ESPACES PROBABILISES FINIS Exercice 1

Lycée de l’Essouriau
PCSI
Année 2016-2017
ESPACES PROBABILISES FINIS
Exercice 1
Langage ensembliste.
Trois enfants, Arthur, Béatrice et Cécile, lancent chacun un ballon en direction d’un panier de basket. Il est convenu
que celui qui marquera gagnera un paquet de bonbons, et qu’en cas d’ex-aequo les vainqueurs se partageront le
paquet. Si personne ne réussit son panier, chacun obtiendra le tiers des bonbons.
1. Quel espace de probabilité (Ω, P(Ω), P ) choisiriez-vous pour décrire cette expérience aléatoire ?
2. En utilisant les événements :
A = {Arthur marque un panier}, B = {Béatrice marque un panier},
C = {Cécile marque un panier},
écrire de façon ensembliste les événements suivants :
D = {tous les trois réussissent à marquer}, E = {aucun ne réussit à marquer},
F = {Béatrice obtient tous les bonbons}, G = {les trois enfants obtiennent des bonbons},
H = {Cécile obtient au moins un bonbon}, I = {Arthur ne reçoit aucun bonbon}.
3. Ecrire les événements ci-dessus comme sous-ensembles de Ω , préciser ceux qui sont des événements élémentaires et donner l’expression de leur probabilité en fonction des probabilités notées a, b et c qu’Arthur,
Béatrice et Cécile respectivement marque un panier.
On suppose maintenant que les enfants répètent n fois l’expérience précédente dans les mêmes conditions (on
suppose que l’on dispose de n paquets de bonbons).
1. (a) Quel espace de probabilité (Ωn , P(Ωn ), Pn ) choisiriez-vous pour décrire cette expérience aléatoire ?
(b) Ecrire l’événement J = {Cécile n’a pas gagné lors des deux premières parties} comme sous-ensemble de
Ωn :
2. On s’intéresse désormais uniquement aux succès éventuels de Cécile. On suppose de plus que Cécile a une
probabilité p de marquer à chaque partie.
(a) Proposer un nouvel espace de probabilité.
(b) Soit i ∈ {1, ..., n}. Décrire dans cette nouvelle modélisation les éléments de l’événement,
Ci = {Cécile a gagné lors de la i-ème partie}.
(c) Ecrire à l’aide des événements Ci , l’événement J puis les événements suivants
K = {Cécile a gagné au moins une fois lors des n premières parties}
L = {Cécile a gagné au moins deux fois lors des n premières parties}.
(d) Donner les événements contraires des événements J, K et L.
(e) Donner les expressions des probabilités des événements J, K et L en fonction de p.
1
Exercice 2
On pose au hasard n ≥ 2 livres côte à côte sur une étagère. Parmi ces livres, il y en a k ∈ {2, . . . , n} qui sont
de l’auteur M .
1. Proposer un codage de la disposition des livres de l’auteur M sur cette étagère n’utilisant que les symboles
0 et 1.
2. Quelle est la probabilité pour que tous les livres de l’auteur M soient côte à côte ?
3. Soit r ≥ k. Quelle est la probabilité pour que tous les livres de l’auteur M soient dans les r premiers livres
de l’étagère ?
4. Soit ℓ ∈ {k − 2, . . . , n − 2}. Quelle est la probabilité qu’il y ait ℓ livres entre le livre de l’auteur M qui se
trouve le plus à gauche sur l’étagère et celui qui se trouve le plus à droite sur l’étagère ? Si k = 2, combien
de livres est-il le plus probable de trouver entre les deux livres de l’auteur M sur l’étagère ?
Exercice 3
On choisit au hasard deux sous ensembles A et B d’un ensemble E à n éléments. Calculer la probababilité que :
1. A ∪ B soit un singleton.
2. A ∪ B = E.
3. A ∩ B soit un singleton.
4. A ⊂ B.
Exercice 4
On répartit au hasard r boules dans n cases. On s’intéresse au nombre de boules présentes dans chaque case.
1. Décrire un espace de probabilité associé à cette expérience.
2. Calculer la probabilité, notée µr,n (k), que k boules tombent dans la case 1. Montrer que, si r et n tendent
vers +∞, de sorte que nr tend vers λ > 0, on a :
µr,n (k) → µ(k) =
λk −λ
e ,
k!
∀k ∈ N.
3. Soient r1 , . . . , rn des entiers tels que r1 + · · · + rn = r. Calculer la probabilité d’obtenir r1 boules dans la
case 1, . . . , rn boules dans la case n.
