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Concours communs polytechnique 1997
Fili`ere PC
MATHEMATIQUES 1
Dur`ee : 4 heures
Les calculatrices ne sont pas autoris`ees
Les deux probl`emes sont ind`ependants.
I. Probl`eme I
La partie B, except`e la v`erification demand`ee au d`ebut, peut ˆetre trait`ee ind`ependamment
de la partie A.
Dans ce probl`eme le corps de base est le corps des nombres complexes que l’on notera Cet on
notera Rle corps des r`eels. On d`esigne par Eun espace vectoriel de dimension finie n≥1 sur C. On
se donne une base B= (e1, . . . , en) de E. On note L(E) l’ensemble des applications lin`eaires de E
dans E.Id d`esignera l’application identit`e de Edans E. Si uest un `el`ement de L(E) on note uila
compos`ee de u,ifois par lui mˆeme avec la convention: u0=Id.
A. Premi`ere Partie
1. On prend n= 3 et on d`esigne par σl’`el`ement de L(E) d`efini par:
σ(e1) = e2, σ(e2) = e3, σ(e3) = e1.
a. Pour tout entier p≥0 d`eterminer σp.
b. D`eterminer les valeurs propres de σ. Pour chacune d’elles, indiquer un vecteur propre
associ`e.
2. On prend encore n= 3 et on consid`ere un `el`ement ude L(E) dont la matrice Usur la base B
est de la forme:
U=
a1a3a2
a2a1a3
a3a2a1
o`u a1,a2,a3sont trois complexes.
a. Montrer que uest une combinaison lin`eaire de Id,σet σ2.
b. En d`eduire que l’ensemble Cdes matrices Uquand (a1, a2, a3) d`ecrit C3est une C-alg`ebre
associative, commutative et unitaire pour les op`erations usuelles sur les matrices.
c. Montrer que si le d`eterminant de Uest non nul alors U−1est dans C.
d. D`eterminer les valeurs propres de u. Que remarquez-vous quant `a la forme des vecteurs
propres de u?
3. Plus g`en`eralement, d`eterminer les valeurs propres de la matrice carr`ee d’ordre nquelconque sur
Csuivante, dont chaque colonne se d`eduit de la pr`ec`edente par une permutation circulaire:
(1) M=
a1anan−1. . . a2
a2a1an. . . a3
a3a2a1. . . a4
anan−1an−2. . . a1
1

Pour chaque valeur propre indiquer un vecteur propre associ`e.
4. D`eduire de la question 2) que si trois complexes (x, y, z) v`erifient: x+y+z= 0, alors ils
v`erifient `egalement la relation: x3+y3+z3= 3xyz. Caract`eriser alors g`eom`etriquement les
triplets (x, y, z) de C3solutions de cette derni`ere `equation.
5. On se propose de montrer que le r`esultat de 2-a) `etait pr`evisible. On prend nquelconque et on
se donne deux `el`ements uet vde Equi commutent (i.e.: u◦v=v◦u). On suppose que toutes
les racines du polynˆome caract`eristique de vsont simples.
a. Montrer que tout vecteur propre de vest vecteur propre de u. Que dire de u?
b. En d`eduire qu’il existe ncomplexes (α0, α1, . . . , αn−1) tels que: u=
n−1
X
i=0
αivi.
c. Retrouver le r`esultat de 2-a).
B. Seconde Partie
On munit Ed’un produit scalaire hermitien pour lequel Best une base orthonorm`ee. Ainsi, si
x=x1e1+x2e2+...+xnenet y=y1e1+y2e2+. . . +ynensont deux vecteurs de E, on notera (x|y)
leur produit scalaire qui est donc donn`e par: (x|y) =
n
X
i=1
¯xiyi.
V`erifiez que les espaces propres de l’application lin`eaire uintroduite en A-2) sont orthogonaux
deux `a deux. Ce r`esultat `etait en fait pr`evisible (c.f. 2.d).
