Distance à un sous

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 28 avril 2016 Enoncés 1
Distance à un sous-espace vectoriel
Exercice 1 [ 00073 ] [Correction]
On munit E=C([−1 ; 1],R)du produit scalaire :
(fg |=) 1
2Z1
−1
f(x)g(x) dx
Pour i∈ {0,1,2,3}, on note Pi(x) = xi.
a) Montrer que la famille (P0, P1, P2)est libre mais pas orthogonale.
b) Déterminer, par le procédé de Schmidt, une base orthonormée (Q0, Q1, Q2)
de F= Vect(P0, P1, P2)à partir de la famille (P0, P1, P2).
c) Calculer la projection orthogonale de P3sur Fet la distance de P3àF.
Exercice 2 [ 00527 ] [Correction]
a) Montrer que (P|Q) = P(0)Q(0) + P(1)Q(1) + P(2)Q(2) définit un produit
scalaire sur R2[X].
b) Calculer d(X2, P )où P=aX +b|(a, b)∈R2
Exercice 3 [ 02736 ] [Correction]
On munit Mn(R)du produit scalaire rendant orthonormée la base canonique,
dont on note kk la norme associée. Soit Jla matrice de Mn(R)dont tous les
coefficients sont égaux à 1.
Si M∈ Mn(R), calculer inf(a,b)∈R2kM−aIn−bJk.
Exercice 4 [ 03764 ] [Correction]
Soit A= (ai,j )1≤i,j≤n∈ Mn(R). Calculer
inf
M∈Sn(R)
X
1≤i,j≤n
(ai,j −mi,j )2
Exercice 5 [ 03117 ] [Correction]
a) Montrer que (A|B) = tr (AtB)définit un produit scalaire sur Mn(R).
b) Montrer que Sn(R)et An(R)sont supplémentaires et orthogonaux.
Exprimer la distance de
M=
123
012
123
∈ M3(R)
àS3(R).
c) Montrer que l’ensemble Hdes matrices de trace nulle est un sous-espace
vectoriel de Mn(R)et donner sa dimension.
Donner la distance à Hde la matrice Jdont tous les coefficients valent 1.
Exercice 6 [ 02571 ] [Correction]
a) Montrer que (f|g) = R1
0f(t)g(t) dtdéfinit un produit scalaire sur l’ensemble
Edes fonctions continues sur Rengendré par f1(x)=1,f2(x)=exet
f3(x) = x.
b) Pour quels réel aet bla distance de f2(x)àg(x) = ax +best-elle minimale ?
Exercice 7 [ 01598 ] [Correction]
Soient nun entier supérieur à 3 et E=Rn[X].
a) Montrer que
ϕ(P, Q) = Z1
−1
P(t)Q(t) dt
définit un produit scalaire sur E.
b) Calculer
inf
(a,b,c)∈R3Z1
−1t3−(at2+bt +c)2dt
Exercice 8 [ 02734 ] [Correction]
Calculer le minimum de
Z1
0
(t3−at2−bt −c)2dt
pour a, b, c parcourant R.
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 28 avril 2016 Enoncés 2
Exercice 9 [ 01599 ] [Correction]
[Déterminant de Gram] Soit (x1, . . . , xn)une famille de vecteurs d’un espace
vectoriel euclidien E.
On note
G(x1, . . . , xn) = ((xi|xj))1≤i,j≤n∈ Mn(R)
a) Montrer que si (x1, ..., xn)est liée alors
det G(x1, . . . , xn)=0
b) On suppose désormais que la famille (x1, ..., xn)est libre et on pose
F= Vect(x1, . . . , xn)
On note M= MatB(x1, x2, . . . , xn)où Best une base orthonormée de F.
Exprimer G(x1, . . . , xn)en fonction de Met de tM. En déduire que
det G(x1, . . . , xn)>0
c) On introduit de plus x∈E. Montrer que
d(x, F ) = sdet G(x, x1, . . . , xn)
det G(x1, . . . , xn)
Exercice 10 [ 00526 ] [Correction]
[Déterminant de Gram] Soit Eun espace préhilbertien réel. Pour (u1, . . . , up)
famille de vecteurs de E, on note G(u1, . . . , up)la matrice de Mp(R)dont le
coefficient d’indice (i, j)est hui, uji.
a) Montrer que si la famille (u1, . . . , up)est liée alors
det G(u1, . . . , up)=0
b) Établir la réciproque.
c) Montrer que si (e1, . . . , ep)est une base d’un sous-espace vectoriel Fde E
alors pour tout x∈E,
d(x, F ) = sdet G(e1, . . . , ep, x)
det G(e1, . . . , ep)
Exercice 11 [ 04080 ] [Correction]
On munit Mn(R)de son produit scalaire canonique hA, Bi= tr (tAB).
a) Montrer que Sn(R)et An(R)sont supplémentaires et orthogonaux.
b) Exprimer la distance à S3(R)de la matrice
M=
123
012
123
∈ M3(R)
c) Montrer que l’ensemble Hdes matrices de trace nulle est un sous-espace
vectoriel de Mn(R)et donner sa dimension.
Donner la distance à Hde la matrice Jdont tous les coefficients valent 1.
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 28 avril 2016 Corrections 3
Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
a) Si λ0P0+λ1P1+λ2P2= 0 alors le polynôme λ0+λ1X+λ2X2admet une
infinité de racines. C’est donc le polynôme nul et par conséquent
λ0=λ1=λ2= 0.
La famille (P0, P1, P2)est donc libre. Elle n’est pas orthogonale puisque
(P0|P2)=1/36= 0.
b) R0=P0,kR0k= 1,Q0:x7→ 1
(P0|P1)=0,R1=P1,kR1k= 1/√3,Q1:x7→ √3x.
R2=P2+λ0R0+λ1R1.
(R2|R0)=0donne λ0=−(P2|P0) = −1/3,
(R2|R1)=0donne λ1/3 = −(P2|R1)=0.
R2:x7→ x2−1/3,kR2k=2
3√5,Q2:x7→ √5
23x2−1.
c) Le projeté orthogonal de P3sur Fest
R= (Q0|P3)Q0+ (Q1|P3)Q1+ (Q2|P3)Q2
soit, après calculs
R:x7→ 3
5x
La distance de P3àFest alors
d=kP3−Rk=2
5√7
Exercice 2 : [énoncé]
a) Sans difficulté, notamment parce qu’un polynôme de degré ≤2possédant
trois racines est nécessairement nul.
b) d(X2, P ) = 
X2−π avec π=aX +bprojeté orthogonal de X2sur P.
X2−π|1=X2−π|X= 0 donne le système
3a+ 3b= 5
5a+ 3b= 9
Après résolution
a= 2
b=−1/3
et après calcul
d=p2/3
Exercice 3 : [énoncé]
Le cas n= 1 étant évident, on suppose désormais n≥2.
La quantité cherchée est m=d(M, Vect(I, J)) = kM−p(M)kavec pla projection
orthogonale sur Vect(I, J).
p(M) = aI +bJ avec (p(M)|I)=(M|I) = tr(M)et (p(M)|J)=(M|J) = σ
avec σla somme des coefficients de M.
La résolution de ce système donne
a=ntr(M)−σ
n(n−1) et b=σ−tr(M) n(n−1)
donc
m2=kM−p(M)k2= (M−p(M)|M) = kMk2−(n−1) tr(M)2+ (tr(M)−σ)2
n(n−1)
Exercice 4 : [énoncé]
En introduisant la norme euclidienne canonique sur Mn(R)définie par
kAk=
X
1≤i,j≤
a2
i,j 
1/2
on peut interpréter l’infimum calculé
inf
M∈Sn(R)
X
1≤i,j≤n
(ai,j −mi,j )2
=d(A, Sn(R))2
La distance introduite se calcule par projection orthogonale. Sachant A=M+N
avec
M=A+tA
2∈ Sn(R)et N=A−tA 2∈ An(R) = Sn(R)⊥
on obtient
d(A, Sn(R))2=kNk2=1
4X
1≤i<j≤n
(ai,j −aj,i)2
Exercice 5 : [énoncé]
a) (A|B) = tr (AtB)définit le produit scalaire canonique sur Mn(R),
(A|B) =
n
X
i,j=1
ai,j bi,j
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 28 avril 2016 Corrections 4
b) Pour A∈ Sn(R)et B∈ An(R), on a
(A|B) = tr(AtB) = −tr(AB)et (A|B) = (B|A) = tr(tAB) = tr(AB)
On en déduit (A|B)=0.
Les espaces Sn(R)et An(R)sont donc en somme directe.
Puisqu’on peut écrire pour tout M∈ Mn(R),
M=1
2M+tM+1 2M−tM
avec 1
2(M+tM)∈ Sn(R)et 1 2(M−tM)∈ An(R), les espaces Sn(R)et
An(R)sont supplémentaires orthogonaux.
La distance de MàS3(R)est égale à la distance de Mà son projeté
orthogonal sur S3(R)i.e.
d(M, S3(R)) = 1
2
M−tM = 2
c) Hest le noyau de la forme linéaire non nulle trace, c’est donc un hyperplan
de Mn(R).
La matrice Inest orthogonale à tout élément de Het c’est donc un vecteur
normal à l’hyperplan H.
On en déduit
d(H, J) = |(In|J)|
kInk=n
√n=√n
Exercice 6 : [énoncé]
a) On reconnaît une restriction du produit scalaire usuel sur l’espace des
fonctions réelles continues sur [0 ; 1].
b) La distance f2àgsera minimale quand gest le projeté orthogonal de f2sur
Vect(f1, f3).
Ce projeté gvérifie (f2−g|f1)=(f2−g|f3)=0ce qui donne le système
1
2a+b= e −1
1
3a+1 2= 1
Après résolution, on obtient a= 18 −6e et b= 4e −10.
