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Chapitre O4: Absorption et dispersion dans les phénomènes de propagation linéaire TD
TD-O4 : Absorption et dispersion dans les phénomènes de
propagation linéaire
Révisions de cours :
Identifierlecaractèrelinéaired’uneéquationauxdérivéespartiellesdepropagation
Donnerlaformegénériquedessolutionsprogressivessinusoïdalesennotationcomplexe(pseudo-
OPPH)
Savoirétablirlarelationdedispersion(méthode)
Interpréterlespartiesréellesetimaginaire de en les reliant à la vitessedephaseetàla
dépendancespatialedel’amplitude
Définirunmilieudispersif
Savoircritiquerlemodèledel’ondeplane
Définirunpaquetd’onded’extentiontemporellefinie
Enonceretexploiterlarelationentrelesordresdegrandeurdeladuréetemporelled’unpaquet
d’ondeetlalargeurfréquentielledesonspectre
SuperpositiondedeuxOPPHdefréquencesvoisinesdansunmilieudispersifetnonabsorbant:
définirlavitessedephaseetlavitessedegroupe
Définirlavitessedephaseetlavitessedegroupeetassociercesvitessesàlapropagationdela
phaseoudel’enveloppe
Décrirelaconséquencedeladispersionsurlapropagationd’unpaquetd’onde
1PSI, lycée de l’Essouriau, 2015/2016
Chapitre O4: Absorption et dispersion dans les phénomènes de propagation linéaire TD
1 Influence de la viscosité sur la propagation du son
Unsonestdécritdansl’approximationacoustiquepardeschampsdelaforme:
−→
=1( )−→
et P=P0+P1( )
Pourprendreencomptelaviscositédel’airnotéeηdansl’étudedelapropagationduson,onajouteaux
forcesdepressiondesforcesvolumiquesdeviscosité.Onobtientalorsleséquationscoupléessuivantes:
µ0
∂1
∂ =−∂P1
∂ +η∂21
∂2et ∂P1
∂ =−µ02∂1
∂
oùestlacéléritéduson.
1. Oncherche dessolutions sous la forme de pseudo-ondes progressives sinusoïdales. Montrerquela
relationdedispersiondesondess’écrit:2=ω2
21
1+ ηω
µ02!
2. Calculer l’ordre de grandeur de ηω
µ02dans l’air. Rappel : η≈10−5P. En déduire une expression
approchéede0etde00.Lemilieuest-ildispersif?Absorbant?
Faireapparaîtreunedistancecaractéristiqueetl’évaluernumériquement.
3. Laviscositépeut-elleexpliquerquel’onentendemoinsbienuninterlocuteursituéà10quelorsque
celui-ciestplacéà1?
2 Guide d’onde
Unguided’ondeestuncylindremétalliquecreuxillimitéd’axeOzetdontlasectiondroiteestlerectangle
(0≤≤ 0≤≤).L’intérieurduguideestremplid’air,assimiléàduvide.
Uneétudequ’onneconduirapasicimontrequelechampélectriquesepropageselonl’axezetpeuts’écrire
souslaforme: −→
E=Asin(π
)(ω− )−→
1. Montrerquelarelationdedispersions’écritsouslaforme:
2=ω2−ω2
2
2. Décrirelanaturedesdifférentessolutionspossibles.Calculerlapluspetitefréquencepermettantde
propageruneondeprogressiveharmoniquedansleguided’ondesi=5.
3. Déterminerl’expressiondesvitessesdephaseetdegroupeenfonctiondec,ωetωdanslecasoùily
apropagation.Commenterlesexpressionsobtenuessachantquelesprincipesdelarelativitéinterdisent
lapropagationdel’énergieàunevitessesupérieureàcelledesondesélectromagnétiquesdanslevide.
4. Déterminerl’expressionduchampmagnétiqueetduvecteurdePoynting.
2PSI, lycée de l’Essouriau, 2015/2016
Chapitre O4: Absorption et dispersion dans les phénomènes de propagation linéaire TD
3 Pavillon acoustique d’un soubassophone
Onétudielapropagationd’uneondedansunpavillondesectionvariableS(x).Aupassaged’uneperturbation
lefluidesubitundéplacementξ( )essentiellementlongitudinalsuivantl’axex.Onconsidèradoncparlasuite
queleproblèmeresteunidimensionnel,onnote1( )lasurpression,( )lavitesseacoustiqueetµ1( )la
perturbationdemassevolumiqueparrapportaufluideaureposdemassevolumiqueµ.
