Exemples d`encadrement d`une intégrale au moyen d`un

DOSSIER N◦ 77
Question :
Présenter un choix d’exercices sur le thème suivant :
Exemples d’encadrement d’une intégrale au moyen d’un encadrement de la
fonction à intégrer ; exemples d’applications à l’obtention d’encadrements d’une
fonction.
Pour au moins l’un de ces exercices, la résolution doit faire appel à l’utilisation
d’une calculatrice.
Consignes de l’épreuve :
Pendant votre préparation (deux heures), vous devez rédiger sur les fiches
mises à votre disposition, un résumé des commentaires que vous développerez
dans votre exposé et les énoncés de vos exercices. La qualité de ces fiches interviendra dans l’appréciation de votre épreuve. Le terme “ exercice ” est à prendre au sens large ; il peut s’agir d’applications directes du cours, d’exemples ou
contre-exemples venant éclairer une méthode, de situations plus globales ou plus
complexes utilisant éventuellement des notions prises dans d’autres disciplines.
Vous expliquerez dans votre exposé (25 minutes maximum) la façon dont vous
avez compris le sujet et les objectifs recherchés dans les exercices présentés : acquisition de connaissances, de méthodes, de techniques, évaluation. Vous analyserez
la pertinence des différents outils mis en jeu.
Cet exposé est suivi d’un entretien (20 minutes minimum).
Annexes :
Vous trouverez page suivante, en annexe, quelques références aux programmes
ainsi qu’une documentation conseillée.
Ces indications ne sont ni exhaustives, ni impératives ; en particulier, les références
au programme ne constituent pas le plan de l’exposé.
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ANNEXE DU DOSSIER N◦ 77
Références aux programmes :
Extraits de programmes de Terminales S :
Intégration
Pour une fonction f positive sur
[a, b], introduction de la notation
Z b
f (x)dx comme aire sous la
a
courbe. (...)
On indiquera que l’aire sous (...)
la courbe peut être approchée en l’encadrant par
deux suites adjacentes en
quadrillant le plan de plus
en plus finement. (...)
Linéarité, positivité, ordre, rela- On interprétera ces protion de Chasles.
priétés en terme d’aire ou
Inégalité de la moyenne.
en terme de valeur moyenne
pour les rendre conformes à
l’intuition.
Intégration et dérivation.
Notion de primitive.
Théorème : “si f est continue
sur un intervalle I, laZ fonction
x
F telle que F (x) =
f (t)dt
Les propriétés générales
de l’intégrale seront rapidement commentées et
admises; les élèves s’en
serviront comme règles
opératoires.
On démontera que F est
une primitive de f dans le
cas où f est continue et
croissante, et on admettra le
cas général.
a
est l’unique primitive de f sur I
s’annulant en a.”
Emploi des calculatrices programmables : l’emploi des calculatrices programmables (...) en
Mathématiques a pour objectif, non seulement d’effectuer des calculs, mais aussi de controler des
résulats, d’alimenter le travail de recherche et de favoriser une bonne approche de l’informatique.
Les élèves doivent savoir utiliser leur matériel personnel (...). Les capacités suivantes (...) seules
sont exigibles :
• Savoir effectuer les opérations arithmétiques sur les nombre et savoir comparer des nombres ;
• Savoir utiliser les commandes des fonctions qui figurent au programme de la classe considérée et
savoir faire effectuer le calcul des valeurs d’une fonction d’une variable permis par ces commandes ;
• Savoir afficher à l’écran la courbe représentative d’une fonction ;
• Savoir programmer une instruction séquentielle ou conditionnelle et, en classe, de Terminale, une
instruction itérative, comportant éventuellement un test d’arrêt.
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Il ne s’agit en aucun cas d’une correction,
mais seulement de mon point de vue sur le sujet.
Il s’agit dans ce dossier de présenter des activités portant sur la relation entre
inégalités et calcul intégral. Cette relation est particulièrement féconde, puisqu’elle
permet entre autre, d’obtenir des approximations de π, le comportement au voisinage de zéro des fonctions trigonométriques et bien d’autre choses. Cette fécondité
tient à deux choses :
1-) la profondeur de la notion d’intégrale qui interagit avec tous les objets de
l’analyse : nombres, suites, fonctions ;
2-) l’importance de l’obtention d’inégalités en analyse ; l’objet de l’analyse est en
effet, dans une grande mesure, l’étude de comportements locaux ou asymptotiques,
et ces études passent souvent par des comparaisons.
Je me propose, dans ce qui suit de revenir sur la notion d’intégrale dans le secondaire, sur sa relation avec les inégalités et sur l’utilité de l’obtention d’inégalités
en analyse.
I. Calcul intégral et inégalités en Terminale.
La définition d’une intégrale en Terminale repose sur le calcul d’aire. L’intégration
des inégalités est donc une conséquance directe de la positivité de l’aire et de la
linéarité. Aucune difficulté sur la notion d’aire n’est abordée : elle demeure intuitive.
La relation avec le calcul différentielle est abordée par la suite ; c’est elle qui
permettra de faire des calculs :
Théorème : Soit f une fonction
Z x continue sur un intervalle I. Alors la
fonction F telle que F (x) =
f (t)dt est l’unique primitive de f sur I
a
s’annulant en a.
