les r´eels unet vnpar :
un=
n−1
P
i=0
f(xi)×b−a
n
vn=
n
P
i=1
f(xi)×b−a
n
a) Montrer que : un≤Rb
af(x)dx ≤vn.
b) Quelle est la nature de la suite (vn−un)n∈N∗?
c) En d´eduire que : lim
n→+∞un= lim n→+∞vn=Rb
af(x)dx.
2-) Quelle approximation de R1
0e−t2dt obtient-on ainsi en subdivisant [0,1] en 10
intervalles ?
Exercice 2 : Approximation de πou ln 2.
Terracher 98 TS, page 237 &n◦139 page 256.
1-) Montrer que pour tout entier net tout r´eel positif t, on a l’in´egalit´e suivante :
2n+1
P
k=0
(−1)ktk≤1
1 + t≤
2n
P
k=0
(−1)ktk
2-) En d´eduire un encadrement de ln 2 pour tout entier n. Donner une approxi-
mation de ln 2 `a 10−2pr´es.
3-) Donner une approximation de R1
0
1
1 + t2dt `a 10−2pr´es.
Exercice 3 : Un probl`eme de d´erivabilit´e.
Transmath 98 TS n◦56 page 209.
1-) Par int´egrations successives, montrer que pour tout entier net tout r´eel positif
x, on a les in´egalit´es suivantes :
2n+1
P
k=0
(−1)kx2k
(2k)! ≤cos x≤
2n
P
k=0
(−1)kx2k
(2k)!
2n+1
P
k=0
(−1)kx2k+1
(2k+ 1)! ≤sin x≤
2n
P
k=0
(−1)kx2k+1
(2k+ 1)!
2-) On consid`ere la fonction fd´efinie sur [0, π/2] par :
f(x) = 0 si x= 0,
=1
sin x−1
xsinon.