PROBABILITÉS I Loi de probabilités

PROBABILITÉS
I Loi de probabilités
1 Loi de probabilité sur un ensemble fini :
Définitions :
• Une expérience est dite aléatoire lorsqu’elle a plusieurs issues possibles (ou résultats) et que l’on ne peut ni
prévoir ni calculer laquelle de ces issues va être réalisée.
Exemples :
Le lancer d’une pièce de monnaie, le lancer d’un dé, le jeu du loto.
• On suppose dans ce chapitre que l’ensemble des issues est un ensemble fini, que l’on note en général Ω et que
l’on nomme l’univers.
Ω = {x1 , x2 , · · · , xn }.
• Définir une loi de probabilité sur Ω consiste à associer à chaque issue xi un nombre p i compris entre 0 et 1,
appelé probabilité de xi .
On doit avoir p(x1 ) + p(x2 ) + · · · + p(xn ) = 1.
• Loi des grands nombres : pour une expérience donnée, les fréquences obtenues dans des séries d’expériences
de taille n se rapprochent des probabilités quand n devient grand.
1
Exemple : dans le jeu de Pile ou Face, les fréquences d’apparition de chaque face se rapprochent de .
2
2 Loi équirépartie
On dit que l’on a une loi équirépartie lorsque chaque événement élémentaire (constitué d’un seul élément )
1
a la même probabilité. Elle vaut si Ω a n éléments.
n
1
1
Exemple : on attribue une probabilité de à Pile ou Face lors du lancer d’une pièce de monnaie ou à l’appari2
6
tion de chaque face d’un dé.
Exemple :
b
1
b
2
b
3
b
1
b
2
b
3
b
1
b
2
b
3
1
b
Une urne contient trois boules numérotées 1,
2 ou 3. On tire une boule au hasard, on note
son numéro, on la remet dans l’urne et on retire une boule.
On obtient ainsi un nombre à deux chiffres.
On peut modéliser la situation par un arbre :
On voit ainsi que l’on a 9 résultats possibles :
Ω = {11 ; 12 ; 13 ; 21 ; · · · ; 33}
2
b
b
3
b
1
II Probabilité d’un événement
1 Événement
Un événement est un sous-ensemble de Ω
Exemple : Dans l’exemple précédent, soit A l’événement : « avoir un nombre multiple de 3 » : A = {12 ; 21 ; 33}
; est l’événement impossible. Exemple : obtenir un nombre négatif dans l’expérience précédente.
Ω est l’événement certain.
2 Probabilité d’un événement
• La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent.
• p(;) = 0 ; p(Ω) = 1
• Dans le cas d’une loi équirépartie, la probabilité d’un événement A est égale à
nombre de cas favorables à A
.
nombre total de cas possibles
III Calculs de probabilités
1 Réunion et intersection de deux événements :
Soient A et B deux événements (donc deux sous-ensembles de Ω)
Définition :
• L’événement A ∩ B (lire A inter B) est constitué des issues qui sont dans A et dans B.
• L’événement A ∪ B (lire A union B) est constitué des issues qui sont dans A ou dans B. C’est un ou inclusif,
c’est-à-dire que les les issues peuvent être dans A et B à la fois.
• Si A ∩ B = ;, on dit que les événements sont incompatibles.
Exemple : on lance un dé équilibré à 12 faces.
Ω = {1 ; 2 ; 3 ; · · · ; 12}.
Soient : A : « le résultat est un multiple de 3 » et B : « le résultat est pair »
A = {3 ; 6 ; 9 ; 12} ; B = {2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12}
A ∩ B = {6 ; 12} et A ∪ B = {2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12}.
2 Probabilité de la réunion
On a : p(∪B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) .
Remarque : on en déduit p(A ∩ B) = p(A) + p(B) − p(A ∪ B)
Si A et B sont incompatibles : p(A ∪ B) = p(A) + p(B)
3 Événement contraire
Pour un événement A, on note A l’événement contraire de A, constitué des événements élémentaires de Ω
qui ne sont pas dans A.
A ∩ A = ; donc p(A ∪ A) = p(Ω) = 1 = p(A) + p(A) d’où : p(A = 1 − p(A)) .
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