ESPACES PROBABILISES FINIS Exercice 1

Lycée de l'Essouriau
Année 2015-2016
PCSI
ESPACES PROBABILISES FINIS
Exercice 1
Langage ensembliste.
Trois enfants, Arthur, Béatrice et Cécile, lancent chacun un ballon en direction d'un panier de basket. Il est convenu
que celui qui marquera gagnera un paquet de bonbons, et qu'en cas d'ex-aequo les vainqueurs se partageront le
paquet. Si personne ne réussit son panier, chacun obtiendra le tiers des bonbons.
1. Quel espace de probabilité
(Ω, P(Ω), P )
choisiriez-vous pour décrire cette expérience aléatoire ?
2. En utilisant les événements :
A = {Arthur
marque un panier},
C = {Cécile
B = {Béatrice
marque un panier},
marque un panier},
écrire de façon ensembliste les événements suivants :
D = {tous
F = {Béatrice
les trois réussissent à marquer},
obtient tous les bonbons},
H = {Cécile
E = {aucun
G = {les
obtient au moins un bonbon},
trois enfants obtiennent des bonbons},
I = {Arthur
3. Ecrire les événements ci-dessus comme sous-ensembles de
ne réussit à marquer},
Ω
ne reçoit aucun bonbon}.
, préciser ceux qui sont des événements élé-
mentaires et donner l'expression de leur probabilité en fonction des probabilités notées
a, b
et
c
qu'Arthur,
Béatrice et Cécile respectivement marque un panier.
On suppose maintenant que les enfants répètent
suppose que l'on dispose de
1.
n
Ωn
fois l'expérience précédente dans les mêmes conditions (on
paquets de bonbons).
(a) Quel espace de probabilité
(b) Ecrire l'événement
n
(Ωn , P(Ωn ), Pn )
J = {Cécile
choisiriez-vous pour décrire cette expérience aléatoire ?
n'a pas gagné lors des deux premières parties} comme sous-ensemble de
:
2. On s'intéresse désormais uniquement aux succès éventuels de Cécile. On suppose de plus que Cécile a une
probabilité
p
de marquer à chaque partie.
(a) Proposer un nouvel espace de probabilité.
(b) Soit
i ∈ {1, ..., n}.
Décrire dans cette nouvelle modélisation les éléments de l'événement,
Ci = {Cécile
(c) Ecrire à l'aide des événements
K = {Cécile
L = {Cécile
Ci ,
a gagné lors de la i-ème partie}.
l'événement
J
puis les événements suivants
a gagné au moins une fois lors des
n
a gagné au moins deux fois lors des
(d) Donner les événements contraires des événements
J, K
(e) Donner les expressions des probabilités des événements
1
et
premières parties}
n
premières parties}.
L.
J, K
et
L
en fonction de
p.
Exercice 2
On pose au hasard
de l'auteur
n≥2
livres côte à côte sur une étagère. Parmi ces livres, il y en a
1. Proposer un codage de la disposition des livres de l'auteur
0
et
M
qui sont
sur cette étagère n'utilisant que les symboles
1.
2. Quelle est la probabilité pour que tous les livres de l'auteur
3. Soit
k ∈ {2, . . . , n}
M.
r ≥ k.
M
soient côte à côte ?
Quelle est la probabilité pour que tous les livres de l'auteur
M
soient dans les
r
premiers livres
de l'étagère ?
4. Soit
` ∈ {k − 2, . . . , n − 2}.
Quelle est la probabilité qu'il y ait
`
M qui se
k = 2, combien
livres entre le livre de l'auteur
trouve le plus à gauche sur l'étagère et celui qui se trouve le plus à droite sur l'étagère ? Si
de livres est-il le plus probable de trouver entre les deux livres de l'auteur
M
sur l'étagère ?
Exercice 3
On choisit au hasard deux sous ensembles
1.
A∪B
2.
A ∪ B = E.
3.
