Homogénéité

Homogénéité Énoncé PCSI22016 – 2017
Homogénéité
Conseils pour ce TD :
•Le cours doit être connu, les applications directes qui y figurent refaites.
Exercice 1 : Période d’un pendule
Lors de l’étude d’un pendule oscillant, de longueur l, pour de faibles oscillations dans le champ de
pesanteur g, la période des oscillations est notée T: Parmi les formules suivantes proposées pour T,
lesquelles pourraient convenir ? : T= 2πqg
l;T=2π
√gl ;T= 2πql
g;T=ql g;Tqgl 2π
Exercice 2 : Intérêt de l’analyse dimensionnelle
L’énergie cinétique d’un solide en rotation est donnée par E=1
2Jω2où ωdésigne la vitesse de
rotation du solide en rad.s−1.
1. Quelle est la dimension du moment d’inertie J?
2. Un élève propose pour formule du moment cinétique de la sphère J=5
2m2Ravec mla masse
du solide et Rson rayon. Est-ce raisonnable ?
3. Le même élève a trouvé comme résultat du problème de mécanique que l’accélération adu
solide était : a=(Msin α−m)g
M+m+J/R2, où Met mdésignent des masses et gl’accélération de la
pesanteur. Est-ce raisonnable du point de vue de l’homogénéité ?
Exercice 3 : Conversion d’unités
Effectuer les conversions et donner les dimensions des grandeurs concernées :
1. Votre dernier voyage a durée une heure et quinze minutes. Donner le temps du trajet en
minutes, en heures et en secondes.
2. Le jour sidéral dure TS= 86164 s, exprimer cette durée en heures, minutes et en valeurs
entières avec un mélange des unitées heures, minutes et secondes.
3. La vitesse du son dans l’air est de 340 m/s, exprimer cette vitesse appelée « Mach 1 »en km/h.
4. Le débit d’une source est de 3 litres par minute. Combien de cuves de 1m3vous faut-il si vous
voulez récupérer toute l’eau fournie en une journée ?
Exercice 4 : Conversion d’unité
Quelle est la mesure d’une vitesse égale à 1 km.min−1dans un système d’unités où l’unité de longueur
serait le mile marin (égal à 1852 m) et l’unité de temps serait l’heure ?
Exercice 5 : Vitesse des ondes sonores
La vitesse de propagation du son s’exprime en fonction de χ=−1
v
dv
dp , un coefficient de compressibilité
du gaz (où vdésigne le volume massique et pla pression) et de sa masse volumique µ.
1. Déterminer la dimension de χ.
2. Donner l’expression de la vitesse à une constante près.
Exercice 6 : Constante gravitationnelle
L’interaction gravitationnelle se manifeste par l’apparition d’une force Fentre deux masses m1et
m2séparées par une distance d. L’expression de la cette force est :
F=Gm1m2
d2
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PCSI22016 – 2017 Énoncé Homogénéité
1. Gétant la constante de gravitation universelle. Quelle est la dimension de G?
2. Les planètes tournent autour du Soleil en un temps T. Ce temps est lié à la distance Rde la
planète au Soleil, à la masse Mdu Soleil et à la constante de gravitation G. Comment ?
Exercice 7 : Energie d’une explosion nucléaire
La légende raconte que le physicien britannique Geoffrey Ingram Taylor 1(1886-1975) aurait pu en
1950 à l’aide d’un film et en utilisant l’analyse dimensionnelle, estimer l’énergie Edégagée par une
explosion nucléaire.
Le raisonnement est le suivant : le film permet d’avoir accès à l’évolution R(t) du rayon du nuage
formé par l’explosion au cours du temps. Les paramètres influant sur ce rayon sont le temps t,
l’énergie E, et la masse volumique de l’air ρ
1. On cherche alors R, sous la forme : R=Eatbρc. Déterminer a,bet c.
2. En estimant un rayon R= 70m après t= 1ms, quel est l’énergie dégagée par l’explosion ?
1. Il est notamment connu pour ses travaux sur la turbulence et les phénomènes non-linéaires. Je vous suggère
de consulter sur wikipedia les articles concernant : l’instabilité de Rayleigh-Taylor, l’instabilité de Taylor-Couette, le
nombre de Taylor ou encore le cône de Taylor.
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