Exercice 7 : [énoncé]
a) Symétrie, bilinéarité et positivité : ok
Si ϕ(P, P )=0alors R1
−1P2(t) dt= 0 donc (fonction continue positive
d’intégrale nulle)
∀t∈[−1 ; 1], P (t)=0
Comme le polynôme Padmet une infinité de racines, c’est le polynôme nul.
b) On a
inf
(a,b,c)∈R3Z1
−1t3−(at2+bt +c)2dt=d(X3, F )2
où F= Vect(1, X, X2).
Soit Ple projeté orthogonal de X3sur F. On peut écrire P=a+bX +cX2
et on a par orthogonalité
X3−P|1=X3−P|X=X3−P|X2= 0
On en déduit que P=3
5Xpuis
d(X3, F )2=8
175
Exercice 8 : [énoncé]
Sur R[X], on définit un produit scalaire par
(P|Q) = Z1
0
P(t)Q(t) dt
La quantité cherchée mapparaît alors sous la forme
m= inf
a,b,c∈R
X2−(aX2+bX +c)
2
C’est donc le carré de la distance de X3au sous-espace vectoriel R2[X]. En
introduisant la projection orthogonale psur ce sous-espace vectoriel
m=d(X3,R2[X])2=
X3−p(X3)
2
On peut écrire
p(X3) = a+bX +cX2
Pour chaque i= 0,1,2, on a
(p(X3)|Xi) = X3|Xi
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 28 avril 2016 Corrections 5
car
(p(X3)−X3|Xi)=0
On obtient alors un système d’équations d’inconnue (a, b, c)
a+b/2 + c/3=1/4
a/2 + b/3 + c/4=1/5
a/3 + b/4 + c/5=1/6
La résolution de ce système donne
a= 1/20, b =−3/5et c= 3/2
On en déduit
m=
X3−p(X3)
2= (X3−p(X3)|X3) = 1
2800
Exercice 9 : [énoncé]
a) Si (x1, . . . , xn)est liée alors les colonnes de G(x1, . . . , xn)le sont selon la
même relation.
b) (xi|xj) = Pn
k=1 ak,iak,j avec M= (ai,j )donc G(x1, . . . , xn) =tMM.
Par suite det(G(x1, x2, . . . , xn)) = det(M)2>0car Minversible puisque
(x1, . . . , xn)libre.
c) x=u+navec u∈Fet n∈F⊥. On a d(x, F ) = knk.
En exprimant la première colonne du déterminant comme somme de deux
colonnes :
det G(u+n, x1, . . . , xn) = det G(u, x1, . . . , xn) + knk2∗
0G(x1, . . . , xn)
or det G(u, x1, . . . , xn)=0car la famille est liée et
knk2∗
0G(x1, . . . , xn)
=knk2det G(x1, . . . , xn)
On en déduit
d(x, F ) = sdet G(x, x1, . . . , xn)
det G(x1, . . . , xn)
Exercice 10 : [énoncé]
a) Si la famille (u1, . . . , up)est liée alors il existe (λ1, . . . , λp)6= (0,...,0) tel que
Pp
i=1 λiui= 0Eet on observe alors Pn i=1 λiLi= 0 en notant L1, . . . , Lnles
lignes de la matrice G(u1, . . . , up).
On conclut det G(u1, . . . , up)=0.
b) Si det G(u1, . . . , up)=0alors il existe (λ1, . . . , λp)6= (0,...,0) tel que
Pn
i=1 λiLi= 0 et on obtient alors que le vecteur Pn i=1 λiuiest orthogonal à
tout uj, c’est donc un vecteur commun à Vect(u1, . . . , up)et à son
orthogonal, c’est le vecteur nul.
On conclut que la famille (u1, . . . , up)est liée.
c) x=u+navec u∈Fet n∈F⊥. En développant det G(e1, . . . , ep, x)selon la
dernière colonne :
det G(e1, . . . , ep, u +n) = det G(e1, . . . , ep, u) + 
G(e1, . . . , ep) 0
∗ knk2
or det G(e1, . . . , ep, u)=0car la famille est liée et donc
det G(e1, . . . , ep, x) = knk2det G(e1, . . . , ep)
avec knk=d(x, F ).
Exercice 11 : [énoncé]
a) Pour A∈ Sn(R)et B∈ An(R), on a
hA, Bi= tr(AtB) = −tr(AB)et hA, Bi=hB, Ai= tr(tAB) = tr(AB)
On en déduit hA, Bi= 0.
Les espaces Sn(R)et An(R)sont donc en somme directe.
Puisqu’on peut écrire pour tout M∈ Mn(R),
M=1
2M+tM+1 2M−tM
avec 1
2(M+tM)∈ Sn(R)et 1 2(M−tM)∈ An(R), les espaces Sn(R)et
An(R)sont supplémentaires orthogonaux.
b) La distance de MàS3(R)est égale à la distance de Mà son projeté
orthogonal sur S3(R)i.e.
d(M, S3(R)) = 1
2
M−tM = 2
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD