Probabilités 7. Variance, moments et espaces Lp

Probabilit´es
7. Variance, moments et espaces Lp
Denis Villemonais
IECL – ´ Ecole des Mines de Nancy
30 mai 2016
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1. Variance et covariance
D´efinition/proposition
Soient X,Ytelles que E(X2)<∞et E(Y2)<∞.
La variance de Xest bien d´efinie, donn´ee par
Var(X) = E(X2)−E(X)2
=E(X−E(X))2≥0.
La covariance de Xet Yest bien d´efinie, donn´ee par
Cov(X,Y) = E(XY )−E(X)E(Y)
=E[(X−E(X))(Y−E(Y))]
La fonction Cov est bilin´eaire sym´etrique.
X,Yind´ependants ⇒Cov(X,Y)=0.
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Exemple 1. Soit Xde loi 1
λe−x/λ1x>0λ1(dx )et Y=X+ 1.
1. Calculer la variance de X.
2. Calculer la covariance de Xet Y.
Solution.
1. Nous avons E(X2) = RRx21
λe−x/λ1x>0/ λ1(dx )=2λ2,donc
Var(X)est bien d´efinie. De plus, E(X) = λ, donc
Var(X) =E(X2)−E(X)2=λ2.
2. Y2=X2+ 2X+ 1, avec X≥0presque sˆurement, donc
E(Y2) = E(X2)+2E(X) + 1 = 2λ2+ 2λ+ 1 <∞.
De plus,
E(Y) = E(X+ 1) = E(X) + 1 = λ+ 1,
E(XY ) = E(X(X+ 1)) = E(X2) + E(X)=2λ2+λ.
En d´efinitive,
Cov(X,Y) = E(XY )−E(X)E(Y)=2λ2+λ−λ2−λ=λ2.
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Les espaces Lp,1≤p≤ ∞
Soit (Ω,F,P)un espace de probabilit´e.
Definition/Propri´et´e
Soit p∈[1,+∞[. On appelle espace Lpl’ensemble des variables
al´eatoires `a valeurs r´eelles Xtelles que
kXkp:= ZΩ|X(ω)|pP(dω)1
p
= (E(|X|p))
1
p<∞.
L’ensemble Lpest un espace vectoriel et l’application X7→ kXkp
est une norme sur Lp, en particulier
kX+Ykp≤ kXkp+kYkp,∀X,Y∈Lp.
→On pourrait consid´erer des variables al´eatoires dans Rden
rempla¸cant |·|par la norme euclidienne.
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Definition/Propri´et´e
On appelle espace L∞l’ensemble des variables al´eatoires `a valeurs
r´eelles Xborn´ees par une constante, c’est-`a-dire telles que
∃c≥0tel que P(|X| ≤ c)=1.
L’ensemble L∞est un espace vectoriel muni de la norme
kXk∞= inf{c≥0,t.q. P(|X| ≤ c)=1}
= min{c≥0,t.q. P(|X| ≤ c)=1}
→La formulation suivante est ´equivalente
kXk∞= max{A≥0,t.q. P(|X|>A)>0}.
→On utilise parfois la notation kXkp, mˆeme si X/∈Lp. Dans ce
cas, on a kXkp:= +∞.
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