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Trigonométrie
Objectifs:
- Ecrire les relations entre le cosinus, le sinus et la
tangente d’un angle aigu et les deux longueurs d’un
triangle rectangle.
- Utiliser la calculatrice pour déterminer un angle aigu
ou le cosinus, le sinus ou la tangente d’un angle aigu.
- Calculer, dans un triangle rectangle, un angle ou la
longueur d’un côté en utilisant la trigonométrie
Le mot vient du grec "trigone" (triangle) et "metron" (mesure).
On attribue à Hipparque de Nicée (-190 ; -120)
les premières tables trigonométriques.
Elles font correspondre l’angle au centre et
la longueur de la corde interceptée dans le cercle.
Le grec Claude Ptolémée (85 ; 165) poursuit dans
l’Almageste les travaux d’Hipparque avec une
meilleure précision et introduit les premières
formules de trigonométrie.
Plus tard, l’astronome et mathématicien Regiomontanus, de son vrai nom
Johann Müller développe la trigonométrie comme une branche
indépendante des mathématiques.
Il serait à l’origine de l’usage systématique du terme sinus.
I. Vocabulaire du triangle rectangle
Avant d’aborder tout problème de trigonométrie, il faut savoir
nommer les côtés d’un triangle rectangle.
Ici on appelle α la mesure de l ’angle BÂC dans le triangle
rectangle en C.
B
Hypoténuse
(c’est le plus grand des côtés, c’est
aussi le côté opposé à l’angle droit.)
Côté opposé à α
α
C
A
Côté adjacent à α
II. Trois formules trigonométriques
Côté adjacent à α
côté adjacent à 
Cos  
hypoténuse
α
Hypoténuse
Côté opposé à α
α
côté opposé à 
Sin  
hypoténuse
Hypoténuse
Côté adjacent à α
Côté opposé à α
α
côté opposé à 
Tan  
côté adjacent à 
Remarques :
- sin se lit « sinus », cos « cosinus » et tan « tangente »
-Pour s’aider à retenir ces trois formules, on
peut retenir le « célèbre » mot
Soh
Cah
Sin   côté opposé à 
hypoténuse
Cos   côté adjacent à 
hypoténuse
Toa
Tan  
côté opposé à 
côté adjacent à 
III. Applications
1) Calcul de la longueur d’un côté connaissant
un angle et un autre côté
A
Calculer la longueur de AB.
Méthode:
Hyp.
Côt. Adj.
41°
?
1. On nomme les côtés du triangle.
2. On repère le côté que l’on
cherche et le côté que l’on connaît,
C
en les soulignant par exemple.
3. On choisit la formule dans
laquelle il y a les deux
côtés soulignés.
23 cm
Côt. Opp.
B
Comme ABC est rectangle en C,
on a:
Côt.Opp.
sin  =
Hyp.
A
Calculer la longueur de AB
Méthode:
1. On nomme les côtés du triangle
41°
Côt. Adj.
2. On repère le côté que l’on
cherche et le côté que l’on connaît,
C
en les soulignant par exemple.
3. On choisit la formule dans
laquelle il y a les deux
côtés soulignés.
Hyp.
?
23 cm
Côt. Opp.
Comme ABC est rectangle en C,
on a:
4. On remplace dans la formule
tout ce que l’on connaît.
5. On fait un produit en croix
Côt.Opp.
sin  =
Hyp.
23
sin 41° =
AB
AB = 23 ÷ sin 41°
et on calcule AB
Donc
AB » 35,1 cm
B
2) Calcul de la mesure d’un angle connaissant la longu
connaissant la longueur de deux côtés
A
Calculer l’angle BÂC.
?
Méthode:
1. On nomme les côtés du triangle.
2. On repère les deux côtés que
l’on connaît, en les soulignant.
3. On choisit la formule dans laquelle
il y a les deux côtés soulignés.
Hyp.
26 cm
Côt. Adj.
B
10 cm
C
Côt. Opp.
Comme ABC est rectangle en
B, on a:
Côt.Opp.
tan BÂC =
Côt.Adj.
Calculer l’angle BÂC.
A
Méthode:
1. On nomme les côtés du triangle.
26 cm
2. On repère les deux côtés que
Côt. Adj.
l’on connaît, en les soulignant.
3. On choisit la formule dans laquelle
B
il y a les deux côtés soulignés.
4. On remplace dans la formule
tout ce que l’on connaît.
5. Avec la calculette, on tape:
tan
-1
(10/26)=
Hyp.
?
10 cm
Côt. Opp.
Comme ABC est rectangle en
B, on a:
Côt.Opp.
tan BÂC =
Côt.Adj.
10
tan BÂC =
26
Donc
BÂC » 21°
C