4. Application 1 : quelle est la probabilité que parmi r personnes, au moins deux personnes aient leur anniversaire
le même jour ? Pour quelles valeurs de r cette probabilité est-elle supérieure à 0.5 ?
5. Application 2 : les messages électroniques envoyés à une entreprise sont dirigés aléatoirement vers la boîte
aux lettres d’une des cinq secrétaires de l’entreprise. Quelle est la probabilité que chaque secrétaire reçoive
au moins un des n messages envoyés ?
Exercice 5
Une urne contient 10 boules blanches, 4 noires, 6 rouges.
1. On tire au hasard 3 boules successivement et avec remise.Calculer la probabilité des événements suivants :
(a) Tirage contenant une noire exactement
(b) Tirage bicolore
(c) Tirage tricolore
2. Reprendre les questions dans le cas d’un tirage successif sans remise, puis dans le cas d’un tirage simultané.
3. On tire maintenant toutes les boules de l’urne successivement et sans remise. Calculer la probabilité que la
dernière boule blanche apparaîsse au tirage numéro k
2
Exercice 6
Une armoire contient 10 paires de chaussure. On choisit au hasard 8 chaussures parmi les 20.
1. Calculer la probabilité des événements suivants :
(a) Parmi les 8 chaussures ne figure aucune paire
(b) Parmi ces 8 chaussures figure exactement une paire.
(c) Parmi ces 8 chaussures figure au moins une paire ?
2. Les paires sont numérotées de 1 à 10. Pour tout i ∈ {1, ..., 10} , on nomme Xi la varaible aléatoire valant 1
si les deux chaussures de la paire n° i se trouvent parmi les chaussures tirées , et 0 sinon.
14
Déterminer la loi de Xi .Démontrer que E(Xi ) = .
95
Exercice 7
1. Un quart d’une population a été vacciné. Parmi les vaccinés, on compte 1/12 de malades. Parmi les malades,
il y a 4 non vaccinés pour un vacciné. Quelle est la probabilité pour un non vacciné de tomber malade ?
2. Une compagnie d’assurances répartit ses clients en trois classes R1 , R2 et R3 : les bons risques, les risques
moyens et les mauvais risques. Les effectifs de ces trois classes représentent 20% de la population totale pour
la classe R1 , 50% pour la classe R2 et 30% pour la classe R3 . Les statistiques indiquent que les probabilités
d’avoir un accident au cours de l’année pour une personne de l’une de ces trois classes sont respectivement
de 0, 05, 0, 15 et 0, 30.
Si M. Martin ,n’a pas eu d’accident dans l’année, quelle est la probabilité qu’il soit un bon risque ?
Exercice 8
Lors d’une séance de tirs , un gardien arrête le premier tir avec la probabilité 0, 3 puis :
– S’il a arrêté un tir, il prend confiance et arrête le suivant avec la probabilité 0, 5.
– S’il prend un but, il se décourage et arrête le suivant avec la probabilité 0, 2.
On note An l’événement " le gardien arrête le n-ième tir". On admet que tous les tirs sont "cadrés" et l’on note
pn la probabilité de An . Ainsi p1 = 0, 3.
1. Calculer p2 .
2. Donner une relation de récurrence que vérifie la suite (pn ) et en déduire l’expression de pn en fonction de n.
3. On fixe l’entier n ≥ 3. On note Bn l’événement : " le gardien arrête un seul tir au cours des n premiers
pénaltys et cet arrêt a lieu lors du k-ième pénalty".
Calculer P (B1 ) et P (B2 ) puis P (Bk ) pour k ∈ {2, ..., n − 1}. En déduire la probabilité que le gardien arrête
un seul tir au cours des n premiers pénaltys.
Exercice 9
Un service après-vente dispose d’équipes de dépannage qui interviennent auprès de la clientèle sur appel téléphonique. Les appels se produisent de façon indépendante, et la probabilité qu’un retard se produise dans le
dépannage à la suite d’un appel est p = 1/4.
1. Un même client a appelé le service à 8 dates différentes. Soit X le nombre de retards que ce client a subi.
Définir la loi de probabilité de X. Calculer E(X) et V (X).
2. On considère un ensemble de 8 clients différents. 2 d’entre eux sont mécontents parce qu’ils ont subi un
retard. On contacte 4 clients parmi les 8. Soit M le nombre de clients mécontents parmi les 4 contactés.
Définir la loi de M . La donner explicitement. Calculer E(M ).
