Utiliser la trigonométrie du triangle rectangle

Utiliser la trigonométrie du
triangle rectangle
Le mot vient du grec "trigone" (triangle) et "metron" (mesure).
On attribue à Hipparque de Nicée (-190 ; -120)
les premières tables trigonométriques.
Elles font correspondre l’angle au centre et
la longueur de la corde interceptée dans le cercle.
Le grec Claude Ptolémée (85 ; 165) poursuit dans
l’Almageste les travaux d’Hipparque avec une
meilleure précision et introduit les premières
formules de trigonométrie.
Plus tard, l’astronome et mathématicien Regiomontanus, de son vrai nom
Johann Müller développe la trigonométrie comme une branche
indépendante des mathématiques.
Il serait à l’origine de l’usage systématique du terme sinus.
I. Vocabulaire du triangle rectangle
Avant d’aborder tout problème de trigonométrie, il faut savoir
nommer les côtés d’un triangle rectangle.
Ici on appelle  la mesure de l ’angle BÂC dans le triangle
rectangle en C.
B
Hypoténuse
(c’est le plus grand des côtés, c’est
aussi le côté opposé à l’angle droit.)
Côté opposé à 

C
A
Côté adjacent à 
II. Trois formules trigonométriques
Côté adjacent à 
côté adjacent à 
Cos  
hypoténuse

Hypoténuse
Côté opposé à 

côté opposéà 
Sin  
hypoténuse
Hypoténuse
Côté adjacent à 
Côté opposé à 

côté opposéà 
Tan  
côté adjacent à 
Remarques :
- sin se lit « sinus », cos « cosinus » et tan « tangente »
-Pour s’aider à retenir ces trois formules, on
peut retenir le « célèbre » mot
Soh
Cah
Sin   côté opposéà 
hypoténuse
Cos   côté adjacent à 
hypoténuse
Toa
Tan  
côté opposéà 
côté adjacent à 
III. Applications
1) Calcul de la longueur d’un côté connaissant
un angle et un autre côté
A
Calculer la longueur de AB.
Méthode:
Hyp.
Côt. Adj.
41°
?
1. On nomme les côtés du triangle.
2. On repère le côté que l’on
cherche et le côté que l’on connaît,
C
en les soulignant par exemple.
3. On choisit la formule dans
laquelle il y a les deux
côtés soulignés.
23 cm
Côt. Opp.
B
Comme ABC est rectangle en C,
on a:
BC
sin  
AB
A
Calculer la longueur de AB
Méthode:
1. On nomme les côtés du triangle
41°
cherche et le côté que l’on connaît,
C
en les soulignant par exemple.
laquelle il y a les deux
côtés soulignés.
?
Côt. Adj.
2. On repère le côté que l’on
3. On choisit la formule dans
Hyp.
23 cm
Côt. Opp.
Comme ABC est rectangle en C,
on a:
4. On remplace dans la formule
tout ce que l’on connaît.
5. On fait un produit en croix
BC
sin  
AB
23
sin 41° =
AB
AB = 23 ÷ sin 41°
et on calcule AB
Donc
AB » 35,1 cm
B
2) Calcul de la mesure d’un angle connaissant la longu
connaissant la longueur de deux côtés
A
Calculer l’angle BÂC.
?
Méthode:
1. On nomme les côtés du triangle.
2. On repère les deux côtés que
l’on connaît, en les soulignant.
3. On choisit la formule dans laquelle
il y a les deux côtés soulignés.
Hyp.
26 cm
Côt. Adj.
B
10 cm
C
Côt. Opp.
Comme ABC est rectangle en
B, on a:
BC
tan BÂC 
AB
Calculer l’angle BÂC.
A
Méthode:
1. On nomme les côtés du triangle.
26 cm
2. On repère les deux côtés que
Côt. Adj.
l’on connaît, en les soulignant.
3. On choisit la formule dans laquelle
B
il y a les deux côtés soulignés.
4. On remplace dans la formule
tout ce que l’on connaît.
5. Avec la calculette, on tape:
Arctan (10/26)=
Hyp.
?
10 cm
Côt. Opp.
Comme ABC est rectangle en
B, on a:
BC
tan BÂC 
AB
10
tan BÂC =
26
Donc
BÂC » 21°
C