a courbure de Ricci nef

Th`ese de l’Universit´e Joseph Fourier (Grenoble I)
Fibr´es en droites num´eriquement effectifs
et vari´et´es k¨ahl´eriennes compactes
`a courbure de Ricci nef
Mihai P˘aun
Universit´e de Grenoble I, Institut Fourier
M´emoire achev´e en novembre 1997
Th`ese soutenue `a Grenoble le mercredi 21 janvier 1998
Jury :
G´erard BESSON (CNRS, UJF)
Fr´ed´eric CAMPANA (Nancy 1) (rapporteur)
Jean-Pierre DEMAILLY (UJF) (directeur)
Paul GAUDUCHON (CNRS, ´ Ecole Polytechnique) (rapporteur)
Christiaan PETERS (UJF) (Pr´esident)

Remerciements
Je voudrais tout d’abord remercier Jean-Pierre Demailly; ses conseils et sa
bonne humeur math´ematique m’ont ´et´e pr´ecieux pendant la pr´eparation de cette
th`ese. J’ai particuli`erement appr´eci´e la fa¸con dont il a guid´e mes premiers essais
dans la recherche et surtout l’infinie patience avec laquelle il a rendu lisibles mes
textes.
Fr´ed´eric Campana et Paul Gauduchon m’ont fait le grand honneur de rap-
porter sur cette th`ese ; j’aimerais qu’ils trouvent ici l’expression de ma profonde
gratitude.
Je suis ´egalement ravi de la pr´esence de Chris Peters dans mon jury et tout
particuli`erement de celle de G´erard Besson, avec lequel j’ai eu de nombreuses et
enrichissantes discussions math´ematiques.
Pendant ces derniers ann´ees, j’ai eu la chance de rencontrer des gens dont les
capacit´es math´ematiques m’ont beaucoup apport´e. Ainsi je voudrais remercier
Pierre B´erard, Louis Funar, Emmanuel Giroux, Siegmund Kosarew et Vlad Sergi-
escu.
Je dois de vifs remerciements `a Sylvestre Gallot et `a Mikhael Gromov; leurs re-
marques et id´ees ont eu des cons´equences importantes dans mon travail. ` A l’Insti-
tut Fourier j’ai ´et´e chaleureusement accueilli par le tout jeune “noyau complexe”
constitu´e par Laurent Bonavero, Thierry Bouche, Laurent Manivel et Christophe
Mourougane. Je tiens `a les remercier en exprimant mon amicale admiration.
Enfin, j’ai le plaisir de remercier Arlette Guttin-Lombard pour ses comp´etents
conseils en mati`ere de T
EX et ses voeux de “bonne chance”. Il y a quelques ann´ees,
j’ai rencontr´e Ioana. Depuis, tout est beaucoup plus beau autour de moi.
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Table des Mati`eres
Introduction ........................................................... 7
Chapitre 1 ............................................................. 13
1.A Pr´eliminaires .................................................... 13
1.A.1 Effectivit´e num´erique au sens m´etrique .......................... 13
1.A.2 R´esultats concernant la r´egularisation des courants positifs ferm´es 17
1.B Images inverses des fibres nef .................................... 18
1.C Caract´erisation de l’effectivit´e num´erique en termes de courants . . 26
1.D L’hypoth`ese (INT) ............................................. 29
Chapitre 2 ............................................................. 33
2.A Pr´eliminaires .................................................... 33
2.A.1 Quelques rappels de g´eom´etrie k¨ahl´erienne ....................... 33
2.A.2 Quelques rappels de g´eom´etrie riemannienne ..................... 36
2.B.1 Presque-nilpotence du groupe fondamental des vari´et´es k¨ahleriennes
compactes `a classe de Ricci nef .................................. 40
2.B.2 Potentiels contrˆol´es en moyenne ................................. 43
2.C Presque-ab´elianit´e du groupe fondamental de certaines vari´et´es k¨ah-
l´eriennes compactes `a classe de Ricci num´eriquement effective . . . . 47
2.C.1 Le cas projectif .................................................. 48
2.C.2 Le cas du diam`etre fini .......................................... 48
2.C.3 Un exemple ..................................................... 56
2.D.1 Une majoration du premier nombre de Betti des vari´et´es k¨ahl´e-
riennes compactes `a classe de Ricci nef .......................... 61
2.D.2 Le cas du diam`etre infini ........................................ 65
2.D.3 Quelques remarques au sujet du morphisme d’Albanese d’une va-
ri´et´e k¨ahl´erienne compacte `a classe de Ricci nef .................. 69
R´ef´erences ............................................................. 78
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