[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 mai 2017 Enoncés Diérentielle Exercice 6 [ 00036 ] [Correction] Soit f : E → F diérentiable vériant f (λx) = λf (x) pour tout λ ∈ R et tout x ∈ E . Montrer que l'application f est linéaire. Exercice 1 [ 00035 ] [Correction] Montrer que l'application Z P 7→ 1 P (t)2 dt 0 dénie sur E = Rn [X] est diérentiable et exprimer sa diérentielle. Exercice 2 [ 00028 ] [Correction] Justier que la fonction f : C∗ → C dénie par f (z) = 1/z est diérentiable et calculer sa diérentielle. Exercice 3 [ 00032 ] 1 [Correction] Exercice 7 [ 03502 ] [Correction] Soient E = C ∞ (Rn , R), E ∗ le dual de E et D = d ∈ E ∗ | ∀(f, g) ∈ E 2 , d(f g) = f (0)d(g) + g(0)d(f ) (a) (b) (c) (d) Montrer que D est un sous-espace vectoriel de E ∗ . Montrer que D est non réduit à {0}. Soit d ∈ D et h une fonction constante. Que vaut d(h) ? Soit f ∈ E . Montrer n (a) Justier que l'application det : Mn (R) → R est diérentiable. (b) Calculer sa diérentielle en In puis en toute matrice M inversible. (c) En introduisant la comatrice de M , exprimer la diérentielle de l'application det en tout M ∈ Mn (R). Exercice 4 [ 00029 ] [Correction] Soient E et F deux R-espaces vectoriels de dimension nies et ϕ : E × E → F une application bilinéaire. Établir que ϕ est diérentiable et calculer sa diérentielle dϕ. ∀x ∈ R , f (x) = f (0) + n X Z xi 0 i=1 1 ∂f (tx) dt ∂xi ∂f (tx) dt est dans E . Vérier que l'application x 7→ 01 ∂x i (e) Soit d ∈ D. Établir l'existence de (a1 , . . . , an ) ∈ Rn tel que R ∀f ∈ E, d(f ) = n X i=1 ai ∂f (0) ∂xi (f) Déterminer la dimension de D. Exercice 5 [ 02904 ] [Correction] Si p ∈ N, soit fp : (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)} 7→ (x + y)p sin p 1 x2 + y 2 (a) Condition nécessaire et susante pour que fp se prolonge par continuité en (0, 0) ? (b) La condition de a) étant remplie, condition nécessaire et susante pour que le prolongement obtenu soit diérentiable en (0, 0) ? Diusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 mai 2017 Corrections Corrections 2 Soit M inversible. Exercice 1 : [énoncé] R R R Posons f (P ) = 01 P (t)2 dt. f (P + H) = f (P ) + 2 01 P (t)H(t) dt + 01 H(t)2 dt. R1 Posons `(H) = 2 0 P (t)H(t) dt ce qui dénit ` forme linéaire sur E . munissant En E de la norme k.k = k.k∞ , on observe R 1 2 2 0 H(t) dt ≤ kHk∞ = o(kHk). Ainsi, la relation précédente donne f (P + H) = f (P ) R+ `(H) + o(kHk) ce qui assure que f est diérentiable en P et df (P ) : H 7→ 2 01 P (t)H(t) dt. Exercice 2 : [énoncé] Soient a ∈ C∗ et h ∈ C. On peut écrire −h = `(h) + α(h) f (a + h) − f (a) = a(a + h) det(M + H) = det M det(I + M −1 H) = det M + det M tr(M −1 H) + o(H) donc d(det)(M ) : H 7→ det M tr(M −1 H) (c) En M inversible d(det)(M ) : H 7→ det M tr(M −1 H) = tr(t Com M .H) Les applications M 7→ d(det)(M ) et M 7→ tr(t Com M × .) sont continues et coïncident sur la partie dense GLn (R), elles sont donc égales sur Mn (R). Exercice 4 : [énoncé] On a ϕ(a + h, b + k) = ϕ(a, b) + ϕ(h, b) + ϕ(a, k) + ϕ(h, k) = ϕ(a, b) + ψ(h, k) + o (k(h, k)k) avec ` : h 7→ − ah2 linéaire et h h2 −h + 2 = 2 = O(h2 ) = o(h) α(h) = a(a + h) a a (a + h) avec ψ : (h, k) 7→ ϕ(h, b) + ϕ(a, k) linéaire et ϕ(h, k) = o (k(h, k)k) car |ϕ(h, k)| ≤ M khk kkk. Par suite ϕ est diérentiable en (a, b) et dϕ(a, b) = ψ . La diérentielle de f en a est donc ` : h 7→ − Exercice 5 : [énoncé] h a2 (a) En polaires, x = r cos θ, y = r sin θ, Exercice 3 : [énoncé] (a) det est diérentiable (et même de classe C ∞ ) car polynomiale en vertu de l'expression générale dénissant le déterminant det M = X ε(σ) σ∈Sn n Y aσ(i),i i=1 (b) det(I + H) = 1 + ϕ(H) + o(kHk) avec ϕ = dI (det). Pour H = λEi,j , on obtient det(In + λEi,j ) = 1 + λδi,j = 1 + λϕ(Ei,j ) + o(λ) donc ϕ(Ei,j ) = δi,j puis ϕ = tr fp (x, y) = (cos θ + sin θ)p rp sin 1 r Si p ≥ 1 alors |fp (x, y)| ≤ 2p rp −−−−−−−→ 0 et on peut prolonger f par continuité en (0, 0). Si p = 0 alors f0 (x, y) = sin √ (x,y)→(0,0) 1 x2 +y 2 diverge car le sinus diverge en +∞. (b) On suppose p ≥ 1. Pour p = 2 : f2 (x, y) = (x + y)2 sin p 1 x2 + y2 2 = O(k(x, y)k ) ce qui s'apparente à un développement limité à l'ordre 1 en (0, 0). La fonction f2 est donc diérentiable en (0, 0) de diérentielle nulle. Diusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 mai 2017 Pour p > 2 : fp (x, y) = (x + y) p−2 Corrections 3 (d) Soit x ∈ Rn , puisque la fonction ϕ : t ∈ [0 ; 1] 7→ f (tx) est de classe C 1 , on a f2 (x, y) La fonction fp est diérentiable par produit de fonctions diérentiables. Pour p = 1 : Quand h → 0+ , 1 1 (f1 (h, 0) − f1 (0, 0)) = sin h h diverge. Ainsi f n'est pas dérivable en (0, 0) selon le vecteur (1, 0), elle ne peut donc y être diérentiable. Exercice 6 : [énoncé] Remarquons f (0) = f (0.0) = 0.f (0) = 0 et notons ` = df (0). D'une part 0 ce qui donne Z f (x) = f (0) + n 1X 0 d(f ) = n X d(pi fi ) = n X d(pi )fi (0) i=1 car d(f (0)) = 0 et pi (0) = 0. En posant ai = d(pi ) et sachant λ`(x) + o(λ kxk) = λf (x) Z fi (0) = + Exercice 7 : [énoncé] (a) immédiat. (b) L'application dh : f 7→ dh f (0) fait l'aaire pour n'importe quel h ∈ Rn non nul. (c) Si h est constante égale à λ alors pour toute fonction f ∈ E on a par linéarité i=1 ∂f (tx) dt ∂xi Soit K un compact de R . ∂f (tx) sont continues sur Toutes les dérivées partielles en x de (x, t) 7→ ∂x i K × [0 ; 1] donc bornées. Par domination R 1 ∂f sur tout compact, on∞ peut armer que la fonction fi : x 7→ 0 ∂x (tx) dt est de classe C . i (e) Notons pi : x 7→ xi . Par linéarité de d, on a et d'autre part En simpliant par λ et en faisant λ → 0 , on obtient f (x) = `(x). Ainsi, l'application f est linéaire. xi n i=1 On en déduit ϕ0 (t) dt ϕ(1) = ϕ(0) + f (λx) = f (0) + `(λx) + o(λ kxk) f (λx) = λf (x) 1 Z 0 1 ∂f ∂f (0) dt = (0) ∂xi ∂xi on obtient ∀f ∈ E, d(f ) = n X i=1 ai ∂f (0) ∂xi (f) L'application qui à h ∈ Rn associe dh est donc une surjection de Rn sur D. Cette application est linéaire et aussi injective (prendre f : x 7→ (h | x) pour vérier dh = 0 =⇒ h = 0) c'est donc un isomorphisme et dim D = n d(f h) = λd(f ) et par dénition des éléments de D, d(f h) = f (0)d(h) + λd(f ) En employant une fonction f ne s'annulant pas en 0, on peut armer d(h) = 0. Diusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD