ESPACES PROBABILISES FINIS Exercice 1

Lycée de l’Essouriau Année 2016-2017
PCSI
ESPACES PROBABILISES FINIS
Exercice 1
Langage ensembliste.
Trois enfants, Arthur, Béatrice et Cécile, lancent chacun un ballon en direction d’un panier de basket. Il est convenu
que celui qui marquera gagnera un paquet de bonbons, et qu’en cas d’ex-aequo les vainqueurs se partageront le
paquet. Si personne ne réussit son panier, chacun obtiendra le tiers des bonbons.
1. Quel espace de probabilité (Ω,P(Ω), P )choisiriez-vous pour décrire cette expérience aléatoire ?
2. En utilisant les événements :
A={Arthur marque un panier}, B ={Béatrice marque un panier},
C={Cécile marque un panier},
écrire de façon ensembliste les événements suivants :
D={tous les trois réussissent à marquer}, E ={aucun ne réussit à marquer},
F={Béatrice obtient tous les bonbons}, G ={les trois enfants obtiennent des bonbons},
H={Cécile obtient au moins un bonbon}, I ={Arthur ne reçoit aucun bonbon}.
3. Ecrire les événements ci-dessus comme sous-ensembles de Ω, préciser ceux qui sont des événements élé-
mentaires et donner l’expression de leur probabilité en fonction des probabilités notées a,bet cqu’Arthur,
Béatrice et Cécile respectivement marque un panier.
On suppose maintenant que les enfants répètent nfois l’expérience précédente dans les mêmes conditions (on
suppose que l’on dispose de npaquets de bonbons).
1. (a) Quel espace de probabilité (Ωn,P(Ωn), Pn)choisiriez-vous pour décrire cette expérience aléatoire ?
(b) Ecrire l’événement J={Cécile n’a pas gagné lors des deux premières parties}comme sous-ensemble de
Ωn:
2. On s’intéresse désormais uniquement aux succès éventuels de Cécile. On suppose de plus que Cécile a une
probabilité pde marquer à chaque partie.
(a) Proposer un nouvel espace de probabilité.
(b) Soit i∈ {1, ..., n}. Décrire dans cette nouvelle modélisation les éléments de l’événement,
Ci={Cécile a gagné lors de la i-ème partie}.
(c) Ecrire à l’aide des événements Ci, l’événement Jpuis les événements suivants
K={Cécile a gagné au moins une fois lors des npremières parties}
L={Cécile a gagné au moins deux fois lors des npremières parties}.
(d) Donner les événements contraires des événements J,Ket L.
(e) Donner les expressions des probabilités des événements J,Ket Len fonction de p.
1

Exercice 2
On pose au hasard n≥2livres côte à côte sur une étagère. Parmi ces livres, il y en a k∈ {2, . . . , n}qui sont
de l’auteur M.
1. Proposer un codage de la disposition des livres de l’auteur Msur cette étagère n’utilisant que les symboles
0et 1.
2. Quelle est la probabilité pour que tous les livres de l’auteur Msoient côte à côte ?
3. Soit r≥k. Quelle est la probabilité pour que tous les livres de l’auteur Msoient dans les rpremiers livres
de l’étagère ?
4. Soit ℓ∈ {k−2, . . . , n −2}. Quelle est la probabilité qu’il y ait ℓlivres entre le livre de l’auteur Mqui se
trouve le plus à gauche sur l’étagère et celui qui se trouve le plus à droite sur l’étagère ? Si k= 2, combien
de livres est-il le plus probable de trouver entre les deux livres de l’auteur Msur l’étagère ?
Exercice 3
On choisit au hasard deux sous ensembles Aet Bd’un ensemble Eànéléments. Calculer la probababilité que :
1. A∪Bsoit un singleton.
2. A∪B=E.
3. A∩Bsoit un singleton.
4. A⊂B.
Exercice 4
On répartit au hasard rboules dans ncases. On s’intéresse au nombre de boules présentes dans chaque case.
1. Décrire un espace de probabilité associé à cette expérience.
2. Calculer la probabilité, notée µr,n(k), que kboules tombent dans la case 1. Montrer que, si ret ntendent
vers +∞, de sorte que r
ntend vers λ > 0, on a :
µr,n(k)→µ(k) = λk
k!e−λ,∀k∈N.
3. Soient r1, . . . , rndes entiers tels que r1+· · · +rn=r. Calculer la probabilité d’obtenir r1boules dans la
case 1,. . . ,rnboules dans la case n.
4. Application 1 : quelle est la probabilité que parmi rpersonnes, au moins deux personnes aient leur anniversaire
le même jour ? Pour quelles valeurs de rcette probabilité est-elle supérieure à 0.5 ?
5. Application 2 : les messages électroniques envoyés à une entreprise sont dirigés aléatoirement vers la boîte
aux lettres d’une des cinq secrétaires de l’entreprise. Quelle est la probabilité que chaque secrétaire reçoive
au moins un des nmessages envoyés ?
Exercice 5
Une urne contient 10 boules blanches, 4noires, 6rouges.
1. On tire au hasard 3boules successivement et avec remise.Calculer la probabilité des événements suivants :
(a) Tirage contenant une noire exactement
(b) Tirage bicolore
(c) Tirage tricolore
2. Reprendre les questions dans le cas d’un tirage successif sans remise, puis dans le cas d’un tirage simultané.
3. On tire maintenant toutes les boules de l’urne successivement et sans remise. Calculer la probabilité que la
dernière boule blanche apparaîsse au tirage numéro k
2

