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Samedi 18 Octobre 2014
Dur´ee : 4 heures
MATH´ EMATIQUES
DEVOIR SURVEILL´ E N˚2
Sujet Mines-Ponts
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Devoir de Math´ematiques
PROBL` EME : Endomorphismes semi-lin´eaires et valeurs co-propres
Sujet complet Mines Pont 2001 - PSI
Dans tout ce probl`eme, l’entier nest sup´erieur ou ´egal `a 1 (n>1), Eest un espace vectoriel complexe
de dimension n. Le but de ce probl`eme est d’´etudier les applications semi-lin´eaires de l’espace vectoriel
complexe Edans lui-mˆeme. Une application ude Edans lui-mˆeme est semi-lin´eaire si elle poss`ede la
propri´et´e suivante :
Pour tout scalaire aet tout couple de vecteurs xet yde l’espace vectoriel Ela relation ci-dessous est v´erifi´ee :
u(ax +y) = au (x) + u(y).
Le nombre complexe aest le nombre complexe conjugu´e de a.
Un nombre complexe µest une valeur co-propre de l’application semi-lin´eaire us’il existe un vecteur x
diff´erent de 0 tel que la relation ci-dessous soit v´erifi´ee :
u(x) = µx.
Le vecteur xest un vecteur co-propre associ´e `a la valeur co-propre µ.
Partie I
Le but de cette partie est d’´etudier, pour une application semi-lin´eaire udonn´ee, les valeurs et vecteurs
co-propres.
1. Premi`eres propri´et´es
Soit uune application semi-lin´eaire de l’espace vectoriel E.
(a) D´emontrer qu’´etant donn´e un vecteur xdiff´erent de 0, appartenant `a l’espace E, il existe au plus
un nombre complexe µtel que la relation u(x) = µx ait lieu.
(b) D´emontrer que, si le nombre complexe µest une valeur co-propre de l’application semi-lin´eaire u,
pour tout r´eel θ, le nombre complexe µeiθ est encore valeur co-propre de l’application semi-lin´eaire
u.
Exprimer un vecteur co-propre associ´e `a la valeur co-propre µeiθ en fonction d’un vecteur co-
propre xassoci´e `a la valeur co-propre µet du r´eel θ.
(c) ´ Etant donn´ee une valeur co-propre µde l’application semi-lin´eaire u, soit Eµl’ensemble des
vecteurs xde l’espace vectoriel Equi v´erifient la relation u(x) = µx :
Eµ={x∈E / u (x) = µx}.
Est-ce que l’ensemble Eµest un espace vectoriel complexe ? r´eel ?
(d) ´ Etant donn´ees deux applications semi-lin´eaires uet v, ´etudier la lin´earit´e de l’application u◦v.
2. Matrice associ´ee `a une application semi-lin´eaire
Soit uune application semi-lin´eaire de l’espace vectoriel E; soit (ei)1≤i≤nune base de l’espace vectoriel
E.` A un vecteur x, de coordonn´ees x1, x2, . . . , xn, est associ´ee une matrice-colonne X, d’´el´ements
x1, x2, . . . , xn, appel´ee (abusivement) vecteur.
(a) D´emontrer qu’`a l’application semi-lin´eaire uest associ´ee dans la base (ei)1≤i≤nde Eune matrice
A, carr´ee complexe d’ordre n, telle que la relation y=u(x) s’´ecrive
Y=A.X.
La matrice-colonne Xest la matrice complexe conjugu´ee de la matrice-colonne X.
PSI 2014-2015 2 Lyc´ee de L’Essouriau - Les Ulis

Devoir de Math´ematiques
(b) Soient Aet Bles matrices associ´ees `a une mˆeme application semi-lin´eaire udans les bases (ei)1≤i≤n
et (fi)1≤i≤nrespectivement. Soit Sla matrice de passage de la base (ei)1≤i≤n`a la base (fi)1≤i≤n.
Exprimer la matrice Ben fonction des matrices Aet S.
´
Etant donn´ee une matrice carr´ee A, complexe d’ordre n, le vecteur X, diff´erent de 0, (X6= 0)
est un vecteur co-propre de la matrice A, associ´e `a la valeur co-propre µ, si le vecteur Xet le
nombre complexe µv´erifient la relation matricielle ci-dessous :
A.X =µX.
Dans la suite toutes les matrices consid´er´ees sont des matrices carr´ees complexes.
3. Exemples :
(a) Soit Ala matrice d’ordre 2 d´efinie par la relation suivante : A=0−1
1 0 .
Rechercher les valeurs co-propres µet les vecteurs co-propres X=a
bassoci´es.
(b) D´emontrer que, si une matrice Aest r´eelle et admet une valeur propre r´eelle λ, cette matrice a
au moins une valeur co-propre.
4. Correspondance entre les valeurs co-propres de la matrice Aet les valeurs propres de la
matrice A.A :
Soit Aune matrice carr´ee complexe d’ordre n.
(a) D´emontrer que, si le scalaire µest une valeur co-propre de la matrice A, le nombre r´eel |µ|2est
une valeur propre de la matrice A.A.
(b) Soit λune valeur propre positive ou nulle (λ≥0) de la matrice A.A et Xun vecteur propre
associ´e :
A.A.X =λX.
D´emontrer que le r´eel √λest une valeur co-propre de la matrice Aen envisageant les deux cas :
i. les vecteurs A.X et Xsont li´es ;
ii. les vecteurs A.X et Xsont ind´ependants.
