PROBABILITÉS I Loi de probabilités

PROBABILITÉS
I Loi de probabilités
1 Loi de probabilité sur un ensemble fini :
Définitions :
•Une expérience est dite aléatoire lorsqu’elle a plusieurs issues possibles (ou résultats) et que l’on ne peut ni
prévoir ni calculer laquelle de ces issues va être réalisée.
Exemples :
Le lancer d’une pièce de monnaie, le lancer d’un dé, le jeu du loto.
•On suppose dans ce chapitre que l’ensemble des issues est un ensemble fini, que l’on note en général Ωet que
l’on nomme l’univers.
Ω={x1,x2,··· ,xn}.
•Définir une loi de probabilité sur Ωconsiste à associer à chaque issue xiun nombre picompris entre 0 et 1,
appelé probabilité de xi.
On doit avoir p(x1)+p(x2)+ · · · + p(xn)=1.
•Loi des grands nombres : pour une expérience donnée, les fréquences obtenues dans des séries d’expériences
de taille nse rapprochent des probabilités quand ndevient grand.
Exemple : dans le jeu de Pile ou Face, les fréquences d’apparition de chaque face se rapprochent de 1
2.
2 Loi équirépartie
On dit que l’on a une loi équirépartie lorsque chaque événement élémentaire (constitué d’un seul élément )
a la même probabilité. Elle vaut 1
nsi Ωanéléments.
Exemple : on attribue une probabilité de 1
2à Pile ou Face lors du lancer d’une pièce de monnaie ou 1 6à l’appari-
tion de chaque face d’un dé.
Exemple :
Une urne contient trois boules numérotées 1,
2 ou 3. On tire une boule au hasard, on note
son numéro, on la remet dans l’urne et on re-
tire une boule.
On obtient ainsi un nombre à deux chiffres.
On peut modéliser la situation par un arbre :
On voit ainsi que l’on a 9 résultats possibles :
Ω={11 ; 12 ; 13 ; 21 ; ··· ; 33}
11
2
3
21
2
3
31
2
3
1

II Probabilité d’un événement
1 Événement
Un événement est un sous-ensemble de Ω
Exemple : Dans l’exemple précédent, soit Al’événement : « avoir un nombre multiple de 3 » : A={12 ; 21 ; 33}
;est l’événement impossible. Exemple : obtenir un nombre négatif dans l’expérience précédente.
Ωest l’événement certain.
2 Probabilité d’un événement
•La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent.
•p(;)=0 ; p(Ω)=1
•Dans le cas d’une loi équirépartie, la probabilité d’un événement Aest égale à nombre de cas favorables à A
nombre total de cas possibles.
III Calculs de probabilités
1Réunion et intersection de deux événements :
Soient Aet Bdeux événements (donc deux sous-ensembles de Ω)
Définition :
•L’événement A∩B(lire Ainter B) est constitué des issues qui sont dans Aet dans B.
•L’événement A∪B(lire Aunion B) est constitué des issues qui sont dans Aou dans B. C’est un ou inclusif,
c’est-à-dire que les les issues peuvent être dans Aet Bà la fois.
•Si A∩B= ;, on dit que les événements sont incompatibles.
Exemple : on lance un dé équilibré à 12 faces.
Ω={1 ; 2 ; 3 ; ··· ; 12}.
Soient : A: « le résultat est un multiple de 3 » et B: « le résultat est pair »
A={3 ; 6 ; 9 ; 12} ; B={2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12}
A∩B={6 ; 12} et A∪B={2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12}.
2 Probabilité de la réunion
On a : p(∪B)=p(A)+p(B)−p(A∩B) .
Remarque : on en déduit p(A∩B)=p(A)+p(B)−p(A∪B)
Si Aet Bsont incompatibles : p(A∪B)=p(A)+p(B)
3 Événement contraire
Pour un événement A, on note Al’événement contraire de A, constitué des événements élémentaires de Ω
qui ne sont pas dans A.
A∩A= ; donc p(A∪A)=p(Ω)=1=p(A)+p(A) d’où : p(A=1−p(A)) .
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