1. Soit uun `el`ement de L(E).
a. Soit xun `el`ement de E. Montrer que l’application: y∈E→(x|u(y)) ∈Cest une forme
lin`eaire sur E. En d`eduire qu’il existe un unique vecteur de E, que l’on notera u∗(x) tel
que: ∀y∈E, (x|u(y)) = (u∗(x)|y).
b. Prouver que l’application de Edans Equi `a xassocie u∗(x) est lin`eaire. On la notera u∗.
c. Soient uet vdeux `el`ements de E) et λun complexe. Expliciter (u+v)∗,(λu)∗,(u◦v)∗
et montrer que (u∗)∗=u. Si Ud`esigne la matrice de usur Bet U∗celle de u∗, exprimer
U∗en fonction de U. L’application de L(E) dans L(E) qui `a uassocie u∗est elle injective
? surjective ?
2. Un endomorphisme ude L(E) est dit “normal” s’il v`erifie : u∗◦u=u◦u∗. Soit uun
endomorphisme normal, λ1une valeur propre de uet E1, le sous-espace propre associ`e. On note
E⊥
1son orthogonal.
a. Montrer que E1est stable par u∗.
b. En d`eduire que E⊥
1est stable par u.
c. Soit u1la restriction de u`a E⊥
1consid`er`ee comme une application de E⊥ 1dans E⊥ 1. Montrer
que λ1, n’est pas valeur propre de u1. En d`eduire que uest diagonalisable. Que dire de ses
sous-espaces propres ?
d. En utilisant les r`esultats de la question A.5) montrer directement que les sous-espaces
propres de l’endomorphisme ude Edont la matrice sur Best la matrice Mdonn`ee par (1)
sont deux `a deux orthogonaux (on ne calculera pas u∗◦uni u◦u∗). On pourra d’abord
examiner le cas n= 3.
3. Soit u un `el`ement de L(E). On suppose qu’il existe un complexe ktel que : u◦u=kId. Montrer
que kest n`ecessairement un r`eel positif ou nul et que uest diagonalisable.
2

4. Soit rune rotation d’angle θd’un espace vectoriel Euclidien r`eel orient`e de dimension 2. Soit Q
sa matrice sur une base orthonorm`ee directe de cet espace : Est-elle diagonalisable sur R? sur
C? Indiquer ses valeurs propres.
5. On consid`ere la matrice Psuivante : 
1−2 2
2 2 1
−2 1 2 
. Montrer que Pest diagonalisable sur C
et d`eterminer ses valeurs propres. On `evitera de calculer son polynˆome caract`eristique. Pr`eciser
la transformation de R3dont la matrice sur la base canonique est P.
II. Probl`eme II
La partie B, est ind`ependante de la partie A.
A. Premi`ere Partie
Soit n≥1 un entier. On consid`ere la matrice carr`ee d’ordre n`a coefficients r`eels Asuivante.
A=
2−1 0 . . . 0
−1 2 −1....
.
.
0−1......0
.
.
..........−1
0... 0−1 2
Plus pr`ecis`ement, si on d`esigne par Ai,j le coefficient de Asitu`e sur la i-`eme ligne et la j-`eme
colonne, pour n≥2, tous les Ai,j sont nuls sauf : Ai,i = 2 (i= 1, . . . , n) et Ai,i+1 =Ai+1,i =−1 (i=
1, . . . , n −1), et pour n= 1, Aest une matrice `a une ligne et une colonne dont le seul `el`ement est :
A1,1= 2.
1. Pour chaque n≥1, on d`esigne par Dnle d`eterminant de A.
a. D`eterminer une relation de r`ecurrence entre Dn,Dn+1 et Dn+2.
b. D`eterminer Dnen fonction de n. En d`eduire que Aest inversible.
2. Pour chaque kde {1, . . . , n}, on pose λk= 2 ³1−cos ³kπ
n+1 ´´. En simplifiant l’expression sin((p+
1)θ)+sin((p−1)θ)−2 sin(pθ), en d`eduire que les (λk) sont les valeurs propres de A. Montrer que A
est diagonalisable sur Ret indiquer, par leurs composantes sur la base canonique (e1, e2, . . . , en)
de Rn, une base de vecteurs propres de A.
3. On se propose de d`eterminer autrement les valeurs propres de A. On d`esigne par Ila matrice
identit`e d’ordre net on pose B=A−2I. Pour chaque n≥1, on d`esigne par Pnle polynˆome
caract`eristique de B.
a. D`eterminer une relation de r`ecurrence entre Pn,Pn+1 et Pn+2.
b. Pour chaque n≥1 et chaque xappartenant `a Ron d`esigne par Un(x) le vecteur ÃPn+1(x)
Pn(x)!.