1. Enfaisantunbilandematièreàpartirdusystèmeouvertdéfinisurlafigureci-dessus,montrerque
l’équationlocalelinéariséedeconservationdelamasses’écrit:
µ
∂(( )S())
∂ +S()∂µ
∂ =0
2. Montrerquel’équationdepropagationdelasurpression1( )s’écritalors:
∂21
∂2+1
S()
S
∂1
∂ =1
2
∂21
∂2
OnconsidèreunpavillondesectionS()=S oùaestlecoefficientd’expansion.Onchercheàétudier
lapropagationd’uneondeplanedontlasurpressioncomplexes’écrit1( )=10(ω−)oùlevecteurd’onde
estaprioriunnombrecomplexequel’onécrirasouslaforme=0−00
3. Simplifierl’équationd’onde
4. Déterminerlarelationdedispersion.
5. Exprimerk’etk”enfonctiondeω,ceta,montrerqu’ilexisteunepulsationdecoupureωàpartir
delaquellel’onde nepeutpas se propager.Lepavillon se comportecomme un filtrepasse-hautou
passe-bas?
6. L’ondeest-elleamortieouamplifiéelorsqu’ellesepropagedanslepavillon?
3PSI, lycée de l’Essouriau, 2015/2016
Chapitre O4: Absorption et dispersion dans les phénomènes de propagation linéaire TD
4 Ondes à la surface de l’eau
Larelationdedispersiond’uneondeàlasurfaced’uneeaudeprofondeurestdonnéepar:
ω2= +γ
µ3!()
oùestl’accélérationdelapesanteur,µlamassevolumiquedel’eauetγlaconstantedetensionsuperficielle
àl’interfaceeau-air(aucuneconnaissancesurlatensionsuperficiellen’estnécessairepourlacompréhension
decetexercice).
1. Déterminerladimensiondeγ.
2. Déterminerladistancecaractéristiquequipermetdecomparerleseffetsdelatensionsuperficielleet
ceuxdelapesanteur.
3. Commentsesimplifielarelationdedispersiondonnéeci-dessussilalongueurd’ondeλesttrèsinférieure
à?trèssupérieureà?Présenterdansuntableaulavitessedephaseenfonctionde,,,γet
µetlavitessedegroupeenfonctionde,chaquefoisdansunmilieudefaibleprofondeur(λ)
puisdansunmilieudegrandeprofondeur(λ).Quanda-t-ondispersion?
4. Ondonneγ=0073SI Calculer.Calculeretpouruneondedemaréedansl’océan(onprendra
λ'1000 et' ),unehouledelongueurd’ondeλ=5dansunocéanprofond,puispour
uneondedansunecuveàonde(λ=3 et=1).
5 Onde quasi-monochromatique représentée par un spectre carré
Uneondequasi-monochromatiqueesunpaquetd’ondeconstituéd’ondesmonochromatiquesdontles
vecteurs d’onde varient continûment sur un domaine d’extension ∆centré autour de . Le paquet
d’ondeestreprésentéparlafonctionmathématique:
Ψ( )=xA()(ω−)
oùlafonctionA(k)estreprésentéeci-dessous:
(a) Al’aided’undéveloppementdeTaylor-Youngàl’ordre1delarelationdedispersionω=ω()autour
de=avecω=ω,exprimerω()enfonctiondek,,φ(vitessedephase)et(vitessede
groupe),vitessescalculéesen.
(b) Endéduirequelepaquetd’ondepeuts’écriresouslaforme:
Ψ( )=Ψ( )(ω−)
oùl’onexprimeraΨ.
(c) Dans l’expression de Ψ( ), quel terme rend compte du caractère monochromatique de l’onde?
Quellerelationdoit-ilexisterentrelaconstanteAetledomaine∆pouruneobtenirunecondition
énergétiquephysiquementacceptabledeΨ( )?Donnée:R+∞
−∞
2=π
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