Exercice 6
Une armoire contient 10 paires de chaussure. On choisit au hasard 8chaussures parmi les 20.
1. Calculer la probabilité des événements suivants :
(a) Parmi les 8 chaussures ne figure aucune paire
(b) Parmi ces 8 chaussures figure exactement une paire.
(c) Parmi ces 8 chaussures figure au moins une paire ?
2. Les paires sont numérotées de 1à10. Pour tout i∈ {1, ..., 10}, on nomme Xila varaible aléatoire valant 1
si les deux chaussures de la paire n°ise trouvent parmi les chaussures tirées , et 0sinon.
Déterminer la loi de Xi.Démontrer que E(Xi) = 14
95.
Exercice 7
1. Un quart d’une population a été vacciné. Parmi les vaccinés, on compte 1/12 de malades. Parmi les malades,
il y a 4non vaccinés pour un vacciné. Quelle est la probabilité pour un non vacciné de tomber malade ?
2. Une compagnie d’assurances répartit ses clients en trois classes R1, R2et R3: les bons risques, les risques
moyens et les mauvais risques. Les effectifs de ces trois classes représentent 20% de la population totale pour
la classe R1,50% pour la classe R2et 30% pour la classe R3. Les statistiques indiquent que les probabilités
d’avoir un accident au cours de l’année pour une personne de l’une de ces trois classes sont respectivement
de 0,05,0,15 et 0,30.
Si M. Martin ,n’a pas eu d’accident dans l’année, quelle est la probabilité qu’il soit un bon risque ?
Exercice 8
Lors d’une séance de tirs , un gardien arrête le premier tir avec la probabilité 0,3puis :
– S’il a arrêté un tir, il prend confiance et arrête le suivant avec la probabilité 0,5.
– S’il prend un but, il se décourage et arrête le suivant avec la probabilité 0,2.
On note Anl’événement " le gardien arrête le n-ième tir". On admet que tous les tirs sont "cadrés" et l’on note
pnla probabilité de An. Ainsi p1= 0,3.
1. Calculer p2.
2. Donner une relation de récurrence que vérifie la suite (pn)et en déduire l’expression de pnen fonction de n.
3. On fixe l’entier n≥3.On note Bnl’événement : " le gardien arrête un seul tir au cours des npremiers
pénaltys et cet arrêt a lieu lors du k-ième pénalty".
Calculer P(B1)et P(B2)puis P(Bk)pour k∈ {2, ..., n −1}. En déduire la probabilité que le gardien arrête
un seul tir au cours des npremiers pénaltys.
Exercice 9
Un service après-vente dispose d’équipes de dépannage qui interviennent auprès de la clientèle sur appel té-
léphonique. Les appels se produisent de façon indépendante, et la probabilité qu’un retard se produise dans le
dépannage à la suite d’un appel est p= 1/4.
1. Un même client a appelé le service à 8 dates différentes. Soit Xle nombre de retards que ce client a subi.
Définir la loi de probabilité de X. Calculer E(X)et V(X).
2. On considère un ensemble de 8 clients différents. 2 d’entre eux sont mécontents parce qu’ils ont subi un
retard. On contacte 4 clients parmi les 8. Soit Mle nombre de clients mécontents parmi les 4 contactés.
Définir la loi de M. La donner explicitement. Calculer E(M).
3