(c) En d´eduire que, pour que le r´eel positif ou nul µsoit valeur co-propre de la matrice A, il faut et
il suffit que le r´eel µ2soit valeur propre de la matrice A.A.
(d) ´ Etant donn´e un r´eel m, soit Amla matrice d´efinie par la relation suivante : Am=m−1
1 0 .
D´eterminer les valeurs co-propres r´eelles positives ; discuter suivant les valeurs du r´eel m.
5. Cas d’une matrice triangulaire sup´erieure :
Dans cette question la matrice Aest une matrice triangulaire sup´erieure (les ´el´ements situ´es en-dessous
de la diagonale principale sont nuls).
(a) D´emontrer que, si λest une valeur propre de la matrice A, pour tout r´eel θ, le nombre complexe
λeiθ est une valeur co-propre de la matrice A.
(b) D´emontrer que, si µest une valeur co-propre de la matrice A, il existe un r´eel θtel que le nombre
complexe µeiθ soit valeur propre de la matrice A.
(c) Soit Ala matrice d´efinie par la relation A=i1
0i. D´emontrer que le r´eel 1 est valeur co-
propre de cette matrice et d´eterminer un vecteur Xco-propre associ´e. Poser : X=a+ib
c+id .
6. Une caract´erisation des valeurs co-propres :
Soit Aune matrice carr´ee complexe d’ordre n; soient Bet Cles matrices r´eelles d´efinies par la relation
suivante :
A=B+iC.
D´emontrer que le nombre complexe µest valeur co-propre de la matrice Asi et seulement si le nombre
r´eel |µ|est une valeur propre de la matrice D, carr´ee r´eelle d’ordre 2n, d´efinie par blocs par la relation
suivante :
D=B C
C−B.
PSI 2014-2015 3 Lyc´ee de L’Essouriau - Les Ulis

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Partie II
´
Etant donn´ees deux matrices carr´ees complexes Aet Bd’ordre n, s’il existe une matrice carr´ee complexe
Sd’ordre ninversible (S∈GLn(C)) telle que la relation
B=S.A.S−1
soit v´erifi´ee, les deux matrices Aet Bsont dites co-semblables. Si une matrice Aest co-semblable `a une
matrice diagonale, la matrice Aest dite co-diagonalisable. Le but de cette partie est de rechercher `a quelles
conditions une matrice est co-diagonalisable.
1. Une relation d’´equivalence :
Etant donn´ees deux matrices carr´ees complexes Aet Bd’ordre n, ces matrices sont dites satisfaire la
relation ≈si et seulement si ces deux matrices sont co-semblables :
A≈B⇐⇒ ∃S∈GLn(C) : B=S.A.S−1.
D´emontrer que la relation ≈est une relation d’´equivalence (r´eflexive, sym´etrique et transitive) dans
l’ensemble des matrices carr´ees complexes d’ordre n. On rappelle que :
≈est r´eflexive lorsque ∀A∈ Mn(C), A ≈A.
≈est sym´etrique lorsque ∀(A, B)∈ Mn(C)2, A ≈B⇐⇒ B≈A.
≈est transitive lorsque ∀(A, B, C)∈ Mn(C)3, A ≈Bet B≈C=⇒A≈C.
2. Ind´ependance des vecteurs co-propres :
Soit Aune matrice carr´ee complexe d’ordre n, soient X1, X2, . . . , Xk,kvecteurs co-propres de la
matrice Aassoci´es `a des valeurs co-propres µ1, µ2, . . . , µk; l’entier kest inf´erieur ou ´egal `a l’entier n
(k≤n). D´emontrer que, si les valeurs co-propres µp,p= 1,2, . . . , k ont des modules diff´erents les uns
des autres (p6=q⇒ |µp| 6=|µq|), la famille (X1, X2, . . . , Xk) est libre.
En d´eduire que, si la matrice A.A anvaleurs propres λp,p= 1,2, . . . , n, positives ou nulles (λp≥0),
distinctes les unes des autres (p6=q⇒λp6=λq), la matrice est co-diagonalisable.
3. Quelques propri´et´es :
(a) Soit Sune matrice carr´ee complexe d’ordre ninversible (S∈GLn(C)) ; soit Ala matrice d´efinie
par la relation A=S.S−1. Calculer la matrice produit A.A.
(b) Soit Aune matrice carr´ee complexe d’ordre ntelle que A.A =In,d´emontrer qu’il existe au moins
un r´eel θtel que la matrice S(θ) d´efinie par la relation ci-dessous
S(θ) = eiθA+e−iθ In,
soit inversible. Calculer, en donnant au r´eel θcette valeur, la matrice A.S (θ) ; en d´eduire la
matrice S(θ).S (θ)−1.
4. Une condition n´ecessaire :
Soit Aune matrice d’ordre nco-diagonalisable. Il existe par suite une matrice Sinversible telle que
la matrice S−1.A.S soit diagonale. D´emontrer que la matrice A.A est diagonalisable, que ses valeurs
propres sont positives ou nulles et que le rang de la matrice Aest ´egal au rang de la matrice A.A.
5. Exemples :
(a) Uniquement pour les 5/2 : Soit Aune matrice sym´etrique r´eelle d’ordre n, est-elle co-
diagonalisable ?
(b) Soient A,B,Cet Dles matrices d’ordre 2 suivantes :
A=i1
0i, B =1−1 1 1 
C=0 1
0 0 , D =1i i1.
Est-ce que ces matrices sont diagonalisables ? co-diagonalisables ?
FIN DU PROBL` EME
PSI 2014-2015 4 Lyc´ee de L’Essouriau - Les Ulis