INFORMATIQUE PSI - TD N˚11 - LA DERNIÈRE SÉANCE Exercice 4. On considère l’ensemble εn des matrices M Le but de ce TD est d’employer Maple ... une dernière fois... propres réelles vérifiant : t M P MnpRq sans valeurs M2 1. (a) Lorsque n 2, déterminer l’aide du logiciel de calcul formel l’ensemble ε2 , vérifier qu’il est constitué de deux matrices m1 et M2 . Exercice 1 (ENSAM 1999 PSI). Étant donné un entier naturel a, on appelle diviseur propre de a tout diviseur de a différent de a. Deux entiers naturels différents de zéro sont dit amiables si chacun d’eux est égal à la somme des diviseurs propres de l’autre. Écrire un algorithme qui déterminer tous les couples d’entiers amiables inférieurs ou égaux à 1500. On pourra se servir de la fonction Maple irem. (b) Retrouver ce résultat par le calcul. P O2pRq telle que t P M1 P M2 (c) Montrer qu’il existe une matrice P 2. Montrer que l’ensemble ε3 est vide. 3. Montrer à l’aide du logiciel de calcul formel que la matrice : 1 1 1 1 1 1 1 A 2 1 1 1 Exercice 2 (ENSAM 1998 PSI). 1 1 1 1 1 1 1 Dans un repère orthonormé, on considère les 4 points : Ap1, 2, 3q B p2, 4, 5q C p0, 1, 6q Dp1, 0, 7q Trouver le centre et le rayon de la sphère passant par ces 4 points. appartient à ε4 . 4. (a) Montrer que tout endomorphisme u d’un R-espace vectoriel de dimension finie n ¤ 2 sans valeurs propres réelles, admet au moins un plan stable. Exercice 3 (Mines PSI). Déterminer les polynômes P de degré 5 au plus, tels que pX 1q3 divise P pX q 1 et pX 1q3 divise P pX q 1. (b) Soient E un espace vectoriel euclidien et F un sous-espace vectoriel stable par un endomorphisme u dont l’adjoint vérifie u u2 . Montrer que l’orthogonal de F est aussi stable par u. (c) Montrer, lorsque n 4, que pour toute matrice M P P O4 pRq telle que : 1{2 ?3{2 ? 3{2 1{2 t P M1 P 0 0 0 0 0 0 ?1{2 3{2 P 0 ?0 3{2 1{2 ε4 , il existe (d) Exprimer une telle matrice P pour la matrice A de la question 3. et vérifier avec le logiciel. PSI - Lycée de l’Essouriau 1 2013-2014