3
Exercice 10
Une urne contient 2 boules blanches et 8 boules noires. Un joueur tire successivement n boules avec remise. S’il
tire une boule blanche, il gagne 2 points, sinon il en perd 3. Soit Xn le nombre de boules blanches et Yn le nombre
de points obtenus.
Déterminer la loi de Xn , puis E(Xn ) et V (Xn ).
Exprimer Yn en fonction de Xn . En déduire la loi de Yn , puis E(Yn ) et V (Yn ).
Exercice 11
Une piste rectiligne est divisée en cases numérotées 0, 1, 2, . . . , n, de gauche à droite. Une puce se déplace vers
la droite de une ou deux cases au hasard à chaque saut. Au départ, elle est sur la case 0. Soit Xn le numéro de
la case occupée par la puce après n sauts et Yn le nombre de fois où la puce a sauté d’une case au cours des n
premiers sauts
Donner la loi de Yn , E(Yn ) et V (Yn ).
Exprimer Xn en fonction de Yn et n. En déduire E(Xn ) et V (Xn ) puis la loi de Xn .
Exercice 12
Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale B(n, p).
1. Quelle est la loi suivie par la variable Y = n − X ?
1
2. Calculer E( 1+X
).
3. Pour quelle valeur de k, la probabilité pk = P (X = k) est-elle maximale ?
0.1
Exercice 13
On dispose de n + 1 urnes U0 , U1 , . . . , Un telles que pour tout k de {0, 1, ..., n} l’urne Uk contient k boules
blanches et n − k boules noires.
On effectue des tirages d’une boule, au hasard et avec remise dans ces urnes de la façon suivante : si après les
lancers de la pièce décrits dans la première question, la variable Z prend la valeur k (avec k > 1), alors on tire
une par une et avec remise, k boules dans l’urne Uk et l’on note X la variable aléatoire égale au nombre de boules
blanches obtenues à lissue de ces tirages. Si la variable Z a pris la valeur 0, aucun tirage n’est effectué et X prend
la valeur 0.
1. Déterminer X (Ω).
2. (a) Déterminer, en distinguant les cas i = 0 et 1 6 i 6 n, la probabilité PZ=0 (X = i).
(b) Déterminer, en distinguant les cas i = n et 0 6 i 6 n − 1, la probabilité PZ=n (X = i).
(c) Pour tout k de {1, 2, ..., n − 1} déterminer, en distinguant les cas 0 6 i 6 k et k < i 6 n, la probabilité
conditionnelle PZ=k (X = i).
n−1
∑ ( n − k )k
1
3. (a) Montrer que P (X = 0) =
+ n
2n
2
k=1
1
2n
(c) Exprimer, pour tout i de {1, 2, ..., n − 1}, P (X = i) sous forme dune somme que l’on ne cherchera pas
à réduire.
∑
4. Vérifier, avec les expressions trouvées à la question précédente, que ni=0 P (X = i) = 1.
(b) Montrer que P (X = n) =
4
Exercice 14
Soit n un entier naturel non nul. On dispose de n urnes numérotées de 1 à n qui contiennent chacune n boules,
des noires et des blanches. de plus , pour tout entier i ∈ {1, ..., n}, l’urne i contient exactement n − i boules noires.
On choisit une urne au hasard puis on prélève une boule dans l’urne choisie.
1. Calculer la probabilité que la boule tirée soit blanche .
2. Sachant que la boule tirée est blanche, quelle est la probabilité qu’elle vienne de l’urne 1 ?
Exercice 15
Un joueur prélève simultanément n noules dans une urne contenant N boules numérotées de 1 à N .On considère
la variable aléatoire X égale au plus grand numéro des n boules prélevées.
1. Déterminer la loi de X
n(N + 1)
2. Montrer que E(X) =
.
n+1
3. On note Y la variable aléatoire égale au plus petit numéro des n boules prélevées.Déterminer la loi de Y.
4. Reprendre les questions précédentes dans le cas d’un tirage avec remise.
Exercice 16
Un joueur lance une pièce équilibrée autant de fois que nécessaire . On note XN la variable aléatoire réelle
discrète égale au nombre de fois où, au cours des N premiers lancers, deux résultats successifs ont été différents
(On peut appeler XN le " nombre de changements " au cours des N premiers lancers ).
Par exemple , si les 9 premiers lancers ont donné successivement : Pile , Pile , Face , Pile , Face , Face , Face , Pile
, Pile alors la variable X9 aura pris la valeur 4 (quatre changements, aux 3ième , 4ième , 5ième et 8ième lancers).