D`eterminer une matrice carr`ee d’ordre 2, K, dont les coefficients d`ependent `eventuellement
de x, telle que pour tout xon ait : Un(x) = Kn+1.U0o`u U0d`esigne le vecteur Ã1
0!.
c. Pour xappartenant `a l’intervalle ] −2,2[, d`eterminer les valeurs propres λ1(x) et λ2(x) de
Ket en d`eduire une expression simple de Pn(x) en fonction de λ1(x) et λ2(x). D`eterminer
alors les valeurs propres de Bpuis celles de A.
3

4. On pose C=I−2A. Montrer que Cp→0 quand p→+∞.
5. On identifie les vecteurs de Rn`a des matrices `a une colonne et nlignes. Soit uun vecteur de
Rndonn`e. On consid`ere la suite (x(k)) de vecteurs de Rnd`efinie par :
x(0) =u
x(k+1) =C.x(k)+1
2g, k ≥0
o`u gest un vecteur donn`e de Rn, connu par ses composantes sur la base de vecteurs propres de
Aobtenue en 2). Montrer que la suite (x(k)) converge et que sa limite est l’unique solution du
syst`eme : A.x =g.
Exprimer cette limite sur la base de vecteurs propres de Aobtenue en 2).
B. Seconde Partie
On admettra le r`esultat suivant :
“ Si fest une application continue d’un intervalle ferm`e [a, b] de R`a valeurs dans R, alors elle est
uniform`ement continue. C’est `a dire que pour tout r`eel ε > 0, il existe un r`eel η > 0 tel que pour
tout couple (x, y) dans [a, b]×[a, b] on a l’implication : {|x−y|< η} ⇒ {|f(x)−f(y)|< ε}”.
Soit alors fune application continue de [0, π] dans R.
1. Montrer qu’il existe une et une seule application ydeux fois d`erivable sur [0, π] `a valeurs dans
Rtelle que :
(1) (y00(x) = −f(x),∀x∈[0, π]
y(0) = y(π)=0
2. Soit yune application continue `a valeurs r`eelles, d`efinie sur [0, π] et y admettant des d`eriv`ees
premi`eres et secondes continues. Montrer que pour tout nombre ε > 0 il existe un nombre
η > 0 tel que pour tout x∈]0, π[ on ait : ¯¯y(x+h)−2y(x) + y(x−h)−h2y00(x)¯¯≤εh2, d`es que
|h|< η et que (x−h) et (x+h) sont dans [0, π].
3. Soit n≥1 un entier et yla solution de (1). On pose h=π
n+1 et pour tout ide {O, . . . , n + 1}
on pose : xi=ih,yi=y(xi), fi=f(xi). D`eduire que pour tout ε > 0 il existe N0tel que :
n≥N0⇒¯¯¯−yi−1+ 2yi−yi+1 −h2fi¯¯¯≤εh2,∀i∈ {1, . . . , n}
C. Troisi`eme Partie
L’entier n≥1 `etant donn`e, on
consid`ere le syst`eme d’`equations lin`eaires:
(2) 
−zi−1+ 2zi−zi+1 =h2fi,1≤i≤n
z0= 0
zn+1 = 0
portant sur les inconnues (z1, z2,...,zn), le nombre hainsi que les nombres (f1, f2, . . . , fn) prenant
les valeurs indiqu`ees `a la question B-3). On se propose d’`etudier le lien entre les solutions de (1) et
de (2).
1. Justifier que (2) poss`ede une solution unique.
2. On consid`ere le vecteur Π de Rnde composantes : π1, π2, . . . , πno`u, pour chaque i,πiest donn`e
par : πi=y(xi)−zi. Dans cette relation yest la solution de (1) et (z1, z2, . . . , zn) celle de (2).
On suppose que fposs`ede une d`eriv`ee seconde continue sur [0, π] et on pose : m= sup
x∈[0,π]
|f00(x)|.
Soit (v1, v2, . . . , vn) les composantes du vecteur v=A.Π. Montrer que sup
k∈{1,...,n}
|vk| ≤ 2h4
4! m.
4

3. D`eterminer pour chaque kle vecteur fksolution de ek=A.fk, o`u (e1, e2, . . . , en) est la base
canonique de Rn. V`erifier que les coefficients de A−1sont positifs.
Donner une majoration des composantes du vecteur Π. Que peut-on conclure ?
5