Distance à un sous

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Enoncés
Distance à un sous-espace vectoriel
Exercice 1 [ 00073 ] [Correction]
On munit E = C([−1 ; 1], R) du produit scalaire :
(f g |=)
1
2
Z
1
a) Montrer que la famille (P0 , P1 , P2 ) est libre mais pas orthogonale.
b) Déterminer, par le procédé de Schmidt, une base orthonormée (Q0 , Q1 , Q2 )
de F = Vect(P0 , P1 , P2 ) à partir de la famille (P0 , P1 , P2 ).
c) Calculer la projection orthogonale de P3 sur F et la distance de P3 à F .
[ 00527 ]
b) Montrer que Sn (R) et An (R) sont
Exprimer la distance de

1
M = 0
1
supplémentaires et orthogonaux.

3
2 ∈ M3 (R)
3
2
1
2
f (x)g(x) dx
−1
Pour i ∈ {0, 1, 2, 3}, on note Pi (x) = xi .
Exercice 2
1
[Correction]
a) Montrer que (P | Q) = P (0)Q(0) + P (1)Q(1) + P (2)Q(2) définit un produit
scalaire sur R2 [X].
b) Calculer d(X 2 , P ) où P = aX + b | (a, b) ∈ R2
Exercice 3 [ 02736 ] [Correction]
On munit Mn (R) du produit scalaire rendant orthonormée la base canonique,
dont on note kk la norme associée. Soit J la matrice de Mn (R) dont tous les
coefficients sont égaux à 1.
Si M ∈ Mn (R), calculer inf (a,b)∈R2 kM − aIn − bJk.
à S3 (R).
c) Montrer que l’ensemble H des matrices de trace nulle est un sous-espace
vectoriel de Mn (R) et donner sa dimension.
Donner la distance à H de la matrice J dont tous les coefficients valent 1.
Exercice 6
[ 02571 ]
[Correction]
R1
a) Montrer que (f | g) = 0 f (t)g(t) dt définit un produit scalaire sur l’ensemble
E des fonctions continues sur R engendré par f1 (x) = 1, f2 (x) = ex et
f3 (x) = x.
b) Pour quels réel a et b la distance de f2 (x) à g(x) = ax + b est-elle minimale ?
Exercice 7 [ 01598 ] [Correction]
Soient n un entier supérieur à 3 et E = Rn [X].
a) Montrer que
Z
1
ϕ(P, Q) =
P (t)Q(t) dt
−1
définit un produit scalaire sur E.
b) Calculer
Exercice 4 [ 03764 ] [Correction]
Soit A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Mn (R). Calculer


X
2
inf 
(ai,j − mi,j ) 
M ∈Sn (R)
1≤i,j≤n
Z
1
inf
(a,b,c)∈R3
t3 − (at2 + bt + c)
2
dt
−1
Exercice 8 [ 02734 ] [Correction]
Calculer le minimum de
Z
1
(t3 − at2 − bt − c)2 dt
Exercice 5
[ 03117 ]
0
[Correction]
pour a, b, c parcourant R.
t
a) Montrer que (A | B) = tr (A B) définit un produit scalaire sur Mn (R).
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Exercice 9 [ 01599 ] [Correction]
[Déterminant de Gram] Soit (x1 , . . . , xn ) une famille de vecteurs d’un espace
vectoriel euclidien E.
On note
G(x1 , . . . , xn ) = ((xi | xj ))1≤i,j≤n ∈ Mn (R)
a) Montrer que si (x1 , ..., xn ) est liée alors
det G(x1 , . . . , xn ) = 0
b) On suppose désormais que la famille (x1 , ..., xn ) est libre et on pose
F = Vect(x1 , . . . , xn )
Enoncés
2
Exercice 11 [ 04080 ] [Correction]
On munit Mn (R) de son produit scalaire canonique hA, Bi = tr (t AB).
a) Montrer que Sn (R) et An (R) sont supplémentaires et orthogonaux.
b) Exprimer la distance à S3 (R) de la

