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Chapitre 15
Equations différentielles linéaires
1. Equations différentielles linéaires scalaires du 1ier ordre
(rappels et compléments)
1.1. Equation résolue
a) Définitions et notations
Définitions 1 :
équation différentielle linéaire (E.D.L.) scalaire résolue du 1ier ordre :
… toute équation du type :
( ) ( )x a t x b t
(E)
 Dans le cadre du programme
2
,,a b I
, I est un intervalle
solution de (E) : toute fonction
:Ij
qui vérifie :
: ( )tI t a t t b tjj
courbe intégrale de (E) :
… toute courbe
j
représentive d’une solution
j
de (E).
l’équation homogène associée à (E) :
()X a t X
(E*)
un problème de Cauchy :
00
( ) ( )x a t x b t
x t x
où
00
,t x I
on notera (resp.
*
) l’ensemble des solutions de (E) (resp. (E*))
b) Solutions de l’équation homogène
Théorème 1 : Soit A une primitive (fixée) de a sur I
Les solutions de l’équation différentielle homogène
()X a t X
s’écrivent
()
.At
I
t C e
où
C
.
Ainsi
*
est un -espace vectoriel de dimension 1 :
* ( )
A
Vect e
 On notera qu’une primitive A existe toujours puisque
,aI
.
  On notera aussi que si une connaît une solution évidente
x
non
nulle, on les connaît immédiatement toutes puisqu’alors
* ( )Vect x
 Exemple 1 :
' tan( )y y x

c) Solutions de l’équation générale
 On démontre que
*x
où
x
: une solution particulière de (E).
 est ainsi un espace affine de direction
*
, de dimension 1.
 Les solutions de (E) s’écrivent donc
()
( ) . At
I
t x t C e
 Théoriquement : 1 .
une solution particulière est définie par
0
( ) ( )
( ) ( )
t
A t A u
t
x t e b u e du
 Pratiquement : on utilise la méthode de "variation de la constante". 
 Exemple 2 :
22
11t x tx t
 Néanmoins, dans certains cas, on connaît directement la forme de
()xt
,
souvent du même " type" que le second membre
()bt
.
 Exemple 3
()mt x k x P t e
où
2
,km
et
PX
Bon à retenir : la solution particulière est
si
mk
… du type
()mt Q t e
avec
QX
et
dQ d P
si
mk
… égale à
()mt Q t e
où
0
Pr im ( )QP
d) Problème de Cauchy, courbes intégrales
 Le problème de Cauchy
00
( ) ( )x a t x b t
x t x
admet une unique solution
… car la condition initiale
00
x t x
fixe la constante C.
 Il existe en fait une écriture (de peu d’intérêt !) de cette unique solution
0
0
( ) ( ) ( ) ( )
0()
t
A t A t A t A u
t
x t x e e b u e du
Interprétation géométrique
Courbes intégrales de l’ exemple 1
10,10C
,
4, 4t
 Par tout point
00
,tx
de la
bande
I
passe une courbe
intégrale et une seule.
 Les courbes intégrales
forment ainsi une "partition" de
la bande
I

e) Propriété de régularité :
Propriété 1 : caractère 1 des solutions d’une équation différentielle
Sous la condition
2
,,a b I
(resp.
2
,
kI
, resp.
2
,I
) ,
toute solution de l’équation différentielle
( ). ( )x a t x b t
(E) est de classe
1
(resp.
1k
, resp. )
 Exemple 4 :
cos( )y y x x
I
f) Changement de corps
Propriété 2 : caractère 1 des solutions d’une équation différentielle
Soient les équations différentielles
( ). ( )x a t x b t
(E)
et
( ). ( )x a t x b t
(
E
)
où
,aI
,
,bI
et
( ) Re ( )b t b t
(resp.
( ) Im ( )b t b t
).
Si x est solution de (E), alors
Re x
(resp.
Im x
) est solution de (
E
).
1.2. Equation non résolue
a) Définition
Définition 2 :
équation différentielle (non résolue) du 1ier ordre :
… toute équation du type :
( ) ( ) ( )a t x b t x c t
(E)
 Dans le cadre du programme :
3
, , ,a b c I
, I est un intervalle
b) Résolution pratique
 On "découpe" I en intervalles où la fonction a ne s’annulle pas.
 Sur chacun de ces intervalles, en divisant dans (E) par
at
, on a
l’équivalence avec une E.D.L. résolue qu’on sait donc résoudre.
 On effectue alors si c’est possible un raccordement en 3 temps :
 Prolongement par continuité au point de raccordement
 Vérification de la dérivabilité d’un tel prolongement
 Vérification au point de raccord de l’équation différentielle.
  Les propriétés des équations résolues ne sont plus vérifiées :
 peut être ou un espace affine de dimension quelconque.
 le problème de Cauchy n’a plus forcément de solution ou peut
aussi en avoir une, plusieurs, voire une infinité.
c) Exemples 3 .
 Exemple 5 :
0xy y
I
dim 1
 pb Cauchy : aucune solution ou une infinité