A∩B
4.
A ⊂ B.
A et B
d'un ensemble
E
à
n éléments. Calculer la probababilité que :
soit un singleton.
soit un singleton.
Exercice 4
r
On répartit au hasard
boules dans
n
cases. On s'intéresse au nombre de boules présentes dans chaque case.
1. Décrire un espace de probabilité associé à cette expérience.
µr,n (k), que k boules tombent dans la case 1. Montrer que, si
r
tend vers λ > 0, on a :
n
2. Calculer la probabilité, notée
vers
+∞,
de sorte que
µr,n (k) → µ(k) =
λk −λ
e ,
k!
r1 , . . . , rn des entiers tels que r1 + · · · + rn = r.
1, . . . , rn boules dans la case n.
3. Soient
case
4. Application 1 : quelle est la probabilité que parmi
le même jour ? Pour quelles valeurs de
r
r
et
n
tendent
∀k ∈ N.
Calculer la probabilité d'obtenir
r1
boules dans la
r personnes, au moins deux personnes aient leur anniversaire
cette probabilité est-elle supérieure à 0.5 ?
5. Application 2 : les messages électroniques envoyés à une entreprise sont dirigés aléatoirement vers la boîte
aux lettres d'une des cinq secrétaires de l'entreprise. Quelle est la probabilité que chaque secrétaire reçoive
au moins un des
n
messages envoyés ?
10
boules blanches,
Exercice 5
Une urne contient
1. On tire au hasard
3
4
noires,
6
rouges.
boules successivement et avec remise.Calculer la probabilité des événements suivants :
(a) Tirage contenant une noire exactement
(b) Tirage bicolore
(c) Tirage tricolore
2. Reprendre les questions dans le cas d'un tirage successif sans remise, puis dans le cas d'un tirage simultané.
3. On tire maintenant toutes les boules de l'urne successivement et sans remise. Calculer la probabilité que la
dernière boule blanche apparaîsse au tirage numéro
2
k
Exercice 6
Une armoire contient
10
paires de chaussure. On choisit au hasard
8
chaussures parmi les
20.
1. Calculer la probabilité des événements suivants :
(a) Parmi les 8 chaussures ne gure aucune paire
(b) Parmi ces 8 chaussures gure exactement une paire.
(c) Parmi ces 8 chaussures gure au moins une paire ?
10. Pour tout i ∈ {1, ..., 10} , on nomme Xi la varaible
i se trouvent parmi les chaussures tirées , et 0 sinon.
14
Xi .Démontrer que E(Xi ) = .
95
2. Les paires sont numérotées de
1
à
aléatoire valant
1
si les deux chaussures de la paire n°
Déterminer la loi de
Exercice 7
1. Un quart d'une population a été vacciné. Parmi les vaccinés, on compte
il y a
4
1/12 de malades. Parmi les malades,
non vaccinés pour un vacciné. Quelle est la probabilité pour un non vacciné de tomber malade ?
2. Une compagnie d'assurances répartit ses clients en trois classes
R1 , R2
et
moyens et les mauvais risques. Les eectifs de ces trois classes représentent
la classe
R1 , 50%
pour la classe
R2
et
30%
pour la classe
R3 .
R3 : les bons risques, les risques
20% de la population totale pour
Les statistiques indiquent que les probabilités
d'avoir un accident au cours de l'année pour une personne de l'une de ces trois classes sont respectivement
de
0, 05, 0, 15
et
0, 30.
Si M. Martin ,n'a pas eu d'accident dans l'année, quelle est la probabilité qu'il soit un bon risque ?
Exercice 8
0, 3 puis :
S'il a arrêté un tir, il prend conance et arrête le suivant avec la probabilité 0, 5.
S'il prend un but, il se décourage et arrête le suivant avec la probabilité 0, 2.
On note An l'événement " le gardien arrête le n-ième tir". On admet que tous les tirs sont "cadrés" et l'on note
pn la probabilité de An . Ainsi p1 = 0, 3.