1
M = 0
1
matrice

2 3
1 2 ∈ M3 (R)
2 3
c) Montrer que l’ensemble H des matrices de trace nulle est un sous-espace
vectoriel de Mn (R) et donner sa dimension.
Donner la distance à H de la matrice J dont tous les coefficients valent 1.
On note M = MatB (x1 , x2 , . . . , xn ) où B est une base orthonormée de F .
Exprimer G(x1 , . . . , xn ) en fonction de M et de t M . En déduire que
det G(x1 , . . . , xn ) > 0
c) On introduit de plus x ∈ E. Montrer que
s
det G(x, x1 , . . . , xn )
d(x, F ) =
det G(x1 , . . . , xn )
Exercice 10 [ 00526 ] [Correction]
[Déterminant de Gram] Soit E un espace préhilbertien réel. Pour (u1 , . . . , up )
famille de vecteurs de E, on note G(u1 , . . . , up ) la matrice de Mp (R) dont le
coefficient d’indice (i, j) est hui , uj i.
a) Montrer que si la famille (u1 , . . . , up ) est liée alors
det G(u1 , . . . , up ) = 0
b) Établir la réciproque.
c) Montrer que si (e1 , . . . , ep ) est une base d’un sous-espace vectoriel F de E
alors pour tout x ∈ E,
s
det G(e1 , . . . , ep , x)
d(x, F ) =
det G(e1 , . . . , ep )
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Corrections
Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
a) Si λ0 P0 + λ1 P1 + λ2 P2 = 0 alors le polynôme λ0 + λ1 X + λ2 X 2 admet une
infinité de racines. C’est donc le polynôme nul et par conséquent
λ0 = λ1 = λ2 = 0.
La famille (P0 , P1 , P2 ) est donc libre. Elle n’est pas orthogonale puisque
(P0 | P2 ) = 1/3 6= 0.
b) R0 = P0 , kR0 k = 1, Q0 : x 7→ 1
√
√
(P0 | P1 ) = 0, R1 = P1 , kR1 k = 1/ 3, Q1 : x 7→ 3x.
R2 = P2 + λ0 R0 + λ1 R1 .
(R2 | R0 ) = 0 donne λ0 = − (P2 | P0 ) = −1/3,
(R2 | R1 ) = 0 donne λ1 /3 = − (P2 | R1 ) = √0.
2
R2 : x 7→ x2 − 1/3, kR2 k = 3√
, Q2 : x 7→ 25 3x2 − 1 .
5
c) Le projeté orthogonal de P3 sur F est
R = (Q0 | P3 ) Q0 + (Q1 | P3 ) Q1 + (Q2 | P3 ) Q2
soit, après calculs
R : x 7→
3
x
5
La distance de P3 à F est alors
2
d = kP3 − Rk = √
5 7
Exercice 2 : [énoncé]
a) Sans difficulté, notamment parce qu’un polynôme de degré ≤ 2 possédant
trois racines est nécessairement nul.
b) d(X 2 , P ) = X 2 − π avec π = aX + b projeté orthogonal de X 2 sur P .
X 2 − π | 1 = X 2 − π | X = 0 donne le système
3a + 3b = 5
5a + 3b = 9
3
Exercice 3 : [énoncé]
Le cas n = 1 étant évident, on suppose désormais n ≥ 2.
La quantité cherchée est m = d(M, Vect(I, J)) = kM − p(M )k avec p la projection
orthogonale sur Vect(I, J).
p(M ) = aI + bJ avec (p(M ) | I) = (M | I) = tr(M ) et (p(M ) | J) = (M | J) = σ
avec σ la somme des coefficients de M .
La résolution de ce système donne
a=
n tr(M ) − σ
σ − tr(M )
et b =
n(n − 1)
n(n − 1)
donc
2
2
m2 = kM − p(M )k = (M − p(M ) | M ) = kM k −
(n − 1) tr(M )2 + (tr(M ) − σ)2
n(n − 1)
Exercice 4 : [énoncé]
En introduisant la norme euclidienne canonique sur Mn (R) définie par