 Exemple 6 :
20xy y
I
dim 2
 Cauchy : aucune solution ou une infinité
 Exemple 7 :
2
2
21
x
xy y x
I
 est un singleton
 Cauchy : aucune solution ou une seule solution
 Exemple 6 :
sin cos( ) 1y x y x
,Ipp
 est un singleton
 Cauchy : aucune solution ou une seule solution
2. Equations différentielles linéaires du 1ier ordre
2.1. Notations et définitions
Notations :
F : espace vectoriel de dimension finie
I : intervalle de
Pour
uF
et
xF
: on écrira
.ux
au lieu de
()ux
on pourra lire
.ux
: u appliqué à x
à mettre en parallèle avec la notation
.MX
lorsque
M M u
On considérera une application :
:a I F
Pour une application
:IFj
, on notera alors
.aj
l’application :
.: ( ).
IF
at a t t jj
Définitions 1 :
équation différentielle linéaire (E.D.L.) résolue du 1ier ordre :
… toute équation du type :
( ). ( )x a t x b t
(E)
 Ici
,a I F
et
,b I F
solution de (E) : toute fonction
:IFj
qui vérifie :
: ( ) .tI t a t t b tjj
un problème de Cauchy :
0
( ). ( )x a t x b t
x t v
où
0,t v I F
on notera (resp.
*
) l’ensemble des solutions de (E) (resp. (E*))
 Remarque : on retrouve les équations différentielles scalaires si
F
.
C’est donc ici une généralisation 4 .

 Exemple : si
3
E
, on peut identifier
3
avec
3
.
(E) s’écrit alors :
( ). ( )X A t X B t
où
3
()A t K
et
()Xt
et
()Bt
des vecteurs colonnes de taille 3.
soit :
1 1,1 1 1,2 2 1,3 3
2 2,1 1 2,2 2 2,3 3
3 3,1 1 3,2 2 3,3 3
x a t x a t x a t x
x a t x a t x a t x
x a t x a t x a t x
On obtient un " système différentiel linéaire" du 1ier ordre
 Exemple 5 .
xy
yx
résolution élémentaire ; remarques.
2.2. Propriétés
Propriété 1 : caractère 1 des solutions d’une équation différentielle
Toute solution de
( ). ( )x a t x b t
(E) est de classe 1
 Démonstration : 6 .
Propriété 2 : structures algébriques des espaces de solutions
Soit
( ). ( )x a t x b t
(E) et l’équation homogène associée
( ).x a t x
(E*)
*
est un sous-espace vectoriel de
1,IF
est un sous-espace affine de
1,IF
de direction
*
 Autrement dit :
*x
 Démonstration : 7 .
Propriété 3 : principe de superposition des solutions
Soient n équations différentielles
( ). ( )
i
x a t x b t
(Ei) (où
1,in
).
Soit l’équation différentielle
( ). ( )x a t x b t
(E)
où
1
()
n
ii
i
b t ba
avec
n
ii
a
Si pour tout
1,in
,
i
x
est une solution particulière de (Ei),
alors
1
n
ii
i
xxa
est une solution particulière de (E).
 Démonstration : 8 .