1. Déterminer la loi de X1 , X2 , X3 , X4 .
2. Justifier que XN (Ω) = {0, ..., N − 1}.
( )N −1
( )N
1
1
3. Montrer que P (XN = 0) =
et P (XN = 1) = 2(N − 1)
.
2
2
4. (a) Justifier que pour tout entier k de {0, ..., N − 1} : P(XN =k) (XN +1 = k) =
1
2
1
P (XN +1 − XN = 0 ∩ XN = k) = P (XN = k).
2
1
En sommant cette relation de k = 0 à N − 1 , montrer que P (XN +1 − XN = 0) = .
2
Que représente la variable XN +1 −XN . En déduire que XN +1 −XN suit une loi de Bernoulli de paramètre
1
.
2
1
En déduire la relation E(XN +1 ) = + E(XN ), puis donner E(XN ) en fonction de N .
2
Montrer grâce aux résultats 4(b) et 4(c) que les variables XN +1 − XN et XN sont indépendantes.
1
En déduire par récurrence sur N que XN suit une loi binômiale B(N − 1, ).
2
(b) En déduire que pour tout entier k de {0, ..., N − 1}
(c)
(d)
5. (a)
(b)
Exercice 17
Une urne contient 2 boules blanches et n − 2 boules rouges. On effectue des tirages sans remise de cette urne.
On appelle X le rang de sortie de la première boule blanche, Y le nombre de boules rouges restant à ce moment
dans l’urne et Z le rang de sortie de la deuxième boule blanche.
1. Déterminer la loi de X ,son espérance et sa variance.
2. Calculer E(Y ).
3. Déterminer la loi de Z ainsi que son espérance et sa variance.
4. Reprendre les questions précédentes dans le cas d’un tirage avec remise.
5
Exercice 18
On considère une suite de lancers successifs (supposés indépendants) d’une pièce de monnaie, pour laquelle la
probabilité d’apparition de pile , noté P, est p et celle de face, noté F, est q, avec 0 < p < 1 et p + q = 1, et on
s’intéresse à l’apparition de deux piles consécutifs.
Par exemple, si l’on considère les seize premiers lancers suivants :
F
1
P
2
P
3
F
4
P
5
P
6
P
7
F
8
P
9
F
10
P
11
P
12
P
13
P
14
P
15
F
16
deux piles consécutifs sont réalisés aux rangs 3, 6, 12 et 14, mais non aux rangs 7, 13 et 15 (car un pile ne peut
pas participer à la réalisation de deux piles consécutifs plus d’une fois).
On notera, pour tout entier naturel n non nul :
• An l’événement : “ deux piles consécutifs sont réalisés au rang n ”.
• Bn l’événement : “ deux piles consécutifs sont pour la première fois réalisés au rang n ”.
Enfin on désigne par an et bn les probabilités de ces événements An et Bn .
1. On a bien sûr a1 = 0. Calculer de plus a2 , a3 , a4 .
2. Démontrer, pour tout nombre entier naturel n non nul :
an+2 = p2 an + qp2 .
Exercice 19
On tire, avec remise, cinq boules d’une urne contenant dix boules numérotés de 1 à 10. On note X la var égale
au maximum des deux numéros obtenus et Y la var égale au minimum des cinq numéros obtenus.
1. Déterminer soigneusement X(Ω) et Y (Ω).
2. Calculer P (X 6 k) pour k ∈ X(Ω) et P (Y > k) pour k ∈ Y (Ω).
En déduire les lois de X et Y.
3. Les variables X et Y sont-elles indépendantes ?
Exercice 20
Soient n et N des entiers non nuls.
Une urne contient n jetons numérotés de 1 à n. On effectue N tirages avec remise dans cette urne.
1. Soit Fi 1a, variable aléatoire égale au nombre de fois où le jeton i a été tiré. Déterminer la loi de Fi .
On pose :
n
∑
F =
Fi
i=1
Déterminer la loi de Fi , son espérance et sa variance.
Les variables aléatoires Fi sont-elles deux à deux indépendantes ?
2. Pour tout i ∈ [[1, n]] on note Xi la variable aléatoire égale à 0 si le numéro i n’a pas été tiré et égale a 1 s’il
été tiré au moins une fois.
Déterminer la loi de Xi , son espérance et sa variance.
Pour tout (i, j) ∈ [[0, 1]]2 , déterminer la probabilité
PXi =0 (Xj = 0)
Les variables Xi , et Xj sont-elles indépendantes ?