L’intégration des inégalités est alors une généralisation du théorème reliant variations et signe de la dérivée. On peut même y voir une justification.
II. Encadrements et inégalités.
Les propriétés de la relation d’ordre de R sont d’une importance fondamentale
et d’une certaine façon, elle caractérise le corps des réels. Rien d’étonnant donc à
ce que l’obtention d’inégalités joue un rôle primordial en analyse réelle. Elles vont
servir à comparer des objets d’étude, nombres, suites, fonctions, à des objets de
références que l’on sait mieux appréhender.
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Pour l’étude d’un nombre, les nombres décimaux, rationnels, quadratiques ou
algébriques pourront être nos références. Pour l’étude d’une suite, ce seront, par
exemple, les suites (nα )n∈N∗ . Pour l’étude d’une fonction, les fonctions affines,
polynomiales ou les fonctions usuelles.
Dans ces différents contextes, l’obtention d’inégalités ou d’encadrements nous
permettra d’aboutir à :
• des approximations d’un nombre – tout encadrement donne une approximation ;
ce seront alors des approximations décimales, rationnels ...
• des résultats de convergence d’une suite et des informations sur la rapidité de
convergence ;
• des comportements asymptotiques ou locaux d’une fonction – calcul de limite,
dérivabilité, branche asymptotique ...
J’ai choisi d’organiser mes exercices en fonctions des diverses applications que
l’on peut faire des inégalités et encadrements que l’on va obtenir.
Dans le cadre de notre dossier, nous allons donc pouvoir, à l’aide de l’intégration
d’inégalités, obtenir des valeurs approchées d’une intégrale. Lorsque on connaitra
la valeur de cette intégrale, nous aurons obtenu des approximations de ce nombre.
Si la valeur de notre intégrale n’est pas connue, il conviendra de faire remarquer
que la primitive d’une fonction, même élémentaire, n’est pas toujours exprimable
à l’aide des fonctions usuelles ; calculer des valeurs approchées de son intégrale
sur un intervalle sera alors crucial.
Pour ce qui est de l’obtention d’encadrements de fonctions, ce seront nécessairement des encadrements de primitives de fonctions que l’on a pu encadrer. On
pourra alors, comme précédemment, obtenir des approximations des valeurs prises
par notre primitive. On pourra également utiliser ces encadrements pour étudier
des problèmes de limites ou de dérivabilité.
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EXERCICES :
Exercice 1 : Inégalité de la moyenne et méthode des rectangles.
Terracher 98 TS, pages 240 & 241 et n◦ 126 page 253.
1-) Soit a et b deux réels avec a < b et f une fonction continue croissante de
[a, b] dans R. Pour tout entier strictement positif n, on considère la subdivision
[xi , xi+1 ] de l’intervalle [a, b] en n intervalles de même longueur (b − a)/n : pour
tout entier i compris entre 0 et n − 1,
a
xi = a + i b −
n .
On définit les réels un et vn par :
n−1
P
a
un =
f (xi ) × b −
n
i=0
n
P
a
vn =
f (xi ) × b −
n
i=1
Rb
a) Montrer que : un ≤ a f (x)dx ≤ vn .
b) Quelle est la nature de la suite (vn − un )n∈N∗ ?
Rb
c) En déduire que : lim un = lim vn = a f (x)dx.
n→+∞
n→+∞
R 1 −t2
2-) Quelle approximation de 0 e dt obtient-on ainsi en subdivisant [0, 1] en 10
intervalles ?
Exercice 2 : Approximation de π ou ln 2.
Terracher 98 TS, page 237 & n◦ 139 page 256.
1-) Montrer que pour tout entier n et tout réel positif t, on a l’inégalité suivante :
2n+1
2n
P
1 ≤ P (−1)k tk
(−1)k tk ≤ 1 +
t
k=0
k=0
2-) En déduire un encadrement de ln 2 pour tout entier n. Donner une approximation de ln 2 à 10−2 prés.
R1
3-) Donner une approximation de 0 1 2 dt à 10−2 prés.
1+t
Exercice 3 : Un problème de dérivabilité.
Transmath 98 TS n◦ 56 page 209.
1-) Par intégrations successives, montrer que pour tout entier n et tout réel positif
x, on a les inégalités suivantes :
2n
2n+1
2k
2k
P
P
≤ cos x ≤
(−1)k x
(−1)k x
(2k)!
(2k)!
k=0
k=0
2n+1
2n
2k+1
2k+1
P
P
(−1)k x
≤ sin x ≤
(−1)k x
(2k + 1)!
(2k + 1)!
k=0
k=0
2-) On considère la fonction f définie sur [0, π/2] par :
f (x) =
0
si x = 0,
1
1
sinon.
= sin x − x
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Calculer la limite de f lorsque x tend vers 0 par valeurs supérieures ? La fonction
f est-elle dérivable en 0 ?
Exercice 4 : Etude d’une suite définie par des intégrales.
Transmath 98 TS n◦ 50 page 231.
Pour tout entier n ∈ N, on considère l’intégrale :
Z 1 nx
e
In =
dx
x
0 e +1
nx
pour x ∈ [0, 1], donner un encadrement
1-) A l’aide d’un encadrement de xe
e +1
de In .
2-) En déduire les limites des suites (In )n∈N et( Inn )n∈N .
e