Lors d'une séance de tirs , un gardien arrête le premier tir avec la probabilité
1. Calculer
p2 .
2. Donner une relation de récurrence que vérie la suite
3. On xe l'entier
n ≥ 3.
(pn )
et en déduire l'expression de
pn
en fonction de
n.
Bn l'événement : " le gardien arrête un seul tir au cours des n premiers
k -ième pénalty".
P (Bk ) pour k ∈ {2, ..., n − 1}. En déduire la probabilité que le gardien arrête
On note
pénaltys et cet arrêt a lieu lors du
Calculer
P (B1 )
et
P (B2 ) puis
n premiers
un seul tir au cours des
pénaltys.
Exercice 9
Un service après-vente dispose d'équipes de dépannage qui interviennent auprès de la clientèle sur appel téléphonique. Les appels se produisent de façon indépendante, et la probabilité qu'un retard se produise dans le
dépannage à la suite d'un appel est
p = 1/4.
1. Un même client a appelé le service à 8 dates diérentes. Soit
Dénir la loi de probabilité de
X.
Calculer
E(X)
et
X
le nombre de retards que ce client a subi.
V (X).
2. On considère un ensemble de 8 clients diérents. 2 d'entre eux sont mécontents parce qu'ils ont subi un
retard. On contacte 4 clients parmi les 8. Soit
Dénir la loi de
M.
M
le nombre de clients mécontents parmi les 4 contactés.
La donner explicitement. Calculer
3
E(M ).
Exercice 10
Une urne contient
2 boules blanches et 8 boules noires. Un joueur tire successivement n boules avec remise. S'il
2 points, sinon il en perd 3. Soit Xn le nombre de boules blanches et Yn le nombre
tire une boule blanche, il gagne
de points obtenus.
Déterminer la loi de
Exprimer
Yn
Xn ,
E(Xn ) et V (Xn ).
Xn . En déduire la loi
puis
en fonction de
de
Yn ,
puis
E(Yn )
et
V (Yn ).
Exercice 11
Une piste rectiligne est divisée en cases numérotées
0, 1, 2, . . . , n,
de gauche à droite. Une puce se déplace vers
la droite de une ou deux cases au hasard à chaque saut. Au départ, elle est sur la case 0. Soit
la case occupée par la puce après
n
sauts et
Yn
Xn
le numéro de
le nombre de fois où la puce a sauté d'une case au cours des
n
premiers sauts
Donner la loi de
Exprimer
Xn
Yn , E(Yn )
V (Yn ).
Yn et n. En
et
et
V (Xn )
puis la loi de
une variable aléatoire suivant une loi binomiale
B(n, p).
Calculer
en fonction de
déduire
E(Xn )
Xn .
Exercice 12
Soit
X
1
E( 1+X
).
Exercice 13
On dispose de
blanches et
n−k
n+1
urnes
U0 , U 1 , . . . , U n
telles que pour tout k de
{0, 1, ..., n}
l'urne
Uk
contient
k
boules
boules noires.
On eectue des tirages d'une boule, au hasard et avec remise dans ces urnes de la façon suivante : si après les
Z prend la valeur k (avec k > 1), alors on tire
X la variable aléatoire égale au nombre de boules
la valeur 0, aucun tirage n'est eectué et X prend
lancers de la pièce décrits dans la première question, la variable
une par une et avec remise,
k
boules dans l'urne
Uk
et l'on note
blanches obtenues à lissue de ces tirages. Si la variable
Z
a pris
la valeur 0.
1. Déterminer
2.
X (Ω).
(a) Déterminer, en distinguant les cas
i=0
et
1 6 i 6 n,
(b) Déterminer, en distinguant les cas
i=n
et
0 6 i 6 n − 1,
(c) Pour tout
k
la probabilité
PZ=0 (X = i).
la probabilité
PZ=n (X = i).
