n - anneaux euclidiens

N - ANNEAUX EUCLIDIENS
Dans ce qui suit Aest un anneau unitaire, muni de deux opérations notées additivement et multiplica-
tivement. Le neutre de l’addition est noté 0, celui de la multiplication est noté e. On pose A∗=A\{0},
et on désigne par Il’ensemble des éléments inversibles de A. L’inverse d’un élément ade Iest noté a−1.
Donnons tout d’abord une propriété générale dans les anneaux commutatifs.
Proposition 1 On définit une relation d’équivalence Rdans A∗par
aBbsi et seulement si a∈bI .
La classe de aest aI. L’ensemble A+=A∗/I peut être muni canoniquement d’une multiplication
associative, commutative, de neutre I, sans autre élément inversible que I.
•On a
a=ae
avec einversible. La relation est donc réflexive.
Si, l’on a
a=bu
avec uinversible, alors
b=au−1
avec u−1inversible. La relation est symétrique.
Si l’on a
b=au et c=bv
avec uet vinversibles, alors
c=a(uv)
avec uv inversible. La relation est transitive. C’est donc une relation d’équivalence. La classe d’un
élément aest alors
˙a=aI .
•Si l’on a
aRa′et bRb′
on a donc
a=a′uet b=b′v
avec uet vinversibles, donc
ab =a′b′(uv)

N 2
avec uv inversible. Donc
ab Ra′b′.
On peut donc poser ˙
⌢
ab = ˙a·˙ b .
Toutes les propriétés de la multiplcation dans Apassent alors aux classes d’équivalences. L’élément
neutre est alors
˙e=I .
•Cherchons les éléments inversibles de A+. Si ˙aest inversible, il existe ˙ btel que
˙a·˙ b= ˙e ,
soit ˙
⌢
ab = ˙e .
cela signifie que ab est inversible dans A. Il existe ctel que
(ab)c=e
soit
a(bc) = e .
Donc aest inversible, et
˙a=I .
Le seul élément inversible de A+est donc I.
Définition 1 Un anneau euclidien est un anneaux commutatif intègre unitaire A, muni d’une
application dde A∗dans Ntelle que
i) pour tout couple (a, b)d’éléments de A∗
d(ab)≥max(d(a), d(b))
ii) pour tout couple (a, b)d’éléments de Atels que bsoit non nul, il existe un couple (q, r)d’éléments
de Atels que
a=bq +r
avec r= 0, ou r6= 0 et d(r)< d(b).
Les éléments qet rsont appelés quotient et reste de la division euclidienne de apar b.
Proposition 2 On peut remplacer dans la définition précédente i) par
i’) pour tout couple (a, b)d’éléments de A∗, si bdivise a, alors d(b)est inférieur ou égal à d(a).

N 3
Si l’on a i) et si bdivise a, alors il existe cdans Atel que
a=bc
et donc
d(b)≤max(d(b), d(c)) ≤d(a).
Réciproquement, si l’on a i’), comme aet bdivise ab, on a
d(a)≤d(ab) et d(b)≤d(ab)
et donc
max(d(a), d(b)) ≤d(ab).
Proposition 3 On a
min
x∈A∗d(x) = d(e).
Puisque edivise tout élément de A, on a, pour tout adans A
d(e)≤d(a)
et donc
min
x∈A∗d(x) = d(e).
Proposition 4 Un élément ude Aest inversible si et seulement si
d(u) = d(e).
Soit utel que
d(u) = d(e).
Il existe qet rtels que
e=uq +r
avec r= 0, ou r6= 0 et d(r)< d(u).
Si l’on supposait rnon nul, alors
d(r)< d(e).
Mais puisque d(e)est minimal, ceci n’est pas possible. Donc
e=uq

N 4
et uest inversible.
Réciproquement, si uest inversible, soit qsont inverse. On a donc
e=uq
et il résulte de i’) que
d(u)≤d(e),
et puisque d(e)est minimal, on a
d(u) = d(e).
L’application dest donc constante sur I.
Proposition 5 Soit aun élément non nul de A. Si l’on a
a=bc
alors cest inversible si et seulement si
d(a) = d(b).
Si cest inversible, on a d’une part
a=bc
donc
d(a)≥d(b),
et d’autre part
b=c−1a
et donc
d(b)≤d(a).
On a bien
d(a) = d(b).
Réciproquement, si
d(a) = d(b),
il existe uet vtels que
b=ua +v
avec v= 0, ou v6= 0 et d(v)< d(a) = d(b).
Si l’on suppose vnon nul
b=ua +v=ubc +v
donc
v=b(e−uc),

N 5
et bdivise v. On a alors
d(b)≤d(v)
d’où une contradiction. C’est donc que vest nul. Alors
b(e−uc) = 0 ,
et comme l’anneau est intègre et bnon nul, on en déduit que
e=uc ,
donc que cest inversible.
Proposition 6 Tout idéal Ide Anon réduit à {0}est monogène.
Soit Iun tel idéal. Comme dest à valeurs entières positives, elle atteint son minimum sur I\ {0}en
un élément u. Soit alors anon nul dans I. On a
d(u)≤d(a).
Il existe aet rtels que
a=uq +r
avec r= 0, ou r6= 0 et d(r)< d(u). Supposons rnon nul. Alors
r=a−uq
est un élément non nul de Iet donc
d(r)≥d(u).
On a donc une contradiction, et l’on a
a=uq .
Donc Iest engendré par u.
Remarque : dans un anneau intègre A, si δet δ′engendrent le même idéal, alors, il existe uinversible
tel que
δ=uδ′.
En effet, on a à la fois
δ=uδ′et δ′=u′δ
donc
δ=uu′δ ,
et, puisque Aest intègre, on en déduit
e=uu′,
ce qui montre que uest inversible.