Exercice 10
Une urne contient 2boules blanches et 8boules noires. Un joueur tire successivement nboules avec remise. S’il
tire une boule blanche, il gagne 2points, sinon il en perd 3.Soit Xnle nombre de boules blanches et Ynle nombre
de points obtenus.
Déterminer la loi de Xn,puis E(Xn)et V(Xn).
Exprimer Ynen fonction de Xn.En déduire la loi de Yn,puis E(Yn)et V(Yn).
Exercice 11
Une piste rectiligne est divisée en cases numérotées 0,1,2, . . . , n, de gauche à droite. Une puce se déplace vers
la droite de une ou deux cases au hasard à chaque saut. Au départ, elle est sur la case 0. Soit Xnle numéro de
la case occupée par la puce après nsauts et Ynle nombre de fois où la puce a sauté d’une case au cours des n
premiers sauts
Donner la loi de Yn, E(Yn)et V(Yn).
Exprimer Xnen fonction de Ynet n. En déduire E(Xn)et V(Xn)puis la loi de Xn.
Exercice 12
Soit Xune variable aléatoire suivant une loi binomiale B(n, p).
1. Quelle est la loi suivie par la variable Y=n−X?
2. Calculer E(1
1+X).
3. Pour quelle valeur de k, la probabilité pk=P(X=k)est-elle maximale ?
0.1
Exercice 13
On dispose de n+ 1 urnes U0, U1, . . . , Untelles que pour tout k de {0,1, ..., n}l’urne Ukcontient kboules
blanches et n−kboules noires.
On effectue des tirages d’une boule, au hasard et avec remise dans ces urnes de la façon suivante : si après les
lancers de la pièce décrits dans la première question, la variable Zprend la valeur k(avec k>1), alors on tire
une par une et avec remise, kboules dans l’urne Uket l’on note Xla variable aléatoire égale au nombre de boules
blanches obtenues à lissue de ces tirages. Si la variable Za pris la valeur 0, aucun tirage n’est effectué et Xprend
la valeur 0.
1. Déterminer X(Ω).
2. (a) Déterminer, en distinguant les cas i= 0 et 16i6n, la probabilité PZ=0 (X=i).
(b) Déterminer, en distinguant les cas i=net 06i6n−1, la probabilité PZ=n(X=i).
(c) Pour tout kde {1,2, ..., n −1}déterminer, en distinguant les cas 06i6ket k < i 6n, la probabilité
conditionnelle PZ=k(X=i).
3. (a) Montrer que P(X= 0) =
n−1
k=1 n−k
2nk
+1
2n
(b) Montrer que P(X=n) = 1
2n
(c) Exprimer, pour tout ide {1,2, ..., n −1},P(X=i)sous forme dune somme que l’on ne cherchera pas
à réduire.
4. Vérifier, avec les expressions trouvées à la question précédente, que n
i=0 P(X=i) = 1.
4

Exercice 14
Soit nun entier naturel non nul. On dispose de nurnes numérotées de 1ànqui contiennent chacune nboules,
des noires et des blanches. de plus , pour tout entier i∈ {1, ..., n}, l’urne icontient exactement n−iboules noires.
On choisit une urne au hasard puis on prélève une boule dans l’urne choisie.
1. Calculer la probabilité que la boule tirée soit blanche .
2. Sachant que la boule tirée est blanche, quelle est la probabilité qu’elle vienne de l’urne 1?
Exercice 15
Un joueur prélève simultanément nnoules dans une urne contenant Nboules numérotées de 1àN.On considère
la variable aléatoire Xégale au plus grand numéro des nboules prélevées.
1. Déterminer la loi de X
2. Montrer que E(X) = n(N+ 1)
n+ 1 .
3. On note Yla variable aléatoire égale au plus petit numéro des nboules prélevées.Déterminer la loi de Y.
4. Reprendre les questions précédentes dans le cas d’un tirage avec remise.
Exercice 16
Un joueur lance une pièce équilibrée autant de fois que nécessaire . On note XNla variable aléatoire réelle
discrète égale au nombre de fois où, au cours des Npremiers lancers, deux résultats successifs ont été différents
(On peut appeler XNle " nombre de changements " au cours des Npremiers lancers ).
Par exemple , si les 9 premiers lancers ont donné successivement : Pile , Pile , Face , Pile , Face , Face , Face , Pile
, Pile alors la variable X9aura pris la valeur 4 (quatre changements, aux 3i`eme,4i`eme,5i`eme et 8i`eme lancers).
1. Déterminer la loi de X1, X2, X3, X4.
2. Justifier que XN(Ω) = {0, ..., N −1}.
3. Montrer que P(XN= 0) = 1
2N−1
et P(XN= 1) = 2(N−1) 1
2N
.
4. (a) Justifier que pour tout entier kde {0, ..., N −1}:P(XN=k)(XN+1 =k) = 1
2
(b) En déduire que pour tout entier kde {0, ..., N −1}P(XN+1 −XN= 0 ∩XN=k) = 1
2P(XN=k).
(c) En sommant cette relation de k= 0 àN−1, montrer que P(XN+1 −XN= 0) = 1
2.
(d) Que représente la variable XN+1−XN.En déduire que XN+1 −XNsuit une loi de Bernoulli de paramètre
1
2.
En déduire la relation E(XN+1) = 1
2+E(XN), puis donner E(XN)en fonction de N.
5. (a) Montrer grâce aux résultats 4(b) et 4(c) que les variables XN+1 −XNet XNsont indépendantes.
(b) En déduire par récurrence sur Nque XNsuit une loi binômiale B(N−1,1
2).
Exercice 17
Une urne contient 2boules blanches et n−2boules rouges. On effectue des tirages sans remise de cette urne.
On appelle Xle rang de sortie de la première boule blanche, Yle nombre de boules rouges restant à ce moment
dans l’urne et Zle rang de sortie de la deuxième boule blanche.
1. Déterminer la loi de X,son espérance et sa variance.
2. Calculer E(Y).
3. Déterminer la loi de Zainsi que son espérance et sa variance.
4. Reprendre les questions précédentes dans le cas d’un tirage avec remise.
5