{1, 2, ..., n − 1} déterminer, en distinguant les cas 0 6 i 6 k
PZ=k (X = i).
n−1
X n − k k
1
P (X = 0) =
+ n
2n
2
de
et
k < i 6 n, la probabilité
conditionnelle
3.
(a) Montrer que
k=1
(b) Montrer que
1
2n
{1, 2, ..., n − 1}, P (X = i)
P (X = n) =
(c) Exprimer, pour tout
i
de
sous forme dune somme que l'on ne cherchera pas
à réduire.
4. Vérier, avec les expressions trouvées à la question précédente, que
Pn
i=0 P
(X = i) = 1.
Exercice 14
Soit
n
un entier naturel non nul. On dispose de
n urnes numérotées de 1 à n qui contiennent chacune n boules,
i ∈ {1, ..., n}, l'urne i contient exactement n − i boules noires.
des noires et des blanches. de plus , pour tout entier
On choisit une urne au hasard puis on prélève une boule dans l'urne choisie.
1. Calculer la probabilité que la boule tirée soit blanche .
2. Sachant que la boule tirée est blanche, quelle est la probabilité qu'elle vienne de l'urne
4
1?
Exercice 15
Un joueur prélève simultanément
la variable aléatoire
X
n noules dans une urne contenant N boules numérotées de 1 à N .On considère
n boules prélevées.
égale au plus grand numéro des
X
n(N + 1)
E(X) =
.
n+1
1. Déterminer la loi de
2. Montrer que
Y
3. On note
n
la variable aléatoire égale au plus petit numéro des
boules prélevées.Déterminer la loi de
Y.
4. Reprendre les questions précédentes dans le cas d'un tirage avec remise.
Exercice 16
Une urne contient
X
et
Y
n−2
boules blanches et
2
boules noires. On tire les boules une à une sans remise. Soient
les variables aléatoires réelles égales respectivement au rand d'apparition de la première et de la seconde
boule noire.
1. Les variables
X
et
Y
sont-elles indépendantes ?
(X, Y ).
X et Y ainsi
2. Déterminer la loi jointe du couple
3. En déduire les lois marginales de
que leus espérances et variances.
cov(X, Y ).
4. Calculer
Exercice 17
On considère une urne contenant quatre boules rouges et trois boules noires. On pioche une à une sans remise
i ∈ [[1, 3]]On
les boules de l'urne. Pour tout entier
Xi
note
le nombre de tirages nécessaires pour obtenir la
ième
boule noire.
1. Donner la loi de
X1
ainsi que son espérance et sa variance.
2. Expliciter la loi conjointe de
T
3. On note
(X1 , X2 ).
En déduire la loi de
la variable aléatoire dénie par
(a) Que représente
T
T = X2 − X1 .
? Donner son espérance et sa variance.
(b) Donner la loi conjointe de
4. Donner la loi de
X2 .
(T, X1 )
puis la loi de
T.
X3 .
Exercice 18
On dispose de deux urnes
l'urne
U1
U1
et
U2 ,
de six boules numérotées de
contient les boules numérotées
1
et
2,
l'urne
U2
1
à
6
ainsi que d'un dé équilibré. Initialement,
contient les boules numérotées
3, 4, 5
et
6.
On appelle échange l'expérience consistant à lancer une fois le dé et à changer d'urne la boule portant le numéro
obtenu avec le dé.
Pour
n ∈ N,
on note
Xn
la variable aléatoire égale au nombre de boules contenues dans
successifs.
1. Les cinq premiers lancers du dé donnent :
Quel est le contenu de
2. Quelle est la loi de
U1
X1 ?
1, 3, 2, 3, 5.
à l'issue du cinquième échange ?
Calculer son espérance mathématique
(X1 , X2 ). En déduire la loi de X2 .
(X1 , X2 ).