1/2
X
kAk = 
a2i,j 
1≤i,j≤
on peut interpréter l’infimum calculé


X
2
(ai,j − mi,j )  = d(A, Sn (R))2
inf 
M ∈Sn (R)
1≤i,j≤n
La distance introduite se calcule par projection orthogonale. Sachant A = M + N
avec
A + tA
A − tA
M=
∈ Sn (R) et N =
∈ An (R) = Sn (R)⊥
2
2
on obtient
1 X
2
(ai,j − aj,i )2
d(A, Sn (R))2 = kN k =
4
1≤i<j≤n
Exercice 5 : [énoncé]
Après résolution
a=2
b = −1/3
a) (A | B) = tr (At B) définit le produit scalaire canonique sur Mn (R),
(A | B) =
et après calcul
d=
p
2/3
n
X
ai,j bi,j
i,j=1
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Corrections
b) Pour A ∈ Sn (R) et B ∈ An (R), on a
(A | B) = tr(At B) = − tr(AB) et (A | B) = (B | A) = tr(t AB) = tr(AB)
On en déduit (A | B) = 0.
Les espaces Sn (R) et An (R) sont donc en somme directe.
Puisqu’on peut écrire pour tout M ∈ Mn (R),
M=
1
1
M + tM +
M − tM
2
2
a) Symétrie, bilinéarité et positivité : ok
R1
Si ϕ(P, P ) = 0 alors −1 P 2 (t) dt = 0 donc (fonction continue positive
d’intégrale nulle)
∀t ∈ [−1 ; 1], P (t) = 0
Comme le polynôme P admet une infinité de racines, c’est le polynôme nul.
b) On a
Z
avec 12 (M + t M ) ∈ Sn (R) et 12 (M − t M ) ∈ An (R), les espaces Sn (R) et
An (R) sont supplémentaires orthogonaux.
La distance de M à S3 (R) est égale à la distance de M à son projeté
orthogonal sur S3 (R) i.e.
d(M, S3 (R)) =
4
1
M − t M = 2
2
c) H est le noyau de la forme linéaire non nulle trace, c’est donc un hyperplan
de Mn (R).
La matrice In est orthogonale à tout élément de H et c’est donc un vecteur
normal à l’hyperplan H.
On en déduit
√
n
|(In | J)|
d(H, J) =
=√ = n
kIn k
n
1
t3 − (at2 + bt + c)
inf
(a,b,c)∈R3
2
dt = d(X 3 , F )2
−1
où F = Vect(1, X, X 2 ).
Soit P le projeté orthogonal de X 3 sur F . On peut écrire P = a + bX + cX 2
et on a par orthogonalité
X3 − P | 1 = X3 − P | X = X3 − P | X2 = 0
On en déduit que P = 35 X puis
d(X 3 , F )2 =
8
175
Exercice 8 : [énoncé]
Sur R [X], on définit un produit scalaire par
Z
(P | Q) =
Exercice 6 : [énoncé]
1
P (t)Q(t) dt
0
La quantité cherchée m apparaît alors sous la forme
a) On reconnaît une restriction du produit scalaire usuel sur l’espace des
fonctions réelles continues sur [0 ; 1].
b) La distance f2 à g sera minimale quand g est le projeté orthogonal de f2 sur
Vect(f1 , f3 ).
Ce projeté g vérifie (f2 − g | f1 ) = (f2 − g | f3 ) = 0 ce qui donne le système
1
2a + b = e − 1
1
1
3a + 2 = 1
Après résolution, on obtient a = 18 − 6e et b = 4e − 10.
m=
2
inf X 2 − (aX 2 + bX + c)
a,b,c∈R
C’est donc le carré de la distance de X 3 au sous-espace vectoriel R2 [X]. En
introduisant la projection orthogonale p sur ce sous-espace vectoriel
2
m = d(X 3 , R2 [X])2 = X 3 − p(X 3 )
On peut écrire
p(X 3 ) = a + bX + cX 2
Pour chaque i = 0, 1, 2, on a
Exercice 7 : [énoncé]
(p(X 3 ) | X i ) = X 3 | X i
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Corrections
5
Exercice 10 : [énoncé]
car
(p(X 3 ) − X 3 | X i ) = 0
On obtient alors un système d’équations d’inconnue (a, b, c)