6
Exercice 21
On considère une urne contenant quatre boules rouges et trois boules noires. On pioche une à une sans remise
les boules de l’urne. Pour tout entier i ∈ [[1, 3]]On note Xi le nombre de tirages nécessaires pour obtenir la ième
boule noire.
1. Donner la loi de X1 ainsi que son espérance et sa variance.
2. Expliciter la loi conjointe de (X1 , X2 ). En déduire la loi de X2 .
3. On note T la variable aléatoire définie par T = X2 − X1 .
(a) Que représente T ? Donner son espérance et sa variance.
(b) Donner la loi conjointe de (T, X1 ) puis la loi de T.
4. Donner la loi de X3 .
Exercice 22
On dispose de deux urnes U1 et U2 , de six boules numérotées de 1 à 6 ainsi que d’un dé équilibré. Initialement,
l’urne U1 contient les boules numérotées 1 et 2, l’urne U2 contient les boules numérotées 3, 4, 5 et 6.
On appelle échange l’expérience consistant à lancer une fois le dé et à changer d’urne la boule portant le numéro
obtenu avec le dé.
Pour n ∈ N, on note Xn la variable aléatoire égale au nombre de boules contenues dans U1 après n échanges
successifs.
1. Les cinq premiers lancers du dé donnent : 1, 3, 2, 3, 5.
Quel est le contenu de U1 à l’issue du cinquième échange ?
2. Quelle est la loi de X1 ? Calculer son espérance mathématique E(X1 ).
3. Déterminer la loi du couple (X1 , X2 ). En déduire la loi de X2 .
Calculer la covariance du couple (X1 , X2 ).
4. Montrer que pour tout entier n de N× , on a :
1
1
P (Xn+1 = 0) = P (Xn = 1), P (Xn+1 = 6) = P (Xn = 5)
6
6
7−k
k+1
∀k ∈ {1, .., 5}, P (Xn+1 = k) =
P (Xn = k − 1) +
P (Xn = k + 1).
6
6
2
5. En déduire que, pour tout entier n de N× : E(Xn+1 ) = E(Xn ) + 1.
3
Calculer alors E(Xn ) en fonction de n, puis lim E(Xn ).
n→+∞
Exercice 23
On veut transporter entre deux villes A et B dans des conditions de confort acceptables 1600 voyageurs se
présentant pratiquement en même temps à la gare de A. On met à leur disposition deux trains identiques. On
suppose que chaque individu choisit au hasard l’une ou l’autre rame et qu’il n’a pas le temps d’en changer. Combien
faut-il prévoir de places assises dans chaque rame si l’on veut qu’il y ait moins de 1% de chance que des voyageurs
soient obligés de rester debout ? (utiliser l’inégalité de Bienaymé-Chebychev pour répondre).
Exercice 24
Un sac contient n billes numérotées de 1 à n. On tire une bille au hasard, on note son numéro et on la remet
dans le sac. On appelle X la variable aléatoire qui prend pour valeur ce numéro. Lorsque ce numéro estk, on tire
sans remise k billes que l’on distibueau hasard dans p boites B1 , ...., Bp . On désigne par Yi la variable aléatoire
égale au nombre de billes reçues par la boite Bi (i ∈ {1, ..., p}).
1. Déterminer la loi du couple (X, Yi ) pour (i ∈ {1, ..., p}).
2. En déduire pour (i ∈ {1, ..., p}) la loi de Yi ainsi que son espérance et sa variance.
3. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire
Yi
X.
7
Exercice 25
Soient X et Y deux variables aléatoires finies indépendantes . Les variables X + Y et X − Y sont-elles indépendantes ?
Exercice 26
Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans {1, ..., n}.
1. Exprimer E(X) en fonction des probabilités P (X ≥≥ k.
2. On suppose de plus que les variables X et Y sont de même loi uniforme sur {1, ..., n}. Déterminer l’espérance
des variables suivantes : m = M in(X, Y ); M = M ax(X, Y ); S = X − Y |.
Exercice 27
A un péage autoroutier n voitures franchissent au hasard et indépendamment l’une des trois barrières de péage
mises à leur disposition. On note X1 , X2 , X3 les variables aléatoires dénombrant les voitures ayant franchi ces
barrières.
1. Déterminer la loi de X1 .
2. Calculer les variances de X1 , X2 et de X1 + X2 .
3. En déduire cov(X1 , X2 ).
8