×
Montrer que pour tout entier n de N , on a :
1
1
P (Xn+1 = 0) = P (Xn = 1), P (Xn+1 = 6) = P (Xn = 5)
6
6
7−k
k+1
∀k ∈ {1, .., 5}, P (Xn+1 = k) =
P (Xn = k − 1) +
P (Xn = k + 1).
6
6
2
×
En déduire que, pour tout entier n de N : E(Xn+1 ) =
E(Xn ) + 1.
3
Calculer alors E(Xn ) en fonction de n, puis lim E(Xn ).
3. Déterminer la loi du couple
Calculer la covariance du couple
4.
5.
E(X1 ).
n→+∞
5
U1
après
n
échanges
Exercice 19
On veut transporter entre deux villes A et B dans des conditions de confort acceptables
1600
voyageurs se
présentant pratiquement en même temps à la gare de A. On met à leur disposition deux trains identiques. On
suppose que chaque individu choisit au hasard l'une ou l'autre rame et qu'il n'a pas le temps d'en changer. Combien
faut-il prévoir de places assises dans chaque rame si l'on veut qu'il y ait moins de 1% de chance que des voyageurs
soient obligés de rester debout ? (utiliser l'inégalité de Bienaymé-Chebychev pour répondre).
Exercice 20
Un joueur lance une pièce équilibrée autant de fois que nécessaire . On note
discrète égale au nombre de fois où, au cours des
(On peut appeler
XN
N
XN
la variable aléatoire réelle
premiers lancers, deux résultats successifs ont été diérents
le " nombre de changements " au cours des
N
premiers lancers ).
Par exemple , si les 9 premiers lancers ont donné successivement : Pile , Pile , Face , Pile , Face , Face , Face , Pile
, Pile alors la variable
X9
1. Déterminer la loi de
aura pris la valeur 4 (quatre changements, aux
3ième , 4ième , 5ième
et
8ième
lancers).
X1 , X2 , X3 , X4 .
XN (Ω) = {0, ..., N − 1}.
N −1
N
1
1
que P (XN = 0) =
et P (XN = 1) = 2(N − 1)
.
2
2
2. Justier que
3. Montrer
4.
(a) Justier que pour tout entier
k
(d)
5.
(a)
(b)
1
2
1
P (XN +1 − XN = 0 ∩ XN = k) = P (XN = k).
2
1
En sommant cette relation de k = 0 à N − 1 , montrer que P (XN +1 − XN = 0) =
.
2
Que représente la variable XN +1 −XN . En déduire que XN +1 −XN suit une loi de Bernoulli de paramètre
1
.
2
1
En déduire la relation E(XN +1 ) =
+ E(XN ), puis donner E(XN ) en fonction de N .
2
Montrer grâce aux résultats 4(b) et 4(c) que les variables XN +1 − XN et XN sont indépendantes.
1
En déduire par récurrence sur N que XN suit une loi binômiale B(N − 1, ).
2
k
(b) En déduire que pour tout entier
(c)
{0, ..., N − 1} : P(XN =k) (XN +1 = k) =
de
de
{0, ..., N − 1}
Exercice 21
Soient
X
et
Y
deux variables indépendantes de même loi uniforme sur
1. Déterminer la loi du couple
2. En déduire la loi de
S
et
T
S = M axX, Y .
S.
T = M in(X, Y ).
5. Les variables
On pose
(S, X).
S
3. Déterminer les lois conditionnelles de
4. On note
{1, ..n}.
Déterminer
sachant
E(T )
et
X
et celles de
E(ST )
X
sachant
S.
sans calculs supplémentaires.
sont-elles indépendantes. Calculer
cov(S, T ).
Exercice 22
Un sac contient
n
billes numérotées de
dans le sac. On appelle
sans remise
k
X
1
à
n.
On tire une bille au hasard, on note son numéro et on la remet
la variable aléatoire qui prend pour valeur ce numéro. Lorsque ce numéro estk , on tire
p boites B1 , ...., Bp .
Bi (i ∈ {1, ..., p}).
billes que l'on distibueau hasard dans
égale au nombre de billes reçues par la boite
1. Déterminer la loi du couple
2. En déduire pour
(X, Yi )
(i ∈ {1, ..., p})
pour
la loi de
On désigne par
(i ∈ {1, ..., p}).
Yi
ainsi que son espérance et sa variance.
3. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire
Yi
X.
6
Yi
la variable aléatoire
Exercice 23
Une urne contient
On appelle
X
dans l'urne et
2
boules blanches et
Z
boules rouges. On eectue des tirages sans remise de cette urne.
Y
le nombre de boules rouges restant à ce moment
le rang de sortie de la deuxième boule blanche.
1. Déterminer la loi de
2. Calculer
n−2
le rang de sortie de la première boule blanche,
X
,son espérance et sa variance.
Z
ainsi que son espérance et sa variance.
E(Y ).
3. Déterminer la loi de
4. Reprendre les questions précédentes dans le cas d'un tirage avec remise.
Exercice 24
X
On considère deux variables aléatoires nies
Y
et
telles que
X(Ω) = Y (Ω) = {1, ..., n} et P (X = i; Y = j) =
a.i.j.
1. Déterminer
a.
2. Les variables
X
et
Y
sont-elles indépendantes ?
3. Calculer
P (X = Y ).
4. On pose
U = M ax(X, Y ) :
V = M in(X, Y );
S = X + Y.
Déterminer les lois de chaque variable
U, V
et
S.
5. Calculer
cov(X, Y ).
Exercice 25
On considère une suite de lancers successifs (supposés indépendants) d'une pièce de monnaie, pour laquelle la
probabilité d'apparition de pile , noté P, est
p
et celle de face, noté F, est
q,
avec
0<p<1
et
p + q = 1,
et on
s'intéresse à l'apparition de deux piles consécutifs.
Par exemple, si l'on considère les seize premiers lancers suivants :
F
P
P
F
P
P
P
F
P
F
P
P
P
P
P
F
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
deux piles consécutifs sont réalisés aux rangs 3, 6, 12 et 14, mais non aux rangs 7, 13 et 15 (car un pile ne peut
pas participer à la réalisation de deux piles consécutifs plus d'une fois).
On notera, pour tout entier naturel
• An
• Bn
n
non nul :
l'événement : deux piles consécutifs sont réalisés au rang
n
.
l'événement : deux piles consécutifs sont pour la première fois réalisés au rang
Enn on désigne par
1. On a bien sûr
an
bn
et
a1 = 0.
les probabilités de ces événements
Calculer de plus
An
et
n
.
Bn .
a2 , a3 , a4 .
2. Démontrer, pour tout nombre entier naturel
n
non nul :
an+2 = p2 an + qp2 .
Exercice 26
n + 1 boules numérotées de 0 à n. On y tire successivement et avec remise un certain nombre
Xk est dénie de la façon suivante : X1 = 1 et ensuite Xi = 1 si le numéro obtenu au tirage
obtenu avant, Xi = 0 sinon.
Une urne contient
de boules. La variable
i
n'avait jamais
1. Déterminer la loi de
2. Montrer que
Xi
3. Montrer que, si
Xi
n i−1
.
n+1
(n − 1)i−1 nj−i
P ((Xi = 1) ∩ (Xj = 1) =
.
(n + 1)j−1
suit une loi de Bernoulli de para mètre
i<j
4. En déduire la loi de
5. les variables
X2 .
et
, on a
Xi Xj .
Xj
sont-elles indépendantes ?
7
Zp la variable aléatoire égale au nombre de numéros
Exprimer Zp en fonction des variables dénies précédemment.
6. On note
7. En déduire son espérance et la limite de celle-ci lorsque
8. Calculer la variance de
Zp
.
8
p
distincts obtenus lors des
tend vers
+∞.
p
premiers tirages.