 a + b/2 + c/3 = 1/4
a/2 + b/3 + c/4 = 1/5

a/3 + b/4 + c/5 = 1/6
La résolution de ce système donne
a = 1/20, b = −3/5 et c = 3/2
On en déduit
2
m = X 3 − p(X 3 ) = (X 3 − p(X 3 ) | X 3 ) =
1
2800
a) Si
Ppla famille (u1 , . . . , up ) est liée alors
Piln existe (λ1 , . . . , λp ) 6= (0, . . . , 0) tel que
λ
u
=
0
et
on
observe
alors
i
i
E
i=1
i=1 λi Li = 0 en notant L1 , . . . , Ln les
lignes de la matrice G(u1 , . . . , up ).
On conclut det G(u1 , . . . , up ) = 0.
b) Si
) 6= (0, . . . , 0) tel que
Pndet G(u1 , . . . , up ) = 0 alors il existe (λ1 , . . . , λpP
n
i=1 λi Li = 0 et on obtient alors que le vecteur
i=1 λi ui est orthogonal à
tout uj , c’est donc un vecteur commun à Vect(u1 , . . . , up ) et à son
orthogonal, c’est le vecteur nul.
On conclut que la famille (u1 , . . . , up ) est liée.
c) x = u + n avec u ∈ F et n ∈ F ⊥ . En développant det G(e1 , . . . , ep , x) selon la
dernière colonne :
G(e1 , . . . , ep )
0 det G(e1 , . . . , ep , u + n) = det G(e1 , . . . , ep , u) + 2
∗
knk or det G(e1 , . . . , ep , u) = 0 car la famille est liée et donc
Exercice 9 : [énoncé]
2
det G(e1 , . . . , ep , x) = knk det G(e1 , . . . , ep )
a) Si (x1 , . . . , xn ) est liée alors les colonnes de G(x1 , . . . , xn ) le sont selon la
même relation.
Pn
b) (xi | xj ) = k=1 ak,i ak,j avec M = (ai,j ) donc G(x1 , . . . , xn ) =t M M .
Par suite det(G(x1 , x2 , . . . , xn )) = det(M )2 > 0 car M inversible puisque
(x1 , . . . , xn ) libre.
c) x = u + n avec u ∈ F et n ∈ F ⊥ . On a d(x, F ) = knk.
En exprimant la première colonne du déterminant comme somme de deux
colonnes :
knk2
∗
det G(u + n, x1 , . . . , xn ) = det G(u, x1 , . . . , xn ) + 0
G(x1 , . . . , xn )
or det G(u, x1 , . . . , xn ) = 0 car la famille est liée et
knk2
∗
= knk2 det G(x1 , . . . , xn )
0
G(x1 , . . . , xn )
On en déduit
s
d(x, F ) =
det G(x, x1 , . . . , xn )
det G(x1 , . . . , xn )
avec knk = d(x, F ).
Exercice 11 : [énoncé]
a) Pour A ∈ Sn (R) et B ∈ An (R), on a
hA, Bi = tr(At B) = − tr(AB) et hA, Bi = hB, Ai = tr(t AB) = tr(AB)
On en déduit hA, Bi = 0.
Les espaces Sn (R) et An (R) sont donc en somme directe.
Puisqu’on peut écrire pour tout M ∈ Mn (R),
M=
1
1
M + tM +
M − tM
2
2
avec 21 (M + t M ) ∈ Sn (R) et 21 (M − t M ) ∈ An (R), les espaces Sn (R) et
An (R) sont supplémentaires orthogonaux.
b) La distance de M à S3 (R) est égale à la distance de M à son projeté
orthogonal sur S3 (R) i.e.
d(M, S3 (R)) =
1
M − t M = 2
2
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Corrections
6
c) H est le noyau de la forme linéaire non nulle trace, c’est donc un hyperplan
de Mn (R).
La matrice In est orthogonale à tout élément de H et c’est donc un vecteur
normal à l’hyperplan H.
On en déduit
√
n
|hIn , Ji|
=√ = n
d(H, J) =
kIn k
n
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